J. Stewart, Cálculo, vol. 1, 7a ed.

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1 J. Stewart, Cálculo, vol., 7a ed.. Eercícios FUNÇÕES E MODELOS 9. Se f s e t u u s u, é verdadeiro que f t?. Se f é verdadeiro que f t?. O gráfico de uma função f é dado: (a) Diga o valor de f. (b) Estime o valor de f. Para quais valores de é f? (d) Estime os valores de tais que f. (e) Diga qual é o domínio e a imagem de f. (f) Em qual intervalo f é crescente? e t O gráfico mostra o peso de uma certa pessoa como uma função da idade. Descreva em forma de teto como o peso dessa pessoa varia com o tempo. O que você acha que aconteceu quando essa pessoa tinha anos? 4. Os gráficos de f e t são dados. (a) Diga o valor de f 4 e t. (b) Para quais valores de é f t? Estime a solução da equação f. (d) Em qual intervalo f é decrescente? (e) Diga qual é o domínio e a imagem de f. (f) Obtenha o domínio e a imagem de t. f t peso (kg). O gráfico mostra a altura da água na banheira como uma função de tempo. Dê uma descrição verbal do que você acha que aconteceu. altura (cm) idade (anos) 5. A Figura foi registrada por um instrumento monitorado pelo Departamento de Minas e Geologia da Califórnia pertencente ao Hospital Universitário do Sul da Califórnia, em Los Angeles. Use- -a para estimar a imagem da função da aceleração vertical do solo na USC durante o terremoto de Northridge. 6. Nesta seção, discutimos os eemplos de funções cotidianas: a população em função do tempo; o custo da franquia postal em função do peso; a temperatura da água em função do tempo. Dê três novos eemplos de funções cotidianas que possam ser descritas verbalmente. O que você pode dizer sobre o domínio e a imagem de cada uma dessas funções? Se possível, esboce um gráfico para cada uma delas. 7 Determine se a curva é o gráfico de uma função de. Se o for, determine o domínio e a imagem da função. 5 5 tempo (min). Ponha cubos de gelo em um copo, encha-o com água fria e deie- -o sobre uma mesa. Descreva como vai variar no tempo a temperatura da água. Esboce então um gráfico da temperatura da água como uma função do tempo decorrido. 4. Três corredores competem em uma corrida de metros. O gráfico representa a distância da corrida como uma função de tempo para cada corredor. Descreva o que o gráfico diz sobre esta corrida. Quem ganhou? Todos os corredores finalizaram a prova?. As Homework Hints estão disponíveis em

2 CÁLCULO (m) A B C (b) Use seu gráfico para estimar o número de assinantes de telefones celulares nos anos de e Os registros de temperatura T (em C) foram tomados de três em três horas a partir da meia-noite até às 5 horas em Montreal, em de julho de 4. O tempo foi medido em horas a partir da meia-noite. t (s) t T,5 9,8,, 4,8 5,8 5. O gráfico mostra o consumo de energia por um dia em setembro em São Francisco. (P é medido em megawatts; t é medido em horas a partir da meia-noite.) (a) O que acontece com o consumo de energia às 6 da manhã? E às 6 da tarde? (b) Quando houve o menor consumo de energia? E quando foi o maior? Esses horários parecem razoáveis? P t Fonte: Pacific Gas & Electric 6. Esboce um gráfico do número de horas diárias de luz do sol como uma função do tempo no decorrer de um ano. 7. Esboce um gráfico da temperatura eterna como uma função do tempo durante um dia típico de primavera. 8. Esboce um gráfico do valor de mercado de um carro novo como função do tempo por um período de anos. Suponha que ele esteja bem conservado. 9. Esboce o gráfico da quantidade de uma marca particular de café vendida por uma loja como função do preço do café.. Coloque uma torta gelada em um forno e asse-a por uma hora. Tire-a do forno e deie-a esfriar antes de comê-la. Descreva como varia no tempo a temperatura da torta. Esboce um gráfico da temperatura da torta como uma função do tempo.. Um homem apara seu gramado toda quarta-feira à tarde. Esboce o gráfico da altura da grama como uma função do tempo no decorrer de um período de quatro semanas.. Um avião decola de um aeroporto e aterrissa uma hora depois em outro aeroporto, a 4 km. Se t representa o tempo em minutos desde a partida do avião, seja (t) a distância horizontal percorrida e (t) a altura do avião. (a) Esboce um possível gráfico de (t). (b) Esboce um possível gráfico de (t). Esboce um possível gráfico da velocidade no solo. (d) Esboce um possível gráfico da velocidade vertical.. Uma estimativa anual do número N (em milhões) de assinantes de telefones celulares nos Estados Unidos é mostrada na tabela. (Estimativas dadas para meados do ano.) t N (a) Use os dados da tabela para esboçar o gráfico de N como uma função t. (a) Use os registros para esboçar um gráfico de T como uma função de t. (b) Use seu gráfico para estimar a temperatura às horas da manhã. 5. Se f, ache f, f, f a, f a, f a, f a, f a, f a, [ f a ] e f a h. 6. Um balão esférico com raio de r polegadas tem o volume V r 4 r. Encontre uma função que represente a quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio de r polegadas até um raio de r + polegada. 7 Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta. 7. f 4, 8. f, 9. f,. f, 7 Encontre o domínio da função.. f f t s t 4. t t s t s t 5. h 6. f u u s 4 5 u Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função h s Encontre o domínio e esboce o gráfico da função. 9. f,4 4. F 4. f t t t 4. H t 4 t t 4. t s F p s sp G f 48. f 5 f a h f a h f f a a f f se se se se f h f h f 5 6 F t

3 FUNÇÕES E MODELOS f 9 f Encontre uma epressão para a função cujo gráfico é a curva dada. 5. O segmento de reta unindo os pontos (, ) e (5, 7) 5. O segmento de reta unindo os pontos ( 5, ) e (7, ) 5. A metade inferior da parábola 54. A metade superior do círculo se se se se se 57 6 Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio. 57. Um retângulo tem um perímetro de m. Epresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados. 58. Um retângulo tem uma área de 6 m. Epresse o perímetro do retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados. 59. Epresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado. 6. Epresse a área da superfície de um cubo como uma função de seu volume. 6. Uma caia retangular aberta com volume de m³ tem uma base quadrada. Epresse a área da superfície da caia como uma função do comprimento de um lado da base. 6. Uma janela normanda tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro da janela for de m, epresse a área A da janela como uma função de sua largura. 64. Um plano de telefone celular tem uma taa de US$ 5 mensais. O plano inclui 4 minutos gratuitos e taa de centavos para cada minuto adicional utilizado. Epresse o custo mensal C como uma função do número de minutos utilizados e esboce o gráfico C como uma função de para Em uma certa província a velocidade máima permitida em estradas é de km/h e a velocidade mínima é de 5km/h. A multa por violar esses limites é de US$ para cada quilômetro por hora acima da velocidade máima ou abaio da velocidade mínima. Epresse a quantidade de multa F como uma função de velocidade de condução e esboce o gráfico F() para Uma empresa de eletricidade cobra de seus clientes uma taa-base de US$ mensais, mais 6 centavos por quilowatt-hora (kwh) para os primeiros kwh e 7 centavos para todo o uso acima de kwh. Epresse o custo mensal E como uma função da quantidade utilizada de eletricidade. Então, faça um gráfico da função E para. 67. Em um certo país, o imposto de renda é taado da maneira a seguir: não eiste nenhuma taa para rendimentos de até US$.,. Qualquer renda acima de US$., e abaio de US$., tem uma taa de %. Qualquer renda acima de US$., é taada a 5%. (a) Esboce o gráfico da taa de impostos R como uma função da renda I. (b) Qual o imposto cobrado sobre um rendimento de $ 4.? E sobre $ 6.? Esboce o gráfico do imposto total cobrado T como uma função da renda I. 68. As funções no Eemplo e no Eercícios 67 são chamadas funções escada em virtude do aspecto de seus gráficos. Dê dois outros eemplos de funções escada que aparecem no dia a dia Os gráficos de f e g são mostrados a seguir. Verifique se cada função é par, ímpar ou nem par nem ímpar. Eplique seu raciocínio t f f t 6. Uma caia sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões cm por cm. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura. Epresse o volume V da caia como uma função de. 7. (a) Se o ponto (5, ) estiver no gráfico de uma função par, que outro ponto também deverá estar no gráfico? (b) Se o ponto (5, ) estiver no gráfico de uma função ímpar, que outro ponto também deverá estar no gráfico? 7. Uma função f tem o domínio [ 5, 5] e é mostrada uma parte do seu gráfico. (a) Complete o gráfico de f sabendo que f é uma função par. (b) Complete o gráfico de f sabendo que f é uma função ímpar.

4 CÁLCULO 75. f 76. f 77. f f Determine se f é par, ímpar ou nenhum dos dois. Se você tiver uma calculadora gráfica, use-a para verificar visualmente sua resposta. 7. f f Se f e t são funções pares, f t é par? Se f e t são funções ímpares, f té ímpar? O que se pode dizer se f for par e tfor ímpar? Justifique suas respostas. 8. Se f e t são funções pares, o produto fté par? Se f e tsão funções ímpares, ft é ímpar? O que se pode dizer se f for par e tfor ímpar? Justifique suas respostas.. Modelos Matemáticos: Uma Lista de Funções Essenciais Um modelo matemático é a descrição matemática (frequentemente por meio de uma função ou de uma equação) de um fenômeno do mundo real, como o tamanho de uma população, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, a concentração de um produto em uma reação química, a epectativa de vida de uma pessoa ao nascer ou o custo da redução de poluentes. O propósito desses modelos é entender o fenômeno e talvez fazer previsões sobre seu comportamento futuro. A Figura ilustra o processo de modelagem matemática. Dado um problema do mundo real, nossa primeira tarefa é formular um modelo matemático por meio da identificação e especificação das variáveis dependentes e independentes e da formulação de hipóteses que simplifiquem o fenômeno o suficiente, tornando-o matematicamente tratável. Usamos nosso conhecimento da situação física e nossos recursos matemáticos para obter equações que relacionem as variáveis. Em situações em que não eiste uma lei física para nos guiar, pode ser necessário coletar dados (de uma biblioteca, da Internet ou conduzindo nossas próprias eperiências) e eaminá-los na forma de uma tabela, a fim de perceber os padrões. Dessa representação numérica de uma função podemos obter sua representação gráfica marcando os dados. Esse gráfico pode até sugerir a fórmula algébrica apropriada, em alguns casos. Problema do mundo real Formular Modelo Resolver Conclusões Interpretar matemático matemáticas Previsões sobre o mundo real Testar FIGURA Processo de modelagem O segundo estágio é aplicar a matemática que sabemos (tal como o cálculo a ser desenvolvido neste livro) ao modelo matemático que formulamos, a fim de tirar conclusões matemáticas. Então, em um terceiro estágio, interpretamos essas conclusões matemáticas como informações sobre o fenômeno original e oferecemos eplicações ou fazemos previsões. A etapa final é testar nossas previsões, comparando-as com novos dados reais. Se as previsões não se ajustam bem à realidade, precisamos refinar nosso modelo ou formular um novo, começando novamente o ciclo. Um modelo matemático nunca é uma representação completamente precisa de uma situação física é uma idealização. Um bom modelo simplifica a realidade o bastante para permitir cálculos matemáticos, mantendo, porém, precisão suficiente para conclusões significativas. É importante entender as limitações do modelo. A palavra final está com a Mãe Natureza. Eistem vários tipos diferentes de funções que podem ser usados para modelar as relações observadas no mundo real. A seguir, discutiremos o comportamento e os gráficos dessas funções e daremos eemplos de situações modeladas apropriadamente por elas.

5 FUNÇÕES E MODELOS 9 EXEMPLO 7 Se f s e t s, encontre cada uma das funções e seus domínios. (a) f t (b) t f f f (d) t t SOLUÇÃO (a) f t f t f (s ) ss s 4 O domínio de é,. (b) t f t f t(s ) s s Para s estar definida, devemos ter. Para s s estar definida, devemos ter s, isto é, s, ou 4. Assim, temos 4, e o domínio de t f é o intervalo fechado, 4. Se a b, então a b. f f f f f (s ) ss s 4 O domínio de f f é,. (d) t t t t t(s ) s s Para essa epressão estar definida, e s. A primeira desigualdade significa que, e a segunda é equivalente a s, ou 4, ou. Assim,, logo, o domínio de t t é o intervalo fechado,. É possível fazer a composição de três ou mais funções. Por eemplo, a função composta f t h pode ser encontrada calculando-se primeiro h, então t e depois f, como a seguir: f t h f t h. EXEMPLO 8 SOLUÇÃO Encontre f t h se f, t e h. f t h f t h f t f Até aqui usamos a composição para construir funções complicadas a partir das mais simples. Mas, em cálculo, é frequentemente útil decompor uma função complicada em outras mais simples, como no eemplo a seguir. EXEMPLO 9 Dada F cos 9, encontre as funções f, t e h tal que F f t h. SOLUÇÃO Uma vez que F cos 9, a fórmula para F diz: primeiro adicione 9, então tomemos o cosseno do resultado e, finalmente, o quadrado. Assim, fazemos h 9 t cos f Então f t h f t h f t 9 f cos 9 cos 9 F.. Eercícios. Suponha que seja dado o gráfico de f. Escreva as equações para os gráficos obtidos a partir do gráfico de f da seginte forma: (a) Desloque unidades para cima. (b) Desloque unidades para baio. Desloque unidades para a direita. (d) Desloque unidades para a esquerda. (e) Reflita em torno do eio. (f) Reflita em torno do eio. ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

6 4 CÁLCULO (g) Epanda verticalmente por um fator de. (h) Comprima verticalmente por um fator de.. Eplique como obter, a partir do gráfico de f, os gráficos a seguir: (a) f 8 (b) f 8 8f (d) f 8 (e) f (f) 8f ( 8 ). Dado o gráfico de f, associe cada equação com seu gráfico e justifique suas escolhas. (a) f 4 (b) f f (d) f 4 (e) f 6! f # $ 6 6 % 4. É dado o gráfico de f. Esboce os gráficos das seguintes funções: (a) f (b) f f (d) f ( ) 5. O gráfico de f é dado. Use-o para fazer o gráfico das seguintes funções: (a) f (b) f ( ) f (d) f 6 7 O gráfico de s é dado. Use transformações para criar a função cujo gráfico é mostrado. 8. (a) Como estão relacionados o gráfico de sen e o de sen? Use sua resposta e a Figura 6 para esboçar o gráfico de sen. (b) Como estão relacionados o gráfico de s e o de s? Utilize sua resposta e a Figura 4(a) para esboçar o gráfico de s. 9 4 Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção. e então aplicando as transformações apropriadas s s 4. 4 sen sen( ) 7. cos 8. s tg 4 p s A cidade de Nova Delhi, na Índia, está localizada a uma latitude de ºN. Use a Figura 9 para encontrar uma função que modele o número de horas de luz solar em Nova Delhi como uma função da época do ano. Para verificar a precisão do seu modelo, use o fato de que nessa cidade, em de março, o Sol surge às 6h da manhã e se põe às 8h9. 6. Uma estrela variável é aquela cujo brilho alternadamente cresce e decresce. Para a estrela variável mais visível, Delta Cephei, o período de tempo entre os brilhos máimos é de 5,4 dias, o brilho médio (ou magnitude) da estrela é 4,, e seu brilho varia de,5 em magnitude. Encontre uma função que modele o brilho de Delta Cephei como uma função do tempo. 7. (a) Como estão relacionados o gráfico de e o de f? (b) Esboce o gráfico de sen. Esboce o gráfico de. s 8. Use o gráfico dado de f para esboçar o gráfico f. Quais aspectos de f são os mais importantes no esboço de f? Eplique como eles são usados. cos f ( ),5 v ,5 9 Encontre (a) f t, (b) f t, ft e (d) f t e defina seus domínios. 9. f, t. f s, t s

7 FUNÇÕES E MODELOS 4 6 Encontre as funções (a) f t, (b) t f, f f e (d) t t e seus domínios.. f,. f,. f, 4. f s, 5. f, 6. f, 7 4 Encontre f t h. 7. f, t sen, 8., t, 9. f s, t, 4. f tg, t, 4 46 Epresse a função na forma f 4. F 4 4. t.f cos 4. F 44. s 45. v t sec t tg t 46. u t Epresse a função na forma f t h. 47. R ss f 4 s H sec 4 (s ) t t 4 t cos t s t t sen 5. Use a tabela para determinar o valor de cada epressão. (a) f t (b) t f f f (d) t t (e) t f (f) f t 6 5. Use os gráficos dados de f e t para determinar o valor de cada uma das epressões ou eplique por que elas não estão definidas. (a) f t (b) t f f t (d) t f 6 (e) t t (f) f f 4 h s h h s t h G tg t tg t H s f t f 5. Use os gráficos dados de f e t para estimar o valor de f t para 5, 4,,...,5. Use essas estimativas para esboçar o gráfico de f t. f 5. A queda de uma pedra em um lago gera ondas circulares que se espalham a uma velocidade de 6 cm/s. (a) Epresse o raio r desse círculo como uma função do tempo t (em segundos). (b) Se A é a área do círculo como uma função do raio, encontre A r e interprete-a. 54. Um balão esférico é inflado e seu raio aumenta a uma taa de cm/s. (a) Epresse o raio r do balão como uma função do tempo t (em segundos). (b) Se V for o volume do balão como função do raio, encontre V r e interprete-a. 55. Um navio se move a uma velocidade de km/h paralelo a uma costa retilínea. O navio está a 6 km da costa e passa por um farol ao meio-dia. (a) Epresse a distância s entre o farol e o navio como uma função de d, a distância que o navio percorreu desde o meio-dia; ou seja, encontre f tal que s f d. (b) Epresse d como uma função de t, o tempo decorrido desde o meio-dia; ou seja, encontre t tal que d t t. Encontre f t. O que esta função representa? 56. Um avião voa a uma velocidade de 5 km/h, a uma altitude de km e passa diretamente sobre uma estação de radar no instante t. (a) Epresse a distância horizontal de voo d (em quilômetros) como uma função de t. (b) Epresse a distância s entre o avião e a estação de radar como uma função de d. Use composição para epressar s como uma função de t. 57. A função de Heaviside H é definida por H t se t se t Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada. (a) Esboce o gráfico da função de Heaviside. (b) Esboce o gráfico da voltagem V t no circuito se uma chave for ligada no instante t e volts forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma fórmula para V t em termos de H t. Esboce o gráfico da voltagem V t em um circuito quando é ligada uma chave em t 5 segundos e 4 volts são aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma fórmula para V t em termos de H t. (Observe que começar em t 5 corresponde a uma translação.) t

8 4 CÁLCULO 58. A função de Heaviside definida no Eercício 57 pode também ser usada para definir uma função rampa cth t, que representa o crescimento gradual na voltagem ou corrente no circuito. (a) Esboce o gráfico da função rampa th t. (b) Esboce o gráfico da voltagem V t no circuito se uma chave for ligada no instante t e a voltagem crescer gradualmente até volts em um intervalo de 6 segundos. Escreva uma fórmula para V t em termos de H t para t 6. Esboce o gráfico da voltagem V t em um circuito se em t 7s for ligada uma chave e a voltagem crescer gradualmente até volts em um período de 5 segundos. Escreva uma fórmula para V t em termos de H t para t. 59. Sejam f e t funções lineares com equações f m b e t m b. A função f t também é linear? Em caso afirmativo, qual é a inclinação de seu gráfico? 6. Se você investir dólares a 4% de juros capitalizados anualmente, então o valor A do investimento depois de um ano é A,4. Encontre A A, A A A e A A A A. O que estas composições representam? Encontre uma fórmula para a composição de n cópias de A. 6. (a) Se t e h 4 4 7, encontre uma função de f tal que f t h. (Pense em quais operações você teria que efetuar na fórmula de t para chegar à fórmula de h.) (b) Se f 5 e h, encontre uma função t tal que f t h. 6. Se f 4 e h 4, encontre uma função t tal que t f h. 6. Suponha que t seja uma função par e seja h f t. A função h é sempre uma função par? 64. Suponha que t seja uma função ímpar e seja h f t. A função h é sempre uma função ímpar? E se f for ímpar? E se f for par?.4 Calculadoras Gráficas e Computadores Nesta seção vamos assumir que você tem acesso a uma calculadora ou a um computador com um software gráfico. Veremos como o uso dessas ferramentas nos possibilita fazer o gráfico de funções mais complicadas e resolver problemas mais compleos, que de outra forma não poderiam ser resolvidos. Vamos salientar também mais algumas das armadilhas ocultas nessas máquinas. As calculadoras gráficas e os computadores podem fazer gráficos bastante precisos de funções. Mas, como será visto no Capítulo 4, só por meio do cálculo podemos estar certos de ter descoberto todos os aspectos interessantes de um gráfico. Tanto calculadoras quanto computadores eibem um recorte retangular do gráfico de uma função em uma janela de eposição ou tela de inspeção, que será chamada aqui de janela retangular. A visão-padrão frequentemente nos fornece uma imagem incompleta ou enganadora, portanto é importante escolher com cuidado a janela retangular. Se escolhermos a variação de de Xmin aaté Xma b e os valores de de Ymin c até Yma d, então a parte visível do gráfico está no retângulo a, b c, d, a b, c d mostrada na Figura. Vamos nos referir a ela como janela retangular a, b por c, d. (a, d ) d (b, d ) a b FIGURA A janela retangular a, b por c, d (a, c ) c (b, c) A máquina faz o gráfico da função f da mesma forma que você o faria. Ela marca pontos da forma, f para uma certa quantidade de valores igualmente espaçados de entre a e b. Se um valor não está no domínio de f, ou se f estiver fora da janela retangular, ela vai para o próimo valor de. A máquina conecta cada ponto ao ponto anterior marcado para formar uma representação do gráfico de f.

9 FUNÇÕES E MODELOS 5 FIGURA 4 (a) e (b) e e (d) e A que distância à direita da origem você estará quando o gráfico de e ultrapassar milhão? O próimo eemplo mostra a rapidez do crescimento dessa função, dando uma resposta a essa pergunta que poderá surpreendê-lo. EXEMPLO 4 Use uma ferramenta gráfica para encontrar os valores de para os quais e. SOLUÇÃO Na Figura 5 fizemos os gráficos da função e e da reta horizontal. Vemos que essas curvas se interceptam quando,8. Assim, e 6 quando,8. Talvez seja surpreendente que os valores da função eponencial já ultrapassem milhão quando é somente e 5 FIGURA 5.5 Eercícios 4 Utilize a Propriedade dos Eponentes para reescrever e simplificar a epressão. 4. (a) (b) 8 s 4. (a) 8 4 (b) ; 6 4. (a) b 8 b 4 (b) 5 n n 4. (a) (b) n sasb s ab 5. (a) Escreva uma equação que defina a função eponencial com base a. (b) Qual o domínio dessa função? Se a, qual a imagem dessa função? (d) Esboce a forma geral do gráfico da função eponencial nos seguintes casos. (i) a (ii) a (iii) a 6. (a) Como é definido o número e? (b) Qual o valor aproimado de e? Qual a função eponencial natural? 7 Faça em uma mesma tela os gráficos das funções dadas. Como esses gráficos estão relacionados? 7., e, 5, 8. e, e, 8, 8 ( ) ( 9.,,,.,9,,6,,,, 6 Faça um esboço do gráfico de cada função. Não use a calculadora. Use somente os gráficos dados nas Figuras e e, se necessário, as transformações da Seção.. )..,5 ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

10 54 CÁLCULO. 4. e 5. e 6. e 7. Começando com o gráfico de e, escreva as equações correspondentes aos gráficos que resultam ao (a) deslocar unidades para baio (b) deslocar unidades para a direita refletir em torno do eio (d) refletir em torno do eio (e) refletir em torno do eio e, depois, do eio 8. Começando com o gráfico de e, encontre as equações dos gráficos que resultam ao (a) refletir em torno da reta 4 (b) refletir em torno da reta 9 Encontre o domínio de cada função. 9. (a) f e e (b). (a) t t sen e t (b) t t s t Encontre a função eponencial f Ca cujo gráfico é dado... (, 6) (, 4). Se f 5, mostre que f ( h) f () h 5 5h f e cos (, ) h 4 (, ) 4. Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamento você prefere? I. Um milhão de dólares no fim do mês. II. Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e, em geral, n centavos de dólar no n-ésimo dia. 5. Suponha que os gráficos de f e t sejam feitos sobre uma malha coordenada onde a unidade de comprimento seja centímetro. Mostre que, a uma distância de m à direita da origem, a altura do gráfico de f é m, mas a altura do gráfico de g é maior que 5 km. ; 6. Compare as funções f 5 e t 5 por meio de seus gráficos em várias janelas retangulares. Encontre todos os pontos de intersecção dos gráficos corretos até uma casa decimal. Para grandes valores de, qual função cresce mais rapidamente? ; 7. Compare as funções f e t e traçando os gráficos de f e t em várias janelas retangulares. Quando finalmente o gráfico de t ultrapassa o de f? ; 8. Use um gráfico para estimar os valores de tais que e. ; ; ; ; 9. Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada horas. Supondo que inicialmente eistam bactérias: (a) Qual o tamanho da população após 5 horas? (b) Qual o tamanho da população após t horas? Qual o tamanho da população após horas? (d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 5 bactérias.. Uma cultura de bactérias começa com 5 indivíduos e dobra de tamanho a cada meia hora. (a) Quantas bactérias eistem após horas? (b) Quantas bactérias eistem após t horas? Quantas bactérias eistem após 4 minutos? (d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir bactérias.. Utilize uma calculadora gráfica com capacidade para regressão eponencial para modelar a população mundial com os dados de 95 a da Tabela da página 5. Use o modelo para estimar a população em 99 e para predizer a população em.. A tabela mostra a população da Malásia, em milhões, entre os anos de Utilize uma calculadora gráfica com capacidade de regressão eponencial para modelar a população da Malásia desde 95. Use o modelo para estimar a população em 975 e para predizer a população nos anos e. Ano População Ano População 95 6, 98, , 985 5,7 96 8, 99 7, ,5 995,4 97,9, 975, ;. Se você traçar o gráfico da função ; f e e você verá que f parece ser uma função ímpar. Demonstre isso. 4. Trace o gráfico de diversos membros da família de funções f ae b onde a. Como o gráfico muda conforme b varia? Como ele muda conforme a varia?

11 64 CÁLCULO sec tg v sec s Assim, cos tg cos. sec s uma vez que sec para p p FIGURA 4 SOLUÇÃO Em vez de usar as identidades trigonométricas como na Solução, talvez seja mais fácil fazer um diagrama. Se tg, então tg, e podemos concluir da Figura 4 (que ilustra o caso ) que cos tg cos s A função inversa da tangente, tg arctg, tem domínio e imagem. O gráfico está mostrado na Figura 5. p FIGURA 5 tg arctg p Sabemos que as retas são assíntotas verticais do gráfico da tangente. Uma vez que o gráfico da tg é obtido refletindo-se o gráfico da função tangente restrita em torno da reta, segue que as retas e são assíntotas horizontais do gráfico de tg. As funções inversas trigonométricas restantes não são usadas com tanta frequência e estão resumidas aqui. cossec ( ) &? cossec e,, p p sec ( ) &? sec,, e cotg &? cotg e, FIGURA 6 sec A escolha dos intervalos para nas definições de cossec e sec não são de aceitação universal. Por eemplo, alguns autores usam, na definição de sec. (Você pode ver do gráfico da função secante na Figura 6 que esta escolha e a feita em são ambas válidas.).6 Eercícios. (a) O que é uma função injetora? (b) A partir do gráfico, como dizer se uma função é injetora?. (a) Suponha que f seja uma função injetora com domínio A e imagem B. Como a inversa da função, f, é definida? Qual o domínio de f? Qual a imagem de f? (b) Se for dada uma fórmula para f, como você encontrará uma fórmula para f? Se for dado o gráfico de f, como você encontrará o gráfico de? f 4 Uma função é dada por uma tabela de valores, um gráfico, uma fórmula ou por meio de descrição verbal. Determine se f é injetora f,5,,6 5,,8, f,,9,8,5,,9 ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA Sistema algébrico computacional necessário. As Homework Hints estão disponíveis em

12 FUNÇÕES E MODELOS ; 7 8 Encontre uma fórmula eplícita para f e use-a para fazer na mesma tela os gráficos de f, f e da reta. Para verificar seu trabalho, veja se seus gráficos de f e são refleões em torno da reta. f 7. f 4, 8. f e Use o gráfico dado de f para esboçar o de f f 5. f 4.. t s. f t é a altura de uma bola t segundos após ser chutada. t 4. f t é a sua altura com t anos de idade. 5. Suponha que f é uma função injetora. (a) Se f 6 7, o que é f 7? (b) Se f, o que é f? 6. Se f 5, encontre f e f ( f ). 7. Se t e, encontre t É dado o gráfico de f. (a) Por que f é injetora? (b) Determine o domínio e a imagem de f? Qual o valor de f? (d) Obtenha uma estimativa para o valor de f. 9. A fórmula C 5 9 F, onde F 459,67, epressa a temperatura C em graus Celsius como uma função da temperatura F em graus Fahrenheit. Encontre uma fórmula para a função inversa e interprete-a. Qual o domínio da função inversa?. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é m m f v s v c onde m é a massa da partícula no repouso e c é a velocidade da luz no vácuo. Encontre a função inversa de f e eplique seu significado. 6 Encontre uma fórmula para a função inversa.. f s. f 4. f e 4., 5. ln 6. e e. Seja f s,. (a) Encontre f. Como está relacionada a f? (b) Identifique o gráfico de f e eplique a sua resposta para a parte (a).. Seja t s. (a) Encontre t. Como está relacionada a t? ; (b) Faça um gráfico de t. Como você eplica a sua resposta para a parte (a)?. (a) Como está definida a função logarítmica log a? (b) Qual o domínio dessa função? Qual a imagem dessa função? (d) Esboce a forma geral do gráfico da função log a se a. 4. (a) O que é o logaritmo natural? (b) O que é o logaritmo comum? Esboce os gráficos, no mesmo sistema de coordenadas, das funções logaritmo natural e eponencial natural. 5 8 Encontre o valor eato de cada epressão. 5. (a) log 5 5 (b) log ( 7) 6. (a) ln e (b) log s 7. (a) log 6 log 5 log (b) log log 8 log 5 8. (a) e ln5 (b) ln(ln e ) e 9 4 Epresse a quantidade dada como um único logaritmo. 9. ln 5 5ln 4. ln a b ln a b lnc 4. ln ln ln 4. Use a Fórmula para calcular cada logaritmo com precisão até a seta casa decimal. (a) log (b) log 8,4 ; 4 44 Use a Fórmula para fazer o gráfico das funções dadas em uma mesma tela. Como esses gráficos estão relacionados? 4. log,5, ln, log, log ln, log, e, 45. Suponha que o gráfico de log seja feito sobre uma malha coordenada onde a unidade de comprimento seja centímetro. Quantos quilômetros à direita da origem devemos percorrer antes de a altura da curva atingir m?

13 66 CÁLCULO ; 46. Compare as funções f, e t ln traçando os gráficos de f e t em várias janelas retangulares. Quando finalmente o gráfico de f ultrapassa o de t? Faça o esboço do gráfico de cada função. Não use a calculadora. Use somente os gráficos dados nas Figuras e e, se necessário, as transformações da Seção (a) log 5 (b) ln 48. (a) ln (b) 49 5 (a) Quais são o domínio e a imagem de f? (b) Qual é a intersecção com o eio do gráfico de f? Esboce o gráfico de f. 49. f ln 5. f ln 5 54 Resolva cada equação em. 5. (a) ln (b) e 5 5. (a) e 7 (b) ln 5 5. (a) 5 (b) ln ln 54. (a) ln ln (b) e a Ce b, onde a b Resolva cada inequação em. 55. (a) ln (b) e (a) e (b) ln 57. (a) Encontre o domínio de f ln e. (b) Encontre e seu domínio. f ln ln 58. (a) Quais são os valores de e e ln e? ln (b) Utilize a sua calculadora para calcular e e ln e. O que você observa? Você pode eplicar por que a calculadora encontra dificuldade? SCA 59. Faça o gráfico da função f s e eplique por que ela é injetora. Use então um sistema de computação algébrica (SCA) para encontrar uma epressão eplícita para f. (Seu SCA vai produzir três epressões possíveis. Eplique por que duas delas são irrelevantes neste conteto.) SCA 6. (a) Se t 6 4,, use um sistema de computação algébrica para encontrar uma epressão para t. (b) Use a epressão da parte (a) para fazer na mesma tela um gráfico de t, e t. 6. Se a população de bactérias começa com e dobra a cada três horas, então o número de bactérias após t horas é n f t t. (Veja o Eercício 9 na Seção.5.) (a) Encontre a função inversa e eplique seu significado. (b) Quando a população atingirá 5 bactérias? 6. Após acionado o flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, que armazena uma carga elétrica dada por Q t Q e t a. (A capacidade máima de carga é Q, e t é medido em segundos.) (a) Encontre a função inversa e eplique seu significado. (b) Quanto tempo levará para recarregar o capacitor 9% da capacidade, se a? 6 68 Encontre o valor eato de cada epressão. 6. (a) sen (s ) (b) cos 64. (a) tg ( s ) (b) sec 65. (a) arctg (b) sen ( s ) cotg ( s ) arccos( ) 66. (a) (b) 67. (a) tg arctg (b) sen sen 7p tg sec 4 sen( sen ( 5)) 68. (a) (b) 69. Demonstre que cos sen s. 7 7 Simplifique a epressão. 7. tg sen 7. sen tg 7. cos tg ; 7 74 Obtenha os gráficos das funções dadas em uma mesma tela. Como esses gráficos estão relacionados? 7. sen, ; sen ; 74. tg, ; tg ; 75. Determine o domínio e a imagem da função t sen ; 76. (a) Faça o gráfico da função f sen sen e eplique sua aparência. (b) Faça o gráfico da função t sen sen. Como você pode eplicar a aparência desse gráfico? 77. (a) Se transladamos uma curva para a esquerda, o que acontece com sua refleão em torno da reta? Em vista deste princípio geométrico, encontre uma epressão para a inversa de t f c, em que f é uma função injetora. (b) Encontre uma epressão para a inversa de h f c, em que c. Revisão Verificação de Conceitos. (a) O que é uma função? O que são o domínio e a imagem de uma função? (b) O que é o gráfico de uma função? Como podemos dizer se uma dada curva é o gráfico de uma função?. Discuta as quatro maneiras de representar uma função. Ilustre com eemplos.. (a) O que é uma função par? Como saber, a partir do gráfico, se uma função é par ou não? Dê três eemplos de uma função par. (b) O que é uma função ímpar? Como saber, a partir do gráfico, se uma função é ímpar ou não? Dê três eemplos de uma função ímpar. 4. O que é uma função crescente? 5. O que é um modelo matemático?

14 FUNÇÕES E MODELOS Dê um eemplo de cada tipo de função. (a) Função linear (b) Função potência Função eponencial (d) Função quadrática (e) Função polinomial de grau 5 (f) Função racional 7. Esboce à mão no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das seguintes funções. (a) f (b) t h (d) j 4 8. Esboce à mão o gráfico de cada função. (a) sen (b) tg e (d) ln (e) (f) (g) s (h) tg 9. Suponha que os domínios de f tem domínio A e t, respectivamente B. (a) Qual o domínio de f t? (b) Qual o domínio de f t? Qual o domínio de f t?. Como é definida a função composta f t? Qual seu domínio?. Suponha que seja dado o gráfico de f. Escreva a equação para cada um dos seguintes gráficos obtidos a partir do gráfico de f: (a) Deslocado unidades para cima. (b) Deslocado unidades para baio. Deslocado unidades para a direita. (d) Deslocado unidades para a esquerda. (e) Refletido em torno do eio. (f) Refletido em torno do eio. (g) Epandido verticalmente por um fator de. (h) Contraído verticalmente por um fator de. (i) Epandido horizontalmente por um fator de. (j) Contraído horizontalmente por um fator de.. (a) O que é uma função injetora? Como decidir, a partir de seu gráfico, se uma função é injetora? (b) Se f é uma função injetora, como é definida a função inversa? Como obter o gráfico do gráfico de f? f. (a) Como a inversa da função seno f sen é definida? Qual é o seu domínio e qual é a sua imagem? (b) Como a inversa da função cosseno f cos é definida? Qual é o seu domínio e qual é a sua imagem? Como a inversa da função tangente f tg é definida? Qual é o seu domínio e qual é a sua imagem? f Testes Verdadeiro-Falso Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, eplique por quê. Caso contrário, eplique por que ou dê um eemplo que mostre que é falsa.. Se f é uma função, então f s t f s f t.. Se f s f t, então s t.. Se f é uma função, então f f. 4. Se e f for uma função decrescente, então f f. 5. Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máimo uma vez. 6. Se f e t são funções, então f t t f. 7. Se f for injetora, então f. f 8. É sempre possível dividir por. 9. Se a b, então ln a ln b.. Se, então ln 6 6ln. ln. Se e a, então. ln a ln a. tg p 4. tg sen cos 4. Se for qualquer número real, então s. e Eercícios. Seja f a função cujo gráfico é dado. (a) Estime o valor de f. (b) Estime os valores de tais que f. Diga qual é o domínio de f. (d) Diga qual é a imagem de f. (e) Em qual intervalo a função f é crescente? (f) f é injetora? Eplique. (g) f é par, ímpar ou nenhum dos dois? Eplique. f ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador

15 68 CÁLCULO. É dado o gráfico de t. (a) Diga o valor de t. (b) Por que t é injetora? Estime o valor de t. (d) Estime o domínio de t. (e) Esboce o gráfico de. t t (b) (d) f 7 f e f sen 8. Encontre uma epressão para a função cujo gráfico consiste no segmento de reta ligando o ponto, ao ponto, junto com a parte de cima do círculo com centro na origem e raio. 9. Se f ln e t 9, encontre as funções (a) f t, (b) t f, f f e (d) t t e seus domínios.. Epresse a função F s s como uma composição de três funções.. A tabela mostra a população da Indonésia, em milhões, entre os anos de 95 a. Decida que tipo de modelo é adequado e use-o para prever a população da Indonésia em.. Se f, calcule o quociente das diferenças f a h f a. h 4. Esboce o gráfico do rendimento de uma colheita como uma função da quantidade usada de fertilizante. 5 8 Encontre o domínio e a imagem das funções. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos. 5. f 6. t s h ln Suponha que seja dado o gráfico de f. Descreva como os gráficos das seguintes funções podem ser obtidos a partir do gráfico de f. (a) f 8 (b) f 8 f (d) f (e) f (f) f. É dado o gráfico de f. Esboce os gráficos das seguintes funções: (a) f 8 (b) f f (d) f (e) f (f) f 6 Use transformações para esboçar o gráfico da função.. sen. ln. e 4. s f f e se se 7. Determine se f é par, ímpar ou nenhum dos dois. (a) f 5 F t cos t Ano População Ano População Um pequeno fabricante descobre que custa $ 9. para produzir. torradeiras elétricas em uma semana e $. para produzir.5 torradeiras em uma semana. (a) Epresse o custo como uma função do número de torradeiras produzidas, supondo que ele é linear. A seguir, esboce o gráfico. (b) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa? Qual a intersecção do gráfico com o eio e o que ela representa?. Se f ln, encontre f. 4. Encontre a função inversa de f. 5. Encontre o valor eato de cada epressão. (a) e ln (b) log 5 log 4 (d) tg(arcsen ) sen(cos ( 4 5)) 6. Resolva cada equação em. (a) e 5 (b) ln e e (d) tg 7. A população de uma certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a e capacidade para comportar indivíduos, é P t 9e t onde t é medido em anos. (a) Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará para ; a população atingir 9 indivíduos. (b) Encontre a inversa dessa função e eplique seu significado. Use a função inversa para encontrar o tempo necessário para a população atingir 9 indivíduos. Compare com os resultados da parte (a). ; 8. Faça o gráfico das três funções a, a e log a na mesma tela para dois ou três valores de a. Para grandes valores de, quais dessas funções terão os maiores valores e quais terão os menores valores?

16 6 CÁLCULO d EXEMPLO 5 Encontre. d tgh sen d d senh d d ln( s ) SOLUÇÃO Usando a Tabela 6 e a Regra da Cadeia, temos d d tgh sen s s s ( s )s s d d ( s ) d sen sen d s cos cos. sen cos sec. Eercícios 6 Encontre o valor numérico de cada epressão.. (a) senh (b) cosh. (a) tgh (b) tgh. (a) senh ln (b) senh 4. (a) cosh (b) cosh ln 5. (a) sech (b) cosh 6. (a) senh (b) senh cosh cosh senh tg ln tgh tgh e cosh senh n cosh n senh n (n qualquer número real) 7 9 Demonstre a identidade senh senh (Isso mostra que senh é uma função ímpar.) cosh cosh (Isso mostra que cosh é uma função par.) cosh senh e cosh senh e senh senh cosh cosh senh cosh cosh cosh senh senh cotgh cossech tgh tgh tgh tgh tgh senh senh cosh ;. Se tgh, encontre os valores das outras funções hiperbólicas em.. Se cosh 5 e, encontre os valores das outras funções hiperbólicas em.. (a) Use os gráficos de senh, cosh e tgh das Figuras para fazer os gráficos de cossech, sech e cotgh. (b) Verifique os gráficos que você esboçou na parte (a) usando uma ferramenta gráfica para produzi-los.. Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites. (a) (e) (g) (i) lim l tgh lim senh l lim sech l lim cotgh l lim cossech l (b) (d) (f) (h) lim tgh l lim senh l lim cotgh l lim cotgh l ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

17 REGRAS DE DERIVAÇÃO 7 4. Demonstre as fórmulas dadas na Tabela para as derivadas das funções (a) cosh, (b) tgh, cossech, (d) sech e (e) cotgh. 5. Dê uma solução alternativa para o Eemplo tomando senh e então usando o Eercício 9 e o Eemplo (a), com substituído por. 6. Demonstre a Equação Demonstre a Equação 5 usando (a) o método do Eemplo e (b) o Eercício 8, com substituído por. 8. Para cada uma das seguintes funções (i) dê uma definição como aquelas em, (ii) esboce o gráfico e (iii) encontre uma fórmula similar à Equação. (a) cossech (b) sech cotgh 9. Demonstre as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções a seguir. (a) cosh (b) tgh cossech (d) sech (e) cotgh 45 Encontre a derivada. Simplifique quando possível.. f tgh e. f senh cosh. t cosh ln. h ln cosh 4. cotgh 5. cosh e f t cossech t ln cossech t f t sech e t 8. senh cosh 9. G cosh cosh 4. senh tg 4. cosh s tgh ln s senh s9 sech e 45. cotgh sec ; d Mostre que. d tgh tgh e d 47. Mostre que arctg tgh sech. d 48. O Gatewa Arch em St. Louis foi projetado por Eero Saarinen e construído usando a equação,49,96 cosh,9765 para a curva central do arco, em que e são medidos em metros e 9,. (a) Trace a curva central. (b) Qual é a altura do arco em seu centro? Em quais pontos a altura é m? (d) Qual é a inclinação do arco nos pontos da parte? 49. Se uma onda de comprimento L se move à velocidade v em uma massa de água de profundidade d, então v tl p tgh pd L onde t é a aceleração da gravidade. (Veja a Figura 5.) Eplique porque a aproimação v tl é adequada para águas profundas. 5. Um cabo fleível pendurado sempre tem a forma de uma catenária ; c a cosh a, em que c e a são constantes e a (veja a Figura 4 e o Eercício 5). Faça o gráfico de vários membros da família de funções a cosh a. Como o gráfico muda quando a varia? 5. Uma linha de telefone é pendurada entre dois postes separados a 4 m, na forma da catenária cosh 5, em que e são medidas em metros. (a) Encontre a inclinação dessa curva onde ela encontra o poste à direita. (b) Encontre o ângulo entre a reta tangente e o poste. 5. Usando os princípios da física, pode ser mostrado que quando um cabo é pendurado entre dois postes, ele toma a forma de uma curva f que satisfaz a equação diferencial d d t T d d onde r é a densidade linear do cabo, t é a aceleração da gravidade e T é a tensão no cabo no ponto mais baio, e o sistema de coordenadas é apropriadamente escolhido. Verifique que a função f T t cosh t T é uma solução dessa equação diferencial. 5. Um cabo com densidade linear kg m é amarrado no topo de dois postes que têm m de distância entre si. (a) Use o Eercício 5 para encontrar a tensão T de forma que o cabo esteja 6 m acima do solo em seu ponto mais baio. Qual a altura dos postes? (b) Se a tensão é dobrada, qual o novo ponto mais baio do cabo? Qual a altura dos postes agora? senh 54. Calcule lim. 55. (a) Mostre que qualquer função da forma satisfaz a equação diferencial m. (b) Encontre de forma que 9, 4 e Se ln sec u tg u, mostre que sec cosh. 57. Em quais pontos da curva cosh a tangente tem inclinação? ; 58. Investigue a família das funções onde n é um inteiro positivo. Descreva o que acontece com o gráfico de quando n se torna maior. f n l e A senh m B cosh m f n tgh n sen 59. Mostre que, se a e b, então eistem números a e b tais que ae be é igual a a senh b ou cosh. Em outras palavras, mostre que quase todas as funções da forma f ae be são funções seno ou cosseno hiperbólicas epandidas e deslocadas. 5 _7 7

18 A58 CÁLCULO I Respostas para os Eercícios Ímpares CAPÍTULO EXERCÍCIOS.. Sim. (a) (b),, (d),8 (e), 4,, (f ), 5. 85, 5 7. Não 9. Sim,,,,,. Dieta, eercício ou doença. T t t 5. (a) 5 MW; 7 MW (b) 4h; meio-dia 7. T 4. 5, meia-noite meio-dia t 5 9. quantidade 45.,, 4 preço. altura da grama 47. (, ) (, ) 4ªfeira 4ªfeira 4ªfeira 4ªfeira 4ªfeira t _. N t (meio do ano) (b) 6 milhões; 7 milhões 5., 6, a a, a a, a 5a 4, 6a a 4, a a, a 4 a, 9a 4 6a a 4a 4, a 6ah h a h 7. h 9. a.,,. 5., 5, 7. [, 4] f 5, 5 f s f 6 se se A L L L, L 59. A s 4, 6. S 8, 6. V , 6

19 APÊNDICES A ) F (5 ( ) F 5 (5, 5) se 5 se 5 se 9. f. (a) 8,4, variação em mg para cada ano de variação (b) 8,4 mg 9. (a) F (b) 5, variação em ºF para (, ) cada ºC de variação;, temperatura em 9 F= C+ 5 Fahrenheit correspondendo a ºC (_4, _4) C (a) (b) $ 4, $ 9 R (%) 5 I (em dólares) 9 5. (a) T 9 68 N 88 7 (b) 68, variação em ºC para cada variação de cricrido por minuto 5ºC 7. (a) P,d,5 (b) 59,5 m 9. (a) Cosseno (b) Linear. (a) 5 O modelo linear é apropriado. T (em dólares) 5 I (em dólares) 69. f é ímpar, t é par 7. (a) ( 5, ) (b) ( 5, ) 7. Ímpar 75. Nenhum 77. Par 79. Par; ímpar; nenhum (a menos que f ou t ) EXERCÍCIOS.. (a) Logarítmica (b) Raiz Racional (d) Polinomial, graus (e) Eponencial (f) Trigonométrica. (a) h (b) f t 5. (a) b, onde b é a intersecção com o eio. b= b= b=_ (b),5 4,5,9979, (d) Cerca de,5 por população de (e) Cerca de 6% (f) Não. (a) O modelo linear é apropriado. 6, 5,5 6 altura (m) (b) =+b 5, 4,5 4,,5 (b) m m, onde m é a inclinação. 7. Seus gráficos têm inclinação. m= m=_ (, ) m= -=m(-) c=_ c=_ c= c= c= (b),65 46,8759 6,7m; mais alto (d) Não 5. Quatro vezes mais brilhante 7. (a) N,56A,7 (b) 8 EXERCÍCIOS.. (a) f (b) f f (d) f (e) f (f) f (g) f (h) f. (a) (b) 4 (d) 5 (e) 5. (a) (b) ano

20 A6 CÁLCULO (d) 7. s =_ = =sen(/) =_(+) L t sen p 65 t 8 7. (a) A parte do gráfico de f () à direita do eio é refletida em torno do eio. (b) =sen _ =œ -- (, _) = œ - =œ π = (-cos ) =_ œ π = - (d) f t, { s}. (a) f t 4 4, (b) t f, f f 4, (d) t t 4,. (a) f t cos, (b) t f cos, f f 9, (d) t t cos cos, (a) f t,, (b) t f, {, f f 4, { (d) t t, {, 5 } 5 7. f t h sen( ) 9. f t h s t, f 4 4. t s, f 45. t(t) t, f(t) sec t tg t 47. h s, t, f s 49. h s, t sec, f 4 5. (a) 4 (b) (d) Não eiste; f(6) 6 não está no domínio de t. (e) 4 (f) 5. (a) r t 6t (b) A r t 6pt ; a área do círculo como uma função do tempo 55. (a) s sd 6 (b) d t f t t s9t 6; a distância entre o farol e o navio como uma função do tempo decorrido desde o meio-dia 57. (a) (b) 59. Sim; m m 6. (a) f( 6 (b) t 6. Sim EXERCÍCIOS.4.. _ V 4 5 H t t V(t) 4H(t 5) 4 V V(t) H(t) t 9. (a) f t 5, (b) f t, ft 5 6 4, _

21 APÊNDICES A œ œ 4 œ 5 œ _ 7. _5 _ 5 6 _ (d) Os gráficos das raízes pares são semelhantes ao de s, os gráficos de raízes ímpares são semelhantes ao de s. À medida que n cresce, o gráfico de s n torna-se mais íngreme próimo a e mais achatado para.. _, _ 5, _,5,5. _,,,5 _4 Se c,5, o gráfico tem três corcovas: dois pontos mínimos e um ponto máimo. Essas corcovas ficam mais achatadas à medida que c cresce até que em c,5 duas das corcundas desaparecem e há somente um único ponto mínimo. Essa única corcova, então, move- -se para a direita e se aproima da origem quando c cresce.. A corcova fica maior e move-se para a direita. 5. Se c, o laço está à direita da origem; se c, o laço está à esquerda. Quanto mais perto c estiver de, maior é o laço.. _,5 _π π _ 5. (b) Sim; dois são necessários 7. π _ 5 _ π 5 EXERCÍCIOS.5. (a) 4 (b) 4/. (a) 6b (b) (a) f a, a (b), (d) Veja as Figuras 4, 4(b) e 4(a), respectivamente. 7. Todos se aproimam de 5 = =5 =e = quando l, todos passam por (, ) e todos são crescentes. Quanto maior a base, mais rápida é a taa de crescimento. 9. Não.,7,,.,65 5. t 7.,, 9. (a) _ 9. As funções com base maior = = 5 = = que são crescentes e aquelas com base menor que são decrescentes. Estas são refleões das primeiras em torno do eio. _ œ 4 œ.. 6 œ _ 4 _ = + _ =_ - (b) œ 5 œ

22 A6 CÁLCULO 5. =, =- e (a) (b) =log (+5) _5 _4 =-ln 7. (a) e (b) e e (d) e (e) e 9. (a),,, (b). f 7. Em 5,8 9. (a) (b) t,59 6 (d) t 6,9 h. P = 64,86(,69) t ; 5 8 milhões; milhões EXERCÍCIOS.6. (a) Veja a Definição. (b) Deve passar pelo Teste da Reta Horizontal.. Não 5. Não 7. Sim 9. Sim. Não. Não 5. (a) 6 (b) F 9 5 C ; a temperatura em Fahrenheit como uma função da temperatura em Celsius; 7,5;. ( ),. ( ln ) 5. e 7. f s (a) f s, ; f e f são a mesma função. (b) Um quarto de círculo no primeiro quadrante. (a) É definido como a inversa da função eponencial com base a, isto é, log a &? a. (b), (d) Veja a Figura. 5. (a) (b) 7. (a) (b) 9. ln 5 s 4. ln 4. Todos os gráficos tendem a quando =log,5 =ln l, todos passam =log por (, ), e todos são 4 =log 5 crescentes. Quanto maior a base, mais lenta é a taa de crescimento. 5 f f Em torno de,7 5 km 6 4 f - f 49. (a), ; (b) e = 5. (a) se (b) ln 5 5. (a) 5 log ou5 ln ln (b) ( s 4e) 55. (a) (b) ln (a) (ln, ) (b) f ln e ; O gráfico passa pelo Teste da Reta Horizontal. _, onde D ss ; duas das epressões são compleas. 6. (a) f - (n) = (/ln ) ln(n/); o tempo decorrido quando há n bactérias (b) Após cerca de 6,9 horas 6. (a) (b) 65. (a) 4 (b) (a) (b) 7. s 7. π O segundo gráfico é a =sen - refleão do primeiro =sen gráfico em torno da reta. f () 6(s 4 6)(s D 7 s D 7 s ) π _ ƒ=ln + e - _ π _ 75. (a), (b) 77. (a) t f c (b) h c f CAPÍTULO REVISÃO Teste Verdadeiro-Falso. Falso. Falso 5. Verdadeiro 7. Falso 9. Verdadeiro. Falso. Falso Eercícios. (a),7 (b),; 5,6 [ 6, 6] (d) [ 4, 4] (e) [ 4, 4] (f) Não; falha no Teste da Reta Horizontal. (g) Ímpar; seu gráfico é simétrico em relação à origem.. a h 5., 7. 6,, 9. (a) Translade o gráfico 8 unidades para cima. (b) Translade o gráfico 8 unidades para esquerda. 4 π (, ) (, ),,