Unisalesiano Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium Curso de Engenharia Civil ESTRUTURAS DE CONCRETO I

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1 Unisalesiano Centro Universitário Católico Salesiano Auilium Curso de Engenharia Civil ESTRUTURAS DE CONCRETO I Lajes Retangulares Maciças Prof. André L. Gamino Definição Os elementos estruturais lanos (com duas dimensões redominantes, isto é, bidimensionais) sujeitos a cargas transversais a seu lano são chamados genericamente de lacas. As lacas de concreto armado são denominadas de lajes. Normalmente, elas tem forma retangular e são maciças, resultando daí a denominação laje retangular maciça. Os aoios das lajes são, geralmente, constituídos elas vigas do iso. Nestes casos, o cálculo das lajes é feito, de maneira simlificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com aoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade entre lajes contíguas. No detalhamento das armaduras são tomados cuidados eseciais ara cobrir o monolitismo eistente nas ligações entre a laje e as suas vigas de aoio. 1

2 Classificação 1. lajes armadas em uma direção: P1 V1 A P l B flecha a B l1 l l3 P 3 V l A P4 Fig Laje isolada armada em uma direção Fig Laje contínua armada em uma direção Continuação 1. lajes armadas em uma direção: C l D flecha a D C l l Fig Laje muito alongada

3 Continuação. lajes armadas em duas direções: C l D flecha a D C l l Fig..1 - Laje armada em duas direções ou em cruz Lajes armadas em uma Direção 1. Esforços Solicitantes Laje isolada m = l / 8 l m = m v m m v = l / 3

4 Lajes armadas em uma Direção. Esforços Solicitantes Laje em balanço P m m l m = l l / m Pl v = l + P v l P v v Lajes armadas em uma Direção 3. Esforços Solicitantes Lajes contínuas 1 l1 m l A faia de largura unitária da laje corresonde a uma viga contínua. m m 1 v 4

5 Lajes armadas em uma Direção d 1. Dimensionamento d d 100 cm As As c h d Conforme a figura, tem-se: onde d = h - c - / d = h - c - - / c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fiado em 0,5 cm nas lajes rotegidas com argamassa de esessura mínima de 1 cm (NBR- 6118) = diâmetro da armadura A s corresondente a m = diâmetro da armadura A s corresondente a m. Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), ode-se adotar aroimadamente: d h - c - 0,5 cm d h - c - 1 cm Lajes armadas em uma Direção m d = g f m = 1,4 m b = 100 cm 0,85f cd h d 0,8 R cd m d R sd 0,68 b f cd (d - 0,4 ) = m d Resulta: A s md f ( d 0, 4) d md 1, 5d , bd f cd 5

6 Lajes armadas em uma Direção Costuma-se imor a armadura mínima usual de fleão ara o momento fletor rincial m : min de acordo com a tabela 19.1 da NBR 6118/014 onde A A s s (em unidades: cm bh 100h e cm). Nos aoios de engastamento ou de continuidade de lajes (m ) deve-se verificar, também, a taa mínima que é igual a 0,15%. Para o momento fletor secundário m recomenda-se adotar A s 0, A s ou 0,5 min com o mínimo de 0,9 cm / m, onde Valores de Armadura Mínima Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas Elementos estruturais com armadura ativa aderente Elementos estruturais com armadura ativa não aderente Armaduras negativas s min s min 0,67 min s min - 0,5 0,67 min (ver da NBR 6118) Armaduras ositivas de lajes armadas nas duas direções Armadura ositiva (rincial) de lajes armadas em uma direção Armadura ositiva (secundária) de lajes armadas em uma direção s 0,67 min s 0,67 min 0,5 min s min - 0,5 0,5 min s min s min 0,5 min s min - 0,5 0,5 min As/s 0 % da armadura rincial As/s 0,9 cm /m s 0,5 min Onde: s A s /b w h e A /b w h NOTA - Os valores de min constam da tabela 19.1 da NBR 6118/014-6

7 Valores de Taas Geométricas de Armaduras Mínimas Lajes armadas em uma Direção Escolha das barras h s 100 cm s Bitolas comerciais mm) A s1 (cm ) m 1 (kg/m) 4 0,15 0,1 5 0, 0,16 6,3 0,315 0,5 8 0,5 0,4 10 0,8 0,63 1,5 1,5 1,0 = diâmetro nominal da barra em mm A s1 = área da seção transversal de uma barra em cm m 1 = massa de uma barra or metro linear em kg/m 7

8 Lajes armadas em uma Direção A escolha da bitola esaçamento ( s) é feita ara as bitolas comerciais com as seguintes recomendações: min = 4 mm ma = h/10 smin = 8 cm s sma = 0 cm ou.h revalecendo o menor entre eles. Para a armadura secundária de lajes devem ossuir um esaçamento de, no máimo, 33 cm. Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máimo corresondente a um décimo da esessura da laje. O esaçamento mínimo de 8 cm tem or finalidade facilitar a concretagem da laje e, o esaçamento máimo, visa garantir a uniformidade de comortamento admitida nos cálculos. Lajes armadas em uma Direção Detalhamento das armaduras As armaduras obtidas ara os momentos de vão são estendidas de aoio a aoio da laje; As armaduras resistentes calculadas junto aos aoios internos da laje são estendidas de modo à cobrir o diagrama de momento fletor negativo; uma etensão de l /4 ara cada lado do aoio é, normalmente, suficiente ara essa finalidade; Nas bordas da laje costuma-se osicionar uma armadura (A s,borda ) com etensão l /5, visando controlar uma fissuração roveniente do engastamento arcial da laje nestas vigas. Pode-se considerar min =0,15% ara classes C-0 a C-30 (ver Tabela de taas geométricas de armaduras mínimas. 8

9 Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento V Sd V Rd1 A resistência de rojeto ao cisalhamento é dada or: onde: Rd = 0,5 f ctd V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 c ] b w d f ctd = f ctk,inf / g c 1 = A s1 /b w.d, não maior que 0,0 c = N Sd / A c Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento k é um coeficiente que tem os seguintes valores: - ara elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o aoio: k = 1; - ara os demais casos: k = 1,6 d, não menor que 1, com d em metros; onde: f ctk,,inf = 0,7 f ct,m f ct,m = 0,3 f ck /3 A s1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d + l b,nec além da seção considerada; b w é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d; N Sd é a força longitudinal na seção devida à rotensão ou carregamento (comressão ositiva). 9

10 Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento O comrimento de ancoragem necessário ode ser calculado or: As, calc b, nec a1 b b,min onde: As, ef a 1 = 1,0 ara barras sem gancho; a 1 = 0,7 ara barras tracionadas com gancho, com cobrimento no lano normal ao do gancho 3 ; Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento b é calculado or: fd b 4 fbd Onde: f bd = h 1 h h 3 f ctd b,min é o maior valor entre 0,3 b, 10 e 100 mm. h 1 = 1,0 ara barras lisas; h 1 = 1,4 ara barras; h 1 =,5 ara barras nervuradas; h = 1,0 ara situações de boa aderência; h = 0,7 ara situações de má aderência; h 3 = 1,0 ara < 3 mm; h 3 = (13 - )/100, ara > 3 mm; onde: é o diâmetro da barra, em milímetros. 10

11 Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento Consideram-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das osições seguintes: a) com inclinação maior que 45 sobre a horizontal; b) horizontais ou com inclinação menor que 45 sobre a horizontal, desde que: ara elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máimo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais róima; ara elementos estruturais com h 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaio da face suerior do elemento ou da junta de concretagem mais róima. Os trechos das barras em outras osições e quando do uso de formas deslizantes devem ser considerados em má situação quanto à aderência. Lajes armadas em uma Direção Ganchos das armaduras de tração Os ganchos das etremidades das barras da armadura longitudinal de tração odem ser: a) semicirculares, com onta reta de comrimento não inferior a φ; b) em ângulo de 45 (interno), com onta reta de comrimento não inferior a 4 φ; c) em ângulo reto, com onta reta de comrimento não inferior a 8 φ. R sd R sd R sd Semicircular Ângulo de 45 º Ângulo reto Nota: barras comrimidas não devem ter ganchos; feies e barras com φ > 3 mm não devem ter ganchos; 11

12 Lajes armadas em uma Direção Ganchos das armaduras de tração O diâmetro interno da curvatura dos ganchos (D) das armaduras longitudinais de tração deve ser elo menos igual ao estabelecido na tabela abaio: Bitola (mm) Tio de Aço CA - 5 CA - 50 CA - 60 < D Eemlo e Detalhamento Dados: - Laje de escritórios de bancos - Considerar revestimento não argamassado (g = 1,0 kn/m ) - CAA I (ara efeito de ELS-W) 4 m 4 m 4 m 4 m L1 L L3 m 3 =-11 kn.m/m m 1 m m 3 11 kn.m/m 6,96 kn.m/m f ck = 5 MPa CA50 c l = 1,5 cm c v =,0 cm h = 10 cm (todas as lajes) g =,5 kn/m (concreto) q =,0 kn/m (ocuação) vigas de b w = 1 cm Agregado: granito 1

13 Eemlo e Detalhamento Laje L1 Momento Fletor Princial: m = l / 8 = 5,54 / 8 = 11,0 kn.m/m b = 100 cm ; d = d h - c - 0,5 = 10-1,5-0,5 = 8 cm m d = g f m = 1,411,0 = 15,4 kn.m/m = 1540 kn.cm/m m d ,5d 1 1 1, , 73 cm 0,45bd fcd 0,451008,5/1,4 md 1540 As 4,85cm / m f ( d 0,4) 43,48(8 0,41,73) d A s > A smin =,min b h = 0, = 1,5 cm /m Eemlo e Detalhamento Laje L1 bitola esaçamento min = 4 mm ma = h/10 = 10 mm s min = 8 cm s 0 cm (mm) A s1 (cm ) n = A s /A s1 s = 100/n (cm) 6,3 0,315 15,5 7 < s min 8 0,5 9, ,8 6,

14 Eemlo e Detalhamento Laje L1 Momento Fletor Secundário: m = m = 0,11,0 =, kn.m/m b = 100 cm ; d = d h - c - 1,0 = 10-1,5-1,0 = 7,5 cm m d = g f m = 1,4, = 3,08 kn.m/m = 308 kn.cm/m 1,5d 1 1,57,5 1 md 1 0,45bd f cd ,34 cm 0,451007,5,5/1,4 md 308 As 0,96cm / m f ( d 0,4) 43,48(7,5 0,4 0,34) d As/s 0 % da armadura A s > A smin = rincial = 4,850, = 0,97 cm /m As/s 0,9 cm /m s 0,5 min Eemlo e Detalhamento Laje L1 bitola esaçamento min = 4 mm ma = h/10 = 10 mm s min = 8 cm s 0 (mm) A s1 (cm ) n = A s /A s1 s = 100/n (cm) 4 0,15 7, , 4,85 0 6,3 0,315 3,0 3 14

15 Eemlo e Detalhamento Lajes L=L3 Momento Fletor Princial (m ): m = 6,96 kn.m/m b = 100 cm ; d = d h - c - 0,5 = 10-1,5-0,5 = 8 cm m d = g f m = 1,46,96 = 9,74 kn.m/m = 974 kn.cm/m m d 974 1,5d 1 1 1, , 06 cm 0,45bd fcd 0,451008,5/1,4 md 974 As,96cm / m f ( d 0,4) 43,48(8 0,41,06) d A s > A smin =,min b h = 0, = 1,5 cm /m Eemlo e Detalhamento Lajes L=L3 bitola esaçamento min = 4 mm ma = h/10 = 10 mm s min = 8 cm s 0 cm (mm) A s1 (cm ) n = A s /A s1 s = 100/n (cm) 6,3 0,315 9, ,5 5, ,8 3,7 7 15

16 Eemlo e Detalhamento Lajes L=L3 Momento Fletor Princial (m 3 ) no aoio interno: m = l / 8 = 5,54 / 8 = 11,0 kn.m/m b = 100 cm ; d = d h - c - 0,5 = 10-1,5-0,5 = 8 cm m d = g f m = 1,411,0 = 15,4 kn.m/m = 1540 kn.cm/m m d ,5d 1 1 1, , 73 cm 0,45bd fcd 0,451008,5/1,4 md 1540 As 4,85cm / m f ( d 0,4) 43,48(8 0,41,73) d A s > A smin =,min b h = 0, = 1,5 cm /m Eemlo e Detalhamento Lajes L=L3 bitola esaçamento min = 4 mm ma = h/10 = 10 mm s min = 8 cm s 0 cm (mm) A s1 (cm ) n = A s /A s1 s = 100/n (cm) 6,3 0,315 15,5 7 < s min 8 0,5 9, ,8 6,

17 Eemlo e Detalhamento Lajes L=L3 Momento Fletor Secundário (m ): m =. m = 0,. 6,96 kn.m/m = 1,39 kn.m/m b = 100 cm ; d = d h - c 1,0 = 10-1,5 1,0 = 7,5 cm Pode-se adotar a mesma armadura obtida ara a laje L1 (5c/0) Eemlo e Detalhamento Verificação do Cisalhamento (Laje 1) onde: Rd = 0,5 f ctd = 0,3 MPa V Sd V Rd1 A resistência de rojeto ao cisalhamento é dada or: f ctd = f ctk,inf / g c = 1,8 MPa V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 c ] b w d f ctk,inf = 0,7.f ct,m = 0,7,565 = 1,795 MPa f ct,m = 0,3.f ck /3 = 0,3 5 /3 =,565 MPa 1 = A s /b w.d = 5 /100 8,0 = 0,65% (não maior que 0,0) k = 1,6 d [m] = 1,6 0,08 = 1,5 17

18 Eemlo e Detalhamento onde: A s = 5 cm (considerando toda a armadura) b w = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); c = N Sd / A c = 0 N Sd = 0 ois não eiste força longitudinal na seção devida à rotensão ou carregamento. Assim, V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 c ] b w.d = [0,03 1,5(1, ,0065)+ 0]100 8 = V Rd1 = 56,4 kn/m V Sd = V. g f = 11 1,4 = 15,4 kn/m V Rd1 = 56,4 > 15,4 = V Sd Não há a necessidade de estribos! Eemlo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Cálculo do Momento de Fissuração M r = (a.f ct,m. I c )/ t = (1, , ) / 0,05 = 6,4 kn.m a = 1,5 ara seção retangular; f ct,m já calculado anteriormente ara o cisalhamento I c = b.h 3 /1 que é momento de inércia da seção de base 100 cm ESTÁDIO I; t = 0,05 m (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada) Como : M r = 6,4 kn.m < 11 kn.m = M Calcula-se ela formula de Branson o EI eq ara considerar a erda da rigidez na seção fissurada. 18

19 Eemlo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Cálculo do Momento Equivalente EI eq = E c [(M r /M a ) 3. I c + [1- (M r /M a ) 3 ] I II ] E c = 0,85.1, f 1/ ck = 3,8 GPa ou 3, kn/m ; I II = é o momento de inércia da seção fissurada ESTÁDIO II; Na rática, odese usar αi = 0,85 ara concretos das classes C0 e C5. Calculando o II ara o ESTÁDIO II com a e = E s /E c I II b II Temos: 3 b II A s a e d II 0 3 a e A s d II II = 0,05 m I II = 1, m 4 Eemlo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Cálculo do Momento Equivalente Assim, ode-se calcular o momento de inércia equivalente EI eq = E c [(M r /M a ) 3. I c + [1- (M r /M a ) 3 ] I II ] = EI eq = 3, [(6,4/11) 3 8, [1-(6,4/11) 3 ] 1, ] = 74,6 kn m Flecha Imediata a i = (b..l 4 ) / 1.Ei eq. a = (1 4,1 4 4 ) / 1 74,6 1,4 = 0,0055 m Onde: a = 1,4 (laje tio 1 com l/l = 1,00); = g + q = 4,1 kn/m (valor da carga ara a combinação quase ermanente ( = 0,3 segundo a NBR 6118:014); 19

20 Eemlo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Flecha Diferida no Temo t 0 = 1 (temo, em meses, que foi alicado o carregamento) t > 70 (temo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha) D ( t) t t 0 t 0 ara t 70 meses D = - 0,6773 = 1,37 (t) = ara t > 70 meses Como: = 0 (não eiste armadura negativa) D a f 1 50 a f = 1,37 t 0.3 t t t 0.3 Eemlo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Flecha Diferida no Temo a f = a i a f = 0,0055 1,37 = 0,0073 m Flecha Total a T = a i 1 a f ) = 0,0055(1 + 1,37) = 0,0187 m < 4,0/50 = 0,016m OK! Segundo a NBR 6118 (014) este deslocamento deve estar limitado a l/50, sendo l o vão do elemento estrutural. 0

21 Eemlo e Detalhamento Abertura de Fissuras (Laje 1) w klim φ i σ si 4 w ,5ηb Esi ρri φi 3σ w 1,5η E f b si si ctm 7,5 c < 7,5 A cr é a área da região de envolvimento rotegida ela barra i ; E si é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada i ; i 7,5 7,5 7,5 Acr 7,5 a 7,5 (a < 15 é o diâmetro da barra que rotege a região de envolvimento considerada; ri é a taa de armadura em relação à área da região de envolvimento (A cri ); si h b é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e,5 barras nervuradas) Eemlo e Detalhamento Abertura de Fissuras (Laje 1) = g + 1 q = 4,3 kn/m (valor da carga ara a combinação frequente e 1 = 0,4 segundo a NBR 6118:014); M d = l / 8 = 4,34 / 8 = 8,6 kn.m/m A crit ρ σ E cri si A A s cri 5 73,8 Md 0,8.d.A si 1000kN/cm s 0,068 6,80% 860 0, ,88 kn/cm 7,5 7,5 7,5 c = 1,5 cm f ctm 0,565kN/cm 1

22 Eemlo e Detalhamento 8 6,88 w1 1,5, w w 0,038 mm 1 w 0,1 mm 8 3 6,88 1,5, , ,068 w 1 < w klim (tabela - NBR6118/014) w 1 < 0,4 mm OK! Eemlo e Detalhamento Laje L T5-5Ø 5,0 c/0 C = T1-0Ø 6,3 c/0 C = T4-0Ø 5,0 c/0 C = 406 T5-5Ø 5,0 c/0 C = T1-0Ø 6,3 c/0 C = T3-39Ø 8,0 c/10 C =

23 Eemlo e Detalhamento Lajes L=L3 Eemlo e Detalhamento Tio n cm C Unit m C Tot 1 6, , , , ,6 5 e ,8 C tot (m) Peso (kg) 5 361,4 55,7 6,3 8,4 0, 8 448,1 177,0 TOTAL 5,9 Taa de consumo or m 3 : 5,9 kg / 4,8 m 3 = 5,7 kg/m 3 3

24 B A a l C l l l = o menor vão teórico, l = o maior vão teórico (l l ). Normalmente, admitem-se as seguintes hióteses simlificadoras: vigas rigidas à fleão; aoios da laje sobre as vigas através de charneiras (rotação livre); a continuidade de lajes vizinhas quando estiverem no mesmo nível. m = momento fletor or unidade de largura com lano de atuação aralelo a l ; m = momento fletor or unidade de largura com lano de atuação aralelo a l. m ; a m ; a m ; m onde, as variáveis a e estão tabeladas em função dos seguintes arâmetros: tio de carga (or eemlo, distribuida uniforme) condições de aoio da laje (tios de aoio) relação (l / l ). 4

25 Tios de aoio usualmente emregados ara o cálculo das lajes l X charneira engaste l 1 A B 3 4A 4B 5A 5B 6 TABELA 1 - TIPO 1 Laje com as 4 bordas livremente aoiadas (carga uniforme) a / a a 1,00,7,7 1,4 1,05 0,8,5 19,4 1,10 19,3,3 17,8 1,15 18,1,3 16,5 1,0 16,9,3 15,4 1,5 15,9,4 14,3 1,30 15,,7 13,6 1,35 14,4,9 1,9 1,40 13,8 3,1 1,3 1,45 13, 3,3 11,7 1,50 1,7 3,5 11, 1,55 1,3 3,5 10,8 1,60 11,9 3,5 10,4 1,65 11,5 3,5 10,1 1,70 11, 3,5 9,8 1,75 10,8 3,5 9,5 1,80 10,7 3,5 9,3 1,85 10,4 3,5 9,1 1,90 10, 3,5 8,9 1,95 10,1 3,5 8,7,00 9,9 3,5 8,6 > 8,0 3,5 6,7 m a m a w ma 3 Eh 0, m 4 a m Beton-Kalender (1976) 5

26 TABELA - TIPO A Laje com 3 bordas livremente aoiadas e uma borda menor engastada (carga uniforme) / a a a 1,00 3,4 6,5 11,9 31, 1,05 9, 5,0 11,3 7,6 1,10 6,1 4,4 10,9 4,7 1,15 3,7 3,9 10,4,3 1,0,0 3,8 10,1 0,3 1,5 0, 3,6 9,8 18,7 1,30 19,0 3,7 9,6 17,3 1,35 17,8 3,7 9,3 16,1 1,40 16,8 3,8 9, 15,1 1,45 15,8 3,9 9,0 14, 1,50 15,1 4,0 8,9 13,5 1,55 14,3 4,0 8,8 1,8 1,60 13,8 4,0 8,7 1, 1,65 13, 4,0 8,6 11,7 1,70 1,8 4,0 8,5 11, 1,75 1,3 4,0 8,45 10,8 1,80 1,0 4,0 8,4 10,5 1,85 11,5 4,0 8,35 10,1 1,90 11,3 4,0 8,3 9,9 1,95 10,9 4,0 8,5 9,6,00 10,8 4,0 8, 9,4 > 8,0 4,0 8,0 6,7 m a m a m w ma 3 Eh 0, m m 4 a m Beton-Kalender (1976) TABELA 3 - TIPO B Laje com 3 bordas livremente aoiadas e uma borda maior engastada (carga uniforme) / a a a 1,00 6,5 3,4 11,9 31, 1,05 5,7 33,3 11,3 9, 1,10 4,4 33,9 10,9 7,4 1,15 3,3 34,5 10,5 6,0 1,0,3 34,9 10, 4,8 1,5 1,4 35, 9,9 3,8 1,30 0,7 35,4 9,7,9 1,35 0,1 37,8 9,4,1 1,40 19,7 39,9 9,3 1,5 1,45 19, 41,1 9,1 0,9 1,50 18,8 4,5 9,0 0,4 1,55 18,3 4,5 8,9 0,0 1,60 17,8 4,5 8,8 19,6 1,65 17,5 4,5 8,7 19,3 1,70 17, 4,5 8,6 19,0 1,75 17,0 4,5 8,5 18,7 1,80 16,8 4,5 8,4 18,5 1,85 16,5 4,5 8,3 18,3 1,90 16,4 4,5 8,3 18,1 1,95 16,3 4,5 8,3 18,0,00 16, 4,5 8,3 17,8 > 14, 4,5 8,0 16,7 m m a m a m w ma 3 Eh 0, m 4 a m Beton-Kalender (1976) 6

27 TABELA 4 - TIPO 3 Laje com bordas adjacentes engastadas e as outras duas livremente aoiadas (carga uniforme) / a a a 1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 3,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 1,7 13,6 34,5 1,15 8,0 33,9 1,0 13,3 31,7 1,0 6,4 34,0 11,5 13,1 9,9 1,5 4,9 34,4 11,1 1,9 8, 1,30 3,8 35,0 10,7 1,8 6,8 1,35 3,0 36,6 10,3 1,7 5,5 1,40, 37,8 10,0 1,6 4,5 1,45 1,4 39,1 9,8 1,5 3,5 1,50 0,7 40, 9,6 1,4,7 1,55 0, 40, 9,4 1,3,1 1,60 19,7 40, 9, 1,3 1,5 1,65 19, 40, 9,1 1, 1,0 1,70 18,8 40, 8,9 1, 0,5 1,75 18,4 40, 8,8 1, 0,1 1,80 18,1 40, 8,7 1, 19,7 1,85 17,8 40, 8,6 1, 19,4 1,90 17,5 40, 8,5 1, 19,0 1,95 17, 40, 8,4 1, 18,8,00 17,1 40, 8,4 1, 18,5 > 14, 40, 8,0 1,0 16,7 m m a m a m m w ma 3 Eh 0, m m 4 a m Beton-Kalender (1976) TABELA 5 - TIPO 4A Laje com bordas maiores livremente aoiadas e duas bordas menores engastadas (carga uniforme) a / a a 1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 9,8 13,4 39, 1,10 36,0 8,8 1,7 34,4 1,15 31,9 7,7 1,0 30,4 1,0 9,0 6,9 11,5 7, 1,5 6, 6,1 11,1 4,5 1,30 4,1 5,6 10,7,3 1,35,1 5,1 10,3 0,4 1,40 0,6 4,8 10,0 18,8 1,45 19,3 4,6 9,75 17,5 1,50 18,1 4,4 9,5 16,3 1,55 17,0 4,3 9,3 15,3 1,60 16, 4,3 9, 14,4 1,65 15,4 4,3 9,05 13,7 1,70 14,7 4,3 8,9 13,0 1,75 14,0 4,3 8,8 1,4 1,80 13,5 4,3 8,7 11,9 1,85 13,0 4,3 8,6 11,4 1,90 1,6 4,3 8,5 11,0 1,95 1,1 4,3 8,4 10,6,00 11,8 4,3 8,4 10,3 > 8,0 4,3 8,0 6,7 m a m a m w ma 3 Eh 0, m m 4 a m m Beton-Kalender (1976) 7

28 TABELA 6 - TIPO 4B Laje com bordas maiores engastadas e duas bordas menores livremente aoiadas (carga uniforme) / a a a 1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 9,9 46,4 13,8 43, 1,10 9,0 47, 13,5 41,5 1,15 8,0 47,7 13, 40,1 1,0 7, 48,1 13,0 39,0 1,5 6,4 48, 1,7 37,9 1,30 5,8 48,1 1,6 37, 1,35 5,3 47,9 1,4 36,5 1,40 4,8 47,8 1,3 36,0 1,45 4,4 47,7 1, 35,6 1,50 4, 47,6 1, 35,1 1,55 4,0 47,6 1,1 34,7 1,60 4,0 47,6 1,0 34,5 1,65 4,0 47,6 1,0 34, 1,70 4,0 47,4 1,0 33,9 1,75 4,0 47,3 1,0 33,8 1,80 4,0 47, 1,0 33,7 1,85 4,0 47,1 1,0 33,6 1,90 4,0 47,1 1,0 33,5 1,95 4,0 47,1 1,0 33,4,00 4,0 47,0 1,0 33,3 > 4,0 47,0 1,0 3,0 m m a m a m w ma 3 Eh 0, m 4 a m Beton-Kalender (1976) m TABELA 7 - TIPO 5A Laje com bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e outra livremente aoiada (carga uniforme) a / a a 1,00 44,6 38,1 18,3 16, 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,0 3,1 36, 13,5 13,9 36,7 1,5 9,8 36,1 1,7 13,5 33,8 1,30 8,0 36, 1, 13,3 31,7 1,35 6,4 36,6 11,6 13,1 9,7 1,40 5, 37,0 11, 13,0 8,1 1,45 4,0 37,5 10,9 1,8 6,6 1,50 3,1 38,3 10,6 1,7 5,5 1,55,3 39,3 10,3 1,6 4,5 1,60 1,7 40,3 10,1 1,6 3,6 1,65 1,1 41,4 9,9 1,5,8 1,70 0,4 4,7 9,7 1,5,1 1,75 0,0 43,8 9,5 1,4 1,5 1,80 19,5 44,8 9,4 1,4 1,0 1,85 19,1 45,9 9, 1,3 0,5 1,90 18,7 46,7 9,0 1,3 0,1 1,95 18,4 47,7 8,9 1,3 19,7,00 18,0 48,6 8,8 1,3 19,3 > 14, 48,6 8,0 1,0 16,7 m m a m a m m w ma 3 Eh 0, m m m 4 a m Beton-Kalender (1976) 8

29 TABELA 8 - TIPO 5B Laje com bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e outra livremente aoiada (carga uniforme) / a a a 1,00 38,1 44,6 16, 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 3,0 47,1 14, 17,6 46,1 1,0 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,5 9,5 47,7 13,5 17,5 4,5 1,30 8,4 47,7 13, 17,5 41, 1,35 7,6 47,9 1,9 17,5 39,9 1,40 6,8 48,1 1,7 17,5 38,9 1,45 6, 48,3 1,6 17,5 38,0 1,50 5,7 48,7 1,5 17,5 37, 1,55 5, 49,0 1,4 17,5 36,5 1,60 4,8 49,4 1,3 17,5 36,0 1,65 4,5 49,8 1, 17,5 35,4 1,70 4, 50, 1, 17,5 35,0 1,75 4,0 50,7 1,1 17,5 34,6 1,80 4,0 51,3 1,1 17,5 34,4 1,85 4,0 5,0 1,0 17,5 34, 1,90 4,0 5,6 1,0 17,5 33,9 1,95 4,0 53,4 1,0 17,5 33,8,00 4,0 54,1 1,0 17,5 33,7 > 4,0 54,0 1,0 17,5 3,0 m m a m a m m w ma 3 Eh 0, m m 4 a m Beton-Kalender (1976) m TABELA 9 - TIPO 6 Laje com as 4 bordas engastadas (carga uniforme) a / a a 1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18, 18,8 6,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,0 35, 49,3 15,5 17,9 50,3 1,5 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 9,6 54,8 13,7 17,5 4,0 1,45 8,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 7,8 57,3 13, 17,5 39,5 1,55 7, 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 6,6 57,8 1,8 17,5 37,6 1,65 6,1 57,9 1,7 17,5 36,9 1,70 5,5 57,8 1,5 17,5 36,3 1,75 5,1 57,7 1,4 17,5 35,8 1,80 4,8 57,6 1,3 17,5 35,4 1,85 4,5 57,5 1, 17,5 35,1 1,90 4, 57,4 1,1 17,5 34,7 1,95 4,0 57, 1,0 17,5 34,5,00 4,0 57,1 1,0 17,5 34,3 > 4,0 57,0 1,0 17,5 3,0 m m a m a m m w ma 3 Eh 0, m m m 4 a m Beton-Kalender (1976) m 9

30 Para os isos usuais de edifícios residenciais e comerciais (sobrecargas de valores moderados) ode ser alicado o método simlificado eosto a seguir a) lajes isoladas: inicialmente, isolam-se as lajes, admitindo-se, ara cada uma delas, as seguintes condições de aoio: aoio livre, quando não eistir laje vizinha junto a este aoio; aoio engastado, quando eistir laje vizinha no mesmo nível ermitindo, assim, a continuidade da armadura negativa de fleão de uma laje ara a outra; vigas rígidas de aoio da laje; e, calculam-se os momentos fletores máimos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (m, m, m e m ). b) correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes vizinhas: momentos sobre os aoios comuns às lajes adjacentes: adota-se ara momento fletor de comatibilização, o maior valor entre 0,8 m > e (m 1 + m ) /, onde m 1 e m são os valores absolutos dos momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao aoio considerado e, m >, o maior momento entre m 1 e m. momentos nos vãos: ara sobrecargas usuais de edifícios odem ser adotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas; ortanto. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções, rincialmente, quando acarretar aumento no valor do momento fletor. Para isso, eistem tabelas aroriadas. 30

31 Dimensionamento a momento fletor a) altura útil Do mesmo modo que ara as lajes armadas em uma direção, as alturas úteis são dadas or: d = h - c - / ; d = h - c - - / odendo ser estimadas, nas lajes usuais, or d h - c - 0,5 cm ; d h - c - 1,0 cm 31

32 b) cálculo de A s m d = (g f m, g f m ou g f m ) onde g f = 1,4 (kn.cm/m) d = (d ou d ) (cm) A s = (A s ou A s ) (cm / m) b = 100 cm f cd = f ck / g c (g c = 1,4) (kn/cm ) f d = f k / g s (g s = 1,15) (kn/cm ) Para 34 : 1,5d1 m 1 d 0,45bd fcd Armadura: m A d s fd(d 0,4) onde A s = A s ara m = m ; A s = A s ara m = m ; A s = A s ara m = m 3

33 Armaduras mínimas (tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/003) armaduras de vão: A s = (A s ou A s ) 0,9 cm /m e A s s bh armaduras sobre os aoios de continuidade: A s 1,5 cm /m ' A s s bh Escolha das barras diâmetro: 4 mm h/8 esaçamento entre as barras: 0cm armadura nos vãos: A s 8 cm s h armaduras nos aoios: A s 8cm s 0cm 33

34 Regras usuais de arranjo das armaduras de lajes Casos Particulares 34

35 Casos Particulares Casos Particulares menor menor 3 3 maior maior 35

36 Eemlo f ck = 5 MPa Aço CA50A c l = 1,5 cm (cobrimento das lajes) q =,0 kn/m (escolas outras salas) h = 10 cm vigas: b w = 1 cm c v =,0 cm CAA I (ara efeito de ELS-W) Agregado graúdo: granito Eemlo e Detalhamento eso rório = 0,105 =,5 kn/m revestimento = 1,0 kn/m g = 3,5 kn/m (carga ermanente) q =,0 kn/m (carga de ocuação) = g + q = 5,5 kn/m (carga total) Laje Tio l l l /l a a - - m m m m L1 3 3,5 4,0 5,5 1,14 8,0 33,9 1,0 13,3,4,0-5,6-5,1 L3 5B 3,5 4,0 5,5 1,14 3,0 47,1 14, 17,6,1 1,4-4,7-3,8 36

37 Eemlo e Detalhamento Aoio m esq m dir 0,8m > m médio m ij L1-L m =-5,1 m =-5,1-4,1-5,1 m 1 =-5,1 L1-L3 m =-5,6 m =-4,7-4,5-5, m 13 =-5, L3-L4 m =-3,8 m =-3,8-3,0-3,8 m 34 =-3,8 L3-L5 m =-4,7 m =-4,7 m 35 =-4,7 Laje d (cm) m (kn.cm) m d (kn.cm) (cm) A s (cm ) s % A smin (cm ) A sf Escolha 8,0 m = ,35 0,98 0,10 1,00 1,00 5 c/0 L1 7,5 m = ,31 0,87 1,00 (L) 8,0 m 1 = ,76,13,13 6,3 c/15 0,15 1,50 8,0 m 13 = ,78,18,18 6.,3 c/16 L3 (L4) (L5) 8,0 7,5 8,0 8,0 m = ,3 0,86 1,00 m = , 0,60 0,10 1,00 1,00 5 c/0 m 34 = ,56 1,57 1,57 F5 c/1 m 35 = ,70 1,96 0,15 1,50 1,96 6,3 c/16 Detalhamento 37

38 Verificação ao Cisalhamento (Laje 1) onde: Rd = 0,5 f ctd = 0,3 MPa f ctd = f ctk,inf / g c = 1,8 MPa V Sd V Rd1 A resistência de rojeto ao cisalhamento é dada or: V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 c ] b w d f ctk,inf = 0,7.f ct,m = 0,7,565 = 1,795 MPa f ct,m = 0,3.f ck /3 = 0,3 5 /3 =,565 MPa 1 = A s /b w.d = 1 /100 8,0 = 0,15% (não maior que 0,0) k = 1,6 d [m] = 1,6 0,08 = 1,5 onde: A s = 1 cm (considerando toda a armadura) b w = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); c = N Sd / A c = 0 N Sd = 0 ois não eiste força longitudinal na seção devida à rotensão ou carregamento. Assim, V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 c ] b w.d = [0,03 1,5(1, ,0015)+ 0]100 8 = V Rd1 = 48,64 kn/m V Sd =. g f = 4,8 1,4 = 6,7 kn/m V Rd1 = 48,64 > 6,7 = V Sd Não há a necessidade de estribos! 38

39 Verificação da Flecha (Laje 1) Cálculo do Momento de Fissuração M r = (a.f ct,m. I c )/ t = (1, , ) / 0,05 = 6,4 kn.m a = 1,5 ara seção retangular; f ct,m já calculado anteriormente ara o cisalhamento I c = b.h 3 /1 que é momento de inércia da seção de base 100 cm ESTÁDIO I; t = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada) Como : M r = 6,4 kn.m >,4 kn.m = M Não se faz necessário o cálculo da flecha em ESTÁDIO II. Mesmo em Estádio I a norma recomenda o uso do módulo secante do concreto ara o cálculo do Estado Limite de Deformações Ecessivas. Verificação da Flecha (Laje 1) Flecha Imediata a i = (b..l 4 ) / 1.EI 0. a = (1 4,1 3,5 4 ) / ,34 31,7 = 0, m Onde: a = 31,7 (laje tio 3 com l/l = 1,15); = g + q = 4,1 kn/m (valor da carga ara a combinação quase ermanente ( = 0,3 não há equiamentos fios e não há concentração de essoas); Flecha Diferida no Temo t 0 = 1 (temo, em meses, que foi alicado o carregamento) t > 70 (temo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha) 39

40 Verificação da Flecha (Laje 1) D ( t) t t 0 t 0 t (t) = 0.3 t t t 0.3 ara t 70 meses ara t > 70 meses D = - 0,6773 = 1,37 Como: = 0 (não eiste armadura negativa) D a f a f = 1, Verificação da Flecha (Laje 1) Flecha Diferida no Temo a f = a i a f = 0, ,37 = 0,0011 m Flecha Total a T = a i.1 a f ) = 0,000815(1 + 1,37) = 0,00189 m 40

41 Abertura de Fissuras (Laje 1) φ i σ si 4 w ,5ηb Esi ρri w klim 7,5 7,5 7,5 φi 3σ si w 1,5η E f b si ctm A cr é a área da região de envolvimento rotegida ela barra i ; E si é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada i ; i 7,5 c < 7,5 é o diâmetro da barra que rotege a região de envolvimento considerada; ri é a taa de armadura em relação à área da região de envolvimento (A cri ); si h b é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e,5 barras nervuradas) Acr 7,5 a 7,5 (a < 15 Abertura de Fissuras (Laje 1) = g + 1 q = 4,3 kn/m (valor da carga ara a combinação frequente ( 1 = 0,4 segundo a NBR 6118:014); M d = l / 8 = 4,33,5 / 8 = 1,9 kn.m/m ρ cri A A s cri 1 39,38 0,054,54% A crit σ si Md 0,8.d.A E f si ctm s 190 0, kN/cm 0,565kN/cm 9,7kN/cm 7,5 7,5 7,5 c = 1,5 cm 41

42 Abertura de Fissuras (Laje 1) w 1 5 1,5.,5 w 0,051 mm 1 9, , ,7 w 1,5., ,56 w 0,09 mm 45 w 1 < w klim (tabela - NBR6118/014) w 1 < 0,4 mm OK! 4