Dinâmica de um Sistema de Partículas
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- Thomas da Costa Regueira
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1 Dinâmica de um Sistema de Partículas Dra. Diana Andrade, Dra. Ângela Krabbe, Dr. Caius Lucius Selhorst & Dr. Sérgio Pilling 2.1 O que é Física? Capítulo 2 Movimento Retilíneo A palavra Física vem do grego physics que significa natureza. Assim, Física é a ciência que estuda a natureza e seus fenômenos. Um dos propósitos da Física é estudar o movimento dos objetos: a rapidez com que se movem, por eemplo, ou a distância percorrida em um dado intervalo de tempo. Os geólogos usam essa física para estudar os movimentos das placas tectônicas na tentativa de prever terremotos. Os médicos necessitam desta física para mapear o fluo de sangue em um paciente quando eaminam uma artéria parcialmente obstruída. Eistem inúmeros outros eemplos. Neste capítulo, estudaremos a física básica do movimento nos casos em que os objetos estão se movendo em linha reta. Este tipo de movimento é chamado de movimento unidimensional. 2.2 Movimento Vamos eaminar algumas propriedades gerais do movimento unidimensional, restringindo nossa análise de três formas. Suposição 1: O movimento se dá ao longo de uma linha reta. A trajetória pode ser vertical, horizontal ou inclinada, mas deve ser retilínea. Suposição 2: Discutiremos apenas o movimento em si e suas mudanças, sem nos preocupar com as suas causas (empurrões e puões, que modificam o movimento, não serão discutidas até o capítulo 5). Suposição 3: O objeto em movimento é uma partícula (ou seja, um objeto pontual, como um elétron) ou um objeto que se move como uma partícula (isto é, todas as partes do objeto se movem na mesma eção e com a mesma rapidez). 1
2 2.3 Posição e Trajetória Posição é o lugar no espaço onde se situa o corpo. Imagine três pontos fios e espaçados, X, X 1 e X 2 numa sala, e uma bola em movimento cujo centro é o ponto P. Durante o movimento, o ponto P da bola coincidente com X, X 1 e X 2 sucessivamente. Assim, a posição de P foi sucessivamente os pontos X, X 1 e X 2. O ponto P está fio na bola e movese com ela. Os pontos X, X 1 e X 2 são pontos fios do espaço. Durante o movimento da bola, a posição de P variou no tempo, passando por X, depois por X 1, depois por X 2. X X 1 X 2 Coordenada de posição e referência: Para localizar um objeto (como a bola do nosso eemplo) devemos determinar sua posição em relação a um ponto de referência, freqüentemente a origem (ou o ponto zero) de um eio (como o eio da figura abaio). Desta forma, determinamos sua coordenada de posição. Para obter a coordenada de posição da moeda em cada instante de tempo você deverá me a distância entre a bola (ponto P) e um outro ponto, fio na sala. O sinal da coordenada de posição: Note que a moeda pode encontrar-se a esquerda ou a eita de. Atribua um sinal positivo para a coordenada quando a moeda se encontra a eita de, sendo negativo o sinal de quando a moeda se encontra a esquerda de. Desta forma: - + Assim, por eemplo, uma partícula pode estar localizada em 5 m, o que significa que está a 5 m da origem no sentido positivo. Se estivesse localizada em -5 m, estaria também a 5 m da origem, mas no sentido oposto. O sinal positivo de uma coordenada não precisa ser mostrado eplicitamente, mas o sinal negativo deve ser sempre mostrado. 2
3 Trajetória: Entre X, X 1 e X 2 a bola ocupou outros pontos do espaço, tendo seguido uma trajetória. Podemos definir trajetória de P como a sucessão contínua de pontos fios do espaço ocupados por P durante seu movimento. Chamaremos de reta suporte da trajetória a reta sobre a qual se move a bola. - X X 1 X 2 + Representação da coordenada de posição: Vamos usar a letra S para representar a coordenada de posição. Chame de S, S 1, S 2, etc, as coordenadas de posição nos instantes t, tt 1, etc. Para melhor visualização das coordenadas de posição, podemos representá-las geometricamente por um segmento sobre a reta suporte da trajetória. S 2 S - X X 1 X 2 + S Deslocamento A mudança de uma posição X 1 para X 2 está associada a um deslocamento ΔS, dado por: ΔS S 2 S 1 Um deslocamento no sentido positivo do eio resulta num ΔS positivo. Um deslocamento no sentido negativo, num ΔS negativo. O número real de metros percorridos é irrelevante. O deslocamento envolve apenas as posições inicial e final. Assim, por eemplo, se a partícula se move de S 1 5m até S 2 2m e em seguida volta para S 3 5m, o deslocamento total será: ΔS S 3 S
4 O sinal positivo do deslocamento não precisa ser mostrado, mas o sinal negativo deve ser sempre mostrado. Quando ignoramos o sinal (e, portanto, o sentido) do deslocamento, ficamos com o módulo do deslocamento. Assim, por eemplo, um deslocamento ΔS -5 m possui módulo de 5 m. O deslocamento é uma grandeza vetorial, ou seja, possui módulo, eção e sentido. Para o cálculo da distância percorrida temos: D deslocamento S 1 S 2 + deslocamento S 2 S 3 D 195 m + 195m 39 m 2.5 Velocidade Média Uma forma compacta de descrever a posição de um objeto é desenhar um gráfico da coordenada de posição s em função do tempo t, ou seja, um gráfico de s(t). Como um eemplo simples, vamos usar a tabela abaio, a qual mostra a posição de um corredor em função do tempo visto do referencial de um torcedor parado a 24 metros da linha de chegada. t em segundos s em m -24,5-12 1, 1,5 12 2, 24 Um corpo não pode ocupar duas posições num dado instante de tempo. Assim, para cada instante t há uma única posição (sendo posição o ponto do espaço ocupado por P). Para um dado observador, há também uma única coordenada de posição para cada instante t. Pois, tendo o observador escolhido previamente a referência R e a convenção de sinais que vai utilizar, não haverá indeterminação dessa grandeza. Uma tabela posição-tempo constitui assim, uma função matemática. O domínio é o conjunto dos instantes de tempo e a imagem o conjunto das coordenadas de posição. O gráfico da tabela acima é mostrado abaio: 4
5 Gráfico da coordenada de posição versus tempo, s(t), para um corredor em movimento. A razão entre o deslocamento total e o intervalo de tempo durante o qual esse deslocamento ocorre é chamada de velocidade média, v med. Sendo: v med s t 1 1 s t A notação significa que a coordenada de posição é s no intante t e s 1 no instante t 1. A unidade de velocidade média no Sistema Internacional (SI) é o metro por segundo (m/s). Outras unidades são usadas em alguns problemas, mas todas estão na forma comprimento/tempo. Em um gráfico de s em função de t, v med é a inclinação da reta que liga dois pontos particulares da curva s(t): um dos pontos corresponde a s 1 e t 1 e o outro a s e t. Da mesma forma que o deslocamento, a velocidade média possui um módulo, uma eção e um sentido, ou seja, também é uma grandeza vetorial. O módulo é o valor absoluto da inclinação da reta. Um valor positivo de v med (e da inclinação) significa que a reta está inclinada para cima da esquerda para a eita. Já um valor negativo de v med (e da inclinação) significa que a reta está para baio da esquerda para a eita. A velocidade média tem sempre o mesmo sinal do deslocamento, já que é sempre positivo. Uma outra grandeza física é a velocidade escalar média (v esc ). Enquanto a velocidade média envolve o deslocamento da partícula, a velocidade escalar média é definida em 5
6 termos da distância total percorrida (o número de metros percorridos, por eemplo) independente do sentido. Assim: v esc distância total Obs.: Distância percorrida numa dada trajetória é a soma dos comprimentos de todos os trechos percorridos pelo corpo nessa trajetória entre dois instantes de tempo; como o comprimento, por definição, é uma grandeza positiva, essa soma é cumulativa, seja o movimento feito num único sentido ou seja ele de ida e volta. A distância percorrida por um corpo num determinado movimento ou trecho de movimento é uma noção útil na vida prática de todas as pessoas pois dela depende o consumo de combustível e o tempo gasto nas viagens, na ida para a faculdade e para o trabalho. Na física, entretanto, distância percorrida é um conceito pouco útil. Como a definição de velocidade escalar média não inclui o sentido do movimento, ela não possui um sinal algébrico. Apenas em alguns casos, v esc v med. Entretanto, como será demonstrado abaio, as duas velocidades podem ser bem diferentes. Eemplo 2-1 do livro do Halliday: Depois de igir uma van em uma estrada retilínea por 8,4 km a 7 km/h, você pára por falta de gasolina. Nos 3 minutos seguintes você caminha por mais 2, km ao longo da estrada até chegar ao posto de gasolina mais próimo. (a) Qual é o deslocamento total, desde o início da viagem até chegar ao posto de gasolina? Suponha, por conveniência, que você se move no sentido positivo do eio, da coordenada de posição inicial s até a coordenada de posição final s 1, no posto de gasolina. Essa segunda coordenada de posição deve ser igual a s 1 8,4 + 2, 1,4 km. O deslocamento ao longo do eio da coordenada de posição é a diferença entre as coordenadas da segunda e da primeira posição. Assim, Δ s s s 1,4 km 1, 4 1 km Assim, o deslocamento total é de 1,4 km no sentido positivo do eio. b) Qual é o intervalo de tempo entre o início da viagem e o instante em que você chega ao posto? Já sabemos quanto tempo você passou caminhando, cam (,5 h), mas não sabemos quanto tempo você passou igindo,. Sabemos, porém, que você viajou 8,4 km de carro a uma velocidade média v med, 7 km/h. Essa velocidade é igual a razão entre o deslocamento do carro e o intervalo de tempo correspondente a esse deslocamento. 6
7 v med, Eplicitando e substituindo os valores conhecidos, teremos: 8,4 km, 12 vmed, 7 km / h h E portanto, + cam,12 h +,5 h,62 h. (c) Qual é a velocidade média do início da viagem até a chegada ao posto de gasolina? Determine a solução numericamente e graficamente. 1,4 km v med 16,8 km / h,62 h Para determinar v med graficamente, traçamos o gráfico da função s(t), como mostra a figura abaio tirada do livro Halliday e Resnick, onde os pontos de partida e chegada no gráfico são a origem e o ponto assinalado como Posto. A velocidade média é a inclinação da reta que une esses pontos, ou seja, v med é a razão entre a elevação ( 1,4 km) e o tempo (,62 h), o que nos dá v med 16,8 km/h. (d) Suponha que para encher um bujão de gasolina, pagar e caminhar de volta para a van você leve 45 minutos. Qual é a velocidade escalar média do início da viagem até o momento em que chega de volta ao lugar onde deiou a van? A distância total percorrida foi 8,4 km + 2, km + 2, km 12,4 km. O intervalo de tempo total é,12h +,5 hs +,75 h 1,37 h. Assim, 12,4 km v esc 9,1 km / h 1,37 h 7
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