Exercícios 2.2. x l3 x 3. O gráfico da curva y 2x x 3 está dado na Figura 15. A reta x 3 é uma assíntota vertical. x 3

Transcrição

1 88 CÁLCULO 5 Analogamente, está próimo a mas é menor que, então é um número negativo pequeno, mas ainda é um número positivo (próimo a 6). Portanto, é um número negativo grande. Assim, l O gráfico da curva está dado na Figura 5. A reta é uma assíntota vertical. FIGURA 5 EXEMPLO SOLUÇÃO Como Encontre as assíntotas verticais de f tg. tg n cos p p p p p p eistem assíntotas verticais em potencial nos pontos nos quais cos. De fato, como cos l quando l e cos l quando l, enquanto n é positivo quando está próimo de, temos tg l e tg l FIGURA 6 tg Isso mostra que a reta é uma assíntota vertical. Um raciocínio similar mostra que as retas n, onde n é um número inteiro, são todas assíntotas verticais de f tg. O gráfico da Figura 6 confirma isso. ln Outro eemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical é a função logaritmo natural ln. Da Figura 7, vemos que ln l e, assim, a reta (o eio ) é uma assíntota vertical. Na realidade, isso é válido para log a desde que a. (Veja as Figuras e na Seção.6.) FIGURA 7 O eio é uma assíntota vertical da função logaritmo natural.. Eercícios. Eplique com suas palavras o significado da equação f 5 l É possível que a equação anterior ja verdadeira, mas que f? Eplique.. Eplique o que significa dizer que e l l Nesta situação, é possível que l f eista? Eplique.. Eplique o significado de cada uma das notações a guir. (a) f (b) f l l. U o gráfico dado de f para dizer o valor de cada quantidade, ela eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) f (b) f (c) f l (d) f (e) f (f) f l l l ; É necessário uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

2 LIMITES E DERIVADAS Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, ela eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) f (b) f (c) f l l l (d) f l (e) f 5 6. Para a função h cujo gráfico é dado, diga o valor da cada quantidade, ela eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) h (b) h (c) h l l l (d) (e) l (f) (g) h (h) h (i) l (j) h (k) h (l) l5 h l 7. Para a função t cujo gráfico é dado, diga o valor da cada quantidade, ela eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) t l (b) t l (c) (d) t l (e) t l (f) (g) t (h) t t t l h l t l t t 8. Para a função R, cujo gráfico é mostrado a guir, diga quem são: (a) R (b) R l l 5 (c) R (d) l l R (e) As equações das assíntotas verticais. h l5 6 t t t t l 9. Para a função f cujo gráfico é mostrado a guir, determine o guinte: (a) f (b) f (c). Um paciente recebe uma injeção de 5 mg de uma droga a cada horas. O gráfico mostra a quantidade f t da droga na corrente sanguínea após t horas. Encontre e eplique o significado dess ites laterais. e Esboce o gráfico da função e u-o para determinar os valores de a para os quais l a f eiste:.. l 7 (d) f (e) f l 6 l 6 (f) As equações das assíntotas verticais. f f n cos n tl ; U o gráfico da função f para dizer o valor de cada ite, eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) f (b) f (c) f l 7 f t tl f(t) 5 l p p l 6 f t 8 6 t f l l

3 9 CÁLCULO.. f f e s 5 8 Esboce o gráfico de um eemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas. 5. f, f, l l 6. f, f, f, l l l f, f, f não está definido l 7. f, f, f, l l l f, f 8. f, f, f, l l l f, f, f l 9 Faça uma conjectura sobre o valor do ite ( ele eistir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de is casas decimais). 9., l,5,,,,5,,,,5,,,,9,,95,,99,,995,,999., l,,5,,9,,95,,99,,999,,,5,,,,,, e.,,,5,,,,5,, l. ln,,,5,,,,5,,,,5,, l 6 U uma tabela de valores para estimar o valor do ite. Se você tiver alguma ferramenta gráfica, u-a para confirmar u resultado. s.. l l f tg l tg l ; 7. (a) A partir do gráfico da função f cos cos e dando zoom no ponto em que o gráfico cruza o eio, estime o valor de l f. (b) Verifique sua resposta da parte (a), calculando f para valores de que aproimem de. ; 8. (a) Estime o valor de n l n p traçando o gráfico da função f n n p. Forneça sua resposta com precisão de duas casas decimais. ; (b) Verifique sua resposta da parte (a) calculando f para valores de que aproimem de. 9 7 Determine o ite infinito. 9.. l. l.. 9 l. 5. csc 6. l 7. 8 l (a) Encontre as assíntotas verticais da função (b) Confirme sua resposta da parte (a) fazendo o gráfico da função. 9. Determine e (a) calculando f para valores de que aproimam de pela esquerda e pela direita, (b) raciocinando como no Eemplo 9, e ; (c) a partir do gráfico de f. ;. (a) A partir do gráfico da função f tg e dando zoom no ponto em que o gráfico cruza o eio, estime o valor de l f. (b) Verifique sua resposta da parte (a) calculando f para valores de que aproimam de. l l l l5 cot l l e 5. (a) Estime o valor do ite l com cinco casas decimais. Es número lhe parece familiar? ; (b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da função. ;. (a) Faça o gráfico da função f e ln para 5. Você acha que o gráfico é uma reprentação precisa de f? (b) Como você faria para que o gráfico reprente melhor f?. (a) Avalie a função f. para,,8,,6,,,,,, e,5, e conjecture qual o valor de l. (b) Avalie f para,,,,,,,5,, e,. Faça uma nova conjectura.. (a) Avalie h tg para,,5,,,,5,, e,5. tg (b) Estime o valor de l (c) Calcule h para valores sucessivamente menores de até finalmente atingir um valor de para h. Você ainda está confiante que a conjectura em (b) está correta? Eplique como finalmente obteve valores. (Na Seção. veremos um método para calcular es ite.) ; (d) Faça o gráfico da função h na janela retangular, por,. Dê zoom até o ponto onde o gráfico corta o eio para estimar o ite de h quando tende a. Continue

4 98 CÁLCULO. Eercícios. Dado que (c) (e). Os gráficos de f e t são dados. U-os para calcular cada ite. Caso não eista, eplique por quê. (a) (c) (e) 9 Calcule o ite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas... (d) (f) (b) (d) (f) t t l t t 7. ( ) 6 8. l 8 s 9. ƒ() f l sf l t l h f t l l f t f l l 5 l l. (a) O que há de errado com a equação a guir? (b) Em vista de (a), eplique por que a equação está correta. t l 6 f l t t h l f t() f t l l 6 l l f t s f l h l encontre, eistir, o ite. Caso não eista, eplique por quê. (a) f 5t (b) t l l su u 6 ul t l t t t 5 Calcule o ite, eistir. 6.. l 6.. l t t l t 7t 5 h hl h 9.. l 8 s9 h.. h l h.. l s t s t t l t s l t l ts t t h.. h l h. (a) Estime o valor de s traçando o gráfico da função f (s ) (b) Faça uma tabela de valores de f para próimo de e estime qual rá o valor do ite. (c) U as Propriedades dos Limites para mostrar que sua estimativa está correta.. (a) U um gráfico de l s s f para estimar o valor de l f com duas casas decimais. (b) U uma tabela de valores de f para estimar o ite com quatro casas decimais. (c) U as Propriedades dos Limites para encontrar o valor eato do ite. 5. U o Teorema do Confronto para mostrar que l cos. Ilustre, fazendo os gráficos das funções f, t cos e h na mesma tela. 5 l l l h 8 h l h t t l t su ul u l t l t h h l h s 9 5 l h l t t h h ; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

5 LIMITES E DERIVADAS Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que s n p. l Ilustre, fazendo os gráficos das funções f, t e h (como no Teorema do Confronto) na mesma tela. 7. Se 9 f 7 para, encontre f. l 8. Se t para todo, avalie t. 9. Demonstre que cos l.. Demonstre que s. l en p -6 Encontre, quando eistir, o ite. Caso não eista, eplique por quê... l ( ).. l, l 7. A função sinal, denotada por sgn, é definida por (a) Esboce o gráfico dessa função. (b) Encontre ou eplique por que não eiste cada um dos ites a guir. (i) sgn (ii) sgn l l 8. Seja (iii) (iv) (a) Encontre l f e l f. (b) l f eiste? (c) Esboce o gráfico de f. 9. Seja t 6. (a) Encontre (i) t l (b) l t eiste? (c) Esboce o gráfico de t. 5. Seja l sgn f sgn t (ii) l 6 6 l l sgn l l t l (a) Determine as quantidades a guir, eistirem. (i) t (ii) t (iii) t l l (iv) t (v) t (vi) t l l l (b) Esboce o gráfico de t. 5. (a) Se o símbolo denota a função maior inteiro do Eemplo, calcule (i) (ii) (iii) l l l. (b) Se n for um inteiro, calcule (i) (ii) ln l n (c) Para quais valores de a o ite l a eiste? 5. Seja f cos,. (a) Esboce o gráfico de f. (b) Calcule cada ite, eistir (i) f (ii) f l l (iii) l (iv) l (c) Para quais valores de a o ite l a f eiste? 5. Se f, mostre que eiste l f, mas que não é igual a f. 5. Na Teoria da Relatividade, a fórmula da contração de Lorentz epressa o comprimento L de um objeto como uma função de sua velocidade v em relação a um obrvador, onde L é o comprimento do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. Encontre v lc L e interprete o resultado. Por que é necessário o ite à esquerda? 55. Se p for um polinômio, mostre que l a p p a. 56. Se r for uma função racional, u o Eercício 55 para mostrar que l a r r a para todo número a no domínio de r. f Se, encontre f. l l f 58. Se 5, encontre os guintes ites. l (a) 59. Se l f f (b) demonstre que l f. 6. Mostre por meio de um eemplo que l a f t pode eistir mesmo que nem l a f nem l a t eistam. 6. Mostre por meio de um eemplo que l a f t pode eistir mesmo que nem l a f nem l a t eistam. s6 6. Calcule l s 6. Eiste um número a tal que L L s v c a a l eista? Caso eista, encontre a e o valor do ite. l f é racional é irracional

6 LIMITES E DERIVADAS 7 EXEMPLO 5 U a Definição 6 para demonstrar que. l SOLUÇÃO Seja M um número positivo dado. Queremos encontrar um número tal que então M Mas M &? M &? sm Assim, escolhermos sm e sm, então M. Isto mostra que l quando l. De maneira melhante, a guir aprentamos uma versão precisa da Definição 5 da Seção., a qual é ilustrada pela Figura. a a 7 Definição Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a, eceto possivelmente no próprio a. Então significa que para todo número negativo N há um número positivo a f l a então f N tal que, a N N FIGURA. Eercícios. U o gráfico dado de f para encontrar um número d tal que,,8 então f,. U o gráfico dado de f s para encontrar um número tal que,,6 então s, v,7,. U o gráfico dado de f para encontrar um número d tal que,5,5 então f,5??. U o gráfico dado de f para encontrar um número tal que então,5,5??,6,8 ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

7 8 CÁLCULO ; 5. U um gráfico para encontrar um número tal que então ; 6. U um gráfico para encontrar um número tal que ; 7. Para o ite então ilustre a Definição encontrando os valores de que correspondam a, e,. ; 8. Para o ite 6 l e l ilustre a Definição encontrando os valores de que correspondam a,5 e,. ; 9. Dado que lp tg, ilustre a Definição 6 encontrando os valores de que correspondam a (a) M e (b) M. ;. U um gráfico para encontrar um número tal que 5 5 então s 5. Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricas um disco de metal circular com área de. cm. (a) Qual o raio do disco produzido? (b) Se for permitido ao torneiro uma tolerância do erro de 5cm na área do disco, quão próimo do raio ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio? (c) Em termos da definição, de l a f L, o que é? O que é f? O que é a? O que é L? Qual valor de é dado? Qual o valor correspondente de? ;. Uma fornalha para a produção de cristais é usada em uma pesquisa para determinar a melhor maneira de manufaturar os cristais utilizados em componentes eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção perfeita do cristal, a temperatura deve r controlada precisamente, ajustando- a potência de entrada. Suponha que a relação ja dada por T w,w,55w onde T é a temperatura em graus Celsius e w é a potência de entrada em watts. (a) Qual a potência necessária para manter a temperatura em ºC? (b) Se for permitida uma variação de C a partir dos ºC, qual rá o intervalo de potência permitido para a entrada? (c) Em termos da definição, de l a f L, o que é? O que é f? O que é a? O que é L? Qual valor de é dado? Qual o valor correspondente de?. (a) Encontre um número tal que, então 8, onde,. (b) Repita a parte (a) com,.. Dado que l 5 7, ilustre a Definição encontrando valores de que correspondam a,,,5 e,. 5 8 Demonstre cada afirmação usando a definição, de um ite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. tg,,, l l 9 Demonstre cada afirmação usando a definição, de ite. 9.. l. 6 5 l.. l a l l 9. 5 l.. l.. Verifique que outra escolha possível de para mostrar que l 9 no Eemplo é min, 8.. Verifique, usando argumentos geométricos, que a maior escolha possível para o para que possa mostrar que l 9 é s9. SCA 5. (a) Para o ite l, u um gráfico para encontrar o valor de que corresponde a,. (b) Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação cúbica, determine o maior valor possível para que funcione para qualquer dado. (c) Tome, na sua resposta da parte (b) e compare com a sua resposta da parte (a). 6. Demonstre que. l 7. Demonstre que s sa a. l a Dica: U s sa a s sa. 8. Se H é a função de Heaviside definida no Eemplo 6 na Seção., prove, usando a Definição, que t l H t não eiste. [Dica: U uma prova indireta como gue. Suponha que o ite ja L. Tome na definição de ite e tente chegar a uma contradição.] 9. Se a função f for definida por ( ) l 5 l l ( 5 ) 5 9 l,5 6 l a c c l 6 l 6 s8 l 7 8 l f é racional é irracional demonstre que l f não eiste.. Comparando as Definições, e, demonstre o Teorema da Seção... Quão próimo de devemos deiar para que?. Demonstre, usando a Definição 6, que. l

8 LIMITES E DERIVADAS 9. Demonstre que ln. l. Suponha que l a f e l a t c, onde c é um (c) f t l a c número real. Demonstre cada afirmação (a) f t l a (b) f t l a c.5 Continuidade Percebemos na Seção. que o ite de uma função quando tende a a pode muitas vezes r encontrado simplesmente calculando o valor da função em a. Funções com essa propriedade são chamadas de contínuas em a. Veremos que a definição matemática de continuidade tem correspondência bem próima ao significado da palavra continuidade no uso comum. (Um processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, m interrupções ou mudanças abruptas.) Definição Uma função f é contínua em um número a f f a la Como ilustrado na Figura, f é contínua, então os pontos, f sobre o gráfico de f tendem ao ponto a, f a do gráfico. Então, não há quebras na curva. Obrve que a Definição implicitamente requer três coisas para a continuidade de f em a:. f a está definida (isto é, a está no domínio de f ) ƒ(). f eiste la. f f a la ƒ() tende a f(a). f (a) A definição diz que f é contínua em a f tende a f a quando tende a a. Assim, uma função contínua f tem a propriedade de que uma pequena mudança em produz somente uma pequena alteração em f. De fato, a alteração em f pode r mantida tão pequena quanto dejarmos, mantendo- a variação em suficientemente pequena. Se f está definida próimo de a (em outras palavras, f está definida em um intervalo aberto contendo a, eceto possivelmente em a), dizemos que f é descontínua em a (ou que f tem uma descontinuidade em a) f não é contínua em a. Os fenômenos físicos são geralmente contínuos. Por eemplo, o deslocamento ou a velocidade de um veículo variam continuamente com o tempo, como a altura das pessoas. Mas descontinuidades ocorrem em situações tais como a corrente elétrica. [Veja o Eemplo 6 da Seção., onde a função de Heaviside é descontínua em, pois t l H t não eiste.] Geometricamente, você pode pensar em uma função contínua em todo número de um intervalo como uma função cujo gráfico não quebra. O gráfico pode r denhado m remover sua caneta do papel. FIGURA a Quando tende a a EXEMPLO A Figura mostra o gráfico da função f. Em quais números f é descontínua? Por quê? SOLUÇÃO Parece haver uma descontinuidade quando a, pois aí o gráfico tem um buraco. A razão oficial para f r descontínua em é que f não está definida. O gráfico também tem uma quebra em a, mas a razão para a descontinuidade é diferente. Aqui, f está definida, mas l f não eiste (pois o ites esquerdo e direito são diferentes). Logo f é descontínua em. E a 5? Aqui, f 5 está definida e l5 f eiste (pois o ite esquerdo e o direito são iguais). Mas 5 FIGURA Logo, f é descontínua em 5. f f 5 l 5

9 LIMITES E DERIVADAS 7 De fato, o Teorema do Valor Intermediário dempenha um papel na própria maneira de funcionar destas ferramentas gráficas. Um computador calcula um número finito de pontos sobre o gráfico e acende os piels que contêm os pontos calculados. Ele pressupõe que a função é contínua e acende todos os valores intermediários entre dois pontos concutivos. O computador, portanto, conecta os piels acendendo os piels intermediários..5 Eercícios. Escreva uma equação que epres o fato de que uma função f é contínua no número.. Se f é contínua em,, o que você pode dizer sobre u gráfico?. (a) Do gráfico de f, identifique números nos quais f é descontínua e eplique por quê. (b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine f é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles. 6. Do gráfico de g, identifique os intervalos nos quais g é contínua.. Eplique por que cada função é contínua ou descontínua. (a) A temperatura em um local específico como uma função do tempo. (b) A temperatura em um tempo específico como uma função da distância em direção a oeste a partir da cidade de Paris. (c) A altitude acima do nível do mar como uma função da distância em direção a oeste a partir da cidade de Paris. (d) O custo de uma corrida de tái como uma função da distância percorrida. (e) A corrente no circuito para as luzes de uma sala como uma função do tempo.. Suponha que f e t jam funções contínuas tal que t 6 e l f f t 6. Encontre f. U a definição de continuidade e propriedades de ites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a.. f s7, a.. f, a. t t. h t, a. t U a definição da continuidade e propriedades de ites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. 5. f,,. 6. t s,,. 5 8 Esboce o gráfico de uma função que ja contínua eceto para a descontinuidade declarada. 5. Descontínua, porém contínua à direita, em 6. Descontinuidades em e, porém contínua à esquerda em e à direita em 7. Descontinuidade removível em, descontinuidade em salto em 5 8. Não é contínua à direita nem à esquerda em ; contínua somente à esquerda em 9. A tarifa T cobrada para dirigir em um certo trecho de uma rodovia com pedágio é de $ 5, eceto durante o horário de pico (entre 7 da manhã e da manhã e entre da tarde e 7 da noite), quando a tarifa é de $ 7. (a) Esboce um gráfico de T como função do tempo t, medido em horas após a meia-noite. (b) Discuta as descontinuidades da função e u significado para alguém que u a rodovia. 7 Eplique por que a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função f f f e f. f cos a a a a a ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homeworks Hints estão disponíveis em

10 8 CÁLCULO ;. Como você removeria a descontinuidade de f? Em outras palavras, como você definiria f no intuito de fazer f contínua em?. f. 5 Eplique, usando os Teoremas, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em u domínio. Diga qual é o domínio. 7. R s 8. Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. 5 8 U a continuidade para calcular o ite. 5 s l s5 7. e 8. 9 Mostre que f é contínua em,. 9.. f 5 6 l f s n p f cos p a f 8 5. F 6. G s 5 6 h n 9. A t arcn t. B tg s. M. N r tg e r.. ln tg e n n lp l arctg 6 Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais dess pontos f é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de f.. A força gravitacional eercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é onde M é a massa da Terra; R é u raio; e G é a constante gravitacional. F é uma função contínua de r? 5. Para quais valores da constante c a função f é contínua em,? 6. Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte. f F r GMr R GM r f c c a b a b 7. Quais das guintes funções f têm uma descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função t que ja igual a f para a e ja contínua em a. (a) f, a (b) f, a (c) f n, a r R r R 8. Suponha que uma função f ja contínua em [, ], eceto em,5, e que f e f. Seja N. Esboce dois gráficos possíveis de f, um indicando que f pode não satisfazer a conclusão do Teorema do Valor Intermediário e outro mostrando que f poderia ainda satisfazer a conclusão do Teorema do Valor Intermediário (mesmo que não satisfaça as hipótes). 9. Se f n, mostre que eiste um número c tal que f c.. 5. Suponha f contínua em, 5 e que as únicas soluções da equação f 6 jam e. Se f 8, eplique por que f U o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que eiste uma raiz da equação dada no intervalo especificado. 5.,, 5. s, 5. e,, 5. n,,,... f f s f e ; (a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) U sua calculadora para encontrar um intervalo de comprimento, que contenha uma raiz. 55. cos 56. ln (a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) U sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. 57. e, 58. arctg

11 LIMITES E DERIVADAS Demonstre que f é contínua em a, e somente, f a h f a. 6. Para demonstrar que no é contínuo, precisamos mostrar que l a n n a para todo número real a. Pelo Eercício 59, uma afirmação equivalente é que U 6 h l h l n a h n a. para mostrar que isso é verdadeiro. 6. Demonstre que o cosno é uma função contínua. 6. (a) Demonstre a parte do Teorema. (b) Demonstre a parte 5 do Teorema. 6. Para que valores de a função f é contínua? f 6. Para que valores de a função t é contínua? t é racional é irracional é racional é irracional 65. Eiste um número que é eatamente uma unidade a mais do que u cubo? 66. Se a e b são números positivos, prove que a equação a b possui no mínimo uma solução no intervalo,. 67. Demonstre que a função f n é contínua em,. 68. (a) Mostre que a função valor absoluto F é contínua em toda parte. (b) Demonstre que f for uma função contínua em um intervalo, então também o é f. (c) A recíproca da afirmação da parte (b) também é verdadeira? Em outras palavras, f for contínua, gue que f também o é? Se for assim, demonstre isso. Caso contrário, encontre um contraeemplo. 69. Um monge tibetano deia o monastério às 7 horas da manhã e gue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhã guinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas noite. U o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que eiste um ponto no caminho que o monge vai cruzar eatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas..6 Limites no Infinito; Assíntotas Horizontais Nas Seções. e., estudamos os ites infinitos e as assíntotas verticais. Lá tomávamos tendendo a um número e, como resultado, os valores de ficavam arbitrariamente grandes (positivos ou negativos). Nesta ção vamos tornar arbitrariamente grande (positivo ou negativo) e ver o que acontece com. Vamos começar pela análi do comportamento da função f definida por f quando aumenta. A tabela ao lado fornece os valores dessa função, com precisão de is casas decimais, e o gráfico de f feito por um computador está na Figura. 5 5 f,6,8,885,977,9898,999,9998, FIGURA Quanto maior o, mais próimos de ficam os valores de f. De fato, temos a impressão de que podemos tornar os valores de f tão próimos de quanto quirmos tornarmos um suficientemente grande. Essa situação é epressa simbolicamente escrevendo Em geral, usamos a notação l l f L

12 8 CÁLCULO e N e, N 5 e, N FIGURA 8 M M Finalmente, obrvamos que pode r definido um ite infinito no infinito da forma a guir. A ilustração geométrica está dada na Figura 9. FIGURA 9 ƒ() N 9 Definição Seja f uma função definida em algum intervalo a,. Então f l significa que para todo positivo M eiste um correspondente número positivo N tal que N então f M. Definições análogas podem r feitas quando o símbolo é substituído por. (Veja o Eercício 7.).6 Eercícios. Eplique com suas palavras o significado de cada um dos itens a guir. (a) f 5 (b) f l l. (a) O gráfico de f pode interceptar uma assíntota vertical? E uma assíntota horizontal? Ilustre com gráficos. (b) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de f? Ilustre com gráficos as possibilidades.. Para a função f, cujo gráfico é dado, diga quem são. (a) f (b) f l l (c) (e) f l f l (d) f l (f) As equações das assíntotas. Para a função t, cujo gráfico é dado, determine o que pede. (a) t (b) t l l (c) (e) t l t l (d) t l (f) As equações das assíntotas 5 Esboce o gráfico de um eemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas. 5. f, f 5, l l f 5 l 6. f, f, f, l l l f, f, f l l ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

13 LIMITES E DERIVADAS f, f, f, f é ímpar l l l 9. f, l f, l f, l l. f, f, f, f é par l ;. Faça uma conjectura sobre o valor do ite calculando a função f para,,,,, 5, 6, 7, 8, 9,,, 5 e. Então, u o gráfico de f para comprovar sua conjectura. ;. (a) U o gráfico de para estimar o valor de l f com precisão de duas casas decimais. (b) U uma tabela de valores de f para estimar o ite com precisão de quatro casas decimais. Calcule o ite justificando cada passagem com as propriedade dos ites que forem usadas... l 5 l Encontre o ite ou demonstre que não eiste l l 7 st t 9.. t l t t.. l. s9 l. 5. (s9 ) 6. l 7. (s a s b ) 8. l 9.. l. 5. l f, f f, l f l f, l l l f. arctg e. l e l e f, l f, l f, l 5 l l tl l s9 6 l ( s ) l l s e cos l 6 l e e l e e l f, l 5 t tst t t 5 s n l e cos ; 9. (a) Estime o valor de traçando o gráfico da função f s (b) Faça uma tabela de valores de f para estimar qual rá o valor do ite. (c) Demonstre que sua conjectura está correta. ;. (a) U um gráfico de para estimar o valor de l f com precisão de uma casa decimal. (b) U uma tabela de valores de f para estimar o ite com precisão de quatro casas decimais. (c) Encontre o valor eato do ite. 6 Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira u trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas ; 7. Estime a assíntota horizontal da função através do gráfico f para. A guir, determine a equação da assíntota calculando o ite. Como você eplica a discrepância? ; 8. (a) Trace o gráfico da função Quantas assíntotas horizontais e verticais você obrva? U o gráfico para estimar os valores dos ites e (b) Calculando valores de f, dê estimativas numéricas dos ites na parte (a). (c) Calcule os valores eatos dos ites na parte (a). Você obtém os mesmos valores ou valores diferentes para estes ites? [Em vista de sua resposta na parte (a), você pode ter de verificar us cálculos para o gundo ite.] 9. Encontre uma fórmula para uma função f que satisfaça as guintes condições: f f f l f l f f s 8 6 s s l 5 (s ) l 5 5 l f s 5 f l l tg ln e e 5 s l 5 5. Encontre uma fórmula para uma função que tenha por assíntotas verticais e e por assíntota horizontal.

14 CÁLCULO 5. Uma função f é a razão de funções quadráticas e possui uma assíntota vertical e somente um intercepto com o eio das abscissas em. Sabe- que f possui uma descontinuidade removível em e l f. Calcule (a) f (b) f l 5 56 Encontre os ites quando l e quando l. U essa informação, bem como as intercções com os eios, para fazer um esboço do gráfico, como no Eemplo n 57. (a) U o Teorema do Confronto para determinar. l ; (b) Faça o gráfico de f n. Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota? ; 58. Por comportamento final de uma função queremos indicar uma descrição do que acontece com us valores quando l e quando l. (a) Descreva e compare o comportamento final das funções P 5 5 Q 5 por meio do gráfico de ambas nas janelas retangulares, por, e, por.,.. (b) Dizemos que duas funções têm o mesmo comportamento final sua razão tende a quando l. Mostre que P e Q têm o mesmo comportamento final. 59. Sejam P e Q polinômios. Encontre P l Q o grau de P for (a) menor que o grau de Q e (b) maior que o grau de Q. 6. Faça um esboço da curva n (n inteiro) nos guintes casos: (i) n (ii) n, n ímpar (iii) n, n par (iv) n, n ímpar (v) n, n par Então, u ess esboços para encontrar os guintes ites: (a) n (b) n l l (c) n l (d) n l 6. Encontre l f, para todo, e e f 5s s 6. (a) Um tanque contém 5. litros de água pura. Água salgada contendo g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taa de 5 L min. Mostre que a concentração de sal depois de t minutos (em gramas por litro) é C t t t (b) O que acontece com a concentração quando t l? 6. Seremos capazes de mostrar, no Capítulo 9 do Volume II, que, sob certas condições, a velocidade v t de uma gota de chuva caindo no instante t é v t v* e tt v*, onde t é a aceleração da gravidade e v* é a velocidade final da gota. (a) Encontre t l v t. (b) Faça o gráfico de v t v* m s e t 9,8 m s Quanto ; tempo levará para a velocidade da gota atingir 99% de sua velocidade final? ; 6. (a) Fazendo os gráficos de e e, na mesma tela, descubra quão grande você precisará tomar para que e,. (b) A parte (a) pode r resolvida m usar uma ferramenta gráfica? ; 65. U um gráfico para encontrar um número N tal que N ; 66. Para o ite então ilustre a Definição 7, encontrando os valores de N que correspondam a,5 e,. ; 67. Para o ite ilustre a Definição 8, encontrando os valores de N correspondentes a,5 e,. ; 68. Para o ite ilustre a Definição 9, encontrando um valor de N correspondente a M. 69. (a) De que tamanho devemos tomar para que,? (b) Tomando r no Teorema 5, temos a igualdade l Demonstre isso diretamente usando a Definição (a) De que tamanho devemos tornar para que s.? (b) Tomando r no Teorema 5, temos a igualdade l s Demonstre isso diretamente usando a Definição U a Definição 8 para demonstrar que. l 7. Demonstre, usando a Definição 9, que. l 7. U a Definição 9 para demonstrar que e. 7. Formule precisamente a definição de f l Então, u sua definição para demonstrar que 75. Demonstre que s l s l l s l l f f t l t l e f f t l t l ess ites eistirem.,5,5

15 6 CÁLCULO d EXEMPLO 5 Encontre. d tgh n d d nh d d ln( s ) SOLUÇÃO Usando a Tabela 6 e a Regra da Cadeia, temos d d tgh n s s s ( s )s s d d ( s ) d n n d s cos cos. n cos c. Eercícios 6 Encontre o valor numérico de cada epressão.. (a) nh (b) cosh. (a) tgh (b) tgh. (a) nh ln (b) nh. (a) cosh (b) cosh ln 5. (a) ch (b) cosh 6. (a) nh (b) nh cosh cosh nh tg ln tgh tgh e cosh nh n cosh n nh n (n qualquer número real) 7 9 Demonstre a identidade nh nh (Isso mostra que nh é uma função ímpar.) cosh cosh (Isso mostra que cosh é uma função par.) cosh nh e cosh nh e nh nh cosh cosh nh cosh cosh cosh nh nh cotgh cosch tgh tgh tgh tgh tgh nh nh cosh ;. Se tgh, encontre os valores das outras funções hiperbólicas em.. Se cosh 5 e, encontre os valores das outras funções hiperbólicas em.. (a) U os gráficos de nh, cosh e tgh das Figuras para fazer os gráficos de cosch, ch e cotgh. (b) Verifique os gráficos que você esboçou na parte (a) usando uma ferramenta gráfica para produzi-los.. U as definições das funções hiperbólicas para achar os guintes ites. (a) (c) (e) (g) (i) l tgh nh l ch l cotgh l cosch l (b) (d) (f) (h) tgh l nh l cotgh l cotgh l ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

16 APÊNDICES A6 (c) Amplie o gráfico verticalmente por um fator de, então translade-o unidade para cima. (d) Translado gráfico unidades para direita e unidades para baio. (e) Reflita o gráfico em torno do eio. (f) Reflita o gráfico em torno da reta (assumindo que f é injetora)... (b) _7π _π f()=ma{n, cos } π _œ / 5π (a) Nenhum (b) Ímpar (c) Par (d) Nenhum 9. (a) f t ln 9,,, (b) t f ln 9,, (c) f f ln ln,, (d) t t 9 9,,. Modelo eponencial; 7 milhões. 5. (a) 9 (b) (c) s (d) 5 7. (a), anos (b) t ln P ; o tempo necessário para que a 9P população alcance um determinado número P. (c) ln 8, anos PRINCÍPIOS PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS. a sh 6 h, onde a é o comprimento da altura e h é o comprimento da hipotenusa. 7, (a) =_ = + =_n π = (+e ) = (c). 5. [, s) ( s, ] 5. 8 km h 9. f n n CAPÍTULO f()=ma{, +, -} EXERCÍCIOS.. (a),, 8,8, 7,8,,, 6,6 (b), (c). (a) (i) (ii), (iii), (iv), (v), (vi),999 (vii),9999 (viii),999 (b) (c) 5. (a) (i) 7,5 m s (ii) 5,9 m s (iii),95 m s (iv),79 m s (b),7 m s 7. (a) (i),65 m s (ii) 5,6 m s (iii) 7,55 m s (iv) 7m s (b) 6, m s 9. (a),,7,,87,,7,,,,87,,,65,,66, 5,,; não (c), EXERCÍCIOS.. Sim. (a) l f significa que podemos fazer os valores de f ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quirmos) tomando suficientemente próimo de (mas não igual a ). (b) l f significa que os valores de f podem tornar números negativos arbitrariamente grandes ao fazer ficar suficientemente próimo a por valores maiores que. 5. (a) (b) (c) (d) Não eiste (e) 7. (a) (b) (c) Não eiste (d) (e) (f) Não eiste (g) (h) 9. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 7,,, 6. eiste para qualquer a eceto a. l a. (a) (b) (c) Não eiste f()=ma{, /} (a),5 5

17 A6 CÁLCULO ;. (a),788 (b) _. (a),998,,6859,,588,,5868,,885,,898,,65; (b),57,,6,,97,,978,,99,,;, 5. Não importa quantas vezes damos zoom na origem, o gráfico parece consistir em retas qua verticais. Isso indica oscilações cada vez mais frequentes quando l. 7.,9,,; n p, p n p EXERCÍCIOS.. (a) 6 (b) 8 (c) (d) 6 (e) Não eiste (f) Não eiste (a), (b) Não eiste 7. (a) (b) (i) (ii) (iii) Não eiste (iv) _ 9. (a). 7. f( ) não está definido. 9. f não eiste. l =e T = t =_ = + 9. (a) (i) 5 (ii) 5 (b) Não eiste (c) (, 5). f f l (, _5) _π 5. (a) (i) (ii) Não eiste (iii) (b) (i) n (ii) n (c) a não é um inteiro ; EXERCÍCIOS.., (ou qualquer número positivo menor)., (ou qualquer número positivo menor) 5.,96 (ou qualquer número positivo menor) 7., (ou qualquer número positivo menor) 9. (a), (b),. (a) s p cm (b) A menos de aproimadamente,5 cm (c) raio; área; s p ; ; 5;,5. (a),5 (b),5 5. (a),9 (b) B 6B, onde B 6 8 s6 8. A menos de, EXERCÍCIOS.5. l f f. (a) f não é definida e f [para a, e ] l a não eiste (b), nenhum;, esquerda;, direita;, direita. Defina f() [, ) 9. [, ].,, , esquerda., direita;, esquerda (, ) (, ) (, ), _ (a) t (b) t 55. (b),86;, (b) 7,7 6. Nenhum 65. Sim _ (, ) (, ) (, e) (, )

18 APÊNDICES A65 EXERCÍCIOS.6. (a) Quando torna grande, f () aproima- de 5. (b) Quando torna um negativo grande (em módulo), f () aproima- de.. (a) (b) (c) (d) (e) (f),,, =5 =_5 =. (a) (b) (c) (a) 8a 6a (b), 8 9 (c) _ 5 9. = = a b 9... p/ (a), (b).,. ;, f 5 5. (a) (b) 5 5., 55.,. (a) Direita: t e t 6; esquerda: t ; está parada: t e t (b) v (m/s) t (gundos). 9,6 m s 5. a m s ; m s ; m s ; 7 m s 7. t,,t, t, t 9. f () ; f (). 57. (a) (b) Um número infinito de vezes. 5. (a) 5; (b) 59. (a) (b) (a) v* (b),,7 s 65. N N 6, N 69. (a) EXERCÍCIOS.7 f f. (a) (b) -5 5 l _,5 f f 7. 6a a s a. f, a ou f, a 5. f, a 5 7. f cos, a ou f cos, a 9. m s; m s. Temperatura Maior (em módulo) (em ºC) Tempo (em horas) 6