CONSIDERAÇÕES SOBRE A RUÍNA DO JOGADOR

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1 Resumo COSIDERAÇÕES SOBRE A RUÍA DO JOGADOR Fernando de Jesus Moreira Junior Prof. UFSM/RS, Aluno PPGEP UFSC/SC, fmjunior@smail.ufsm.br Silvana Ligia Vincenzi Bortolotti Prof a. UTFPR/PR, Prof. Dr. UTFPR/PR, sligie@globo.com Antônio Sérgio Coelho Prof. CTC UFSC/SC, coelho@deps.ufsc.br A Ruína do Jogador é um problema clássico de processos estocásticos utilizado para calcular a probabilidade de um jogador, ue possui uma determinada uantidade de recurso financeiro, cair em ruína. esse trabalho, foram estabelecidas e analisadas diversas situações para verificar uando vale a pena o jogador entrar no jogo, ou seja, identificar uando ue a probabilidade de sobrevivência é maior do ue a de ruína. Também foi verificado ual a probabilidade de ganhar ue o jogador deverá ter para possuir uma probabilidade desejável de sobrevivência, assim como saber ual deverá ser o capital inicial necessário. Palavra chaves: Processos Estocásticos, Ruína do Jogador, Probabilidade de Ruína.. Introdução A Ruína do Jogador é um problema de caminhada aleatória estudada em processos estocásticos ue permite calcular a probabilidade de uma empresa, vista como jogador, vir a falir, caso comece com um determinado capital inicial. Segundo Rosbaco (2003), a Ruína do Jogador oferece aproximações válidas na análise de situações financeiras. O problema da Ruína do Jogador pode ser aplicado em diversas situações práticas, por exemplo, nas decisões gerenciais de empresas, na bolsa de valores, no mercado financeiro, no mercado de apostas, etc. esses casos, por exemplo, o jogador é identificado como o empresário, a empresa, o investidor ou o apostador. O objetivo desse trabalho é estabelecer cenários e identificar em uais situações é vantajoso para o jogador entrar no jogo, ou seja, uando ue a probabilidade de sobrevivência é maior do ue a de ruína. Os resultados encontrados poderão permitir ao jogador saber previamente ual a probabilidade de ganho ue deverá ter para obter uma probabilidade considerável de não cair em ruína, dado ue possui certo capital inicial. Também será possível saber ual deverá ser o capital inicial necessário para não falir, caso saiba ual é a sua probabilidade de ganhar. 2. A Ruína do Jogador O problema da Ruína do Jogador foi proposto pela primeira por Blaise Pascal, em 656 (EDWARDS, 983). Existem outras variações do problema da Ruína do Jogador (CARGAL, 2003), mas a definição de Clare & Disney (979) é a mais importante: Um jogador joga uma seüência de jogos independentes contra um oponente. Em cada jogo ele ganha $ com probabilidade p ou perde $ com probabilidade, onde = p. (...) Suponha ue o seu capital inicial seja $ e o capital do seu oponente seja $, onde representa o total de recursos. Se, tanto o seu capital como o do seu oponente cair para 0 (se ele ou o seu oponente forem arruinados), então, o jogo cessará. Como mencionado anteriormente, a Ruína do Jogador permite calcular a probabilidade de um jogador cair em ruína, dado ue comece com um capital inicial $. Essa probabilidade é dada por:

2 Probabilidade de Ruína t, se p =, () ou p t, se p,. (2) p onde p: probabilidade de ganhar; : probabilidade de perder, de tal forma ue p + = ; : recurso financeiro disponível (capital inicial); : total de recursos financeiros existentes no universo em estudo (o somatório dos capitais do jogador e do(s) oponente(s)), onde será o somatório dos capitais do(s) oponente(s); t : probabilidade de ruína. 3. Método Foram estabelecidos vários cenários para as situações onde p =, p e p, utilizando valores de igual a, 5, 0, 20 e 25, e o total de recursos financeiros () variando de + até 500. Para facilitar a interpretação dos resultados, serão considerados apenas os valores inteiros de e. 4. Resultados e Análises 4. Situação : Quando p = esse caso, o jogador supõe ue possui a mesma probabilidade de ganhar ou perder, isto é,. O gráfico da Figura apresenta o valor da probabilidade de ruir, em relação a vários valores de e. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,4 0,3 0,2 0, = = 5 = 0 = 20 = FIGURA Probabilidade de ruína uando p =, segundo os valores de e. Analisando o gráfico da Figura, podemos verificar ue, nas situações em ue =, a probabilidade de ruína é ; nas situações em ue >, a probabilidade de ruína é menor ue ; e nas situações em ue >, a probabilidade de ruína é maior ue. Dessa

3 Probabilidade de Ruína forma, verifica-se uma relação entre a probabilidade de ruína e o capital inicial e o somatório dos capitais do(s) oponente(s). Também é possível verificar ue a probabilidade de ruína é a mesma sempre ue a razão / for a mesma. Isso decorre diretamente da aplicação da Euação (). Obviamente, a razão / é a probabilidade complementar de ruína, ou seja, a probabilidade de não alcançar a ruína ou de sobreviver. Pode-se observar ue, à medida ue aumenta, mantendo-se constante, a probabilidade de ruína aumenta e se aproxima de, conforme mostra a Figura. Isso ocorre porue uando tende ao infinito, a probabilidade de ruína converge para, conforme mostra a euação (3). lim (3) 4.2 Situação 2: Quando p < esse caso, o jogador supõe ue possui uma probabilidade de ganhar menor ue. O gráfico da Figura 2 mostra a situação uando p = 0,49. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,4 0,3 0,2 0, = = 5 = 0 = 20 = FIGURA 2 Probabilidade de ruína uando p = 0,49, segundo os valores de e. Comparando-se os resultados do gráfico da Figura 2 com os resultados do gráfico da Figura, nota-se ue a probabilidade de ruína para cada valor de e é maior uando p =0,49. Verifica-se também uma diminuição de situações favoráveis ao jogador. ota-se ue uando =, nenhuma das situações é favorável ao jogador. É interessante saber ual a relação existente entre e para encontrar as situações favoráveis ao jogador, ou seja, auelas onde a probabilidade de ruína é menor ue. Para isso, e foram isolados a partir de (4). p t (4) p As relações de em função de e de em função de são apresentadas nas Euações (5) e (6), respectivamente.

4 Probabilidade de Ruína ln p ln(2) ln( ) ln( p) ln 2 p (6) ln( ) ln( p) As euações (5) e (6) estabelecem as relações entre e uando a probabilidade de ruína é igual a. Considerando ue o interesse está nas situações onde a probabilidade de ruína é menor ue, deve ser maior ue o valor encontrado em (5), e deve ser maior ue o valor encontrado em (6). O gráfico da Figura 2 também mostra ue a probabilidade de ruína se aproxima muito mais rapidamente para na situação em ue p = 0,49 em relação a p =. Isso ocorre porue uando tende ao infinito, a probabilidade de ruína converge para, conforme mostra a euação (7). p lim (7) p Dessa forma, pode-se concluir ue uanto menor for o valor de p, maior é a probabilidade de ruína. Dessa forma, é interessante saber para uais valores de p pode-se encontrar situações favoráveis ao jogador. Entretanto, é analiticamente impossível isolar p nas Euações (5) e (6). Porém, através de interpolações, pode-se chegar ao valor de p = /3. Isto significa ue, para valores de p menores ue /3, a probabilidade de ruína é sempre maior ue para uaisuer valores de e. 4.3 Situação 3: Quando p > esse caso, o jogador supõe ue possui uma probabilidade de ganhar maior ue. O gráfico da Figura 3 mostra a situação uando p =. (5) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,4 0,3 0,2 0, = = 5 = 0 = 20 = FIGURA 3 Probabilidade de ruína uando p =, segundo os valores de e.

5 Comparando-se os resultados do gráfico da Figura 3 com os resultados do gráfico da Figura, nota-se ue a probabilidade de ruína para cada valor de e é menor uando p =. Conseuentemente, verifica-se um aumento de situações favoráveis ao jogador. O gráfico da Figura 3 mostra ue a probabilidade de ruína não se aproxima de, na situação em ue p =, mas se aproxima de outro valor constante. Esse valor constante é o valor para o ual a probabilidade de ruína converge uando tende ao infinito, conforme (8). p lim (8) p p Pode-se concluir ue, uanto maior for o valor de p, menor é a probabilidade de ruína. Dessa forma, pode-se determinar o valor de p para ue a probabilidade de ruína seja exatamente igual a, para ualuer valor de. Utilizando-se o limite de (8), tem-se (9) p Sabendo-se ue p > e ue p + =, isolando-se p na Euação 9, obtém-se p (0) A Euação 0 apresenta a relação entre os valores de e p para ue a probabilidade de ruína seja exatamente igual a. Dessa forma, uando =, p será 2/3. Isso significa ue, uando =, para valores de p maiores ue 2/3, a probabilidade de ruína será menor ue e viceversa. Da mesma forma, uando = 2, p será aproximadamente 9. Isso significa ue, uando = 2, para valores de p maiores ue 9, a probabilidade de ruína será menor ue e vice-versa. Percebe-se ue a medida ue aumenta, p se aproxima de, conforme mostra a euação (). Observa-se também ue o valor máximo de p é 2/3, uando =. Isso significa ue, sempre ue p for maior ue 2/3, a probabilidade de ruína será menor ue, para uais uer valores de e. lim p lim lim () Mais conclusões podem ser obtidas utilizando-se a e. (9). Quando for muito grande e p for muito próximo de, a probabilidade de ruína se aproxima de, conforme (2) lim lim (2), p p p p Por outro lado, uando for muito grande e p for muito próximo de, a probabilidade de ruína se aproxima de 0, conforme (3). lim lim0 0 (3), p p p p Quando e forem muito grandes considerando p >, a probabilidade de ruína se aproxima de zero, conforme (4). lim 0 (4), p Entretanto, é interessante observar a relação existente entre e para encontrar as situações favoráveis ao jogador, ou seja, auelas onde a probabilidade de ruína é menor ue, uando p < 2/3. Dessa forma, pode-se utilizar as euações (5) e (6). Considerando ue o interesse está

6 nas situações onde a probabilidade de ruína é menor ue, deve ser maior ue o valor encontrado em (5), e deve ser maior ue o valor encontrado em (6). Também é possível encontrar o valor mínimo de para ue a probabilidade de ruína seja sempre menor ue, uando /2 < p < 2/3. Esse é o valor ue deixa negativa a uantidade 2 p, já ue não existe logaritmo de número negativo. Para isso, é necessário igualar essa uantidade ao valor zero, chegando-se, assim a euação (9). Isolando-se, obtém-se: ln (5) ln ln p Assim, para p =, obtém-se = 7,33, ou seja, para valores de maiores ue 7 ( está sendo considerado como número inteiro nesse estudo), a probabilidade de ruína é sempre menor ue uando p =, independente do valor de. 5. Conclusões Esse estudo permitiu verificar uais as situações favoráveis (auelas onde a probabilidade de ruína é menor ue ) ao jogador utilizando o problema da ruína de jogador. Quando p < /3, a probabilidade de ruína é maior ue para uaisuer valores de e. Quando p = /3, a probabilidade de ruína é maior ou igual dependendo dos valores de e. Quando /3 < p < /2, existem algumas situações de combinações de valores de e favoráveis ao jogador. Essas situações podem ser verificadas em (5) e (6), dado o valor de p. Entretanto, uanto maior o valor de p, existirão mais situações favoráveis ao jogador. Por outro lado, uando for muito maior em relação à, não existe nenhuma situação favorável ao jogador, ou seja, a probabilidade de ruína é maior ue. Quando, p = /2, nas situações em ue >, ou seja, uando o capital inicial do jogador for maior ue a soma dos capitais do(s) oponente(s), a probabilidade de ruína será menor ue. Entretanto, uando < (capital inicial do jogador for menor ue a soma dos capitais do(s) oponente(s)), a probabilidade de ruína é maior ue e aumenta uanto maior for o valor de. Porém, uando e forem muito altos, a probabilidade de ruína se aproxima de. Quando /2 < p < 2/3, a uantidade de situações de combinações de valores de e favoráveis ao jogador aumenta. Essas situações podem ser verificadas em (5) e (6), dado o valor de p. Também é possível encontrar o valor mínimo de para ue a probabilidade de ruína seja sempre menor ue, através de (5). Entretanto, uanto maior for o valor de p, mais situações favoráveis ao jogador existirão. Por outro lado, uando for muito maior em relação à, existem situações favoráveis ao jogador observando a relação existente entre p e em (0). Quando p > 2/3, a probabilidade de ruína é menor ue para uaisuer valores de e. Quando p = 2/3, a probabilidade de ruína é menor ou igual dependendo dos valores de e. Também foram encontradas euações ue permitem verificar ual a probabilidade de ganhar ue o jogador deverá ter para possuir uma probabilidade desejável de sobrevivência, e saber uanto deverá ser o capital inicial necessário para não falir. Referências Bibliográficas CARGAL, J. M. (2003) The Gambler's Ruin. In: J.M. Cargal, Discrete Mathematics for eophytes: umber Theory, Probability, Algorithms, and Other Stuff (Capítulo 33). Disponível em: CLARKE, A. B.; DISEY, R. L. (979). Probabilidade e Processos Estocásticos. Rio de Janeiro: LTC. EDWARDS, A. W. F (983). Pascal's problem: The 'Gambler's Ruin', International Statistical Review, 5(), ROSBACO, J. (2003). La evaluación de los riesgos en el upstream. Petrotecnia, 2003,