ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA POLIEDROS PROF. CARLINHOS

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Geovane Vilaverde Gusmão
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1 ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA POLIEDROS PROF. CARLINHOS 1

Sólidos Geométricos Introdução Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas definidas; são denominados sólidos geométricos.

lado comum. Elementos de um poliedro: Vértice Face Face: Região poligonal que limita o poliedro. Aresta: Interseção de duas faces. Vértice: Interseção de 3 ou mais arestas.

2 Sólidos Geométricos Introdução Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas definidas; são denominados sólidos geométricos. São objetos que lembram Poliedros: São objetos que lembram corpos redondos: Denomina-se Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum. Elementos de um poliedro: Vértice Face Face: Região poligonal que limita o poliedro. Aresta: Interseção de duas faces. Vértice: Interseção de 3 ou mais arestas. Obs: Um poliedro possui no mínimo 4 faces. Aresta Poliedro Convexo: Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no poliedro ele é chamado Poliedro Convexo. 2

Veja a tabela abaixo: NÚMERO DE FACES NOME DO POLIEDRO 4 TETRAEDRO 5

3 x 2 x 1 De acordo com o número de faces, os poliedros convexos possuem nomes especiais. Veja a tabela abaixo: NÚMERO DE FACES NOME DO POLIEDRO 4 TETRAEDRO 5 PENTAEDRO 6 HEXAEDRO 7 HEPTAEDRO 8 OCTAEDRO 12 DODECAEDRO 20 ICOSAEDRO Observe alguns poliedros: TETRAEDRO PENTAEDRO 3

HEXAEDRO HEPTAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo: x 1 x 2 Nela vemos que existem pontos X 1

4 HEXAEDRO HEPTAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo: x 1 x 2 Nela vemos que existem pontos X 1 e X 2 do poliedro tais que o segmento de reta X1X2 não está contido no poliedro, ou seja, uma parte do segmento esta fora do poliedro. De acordo com o seu número de faces um poliedro pode ser classificado em Tetraedro(4 faces), Pentaedro(5 faces), Hexaedro(6 faces) e assim por diante. A relação que veremos a seguir estabelece correspondência entre o número de vértices, o número de arestas e o número de faces de um poliedro convexo. Fórmula de Euler O autor desta façanha é Leonardo Euler (lê-se Óiler), grande matemático suíço ( ), que produziu trabalhos em diversos ramos da ciência, como física, astronomia, biologia, matemática etc. 4

5 Tinha uma memória inigualável e uma incrível destreza com a matemática. Euler escrevia seus trabalhos com a mesma facilidade com que um escritor redige uma carta. Nem a cegueira total que o afligiu durante os últimos dezessete anos de vida modificou isso; parece até que a cegueira o ajudou a desvendar mais ainda o seu mundo interior. Em qualquer poliedro convexo vale a seguinte relação: V-A+F = 2 Onde V= nº de vértices A= nº de arestas F= nº de faces Faremos apenas a verificação dessa relação através de um exemplo, no qual contaremos os vértices, as arestas e as faces de um poliedro. V=8 vértices F=6 faces A=12 arestas V-A+F= =2 Poliedros de Platão Denomina-se poliedro de Platão 1 ao poliedro convexo que satisfaz as seguintes condições: - todas as faces têm o mesmo número de arestas - de cada vértice parte o mesmo número de arestas Existem cinco e somente cinco poliedros de Platão Tetraedro possui 4 faces triangulares Hexaedro possui 6 faces quadrangulares Octaedro possui 8 faces triangulares 1 Platão (427AC). Filósofo e matemático grego. Ficou conhecido não como matemático, mas como O Criador de Matemáticos. Os poliedros regulares foram chamados de Sólidos de Platão devido a maneira pela qual Platão os aplicou para explicar fenômenos científicos. 5

Dodecaedro possui 12 faces pentagonais Icosaedro possui 20 faces triangulares Poliedros Regulares Denomina-se poliedros regulares

Tetraedro regular Octaedro regular Icosaedro regular Hexaedro regular Dodecaedro regular Soma dos Ângulos das Faces A soma dos ângulos

Demonstração: V, A e F são nesta ordem o número de vértices, arestas e faces do poliedro. Sejam n 1, n 2, n 3,.

6 Dodecaedro possui 12 faces pentagonais Icosaedro possui 20 faces triangulares Poliedros Regulares Denomina-se poliedros regulares àquele: - cujas as faces são polígonos regulares, - e seus ângulos poliédricos congruentes. Só existem 5 tipos de poliedros regulares. Tetraedro regular Octaedro regular Icosaedro regular Hexaedro regular Dodecaedro regular Soma dos Ângulos das Faces A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S = (V-2).360º onde V é o número de vértices. Demonstração: V, A e F são nesta ordem o número de vértices, arestas e faces do poliedro. Sejam n 1, n 2, n 3,...,n F os números de lados das faces 1,2,3,...,F, ordenadamente. A soma dos ângulos de uma face é (n-2).180º Para toda as faces temos: S = (n 1-2).180º + (n 2-2).180º + (n 3-2).180º (n F -2).180º 6

7 S = n 1 180º - 360º + n 2 180º - 360º + n 3 180º - 360º n F 180º - 360º S = (n 1 + n 2 + n n F ).180º - F.360º mas n 1 + n 2 + n n F = 2A, logo S = 2A.180º - F. 360º S = 360º.A F.360º S = (A F).360º Da relação de Euler, temos: V-A+F = 2 V-2 = A F S = (V 2).360º EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12, calcular o número de arestas. F = 8 Relação de Euler V-A+F = 2 V = A + 8 = 2 A = 18 Logo, o poliedro tem 18 arestas 2)Um poliedro convexo possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcular o número de vértice desse poliedro. Vamos determinar inicialmente o número de arestas. 6 faces quadrangulares: 6.4 =24 arestas 2 faces hexagonais: 2.6 = 12 arestas Como cada aresta foi contada 2 vezes, temos 2A = A = 18 Aplicando a relação de Euler, temos V A + F = 2 V = 2 V = 12 Logo, o número de vértices é 12 3) Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas as faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckminter Fuller, a molécula foi denominada fulereno. Determine o número d e átomos de carbono nessa molécula e o número de ligaçõees entre eles. 7

Sendo V(vértices) o número de átomos e A(arestas) o número de ligações entre eles, temos: 12 faces pentagonais: 12 x 5 = 60 ligações 20 faces hexagonais: 20 x 6 = 120 ligações Como cada

8 Sendo V(vértices) o número de átomos e A(arestas) o número de ligações entre eles, temos: 12 faces pentagonais: 12 x 5 = 60 ligações 20 faces hexagonais: 20 x 6 = 120 ligações Como cada aresta(ligação) foi contada 2 vezes, vem 2 A= A = 90 O número de átomos(vértices) pode ser obtido pela relação de Euler. V A + F = 2 V = 2 V = 60 Logo, a molécula possui 60 átomos e 90 ligações. 3) Determine a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 12 vértices. V = 12 S = (V 2). 360º S = (12 2).360º S = 3600º Logo, a soma dos ângulos das faces é igual 3600º. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces quadrangulares e 8 faces triangulares. Resp: V= 8 2) Determinar o número de faces de um poliedro convexo com 9 vértices. Sabe-se que de 4 vértices partem 3 arestas e dos outros 5 vértices partem 4 arestas. Resp: F = 9 3) Um poliedro convexo tem 14 arestas e 6 faces. Determinar: a) o número de vértices desse poliedro, Resp: 10 b) a soma das medidas dos ângulos das faces desse poliedro. Resp: 2880º 4) Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro? Resp: 11 faces 5) ( FAAP-SP) Num poliedro convexo, o número de aresta excede o número de vértices em 6 unidades.calcule o número de faces. Resp: 8 faces 6) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º. Determine o número de faces, sabendo que o poliedro tem 8 arestas. Resp: 5 faces 7) Calcule a soma dos ângulos das faces do: 8

a) tetraedro regular Resp: 720 0 b) octraedro regular Resp: 1440 0 c) icosaedro regular Resp: 3600 0 8) Qual a área da superfície de: a) tetraedro regula de aresta 6m, Resp: 72 2 m 2 b) icosaedro

triangulares. O número de vértices é: a)35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31 Resp: d 10) ( FUVEST-SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11.

9 a) tetraedro regular Resp: b) octraedro regular Resp: c) icosaedro regular Resp: ) Qual a área da superfície de: a) tetraedro regula de aresta 6m, Resp: 72 2 m 2 b) icosaedro regular de aresta 5cm Resp: cm 2 9) (UNIRIO-RJ) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices é: a)35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31 Resp: d 10) ( FUVEST-SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui: Bibliografia: a) 33 vértices e 22 arestas b) 12 vértices e 11 arestas c) 22 vértices e 11 arestas d) 11 vértices e 22 arestas e) 12 vértices e 22 arestas Resp: e Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática 11) As figuras a seguir representam as planificações de poliedros convexos. Calcule a soma dos ângulos das faces desses poliedros: a) resp: 2880 o b) resp: 7920 o 9

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