A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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- Maria de Begonha Pinheiro Carrilho
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1 CAPÍTULO 4 A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA 4.1 INTODUÇÃO A transformação e PAK tem uma mportânca muto grane no estuo as máunas elétrcas. Consste e uma transformação lnear ue smplfca as euações as máunas, ntrouzno um conjunto e aráes hpotétcas. Fscamente, transforma a máuna bfásca com enrolamentos estatórcos fxos e enrolamentos rotórcos grantes, em enrolamentos estatórcos fxos e rotórcos pseuo-estaconáros. 4.2 OBTENÇÃO DA TANFOMAÇÃO DE PAK Fo emonstrao no capítulo 3, ue sob a transformação, os fluxos e as correntes fcam relaconaos pelas euações (4.1). φ L φ m cos msen L φ msen m cos L = φ (4.1) L m cos msen φ L msen m cos L φ Os fluxos estatórcos poem ser reescrtos seguno a expressão (4.2). φ L m cos msen φ = L + m sen m cos φ L (4.2)
2 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 65 (4.3): Vamos efnr um noo conjunto e correntes rotórcas, seguno a expressão φ φ φ = cos sen φ sen φ cos φ 1 (4.3) Assm: (4.4) = B one: 1 B = cos sen (4.5) sen cos A matrz B -1 efne a transformação e PAK. 4.3 POPIEDADE DA TANFOMAÇÃO DE PAK Vamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, seguno as expressões (4.6) e (4.7), gnorano as componentes homopolares, ue não serão alteraas pela transformação e PAK. φ = L I + m B (4.6) φ = L I + m B (4.7) one: cos sen B = (4.8) sen cos e Prof. Io Barb, Dr. Ing.
3 66 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA 1 I = 1 (4.9) Aplcano-se a transformação B -1 na euação (4.7), obtém-se: B φ B B L B B (4.1) 1 = m Assm: φ (4.11) = m I + L I A partr a expressão (4.6) obtém-se: φ (4.12) = m I + L I eunno-se as euações (4.11) e (4.12) e representano-se na forma matrcal, encontra-se a expressão (4.13). φ L φ m L φ m L = φ L m φ L m L φ (4.13) A expressão (4.13) mostra ue as submatrzes nutâncas são agonalzaas pela transformação e PAK. Coném chamar atenção para o fato e ue as aráes estatórcas não foram transformaas; somente as aráes rotórcas sofreram a ação a transformação e PAK. Fazeno-se o prouto B B obtém-se: cos sen sen cos cos sen sen cos 1 = 1 (4.14) Prof. Io Barb, Dr. Ing.
4 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 67 Portanto a transformação e PAK, como fo efna é ortogonal. Por sto, sob esta transformação, a potênca é narante. 4.4 INTEPETAÇÃO FÍICA DA TANFOMAÇÃO DE PAK Para nterpretarmos fscamente a transformação e PAK, amos conserar os sstemas e exos representaos na Fg Fg. 4.1 stemas e exo representano a transformaa e Park. Os exos gram no sento ant-horáro com elocae. Os exos estão em repouso. Tem-se assm os enrolamentos grano, com correntes e e os estaconáros com correntes e. Toos os enrolamentos são conseraos êntcos. Decompono-se as forças magnetomotrzes os enrolamentos grantes seguno os exos fxos e no-se pelo número e espras, encontra-se as relações (4.15) e (4.16). cos sen (4.15) = sen + cos (4.16) = Na forma matrcal obtém-se a expressão (4.17), ue é a própra transformação e PAK: = cos sen sen cos (4.17) Prof. Io Barb, Dr. Ing.
5 68 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA Poe-se estabelecer assm ue a transformação e PAK permte conerter um conjunto e enrolamentos grantes num conjunto e enrolamentos fxos, prouzno os mesmos efetos. As correntes os enrolamentos fxos terão freüênca ferente as correntes os enrolamentos grantes. A transformação e enrolamentos fxos em grantes coloca em eênca a segunte uestão: os enrolamentos o rotor são fxos, mas o rotor encontra-se em momento. Isto só é possíel numa máuna a comutaor. Assm, a transformação e PAK transforma enrolamentos comuns, almentao atraés e anés, em enrolamentos almentaos atraés e escoas e comutaor, ue são também conhecos com o nome e enrolamentos pseuo-estaconáros. Desse moo a transformação e PAK poe ser realzaa fscamente. Na Fg. 4.2 está representaa a transformação físca. V V V Fg. 4.2 epresentação físca a transformaa e Park. mbolcamente, a máuna antes e epos a transformação está representaa na Fg. 4.3 e Fg V = Fg. 4.3 Máuna orgnal. = Fg. 4.4 Máuna transformaa. Prof. Io Barb, Dr. Ing.
6 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO TENÕE DA MÁQUINA OB A FOMA DE VAIÁVEI DE PAK O moelo elétrco em aráes é representao pelas euações (4.18) e (4.19). = + φ (4.18) t = + φ (4.19) t Aplcano-se a matrz B -1 na expressão (4.19) obtém-se a expressão (4.2). B = B B + B ( B φ ) t (4.2) φ B B t B B = + + φ (4.21) t B cos sen sen cos B = sen cos cos sen (4.22) Assm: B B = 1 (4.23) φ φ (4.24) t t 1 = + + = + φ t (4.25) As expressões (4.25) e (4.24) poem ser reescrtas seguno as expressões (4.26) e (4.27) respectamente. Prof. Io Barb, Dr. Ing.
7 7 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA pl pm = + + p pm L (4.26) m L m L = p + m + 1 m (4.27) L L esumno-se as expressões (4.26) e (4.27), encontra-se as euações (4.28). + pl pm + pl pm = pm m + pl L m pm L + pl (4.28) As expressões (4.28) representam as euações elétrcas a máuna smétrca trfásca (ou polfásca), com o referencal colocao no estator. Está seno conseraa uma máuna e os pólos. A generalzação para um número genérco e pares e pólos será apresentaa mas aante. As componentes homopolares uano exstrem, poerão ser aconaas nas euações (4.28). Estas euações são muto mportantes e são capazes e representar a máuna sob não mporta ual conção e operação. 4.6 EXPEÃO DO TOQUE mas, Fo estabeleca a expressão o torue, com a segunte forma: ( ) t L T = (4.29) Prof. Io Barb, Dr. Ing. L ( ) B = m (4.3)
8 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 71 Portanto: B (4.31) T=m t t B T=m B (4.32) B sen cos = cos sen (4.33) B sen cos cos sen B = cos sen sen cos (4.34) B B = 1 (4.35) Assm: t T = m 1 (4.36) T = m 1 (4.37) T= m (4.38) 4.7 EQUAÇÕE COMPLETA DA MÁQUINA O moelo completo para a máuna e nução, com n pares e pólos é representao pelas euações (4.39) e (4.4). erá conseraa uma máuna em ue = = (rotor em curto-crcuto). Prof. Io Barb, Dr. Ing.
9 72 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA + pl pm + pl pm = pm n m + pl n L nm pm n L + pl (4.39) T=nm - (4.4) ω n = (4.41) ω one: ω Pulsação as tensões e almentação. ω Velocae síncrona o motor. 4.8 GENEALIZAÇÃO DA TANFOMAÇÃO DE PAK Neste tem será estabeleco o moelo e PAK a máuna smétrca, para um sstema e exos e referênca grano com elocae ualuer, representao na Fg rotor, Os enrolamentos o estator, e estão em repouso. Os enrolamentos o e gram com elocae. Os exos gram com elocae Ψ. Toos os enrolamentos possuem o mesmo número e espras. Prof. Io Barb, Dr. Ing.
10 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 73 s s s ω m Ψ s Fg. 4.5 stema e exos e referênca grano com elocae ualuer. Fazeno as projeções as forças magnetomotrzes o rotor e o estator sobre os exos e referênca, obtém-se as expressões a segur: a) = cos Ψ+ sen Ψ (4.42) = senψ+ cosψ (4.43) epresentano-se na forma matrcal obtém-se as expressões (4.44). cos sen Ψ Ψ = sen cos Ψ Ψ (4.44) b) = cos Ψ + sen Ψ (4.45) =- sen Ψ + cos Ψ (4.46) ( Ψ ) sen ( Ψ ) cos cos = sen Ψ Ψ (4.47) Os casos partculares, mas comumente empregaos são os seguntes: Prof. Io Barb, Dr. Ing.
11 74 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA Prof. Io Barb, Dr. Ing. I ) eferencal no estator Ψ = = 1 1 (4.48) = cos sen sen cos (4.49) II ) eferencal no rotor Ψ = = cos sen sen cos (4.5) = 1 1 (4.51) III ) eferencal no campo grante t Ψ =ω (4.52) = ω m t (4.53) ω ω ω ω = t cos t sen t sen t cos (4.54) m m m m cos ω - ω t sen ω - ω t = -sen ω - ω t cos ω - ω t (4.55)
12 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO EQUAÇÕE DA MÁQUINA IMÉTICA NUM ITEMA DE EIXO GENÉICO ejam as transformações efnas pelas expressões (4.56) e (4.57). cos Ψ sen Ψ B = sen Ψ cos Ψ (4.56) sen cos cos Ψ Ψ B = (4.57) sen Ψ Ψ ejam as euações elétrcas a máuna, sob a forma e aráes, representaas pelas expressões (4.58) e (4.59). = + φ t (4.58) = + φ t (4.59) Vamos aplcar a transformação B -1 na euação (4.58). = + B B B = + B B B φ t ( Bφ ) t (4.6) (4.61) B B = (4.62) B φ φ 1 B B = B B + B φ Ψ (4.63) t t Ψ B B = Ψ 1 (4.64) Prof. Io Barb, Dr. Ing.
13 76 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA Leano-se (4.62), (4.63) e (4.64) em (4.61) obtém-se: φ t 1 = + + Ψ φ (4.65) Aotano-se procemento análogo para a euação elétrca o rotor, obtém-se: φ t 1 φ (4.66) = + + Ψ Em segua será euza a expressão o torue: T = t L ( ) (4.67) = B (4.68) Assm: t = t t B (4.69) = B (4.7) Assm: ( ) L T = B B t t (4.71) mas, L = m B (4.72) Assm: t t B T=m B B (4.73) Assm: Prof. Io Barb, Dr. Ing.
14 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 77 T=m - (4.74) eunno-se as euações (4.65), (4.66) e (4.74), esenoleno-se e generalzano-se para n pares e pólos, obtém-se o moelo representao pelas euações (4.75) e (4.76). Para o rotor em curto, basta fazer = =. + pl LΨn pm mψn n p m n pm L Ψ + L Ψ = pm m n p n Ψ + L L Ψ m Ψ n pm Ln Ψ + pl (4.75) ( ) T = n m (4.76) Quano a elocae o motor ara com o tempo, as euações elétrcas a máuna são não-lneares. Para elocae constante, o moelo torna-se lnear. Em ualuer as stuações, a euação mecânca é não-lnear, pos aparece o prouto e uas correntes. O moelo obto representa a máuna para ualuer stuação e para ualuer referencal. 4.1 MODELO DQ EFEIDO AO PIMÁIO Ao se estabelecer as euações a máuna smétrca representaas pelas euações (4.75) e (4.76), não se fez referêncas à relação e transformação entre os enrolamentos estatórcos e rotórcos. Assm, ao se empregar as referas euações, ee-se empregar os parâmetros o estator meos no estator e os o rotor meos no lao o rotor. Prof. Io Barb, Dr. Ing.
15 78 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA Porém, uano se trata e uma máuna com rotor em gaola, não se tem acesso ao rotor. Toos os parâmetros são referos ao estator. Por sto as euações a máuna eem ser esenolas para permtr o emprego esses parâmetros meos em relação a um só lao. Para realzar tal mofcação, será aplcaa a transformação prmárasecunára, ue será apresentaa com etalhes no capítulo 7, e ue au está representaa pela expressão (4.77): 1 1 = a a (4.77) Assm: [ ] = P (4.78) One a é a relação entre o número e espras o estator e o número e espras o rotor. A matrz P -1 refere toas as tensões ao estator. Para as correntes, a transformação é aa pela expressão (4.79). í = a 1 a (4.79) = P (4.8) Em segua a transformação será aplcaa nas euações a máuna. = Z (4.81) P = ZP (4.82) Prof. Io Barb, Dr. Ing.
16 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 79 1 = P ZP (4.83) one Z é aa pela expressão (4.84). + pl LΨn pm m Ψn LΨ n + pl m Ψn pm Z = pm m Ψ n + pl Ln Ψ m Ψ n pm Ln Ψ + pl (4.84) ealzano o prouto matrcal etermnao pela expressão (4.83), encontramos as euações representaas pela expressão (4.85). Quano os parâmetros são obtos por ensao, a relação e transformação é esconheca. Isto não apresenta fculae na análse, uma ez ue eles serão etermnaos em relação ao estator. Desse moo toas as granezas rotórcas, como tensão e corrente, fcam etermnaas também referas ao estator. + pl LΨn p( am) ( am) Ψn LΨ n + pl ( am) Ψn p( am) = 2 2 pam ( ) am n a( p ) Ψ + L n Ψ al 2 2 am Ψ n p( am ) n Ψ a L a ( + pl ) (4.85) Atraés e ensaos clásscos, a azo e em curto-crcuto, poe-se etermnar os parâmetros elétrcos. 1) a m = m1 nutânca magnetzante mea em relação 2) 1 1 ao estator. L = +m seno 1 a nutânca e spersão o estator. Prof. Io Barb, Dr. Ing.
17 8 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA 3) a 2 = 2 + m1 = L L seno 1 a nutânca e spersão o rotor refera ao estator. 4) resstênca o estator. 5) 2 a = resstênca o rotor refera ao estator. Desse moo as euações elétrcas passam a ser representaas pela expressão (4.86): + pl LΨn pm1 m1ψn LΨ n + pl m1ψn pm1 = pm 1 m1 Ψ n + pl n Ψ L m1 Ψ n pm1 n Ψ L + pl (4.86) T=nm - (4.87) 1 O torue fca representao pela expressão (4.87). Prof. Io Barb, Dr. Ing.
18 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO EXECÍCIO POPOTO 1) eja: 1 = 2Vsen ω t+ 2 = 2 Vsen ω t 12 + Determnar campo grante., 3 = 2 Vsen ω t e para o referencal colocao no estator e colocao no 2) Um motor e nução é almentao por um nersor o tpo 18. As formas e ona mpostas em caa fase estão representaas abaxo. Obter e representar grafcamente as tensões, e. 1 (2E/3) (E/3) O O O O (2E/3) (E/3) 3 (2E/3) (E/3) Fg. 4.6 Formas e ona mpostas as fases e um motor trfásco. Prof. Io Barb, Dr. Ing.
19 82 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA 3) Obter o moelo e estao o motor e nução, para um referencal genérco, em termos e aráes. 4) Consere o moelo o motor e nução com referencal no campo grante. eja: = 2Vsenω t 1 2 = 2Vsen ω t = 2Vsen ω t 12 Conseremos o motor em regme permanente. (a) As tensões e são funções o tempo? Por ue? (b) As correntes,, e são funções o tempo? Por ue? 5) eja o enrolamento trfásco rotórco e uma máuna e nução, grano no sento ant- horáro em relação ao estator. eja: 1 = 2V sen ω t+ 2 = 2V sen ω t = 2V sen ω t eja ω + ω = ω one: m ω m elocae o rotor ω pulsação as correntes o estator ω pulsação as correntes o rotor a) Determnar as tensões, e. Qual a freüênca essas tensões? Prof. Io Barb, Dr. Ing.
20 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 83 b) Determnar as tensões, e para um referencal colocao no estator. Qual a freüênca essas tensões? upor em segua ue: 1 = 2V sen ω t+ 2 = 2V sen ω t = 2V sen ω t 12 + epetr as uestões a) e b). A freüênca as tensões muou? Por ue? 6) eja uma máuna e nução trfásca one: =ω mt + ω =ω m +ω 1 = I sen ω t+φ 2 = I sen ω t 12 +φ 3 = I sen ω t φ 1 = I sen ω t+ 2 = I sen ω t = I sen ω t Determnar a expressão o torue esenolo pela máuna, partno a expressão: Prof. Io Barb, Dr. Ing.
21 84 CAPÍTULO 4. A TANFOMAÇÃO DE PAK E A MÁQUINA IMÉTICA T= m 7) Um motor e nução poe ser empregao como freo, mpono-se a segunte almentação: (a) a fase o estator é almentaa por uma corrente contínua I CC. (b) a fase o estator é manta aberta. Nessas conções, empregano o moelo e PAK com referencal no estator, etermnar: (a) a expressão o torue esenolo pelo motor em função a elocae. (b) a elocae, em função os parâmetros a máuna, para a ual o torue é máxmo. (c) a expressão o torue máxmo. 8) Consere o moelo e PAK motor e nução com o referencal no campo grante. eja uma fonte ue mponha as correntes estatórcas o motor. Assm: = I senω t = I cosω t Determnar as expressões as correntes e e o torue esenolo pelo motor. 9) Consere um motor e nução e rotor bobnao em repouso. No nstante t = as três fases o estator são subtamente almentaas com tensões senoas balanceaas. Determnar a eolução as tensões rotórcas em função o tempo. Conserar os enrolamentos rotórcos abertos. Prof. Io Barb, Dr. Ing.
22 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 85 1) Consere uma máuna e nução bfásca com rotor em gaola. A fase é almentaa por uma tensão o tpo: = 2Vsenω t A fase é manta aberta. A máuna é aconaa por um motor auxlar. ω m Fg. 8.7 Máuna e nução bfásca com rotor em gaola. Demonstrar ue a tensão é função a elocae o rotor. Que conções eem ser satsfetas para ue a relação entre e ω m seja lnear? Empregar as euações e PAK para o referencal colocao no estator. Este sstema é conheco como tacogeraor e nução. A sua característca prncpal é o fato a tensão geraa apresentar freüênca constante, gual à freüênca a tensão e exctação. 11) efazer o exercíco número 1, supono ue o enrolamento o estator é almentao por uma fonte ue lhe mpõe uma corrente senoal. 12) efazer o exercíco número 1, supono ue o enrolamento é almentao por uma corrente contínua. Prof. Io Barb, Dr. Ing.
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