ENSINO DE SISTEMAS DE CONTROLE USANDO APLICAÇÕES REAIS EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 ENSINO DE SISTEMAS DE CONTROLE USANDO APLICAÇÕES REAIS EM ENGENHARIA ELÉTRICA Marco A. A. Melo Uiversidade Presbiteriaa Mackezie, Escola de Egeharia Rua Itambé, 45 Prédio 6 - Higieópolis São Paulo SP Claude Emile Strohl - claude@mackezie.com.br Marcio Eisecraft marcioft@mackezie.com.br Resumo: Sistemas de cotrole é uma das disciplias mais promissoras, importate e relativamete complexa o esio de egeharia, sedo costatemete aplicada em equipametos mecâicos, eletrôicos, processos idustriais e outras áreas, fazedo que o egeheiro ecessite de um sólido cohecimeto teórico e vivêcia prática. Este trabalho mostra o desevolvimeto que está sedo feito para o esio de sistemas de cotrole sustetado por aplicações reais em práticas laboratoriais, para permitir um apredizado cosistete e motivador ao aluo. Mostraremos aplicações reais que utilizam uma grade parte de modelos teóricos ecotrados a literatura de cotrole, como o sistema massa mola e amortecedor e também sistemas de cotrole avaçado com aplicações em um levitador magético. Estas aplicações podem ajudar a fixar os coceitos teóricos de sistemas de cotrole, como por exemplo o uso de técicas de cotrole como processameto de siais e uso de cotroladores digitais PID para obteção de uma determiada resposta de sistema desejada. Os sistemas de cotrole são modelados o domíio da freqüêcia e o domíio do tempo com o uso de espaço de estados. Palavras chaves: Esio de Sistemas de Cotrole, Práticas laboratoriais em sistemas de Cotrole Digital, PID, Espaço de Estado, Levitador Magético. 1. INTRODUÇÃO Sistemas de Cotrole fazem parte do osso dia à dia e estão ao osso redor em muitas a- plicações que proporcioam uma melhor qualidade de vida. Um sistema de cotrole é formado por subsistemas e platas (ou processos), que devem correspoder com alguma resposta real para uma determiada etrada desejada por ós. O objetivo de um sistema de cotrole é proporcioar uma resposta adequada para uma saída de uma plata. Ultimamete os sistemas de cotrole se apresetam o osso meio de forma simples como por exemplo um termostato até formas complexas como veículos pilotados automaticamete. Isto é possível devido o avaço tecológico dos subsistemas que são itegráveis aliado ao processameto de siais com o uso de processadores digitais de siais (DSP). Os beefícios dos sistemas de cotrole são resumidos em quatro razões.

2 A primeira razão é a amplificação de potêcia, a seguda razão é o cotrole remoto, a terceira razão é a facilidade de uso da forma de etrada ode uma gradeza física pode estar represetado uma outra gradeza física, como por exemplo a etrada de um sistema é a posição de um sesor que represeta uma determiada temperatura, a quarta razão é compesação de perturbações existetes o mudo real (NISE, 00). Para o esio de sistemas de cotrole, ecessita-se do cohecimeto de equações difereciais que represetam sistemas com uma etrada e uma saída até sistemas com múltiplas etradas e múltiplas saídas, sedo feito o uso de sistemas por espaço de estados. A dificuldade de modelar tal sistema de cotrole que é parcialmete complexa, pode ser feita o domíio do tempo (espaço de estados) ou o domíio da freqüêcia, sedo esta última apropriada para a questão da solução de sistemas por Laplace, evitado diretamete a solução das equações difereciais, e abordada iicialmete o esio de sistemas de cotrole. Cabe ao egeheiro de sistemas usar os cohecimetos para associar os diversos subsistemas existetes o mudo real de modo a projetar os sistemas de cotrole. Isto só é possível com o uso de muitos coceitos de física, cálculo, aálise de sistemas lieares e processameto de siais aplicados. Isto pode gerar dificuldades para o aluo, podedo gerar desmotivação. Este trabalho mostra uma abordagem de esio o qual a prática de sistemas de cotrole é importate, ão sedo só simulada por ferrametas computacioais, mas mostrado respostas reais, que em geral são diferetes das respostas calculadas devido a ão existêcias de variações os sistemas computacioais, como por exemplo o evelhecimeto dos compoetes e a ausêcia de ruídos ou perturbações. (KRAUS, 1991) Segue as próximas seções os coceitos de sistemas de cotrole ecessários para o modelameto e aálise, seguido de aplicações reais e coclusão de maeira resumida tratadas o curso de Egeharia Elétrica a Uiversidade Presbiteriaa Mackezie (UPM).. CONCEITOS DE SISTEMA DE CONTROLE Em sistemas de Cotrole, o comportameto diâmico é descrito por equações difereciais de variáveis reais que são fuções do tempo. Por exemplo um cojuto massa-molaamortecedor a seguir: A posição da massa, idicada por ( mostrada abaixo. () t + fvx& () t + kx( f (t Figura 1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor. x este caso obedece a seguite equação diferecial M & x ) (1)

3 Tomado a trasformada de Laplace da equação (1) e depois rearrajado para obter a Fução de Trasferêcia do sistema como descrito a equação () e (3) abaixo. H () s Ms 1 + fvs + k () X ( s) H () s (3) F( s) Para o caso de amortecimeto subcrítico, a solução ( resposta ) ão-forçada é da forma x () t x ( 0) ξωt e si( ω 1 ξ t + θ ) 1 ξ Quado ecotramos a fução de trasferêcia a partir de equações difereciais, tipicamete escrevemos o resultado a forma poliomial (Nise,00) H () s s + ω (5) ζω + ω Distribuido os termos da equação () e comparado-os com os coeficietes do deomiador de H s da equação (5) ecotramos a seguite correspodêcia etre os parâmetros: () σ ζω e ω ω 1 ζ (4) d (6) Ode o parâmetro ζ é a taxa de amortecimeto e ω é a freqüêcia atural ão amortecida. Estas variáveis podem ser determiadas pelo tempo de assetameto e tempo de pico respectivamete mostradas a seguir: 4 Ts δω (7) π Tp ω 1 δ (8) Os pólos da fução de trasferêcia estão localizados a um raio θ arcsiζ como mostrado a figura a seguir: ω e um âgulo

4 Figura Parâmetros da localização de um par de pólos complexos (DORF). Desta forma, a taxa de amortecimeto reflete o ível de amortecimeto como uma fração do amortecimeto crítico em que os pólos toram-se reais. Em coordeadas retagulares s σ ± jω d. Quado ζ 0 ão temos amortecimeto, θ 0 e a freqüêcia atural amortecida ω d ω é igual à freqüêcia atural sem amortecimeto. A atitrasformada de Laplace de (9) forece a resposta impulsiva h ω σt () t e ( siω u( 1 ζ d (9) () A figura 3 a seguir mostra h t para diversos valores de ζ tedo sido o tempo ormalizado em relação à freqüêcia atural ão amortecida ω. Note que a freqüêcia real ω d decai suavemete coforme a taxa de amortecimeto cresce, e também que para amortecimetos muito pequeos a resposta é oscilatória equato que para grades amortecimetos (ζ )a resposta ão mostra oscilação.

5 Figura 3 Respostas impulsivas subamortecidas de um sistema de ordem dois (DORF). Algumas destas respostas estão mostradas também a figura a seguir para mostrar qualitativamete como a mudaça os locais dos pólos o plao-s afeta as respostas impulsivas. Figura 4 Respostas impulsivas em fução da localização dos pólos o plao (DORF). Para sistema de ª ordem temos a aálise da estabilidade e resposta trasitória, sedo a aálise da estabilidade do sistema estável se todos os pólos têm parte real egativa. A resposta trasitória podedo ser subamortecida se os pólos são complexos cojugados, superamortecida se os pólos são reais e diferetes e com amortecimeto crítico de os pólos são reais e iguais. O lugar das raízes é a ferrameta de aálise e represetação gráfica dos pólos a malha fechada em fução da variação de um parâmetro do sistema.

6 A resposta em freqüêcia é uma outra ferrameta importate para o projeto e aálise de sistemas de cotrole. Em regime estacioário, etradas seoidais aplicadas a sistemas lieares geram respostas seoidais de mesma freqüêcia. Embora a freqüêcia da etrada e da saída sejam as mesmas, elas diferem com relação à amplitude e ao âgulo de fase. Estas difereças são fuções da freqüêcia. A equação (10) mostra a relação de magitude etre a saída e a etrada. M O ( ) ( ω ) M ω φ( ω ) φo ( ω ) φi ( ω ) M ( ω) I (10) G M Defiimos a Margem de gaho,, como a mudaça o valor do gaho a malha aberta o poto com fase de 180, expressa em decibéis (db) ecessária para torar istável o sistema com malha fechada. Defiimos Margem de fase, Φ M como a mudaça o valor da fase da malha aberta o poto com gaho uitário ecessária para torar o sistema istável o sistema a malha fechada. É muito importate para um projetista de cotrole ter a mete os coceitos mecioados acima para que possa eteder como as mudaças a localização de pólos, LGR e a resposta em freqüêcia iflueciam a resposta temporal. Com estes coceitos, podemos exercitar o projeto de sistemas de cotrole e sua aálise, para aplicações moderas com o uso de cotroladores PID digitais. As fuções importates dos cotroladores são a realização da supervisão, cotrole por métodos de compesação e os compoetes aalógicos são substituídos por cálculos do computador digital que imitam o compoete físico, com a vatages de redução de custo, flexibilidade para realizar mudaças de projeto e imuidade a ruído. A figura 5 mostra um sistema de cotrole digital. (OPPENHEIM) Figura 5 Cofiguração típica de um sistema de cotrole digital (NISE) As disciplias de Cotrole I (7º semestre) e cotrole II (8º semestre), tratam destes coceitos mostrados ateriormete o curso de Egeharia Elétrica da UPM. As práticas laboratoriais, em Cotrole Digital estão dispoíveis seis cojutos de sistemas de cotrole baseados em plataforma computacioal da ECP Systems icluido idustrial, sistema retilíeo, sistema torcioal, pêdulo ivertido, levitador magético e giroscópio (ECP, 1999). Neste trabalho será mostrado aplicações de sistemas massa mola amortecedor e levitador magético.

7 PRÁTICAS REAIS COM SISTEMA DE LEVITAÇÃO MAGNÉTICA O levitador magético é composto por duas bobias, uma iferior e outra superior que geram um campo magético pela passagem de uma correte. Essas bobias iteragem através do campo com um ou dois discos magéticos que se deslocam em uma barra de vidro que serve como guia. Variado-se a magitude da correte a bobia iferior, pode-se cotrolar a posição do mageto iferior fazedo-o levitar através de uma força magética repulsiva. Similarmete, o mageto superior é posicioado através de uma força magética de atração, adotado-se um valor adequado de correte a bobia superior. Com a proximidade dos discos surge também iteração magética (força de repulsão) etre os dois magetos. Dois sesores ópticos baseados em sesores de laser são utilizados para medir a posição dos magetos. Ruler clamp screw ( pl.) Upper support arm Precisio glass guide rod Protective coil cover ( pl.) Laser Sesor (out of view, pl.) Glass rod clamp screw ( pl.) Upper Drive Coil (Coil #) Maget height uler Sesor coditioig electroics Levitated maget Lower support arm Coil curret idicatig LED ( pl.) Coector Lower Drive Coil (Coil #1) Maget Storage Side View Frot View Figura 6 - Diagrama do levitador magético (MANUAL ECP). Figura 7 - Levitador magético operado.

8 A resposta obtida o levitador magético quado se aplica um degrau uitário é mostrada abaixo. Figura 8 - Resposta temporal obtida o levitador magético para etrada degrau. A partir da resposta temporal extraido daí valores de tempos e amplitudes que com o uso das equações (5), (6), (7), (8), (9) e (10) obtém-se a fução de trasferêcia do sistema. 4 Ts Ts 0,06 s (11) δω π Tp Tp 0,48 s (1) ω 1 δ Igualado as equações (11) e (1), temos: δ 4.0,48 π (13) 0,06. 1 δ Resolvedo a equação 13 temos que: δ 0,3033 (14) Usado a equação (5), temos: 4 0,48 (15) 0,3033.ω

9 ω 53,176 rad/s (16) Portato temos: ω 87,68 (16) f. t. M. F. s + δω s + ω s + 3,s + 87,68 G( s) 87,68 f. t. M. F. (17) 1+ G( s). H ( s) s + 3,s + 87,68 G( s) 87,68 1+ G( s).1 s + 3,s + 87,68 (18) Isolado G(s) a equação acima, temos: 87,68 f. t. M. A. G( s) s + 3,s (19) É obtido assim a fução de trasferêcia do sistema em malha aberta (f.t.m.a) e a fução de trasferêcia do sistema em malha fechada (f.t.m.f). 4. APLICAÇÕES MODELADAS POR ESPAÇO DE ESTADO, COM EXEMPLO EM SISTEMAS MASSA MOLA AMORTECEDOR Está sedo desevolvido um experimeto com massa-mola-amortecedor modelado usado espaço de estados. O modelo do sistema pode ser represetado de várias formas equivaletes, como mostrados as equações abaixo (Ogata, 003) M x& ( fvx& ( kx( + u( & (0) & (1) M v( fv( k v( dt + u( 0 x& ( v( & k M 1 0 x( + u( fv v( 1 M M () Nas equações (0) e (1), o cohecimeto do valor da respectiva variável depedete ( x para (0) e v para (1) ), um determiado istate, ão é suficiete para determiar, só

10 com as iformações daquele istate, os valores das demais gradezas. A represetação por espaço de estados é mostrada a equação (). O modelo está sedo implemetado usado ECP Systems sistema retilíeo, o qual é mostrado a figura 9 abaixo. Figura 9 - Sistema Massa Mola e Amortecedor (MANUAL ECP). O cotrolador implemetado PID para o sistema massa mola amortecedor é mostrado a figura abaixo. Figura 10 - PID para o sistema Massa Mola e Amortecedor (MANUAL ECP).

11 As respostas obtidas do sistema é mostrada a figura 11. Figura 11 - Resposta do sistema Massa Mola e Amortecedor (MANUAL ECP). 5. CONCLUSÕES O curso de cotrole apresetou bos resultados verificados pela aálise das otas dos a- luos e pelos relatórios dos experimetos feitos, ode vários aluos mostraram disposição para realizar as experiêcias e desevolver seu próprio sistemas de cotrole. Esta abordagem de esio assegurou aos aluos um forte coceito da teoria verificado pelas otas e também de vivêcia prática verificada pelos desevolvimetos práticos de sistemas de cotrole. Acreditamos que este bom desempeho seja devido ao fato do aluo apresetar iteresse por sistemas de cotrole reais, com aplicações iteressates como é o caso do levitador magético. Com esta metodologia adotada ode o aluo verifica de modo real o efeito do seu sistema de cotrole implemetado e corrigi os evetuais erros, acreditamos melhorar o perfil do futuro egeheiro, formado um profissioal mais preparado para o mercado de trabalho. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS -ECP EDUCATIONAL CONTROL PRODUCTS. Mauals for Model 05/05a, 0, 730 ad 750, DORF, R.C. Sistemas de Cotrole Moderos. 8ª edição, LTC, KRAUS JR. W., FARINES J.M., BRUCIAPAGLIA A.H., J.E. N RICO, CURY J.E.R.; "A Experimet i the Use of a Virtual Laboratory i Cotrol Theory Teachig"; Advaces i Cotrol Educatio Coferece, pp , Bosto(MA)-USA, 4-5 Jue NISE, N. S. Cotrol Systems Egieerig. Readig: Joh Wiley & Sos, OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W.; BUCK, J. R. Discrete-time sigal processig. New Jersey: Pretice Hall, OGATA, K. Egeharia de Cotrole Modero. 4ª edição, Pretice-Hall do Brasil, 003.

12 EDUCATION OF CONTROL SYSTEMS USING REAL APPLICATIONS IN ELECTRIC ENGINEERING Abstract: Systems of cotrol are oe of disciplie them more promisig, importat ad relatively complex i the educatio of egieerig, beig costatly applied i mechaical, electroic equipmet, idustrial processes ad other areas, makig that the egieer eeds a solid theoretical kowledge ad practical experiece. This work shows the developmet that is beig made for the educatio of systems of cotrol supported for real applicatios i practical laboratoriais, to allow to a cosistet learig ad motivate-pai to the pupil. We will show real applicatios that use a great part of foud theoretical models i the cotrol literature, as the system mass sprig ad shock absorber ad also systems of advaced cotrol with applicatios i a magetic levitated. These applicatios ca help to fix the theoretical cocepts of cotrol systems, as for example the use of cotrol techiques as processig of sigals ad use of digital cotrollers PID for attaimet of oe determied desired reply of system. The cotrol systems are shaped i the domai of the frequecy ad the domai of the time with the use of space of states. Key-words: Educatio of Systems of Cotrol, Practical Laboratory i Systems of Digital Cotrol, PID, Space of State, Magetic Levitated.