Prova comentada. Prova da UFSM - 07/12/ PS1

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1 Prova da UFSM - 07/12/ PS1 01. O turismo é uma atividade econômica muito importante em várias cidades brasileiras. Supõese que, numa determinada cidade, o número de turistas, em milhares, pode ser representado por Com t = 0 correspondendo a 2000, t = 1, a 2001 e assim por diante. De acordo com esse modelo, qual é, em milhares, o número máximo de turistas nessa cidade? a) 50,2. b) 59,8. c) 63,0. d) 69,8. e) 109,0. Veja que N(t) representa o número de turistas, em função do ano. Para obter o número máximo de turistas, precisamos encontrar o valor máximo da função, ou seja, o y do vértice. Analisando o sinal do coeficiente a, podemos concluir que o número de turistas em função do tempo descreve um arco de parábola com concavidade para baixo. É possível determinar o valor máximo da função usando a fórmula da ordenada do vértice:

2 Temos: 02. Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5% ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior, pode-se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo t (em anos), por V = 6,775(1,05) t - 1 com t = 1 correspondendo a 2011, t = 2, a 2012 e assim por diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,5 bilhões de dólares? a) b) c) d) e) Dados: log 2 = 0,3 e log 1,05 = 0,02 Na função exponencial dada, temos que encontrar o tempo para que o valor movimentado pelo Ecoturismo seja igual a 13,5 bilhões de dólares. Para isso, vamos substituir V por este valor. Assim: Para obtermos o t, teremos que aplicar logaritmo nos dois membros da equação exponencial resultante. Assim: log 2 = log (1,05) t - 1

3 Utilizando uma das propriedades dos logaritmos (log a n = n.loga), vem: log 2 = (t - 1)log 1,05. Veja que o log 2 é igual a 0,3 e o de log 1,05 vale 0,02. Logo: 0,3 = (t - 1)0,02 Resolvendo, temos: Veja que o tempo t = 1, corresponde a 2011, t = 2, a 2012 e assim por diante. Este percentual de crescimento, expresso pela função exponencial dada, incide sobre a movimentação do ano anterior, ou seja, no t = 1, este valor será em relação a Logo, o valor de 13,5 bilhões de dólares será movimentado em = Segundo o Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), em dezembro de 2008, foram registrados, no setor de turismo (ACTs - Atividade Características de Turismo), empregos formais. Já na economia como um todo (incluindo setores estatutários e militares), esse número foi de De acordo com os dados, a razão entre o número de empregos formais na economia como um todo e em ACTs é igual a a) 9/316. b) 10/351. c) 158/45. d) 351/10. e) 316/9. Razão significa divisão. Logo, a ordem dos termos da divisão é importante. Na pergunta, a razão é entre o número de empregos formais na economia como um todo e em ACTs, nesta ordem. Logo, pelos valores apresentados no texto da perguta, temos: Veja que o resultado é uma dizíma periódica simples. Dentre as alternativa apresentadas, a que pode representar uma dízima periódica simples é a letra c ou a letra e, pois possui denominadores 45 e 9. No entanto, pelo valor encontrado na divisão, a letra correta é a letra e, ou seja, 316/9.

4 Outra forma de encontrar a resposta é analisar as alternativas. Veja que a razão possui o numerador muito maior que o denominador. Logo, a fração resultante simplificada, deve possuir essa mesma condição. Com isso, dava para eliminar as alternativas a e b. A letra d poderia ser eliminado por outra condição: como o denominador não é divisível por 10, não poderíamos ter como fração 351/10. Sobraria as letras c e e. Mas veja que a razão / apresenta o numerador muito maior que o denominador (dá prá ver que mais do 10 vezes). No entanto, a fração 158/45 apresenta o numerador pouco maior que o denominador (dá prá ver que menos do que 4 vezes). Dessa forma, sobraria como única alternativa a letra e. 04. Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira. Fonte: Disponível em Acesso em: 7 jun (adaptado) O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da Infraero Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeronáutica. De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos. b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil. d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos. e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil.

5 O ponto de interseção das retas nos diz que função capacidade (C) é igual a função demanda (D). Logo, teremos que encontrar as leis das funções capacidade e demanda. Como os gráficos são retas, essas funções são do tipo y = ax + b (função afim). Para encontrar esse ponto de interseção devemos determinar as leis dessas funções. Função capacidade (C): Veja que esta reta possui os pontos (0; 4) e (4; 8), supondo que o ano de 2010 seja x = 0 e o ano de 2014, x = 4. Do ponto (0, 4) temos b = 4. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente a. Logo: 8 = a a = 1. Assim, a função capacidade é y = x + 4 (C), onde x é o tempo e y o número de passageiros. Função demanda (D): Veja que esta reta possui os pontos (0; 6,7) e (4; 7,2). Do ponto (0; 6,7) temos b = 6,7. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente a. Logo: 7,2 = a.4 + 6,7 a = 1/8. Assim, a função capacidade é: y = x/8 + 6,7 (D). Queremos encotrar o y, que representa o número de passageiros. Vamos isolar x na função capacidade (C) e substituir na função demanda (D). Assim: Este valor é em milhões. Portanto, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a 7,0857 milhões, ou seja, sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. 05. O gráfico a seguir mostra a distribuição percentual do valor da produção gerada pelas Atividades Características do Turismo no Brasil por atividade, em 2007.

6 Fonte: Disponível em Acesso em: 15 jun (adaptado) Sabe-se que, em 2007, as Atividades Características do Turismo geraram uma produção de 168,8 bilhões de reais. Qual é, aproximadamente, em bilhões de reais, a produção gerada pelas Atividades recreativas, culturais e desportivas? a) 13,1. b) 16,0. c) 22,4. d) 33,4. e) 67,4. Pelo gráfico de setores, vemos que o percentual da produção gerada pelas Atividades recreativas, culturais e desportivas é igual a 13,27%. Logo, este valor em bilhões de reais é obtido calculando 13,27% de 168,8. Assim: 0, ,8 = 22,39. Por aproximação temos 22,4 bihões de reais.

7 Prova da UFSM /12/12 - PS2 01. Trigonometria Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda a população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. Suponha que a função represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Sáude, com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, o mês de fevereiro e assim por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a a) 693. b) 720. c) 747. d) 774. e) 936. Temos que encontrar N(1), referente ao número de pessoas com doenças respiratórias registrado em janeiro, N(3), referente ao mês de março, N(5), ao mês de maio e N(7), ao mês de julho. Somando, temos: = 720.

8 02. Trigonometria no triângulo A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhoria da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. Dado: 3 = 1,7 Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a) 2,29. b) 2,33. c) 3,16 d) 3,50 e) 4,80. Como o triângulo não é retângulo (o triângulo é obtusângulo) e conhecemos 2 lados e o ângulo entre eles, vamos aplicar a lei dos cossenos para conhecermos o lado BC, que iremos simbolizar por x. Assim:

9 Portanto, o total do trajeto é: 0, ,7 = 3,5 km. 03. Análise Combinatória As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardiácas. Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores? a) 220. b) 300. c) 600. d) 720. e) Temos que escolher 3 cardiologistas de um total de 5, 1 anestesista de um total de 2 e 4 instrumentores de um total de 6. Como a ordem da escolha não determina uma equipe diferente, aplicamos combinação simples, ou seja: Vamos quantificar os grupos de 3 cardiologistas, entre os 5 disponíveis:

10 Agora vamos quantificar os grupos de anestesistas. Se são 2 e temos que escolher 1, temos apenas 2 possibilidades, ou seja, C 2,1 = 2. Por fim,vamos ver quantos possibilidades temos de escolher 4 instrumentores de um total de 6: Como a equipe é formado por cardiologistas e anestesista e instrumentores, multiplicamos as combinações. Assim: C 5, 3 x C 2, 1 x C 6,4 = = Progressão A tabela mostra o número de pessoas que procuram serviços de saúde, segundo o local, numa determinada cidade. Supõe-se que esse comportamento é mantido nos próximos anos. Partindo dos dados, fazem-se as seguintes afirmações: I. O número de pessoas que procuraram Postos e Centros de Saúde cresceu em progressão geométrica de razão II. O total de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas de 2001 até 2011 é igual a III. Em 2011, o número de atendimentos em Clínicas Odontológicas é igual a 827. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II.

11 c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. Afirmação I: O número de pessoas que procuraram atendimento em Postos e Centros de Saúde cresceu da seguinte forma, conforme tabela: 2.000, 4.000, 8.000, ,... Este crescimento é geométrico, pois a divisão de termos consecutivos resulta sempre num mesmo valor. Se dividirmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão q desta PG, ou seja: Logo, a afirmação está errada. Afirmação II: O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas cresceu da seguinte forma, conforme tabela: 4.200, 5.400, 6.600, 7.800,.... Este crescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo valor. Se subtraírmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja: r = a 2 a 1 = = Para sabermos o total de pessoas de 2001 até 2011, devemos aplicar a fórmula da soma dos termos da PA. Antes disso, devemos determinar a quantidade de pessoas que procuraram atendimento em 2011, ou seja, o último termo. Veja, com cuidado, que este termo ocupa a 11ª posição. Assim: a 11 = a r a 11 = = = Agora vamos determinar a soma, usando a fórmula Como de 2001 a 2011 temos 11 termos, o n = 10, a 1 = 4200 e a 11 = Assim: Logo, a afirmação está correta. Afirmação III:

12 O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Odontológicas descresceu da seguinte forma, conforme tabela: 857, 854, 851, 848,.... Este descrescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo valor. Se subtraírmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja: r = a 2 a 1 = = 3. Devemos encontrar o número de pessoas em 2011, ou seja, o décimo primeiro termo. Assim: a 11 = a r a 11 = ( 3) = = 827. Logo, a afirmação está correta. 05. Sistemas Lineares. Num determinado mês, em uma unidade de saúde, foram realizadas 58 hospitalizações para tratar pacientes com as doenças A, B e C. O custo total em medicamentos para esses pacientes foi de R$ ,00. Sabe-se que, em média, o custo por paciente em medicamentos para a doença A é R$ 450,00, para a doença B é R$ 800,00 e para a doença C é R$ 1.250,00. Observa-se também que o número de pacientes com a doença A é o triplo do número de pacientes com a doença C. Se a, b e c representam, respectivamente, o número de pacientes com as doenças A, B e C, então o valor de a - b - c é igual a a) 14. b) 24. c) 26. d) 36. e) 58. O número de pacientes com as doenças A, B e C é representado, respectivamente, por a, b e c.

13 Logo, c = 12. Substituindo c = 12 na eq. (III), temos: a = 3.12 a = 36. Substituindo c = 12 e a = 36 na eq. (I), temos: 36 + b + 12 = 58 b = 10. Portanto: a - b - c = = Geometria Analítica Prova da UFSM /12/12 - PS3 O uso de fontes de energias limpas e renováveis, como a energia eólica, geotérmica e hidráulica, é uma das ações relacionadas com a sustentabilidade que visa a diminuir o consumo de combustíveis fósseis, além de preservar os recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em uma estação de energia eólica, os cataventos C 1, C 2 e C 3 estão dispostos conforme o gráfico a seguir.

14 Para que um catavento de coordenadas (x, y) esteja alinhado com o catavento C 1 e com o ponto médio do segmento C 2 C 3, é necessário e suficiente que a) 2x + 15y = 850. b) 5y - x + 50 = 0. c) 55y - 26x = 0. d) 4x + 5y = 450. e) 5y - 6x = 0. Dado o triângulo com vértices em C 1, C 2 e C3, devemos encontrar a equação da reta mediana m em relação ao lado C 2 C 3, conforme figura abaixo:

15 Vamos encontrar o ponto médio do lado C 2 C 3, que é obtido pelas médias aritméticas de suas componentes, ou seja: Temos os pontos M(125, 40) e C 1 (100, 10) que pertencem a mediana m. Assim: 02. Função polinomial O lixo ainda é um dos principais desafios dos governos na área de gestão sustentável. Na última década, o Brasil deu um salto importante no avanço para a gestão correta dos resíduos sólidos. O gráfico mostra dados do Ministério do Meio Ambiente sobre o número de programas de coleta seletiva, em 2000 e 2008.

16 Supõe-se que o número de programas de coleta seletiva é expresso por f(x) = ax 3 - x x + b, a, b R, em que x é o tempo em anos, x = 0 corresponde a 2000, x = 1 corresponde a 2001 e assim por diante. De acordo com esse modelo, o número de programas de coleta seletiva em 2012 é igual a a) b) c) d) e) Para responder a pergunta, devemos completar a função f(x) = ax 3 x x + b, isto é, encontrar a e b. Pelo gráfico, encontramos o valor do b, pois o termo independente da função polinomial representa o valor onde a curva intercepta o eixo y. Assim, b = 450. Veja que x = 0 corresponde a Portanto, x = 8 corresponde ao ano de Para encontrar a, devemos substituir o ponto (8, 994) na função: a = a = a = a = 512 a = 1. Para encontrar o número de programas de coleta seletiva em 2012, fazemos x = 12 e substituimos na função f(x) = x 3 x x Assim: f(12) = = = 2178.

17 03. Geometria Espacial Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessa alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de uma prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm 3, dessa embalagem? a) b) c) d) e) O prisma hexagonal regular possui duas bases congruentes e paralelas que são hexágonos regulares. Esta base hexagonal pode ser dividida em 6 triângulos equiláteros. Como o volume do prisma é calculado multiplicando a área da base pela altura, temos: 04. Números Complexos

18 Os edifícios "verdes" têm sido um nova tendência na construção civil. Na execução da obra desses prédios, há uma preocupação toda especial com o meio ambiente em que estão inseridos e com a correta utilização dos recursos naturais necessários ao seu funcionamento, além da correta destinação dos resíduos gerados por essa utilização. A demarcação do terreno onde será construído um edifício "verde" foi feita através dos pontos P 1, P 2, P 3 e P 4, sendo o terreno delimitado pelas poligonais P 1 P 2, P 2 P 3, P 3 P 4, P 4 P 1, medidas em metros. Sabendo que P 1, P 2, P 3 e P 4 representam, respectivamente, a imagem dos complexos qual é a área, em m 2, desse terreno? a) b) c) d) e)

19 05. Matemática Financeira No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas. Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no primeiro dia de cada mês, R$ 600,00 em uma aplicação financeira que rende juros compostos de 0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é a) [(1,006) n - 1]. b) [(1,06) n - 1]. c) [(1,006) n - 1]. d) [(1,06) n - 1]. e) [(1,006) n - 1].

20 A aplicação financeira descrita no problema recebe o nome de montante de uma sequencia uniforme de depósitos, muito comum em poupanças de depósitos fixos mensais, onde há débito automático em conta-corrente para crédito em conta-poupança. Usamos a fórmula do montante composto V = V o (1 + i) t, em que V o = 600, i = 0,6% = 0,006 e V o montante após n meses: V = (1 + 0,006) (1 + 0,006) V = (1,006) + 600(1,006) em n meses, após ter sido feito o último depósito de número n. Veja que os depósitos 600, 600(1,006), 600(1,006) 2,... estão em progressão geométrica de razão Para sabermos o montante final V, aplicamos a fórmula da soma dos termos da PG: Mas devemos lembrar que é pedido a expressão que representa o saldo ao final de n meses. Logo, sobre esse montante é aplicado o 0,6% do mês. Para ver isso, fazemos: 1, [(1,006) n 1] = [(1,006) n 1]. Também podemos obter a expressão final supondo o a 1 = 600.1,006. Questão perigosa, pois normalmente se pede o montante ao final do depósito de data n (isto é, logo após ter sido feito o último depósito), que não é o caso desta pergunta.