OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE Produções Didático-Pedagógicas

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1 Versão Online ISBN Cadernos PDE II OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE Produções Didático-Pedagógicas

2 SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ Ficha para Identificação da Produção Didático-Pedagógica Turma 2014 Título: O estudo da geometria espacial fazendo uso de materiais manipuláveis Autor: Mariza Fatima de Souza Disciplina/Área: Escola de Implementação do Projeto e sua localização: Município da escola: Matemática Colégio Estadual Basílio Pertsew Ângulo Núcleo Regional de Educação: Maringá PR Professor Orientador: Lilian Akemi Kato Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Maringá Resumo: Este Plano de Desenvolvimento Educacional apresenta uma proposta de intervenção pedagógica para o Laboratório de Ensino de Matemática, com o objetivo de desenvolver a autonomia e a criatividade dos alunos, a partir de atividades práticas no ensino-aprendizagem de matemática, por meio da confecção de materiais e jogos matemáticos e de problemas propostos a partir dos materiais concretos. Para tanto, pretende-se implantar um Laboratório de Ensino de Matemática na escola, como forma de proporcionar a professores e alunos um espaço para reflexão e consolidação de uma aprendizagem significativa da Geometria. Busca-se possibilitar ao aluno, por meio da prática, visualizar como a geometria está inserida em nosso cotidiano. A partir deste

3 Palavras-chave Formato do Material Didático: Público: contexto, será elaborado junto aos alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Basílio Pertsew um Laboratório de Matemática com materiais manipuláveis para o ensino de geometria, especificamente o ensino de poliedros, contendo figuras geométricas representativas confeccionadas e exploradas pelos próprios alunos e que possam servir de materiais de apoio para serem trabalhados com os alunos do ensino fundamental (6º ao 9ºano). Poliedros. Sólidos Geométricos. Materiais Manipuláveis. Laboratório. Unidade Didática Alunos do 3º Ano do Ensino Médio INTRODUÇÃO Neste trabalho, propõe-se que as principais estratégias de ação se concentrem na criação e montagem de materiais manipuláveis direcionados ao estudo da teoria e da prática da geometria, com o objetivo de possibilitar ao aluno o acesso a diversas atividades pedagógicas práticas. O desenvolvimento de atividades práticas no Laboratório de Matemática visa apresentar aos alunos o conteúdo da geometria de forma diversificada, para estimular a curiosidade, o interesse pela experimentação e a participação crítica dos alunos. Busca-se também, neste espaço, criar estratégias para auxiliar no estudo do conteúdo sobre poliedros, suas definições, relações e planificação dessas figuras geométricas. A proposta de uma estratégia de ação, voltada para a prática, tem como objetivo compreender as figuras geométricas, fazendo com que o aluno desenvolva competências para resolver diferentes situações-problemas que este conteúdo da Matemática apresenta. Além disso, busca-se possibilitar ao aluno, por meio da prática, visualizar como a geometria está inserida em nosso

4 cotidiano. A construção de um laboratório de ensino de Matemática possibilita estabelecer comunicação entre o mundo real e o mundo abstrato da Matemática, servindo de alternativa pedagógica para aproximar situações da realidade com os conteúdos matemáticos desenvolvidos em sala de aula. Nesse sentido, essa proposta vem ao encontro das necessidades de inovações no ensino de Matemática, por meio da criação de um Laboratório de Matemática, contendo objetos manipuláveis projetados com a finalidade de contribuir para o processo de ensino-aprendizagem da Geometria, em especial da Geometria Espacial. A partir deste contexto, será desenvolvido junto aos alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Basílio Pertsew Ensino Fundamental e Médio, do Município Ângulo, pertencente ao Núcleo de Maringá, no Estado do Paraná, um Laboratório de Matemática contendo materiais manipuláveis para o ensino de geometria, especificamente o ensino de poliedros, contendo figuras geométricas representativas confeccionadas e exploradas pelos próprios alunos. A ideia central é que esse ambiente se torne um local de referência para as atividades de ensino de Matemática nesta instituição escolar, para que professores possam empenhar-se em tornar a Matemática mais compreensível para seus alunos, sendo possível a elaboração de atividades práticas relacionadas com o conteúdo a ser estudado. No início, serão elaboradas apenas atividades direcionadas ao estudo da Geometria Espacial, porém, com intuito de abrir caminhos para a elaboração e construção de diversas atividades relacionadas aos demais ramos da Matemática. OBJETIVOS Objetivo Geral Implantar um Laboratório de Ensino Matemática na escola como forma de proporcionar a professores e alunos um espaço para reflexão e consolidação de uma aprendizagem significativa da Geometria.

5 Objetivos Específicos - Possibilitar aos alunos a oportunidade de problematizar e trabalhar com materiais manipuláveis no ensino da Geometria; - Destacar a importância da Geometria e sua relação com as atividades cotidianas; - Compreender as teorias aplicadas no ensino da Geometria, demonstrar e comprovar a validade das mesmas; - Proporcionar um campo de pesquisa contínua para as diversas áreas da Educação Matemática. UNIDADE DIDÁTICA Esta unidade didática, visando à implantação de um Laboratório de Matemática no Colégio Estadual Basílio Pertsew, constitui-se de 7 atividades. A atividade 1 refere-se à realização de uma visita programada ao laboratório de matemática da Universidade Estadual de Maringá. Na atividade 2, será realizada a construção de trilha geométrica pelos alunos. A atividade 3 se refere à construção de um geoplano circular, quadrado e espacial. Na atividade 4, será abordada a relação de Euller. Dando continuidade, na atividade 5 será realizada a construção de sólidos geométricos e em seguida será desenvolvida uma aula envolvendo problemas. Na atividade 6, busca-se apresentar o conteúdo de cálculo de volume de prismas. Por fim, na atividade 7 será desenvolvida a atividade de regiões poligonais convexas. Na sequência, seguem a descrição das atividades. ATIVIDADE 1 VISITA AO LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA NA UEM Objetivos: Possibilitar aos alunos o contato com o espaço físico de um Laboratório de Matemática;

6 Explorar o conhecer os materiais manipuláveis que são utilizados no Laboratório de Matemática. Duração: 5 horas/aula. Desenvolvimento das atividades: Os alunos farão uma visita ao LEM, objetivando observar o ambiente e suas características físicas: iluminação, disposição de armários, acomodação dos materiais, cadeiras, mesas, bancadas, etc. Em seguida, irão elaborar um croqui do espaço físico (layout do laboratório de matemática). Figura 1 modelo ilustrativo: um croqui do espaço físico Dando sequência a aula, será realizada pelos alunos uma atividade exploratória, em que analisarão os recursos humanos e materiais utilizados no laboratório de matemática, desenvolverão uma síntese crítica sobre a integração entre os recursos humanos e materiais e irão transcrever a síntese crítica em forma de redação. Em seguida, será realizada uma análise crítica do ambiente físico e didático-pedagógico do laboratório de matemática, buscando estabelecer uma inter-relação com a realidade e as necessidades dos alunos do Ensino Médio do Colégio Estadual Basílio Pertsew. Após a visita, os alunos deverão apresentar uma proposta de laboratório de ensino de Matemática, para a sua escola, considerando suas especificidades.

7 Essas propostas serão analisadas e discutidas dentro do grupo e, conforme a viabilidade de implantação e confecção, serão acrescentadas aos materiais sugeridos nessa unidade. Apresentamos, a seguir, uma proposta básica de instrumentos para a implantação do laboratório, a qual será flexível, possibilitando mudanças sugeridas e argumentadas pelos alunos. ATIVIDADE 2 CONSTRUÇÃO DE TRILHA GEOMÉTRICA Objetivos: Explorar conceitos (de quadrado, paralelogramo, triângulo escaleno, triângulo equilátero, pentágono e hexágono). Duração: 4 horas/aula. Desenvolvimento das atividades: Para a confecção desse jogo, os alunos deverão ter as noções de figuras geométricas planas. Para tanto, inicialmente será apresentado um vídeo ilustrativo sobre figuras geométricas planas, seu conceito e definição (Figuras Geométricas, disponível em: < em que adotarão atitude de observação em sala de aula. Em seguida, utilizando material de cartolina e cola, os alunos construirão círculos e dentro deles será escrito números que irão compor a TRILHA GEOMÉTRICA. Construirão um dado com medida de 5x5 cm, conforme o modelo a seguir, que conterá as figuras geométricas para serem sorteadas durante o jogo. Figura 2 modelo ilustrativo da trilha geométrica

8 Figura 3 modelo ilustrativo do dado com figuras geométricas Em seguida, será proposto um questionário visando fixar o conteúdo estudado. O questionário será feito por meio da confecção de 18 cartões contendo as seguintes questões: Como se chama um triângulo que tem todos os lados diferentes? Qual e o nome do polígono de quatro lados? Qual e o nome do quadrilátero que tem os lados opostos paralelos? Um triângulo de dois ângulos internos de 70º cada um. Qual a medida do outro ângulo interno? Um triângulo retângulo é também isósceles. Qual a medida de cada um dos ângulos agudos? Um quadrilátero tem três ângulos de 90º cada um. Qual a medida do outro ângulo? Um triângulo retângulo é também escaleno. Um dos seus ângulos mede 55º. Qual a medida dos outros ângulos? Um paralelogramo tem um ângulo de 105º. Qual a medida dos outros três ângulos? Um trapézio retângulo tem um ângulo de 78º. Qual a medida dos outros três ângulos? Qual a medida de cada um dos ângulos internos do triangulo equilátero? Num trapézio retângulo, o ângulo obtuso mede o dobro do ângulo agudo. Qual é a medida desses dois ângulos? Um triângulo isósceles tem um ângulo de 110º. Qual é a medida dos outros dois ângulos? Como se chama o quadrilátero que tem todos os ângulos retos? Explique o que é um losango. Defina o que é um trapézio Qual é o nome das três principais figuras geométricas que compõem a bandeira brasileira?

9 Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de cada um dos dois principais polígonos que compõem a bandeira brasileira? O que é um triângulo obtusângulo? ATIVIDADE 3 CONSTRUÇÃO DE UM GEOPLANO CIRCULAR, QUADRADO E ESPACIAL Objetivos: Apreender o conceito de polígonos por meio de geoplano; Construir polígonos utilizando material manipulável. Duração: 5 horas/aula. Desenvolvimento das atividades: Para compreender conceito de polígonos por meio de um geoplano, inicialmente os alunos desenvolverão uma atitude de observação em sala de aula do modelo de geoplano construído com madeira. Em seguida, por meio de atitude exploratória, os alunos irão construir geoplano utilizando os seguintes materiais: Bloco de madeira de 15mm (sugestão: 25cm x 25cm); Pregos; Papel milimetrado; Fita adesiva. Procedimento de construção do geoplano Cortar o bloco de madeira em formato retangular; Com o auxílio da fita adesiva, prender o papel milimetrado no bloco de madeira; Marcar pontos onde deverão ser fixados os pregos, de modo que fiquem igualmente espaçados na horizontal e vertical (sugestão: 4cm x 4cm). Introduzir os pregos nos pontos marcados anteriormente.

10 Figura 4 - Modelo ilustrativo do goeplano Após o término da construção do material manipulável, os alunos serão conduzidos a realizarem uma sequência de atividades, utilizando a aplicação prática do geoplano. Essas atividades consistem em: desenvolver raciocínios envolvendo conceitos de geometria plana; calcular o perímetro de figuras geométricas planas; desenhar figura simétrica; utilizar conceito de rotação e translação no geoplano; construir diferentes formas geométricas planas; solucionar problemas envolvendo o perímetro de figuras geométricas planas; estabelecer comparação entre os perímetros das diferentes figuras geométricas; definir, classificar e construir polígonos com o auxílio do geoplano; identificar diferenças nas diagonais do paralelogramo, losango e quadrado; construir diversos polígonos convexos no geoplano retilíneo e construir as diagonais que partem de um mesmo vértice do polígono; calcular as áreas das formas geométricas e realizar a dedução do Teorema de Pitágoras. ATIVIDADE 4 RELAÇÃO DE EULLER E CONSTRUÇÃO DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Objetivos: Adquirir a noção de relação de Euller aplicada na construção de poliedros e polígonos; Solucionar problemas envolvendo conceitos formais de geometria.

11 Duração: 10 horas/aula. Desenvolvimento das atividades: Para adquirir a noção de relação de Euller aplicada na construção de poliedros e polígonos e resolver problemas envolvendo conceitos formais de geometria, os alunos irão observar, em sala de aula, modelos de polígonos e poliedros. Em seguida, terão uma aula expositiva sobre noções básicas de geometria e, durante a aula teórica, será explorado o conceito sobre a aplicação da relação Euller. Durante a exposição do conteúdo, os alunos irão assistir a um vídeo (nome do vídeo: Euler, la matemática infinita. Disponível em: < >) sobre a biografia de Euller e a criação da fórmula. Após a exploração do conteúdo teórico sobre a relação de Euller, os alunos irão construir um polígono e um poliedro. Materiais para polígonos: palitos de sorvete e percevejos. Materiais para poliedros: palitos e massa pula-pula ou imantec. Procedimento de construção do polígono Utilizar palitos de sorvete e construir triângulos, quadriláteros e pentágonos.

12 Figura 5 modelos de polígonos Procedimento de construção dos poliedros Figura 6 modelos de poliedros

13 Os conteúdos desenvolvidos nas aulas teóricas e práticas serão recapitulados por meio de atividades que promovam a reflexão sobre a fórmula de Euller para determinar o número de elementos dos polígonos e dos poliedros confeccionados com material manipulável. Para aprofundar os estudos sobre poliedros, será realizada atividade em grupo verificando experimentalmente a aplicação da relação de Euller para determinar o número de arestas, vértices e faces de poliedros que serão confeccionados com canudos e linhas. Construção de um tetraedro regular Figura 7 confecção de um tetraedro regular Tome um fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um triângulo e o feche por meio de um nó. Agora, passe o restante da linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo. Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um só nó. Construção de um icosaedro regular

14 Figura 8 confecção de um icosaedro regular Construir quatro triângulos seguindo o esquema da figura a e os una obtendo uma pirâmide regular de base pentagonal, como representado na figura b. Repitir essa construção, obtendo mais uma pirâmide, una cada uma dessas pirâmides através dos vértices das bases por meio de pedaços de canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos, como na figura c. Construção de um cubo Figura 8 confecção de um cubo Com pedaços de canudo de cor (ou diâmetro diferente da usada para representar as arestas do cubo), construa uma diagonal em cada face, de modo que em cada vértice que determina a diagonal cheguem mais duas diagonais. Ao final da construção, veremos que construímos um tetraedro formado por seis diagonais das faces do cubo, como mostra a figura acima. Serão propostos, nesta aula, alguns problemas sobre poliedros, os quais exijam a interpretação utilizando-se conceitos formais de geometria para a

15 resolução dos mesmos. Os alunos poderão desenvolver uma atividade prática de construção de poliedros confeccionados com cartolina e elástico Figura 9 Poliedros confeccionados com cartolina e elástico Figura 10: passo-a-passo para construção de poliedros com cartolina e elástico

16 Na resolução dos problemas os alunos terão de responder os seguintes questionamentos de forma interativa: Qual a forma geométrica envolvida no problema proposto? Que informações são evidenciadas no problema? O que esses dados representam na forma espacial? Qual a solução exigida pelo problema? De que forma se pode chegar ao resultado? Problemas envolvendo Poliedros 1. Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces têm de cada tipo, se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos? 2. Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um: a) tetraedro b) hexaedro c) octaedro d) dodecaedro e) icosaedro 3. Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta. 4. Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos?

17 5. Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro. 6. Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro. ATIVIDADE 6 CÁLCULO DE VOLUME DE PRISMAS Objetivos: Identificar as formas geométricas de prismas que existem na natureza. Duração: 4 horas/aula Aplicar fórmula para calcular o volume de prismas. Desenvolvimento das atividades: Com o objetivo de identificar as formas geométricas de prismas que existem na natureza e aplicar fórmula para calcular o volume de prismas, inicialmente os alunos assistirão ao vídeo demonstrativo sobre as formas geométricas encontradas na natureza (nome do vídeo: Geometria no cotidiano. Disponível em: < Em seguida, irão estabelecer diálogo coletivo sobre o vídeo, refletindo sobre como a matemática e os conceitos de geometria estão presentes em nosso dia-a-dia. Na sequência, os alunos construirão prismas com base triangular; com base hexagonal; com base pentagonal; com base retangular.

18 Figura 11: modelo para construção de prismas com base triangular e hexagonal

19 Figura 12: modelo para construção de prisma com base pentagonal e retangular A atividade prática será integrada às atividades teóricas durante esta aula, pois os alunos irão efetuar problemas envolvendo o cálculo de volume de prismas. Os problemas propostos serão: 1) Um prisma regular hexagonal possui todas as 18 arestas congruentes entre si. Calcule o volume desse prisma, sabendo que sua área lateral é 96 m 2. 2) A figura a seguir é um prisma hexagonal regular de 8cm de aresta da base e aresta lateral 20cm. Determine: a) a área da base; b) a área lateral; c) a área total; d) o volume desse prisma;

20 3) A figura a seguir é um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de 10cm de lado e cuja altura mede 5cm. Determine: a) a área da base; b) a área lateral; c) a área total; d) o volume desse prisma. 4) Quantos centímetros quadrados de madeira são necessários para fabricar uma caixa de forma cúbica com as dimensões indicadas na figura? 5) Se a soma das arestas de um cubo é igual a 72cm, calcule: a) a medida da diagonal AB do cubo; b) a área total; c) o volume do cubo. 6) Uma lata cilíndrica tem sua base com 40cm de diâmetro. Se a altura da lata é de 50cm, qual é o seu volume, em litros? (Use = 3,14) 7) Em um cilindro circular reto de altura 10m, o raio da base mede 4m. Calcule desse cilindro: a) a área de uma base; b) a área lateral; c) a área total; d) o volume.

21 8) Calcule a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular de 15m de altura, sendo a base um quadrado de lado 40cm. Fórmulas para cálculo de volume de prismas ATIVIDADE 7 REGIÕES POLIGONAIS CONVEXAS Objetivos: Determinar uma fórmula matemática para obtenção do número de diagonais em polígonos convexos (ou regiões poligonais convexas). Duração: 4 horas/aula. Desenvolvimento das atividades: Para determinar uma fórmula matemática para obtenção do número de diagonais em polígonos convexos (ou regiões poligonais convexas), os alunos

22 irão, inicialmente, compreender o conceito de polígonos convexos e, posteriormente, irão aplicar a fórmula matemática para obtenção do número de diagonais em polígonos convexos. Os alunos, na sequência, irão construir polígonos convexos, em seguida irão identificar a diagonal dos polígonos convexos, utilizando barbantes para delimitar estes ângulos. Figura 12: identificação da diagonal de polígonos convexos Será desenvolvida uma atividade que promova a reflexão/ação, em que deverão manusear o material manipulável solucionando problemas aplicando a fórmula para determinar medidas dos ângulos internos do polígono convexo. Sα=(N 2) 180 (1) onde: Sα é a soma dos ângulos internos; N é o número de lados do polígono. PROBLEMAS PROPOSTOS - Determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo - Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um icoságono. - Observar o número de triângulos formados ao se traçar as diagonais a partir de um vértice, conhecendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

23 - Quantos lados possui um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1440º? - Partindo da mesma ideia, um hexágono pode ser dividido em 4 triângulos. Assim, a soma das medidas de seus ângulos internos é... - Um pentágono pode ser dividido em três triângulos, logo, a soma das medidas de seus ângulos internos é... - Um quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos, portanto a soma das medidas de seus ângulos internos é... - Calcular a soma dos ângulos internos de um decágono. - Qual o polígono cuja a soma dos ângulos internos vale 1800? - Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem: a) 6 lados. c) 10 lados. e) 20 lados. b) 9 lados. d) 12 lados. - Quanto mede o ângulo externo de um polígono regular cujo ângulo interno mede 172? - Quanto mede o ângulo externo de um polígono regular de 30 lados? - O ângulo interno de um polígono regular é o quíntuplo do ângulo externo. Quantas diagonais tem esse polígono? - O ângulo externo de um polígono regular é ¼ do seu ângulo interno. Qual é esse polígono? - Determine o número de diagonais de um polígono cuja soma dos ângulos internos é Um polígono convexo tem 5 lados a mais do que o outro. Sabendo que o número total de diagonais vale 68, determine o número de lados de cada polígono. REFERÊNCIAS FLORES, Rosa Ângela Maria Niero. Ensino de geometria espacial utilizando materiais manipuláveis. Universidade Estadual de Maringá - Produção Didático- Pedagógica, Disponível em: <file:///c:/users/eric/downloads/2009_uem_matematica_md_rosa_angela_maria_ niero_flores.pdf. Acesso em 3 de novembro de 2014.

24 FORNAZA, Marilene Pereira Borges. Geometria espacial e modelagem matemática. Produção Didático-pedagógica na área de Matemática a ser implementada no Colégio Estadual Bento Mossurunga em Ivaiporã-PR, Disponível em: < file:///c:/users/eric/downloads/2009_uel_matematica_md_marilene_pereira_borg es.pdf>acesso em 3 de novembro de LEITE, José Mário. Materiais Didáticos Manipuláveis no Ensino e Aprendizagem de Geometria Espacial, O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE. Produção Didático- Pedagógica. Cadernos PDE, Disponível em: < file:///c:/users/eric/downloads/2008_utfpr_mat_artigo_jose_mario_leite.pdf >Acesso em 3 de novembro de MENÃO, Nilza Helena Schiabel; MARTIN, George Francisco Santiago. O laboratório de instrumentação matemática no ensino de geometria, O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE. Produção Didático-Pedagógica. Cadernos PDE, Disponível em: < file:///c:/users/eric/downloads/2009_uenp_matematica_artigo_nilza_helena_schia bel.pdf>acesso em 3 de novembro de MESQUITA FILHO, José Helder de. Ensino de matemática com materiais didáticos alternativos. Pós-Graduação em Ensino da Matemática. ACCESSU Educação Superior Faculdade Ateneu Fortaleza-Ceará. Disponível em: < ICA%20COM.pdf >Acesso em 3 de novembro de VERONA, Viviane Aparecida; LOPES, Maria Regina Macieira. Aplicação da Geometria Espacial em Ambientes Diversos. O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE. Produção Didático- Pedagógica. Cadernos PDE, Disponível em: < file:///c:/users/eric/downloads/2008_unicentro_mat_artigo_viviane_aparecida_ver ona_galera%20(4).pdf>acesso em 3 de novembro de 2014.