Fig Módulos sobre lajes maciças. Conforme se observa, o programa possui os seguintes módulos:

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1 Capítulo 2 LAJES MACIÇAS 2.1 Módulos para cálculo de lajes maciças Na fig , apresenta-se uma parte da janela principal do PACON 2006, mostrando os submenus correspondentes aos módulos para cálculo e dimensionamento de lajes maciças. Fig Módulos sobre lajes maciças Conforme se observa, o programa possui os seguintes módulos: Flexão simples Realiza o dimensionamento das armaduras das lajes maciças. Entrando com a espessura da laje e com o momento fletor de serviço M k (knm/m), o programa fornece a área da armadura As (cm 2 /m) e o detalhamento: diâmetro e espaçamento das barras. Cisalhamento Verifica se há necessidade de colocação de estribos nas lajes maciças. Entrando com a altura útil, a armadura longitudinal e o

2 12 Curso de Concreto Armado esforço cortante de serviço V k (kn/m), o programa fornece a tensão de cisalhamento solicitante τ wd (MPa) e a tensão limite τ wu1 (MPa), indicando se há ou não necessidade de armadura transversal na laje. Lajes retangulares Módulos para cálculo dos momentos fletores, flecha e reações de apoio das lajes retangulares. Neste caso, há os dois submenus: Apoiadas no contorno e Com um bordo livre. A) Apoiadas no contorno: Calcula lajes retangulares apoiadas nos quatro lados. Neste caso, há dois submenus: Carga uniforme e Cargas diversas. A.1) Carga uniforme: Calcula lajes retangulares com carga uniformemente distribuída. Os lados podem ser engastados ou simplesmente apoiados, havendo seis situações previstas. A.2) Cargas diversas: Calcula lajes retangulares simplesmente apoiadas nos quatro lados. Há três tipos de carga previstos: carga concentrada, carga linear e carga distribuída em uma área reduzida. B) Com um bordo livre: Calcula lajes retangulares possuindo um bordo livre e submetida a uma carga uniformemente distribuída. Os três lados apoiados podem ser engastes ou apoios simples, havendo quatro situações previstas. Lajes circulares Módulo para cálculo de lajes circulares submetidas a uma carga uniformemente distribuída. O contorno da laje pode ser engaste ou apoio simples. Lajes poligonais Módulo para cálculo aproximado de lajes poligonais com diversas condições de contorno e geometria variada. O cálculo é feito através da discretização da laje em uma grelha. A grelha é analisada pelo método da rigidez.

3 Calculando com o PACON Lajes maciças - Flexão simples O dimensionamento das armaduras das lajes maciças é feito empregando-se a metodologia desenvolvida no capítulo 3 do Volume 1 de Curso de Concreto Armado [1]. Entretanto, o programa só aceita a solução com armadura simples, ou seja, quando a ruptura ocorre nos domínios 2 e 3. Se resultar armadura dupla, quando μ > μlim, o programa exibe uma mensagem para que o usuário aumente a espessura da laje. Além dos alertas gerais descritos no capítulo 1, esse módulo apresenta algumas mensagens de aviso específicas. Sempre que a espessura h da laje for menor que 5cm, é exibida uma mensagem informando que esta é a menor espessura das lajes maciças admitida na NBR O programa testa a altura útil d fornecida com o valor padrão d = h φ c (2.2.1) onde φ é o diâmetro das barras de aço e c é o cobrimento nominal. Se a altura útil fornecida for maior que o valor calculado em (2.2.1), o programa avisa que o cobrimento nominal não será respeitado, conforme a classe de agressividade ambiental. A classe de agressividade admitida pelo programa depende do valor de f ck escolhido e pode não ser a classe correta. Por exemplo, se for especificado fck = 25 MPa, o programa admite que se trata da Classe II. Na verdade pode-se empregar um concreto com f ck = 25 MPa para a Classe I. Neste caso, a mensagem de alerta deve ser ignorada. Se o aço for o CA-50 ou o CA-60, o programa verifica se há concordância com o diâmetro escolhido e emite um alerta em caso de divergência. Deve-se observar que, se for adotado f yk = 600 MPa e φ = 6.3, por exemplo, a mensagem alerta para a necessidade de se usar f yk = 500 MPa, pois φ = 6. 3 corresponde ao aço CA-50. Por outro lado, se for adotado f yk = 500 MPa e φ = 5, por exemplo, a

4 14 Curso de Concreto Armado mensagem alerta para a possibilidade de se usar f yk = 600 MPa, pois φ = 5 corresponde ao aço CA-60. Após o cálculo da área de aço, A s, é feita a comparação com a armadura mínima, A s, min = ρmin100h, onde a taxa mínima é dada por 2 3 0,0784 fck ρ min = 0,15% (2.2.2) f yd com fck e f yd em MPa. O detalhamento da armadura é feito com as regras apresentadas no capítulo 4 do Volume 2 [1]. Após calcular o espaçamento S das barras, é feita uma comparação com o espaçamento máximo. Se estiver sendo dimensionada armadura principal para momento positivo, garante-se que S 20 cm e S 2h. Nos outros casos, garante-se que S 33 cm. O programa considera um espaçamento mínimo de 7cm. Se resultar S < 7 cm, deve-se aumentar o diâmetro das barras de aço. Observa-se que as regras relativas às armaduras de distribuição não são consideradas. O programa deve ser usado para o detalhamento das armaduras principais, positivas ou negativas. Além disso, há outras mensagens de alerta referentes à consistência dos dados de entrada. Exemplo: Dimensionar as armaduras de uma laje maciça com os seguintes dados: Concreto: fck = 20 MPa; Aço: CA-60 Espessura h = 10 cm; Momento de serviço: M k = 4 knm/m Na fig , apresenta-se o formulário com os dados e a solução φ 5 c. 13 cm. Neste caso, nenhuma mensagem de alerta foi exibida, pois todos os dados estão corretos. Na fig , apresenta-se o relatório correspondente a este exemplo, o qual pode ser visualizado e impresso.

5 Calculando com o PACON Fig Formulário com dados e resposta Fig Relatório visualizado e impresso

6 16 Curso de Concreto Armado Exercícios: 1. Repetir o exemplo anterior considerando fck = 25 MPa e f ck = 30 MPa. Ignorar a mensagem referente ao cobrimento, ou seja, manter a altura útil d = 7,5 cm. 2. Repetir o dimensionamento para os três valores de f ck e para o momento fletor de serviço M k = 7 knm/m, mantendo d = 7, 5 cm. Que conclusões podem ser tiradas desses resultados? 2.3 Lajes maciças - Cisalhamento O programa verifica se há necessidade de armaduras transversais nas lajes maciças. A verificação é feita conforme o capítulo 6 do Volume 1 [1]. A armadura transversal é dispensada se onde V ( b d ) τ wd τ wu1 (2.3.1) τ wd = d w é a tensão convencional de cisalhamento, sendo b w = 100 cm. A tensão limite τ wu1 depende da resistência do concreto, da altura útil da laje e da taxa de armadura longitudinal de tração que chega ao apoio, conforme apresentado no Volume 1 [1]. Se resultar τ wd > τ wu 1, indicando a necessidade de armaduras transversais, é conveniente ir aumentando a espessura da laje até que a equação (2.3.1) seja atendida, para facilitar a execução. Na fig , apresenta-se o formulário com os dados e a resposta de um exemplo.

7 Calculando com o PACON Fig Formulário com dados e resposta Exercícios: Considere uma laje quadrada, de vãos l x = l y = 4 m, simplesmente apoiada nos quatro lados e submetida a uma carga uniformemente distribuída. Na tabela 2.3.1, apresentam-se alguns valores para a carga de serviço p k, os momentos fletores no centro da laje M k e o esforço cortante Vk, obtidos com o módulo para cálculo de lajes retangulares. Tabela Dados para verificação p k (kn/m 2 ) M k (knm/m) V k (kn/m) 5,0 3,52 5,00 7,5 5,29 7,50 10,0 7,05 10,00 Considere os seguintes dados adicionais: fck = 20 MPa; f yk = 600 MPa; h = 10 cm; d = 7, 5 cm.

8 18 Curso de Concreto Armado 1. Empregando o módulo Lajes maciças Flexão simples, dimensionar as armaduras longitudinais da laje para os três casos de carga indicados na tabela Com as armaduras obtidas no passo anterior, verificar se é necessário colocar estribos na laje. Considerar as duas opções para a porcentagem da armadura que chega ao apoio: menor que 50%; maior ou igual a 50%. 3. Com base no carregamento típico das lajes dos edifícios residenciais e nos resultados obtidos, o que pode ser concluído a respeito do cisalhamento nas lajes maciças? 2.4 Lajes maciças Lajes retangulares Apoiadas no contorno Carga uniforme Este módulo permite calcular os momentos fletores, as reações de apoio e a flecha das lajes retangulares apoiadas em todo o contorno. A carga é uniformemente distribuída e os lados podem ser simplesmente apoiados ou engastados. O módulo substitui as tabelas A2.1 a A2.6 do Volume 2 [1]. Para a laje simplesmente apoiada nos quatro lados, há a opção de fazer o cálculo da laje sem as armaduras de canto. Neste caso, o programa combina a tabela A2.1 e a tabela 3.5.6, pela consideração dos coeficientes de majoração k x, k y e kc. O programa utiliza fórmulas de interpolação, determinadas a partir dos coeficientes das tabelas. Logo, poderá haver alguma diferença entre os resultados obtidos com o programa e aqueles obtidos com as tabelas. Entretanto, essas diferenças são insignificantes. Em todos os módulos para cálculo de esforços em lajes maciças, considera-se o coeficiente de Poisson ν = 0, 2. A flecha final no centro da laje, incluindo os efeitos da fluência do concreto, é calculada para a carga quase permanente p o = g + 0, 3q, onde g é a carga permanente e q é a carga acidental. Os momentos fletores e as reações de apoio são calculados para a carga total de serviço p k = g + q.

9 Calculando com o PACON A flecha final W é dada por ( + ) o W = 1 ϕ W (2.4.1) onde ϕ é o coeficiente de fluência e W o é a flecha inicial, conforme as tabelas A2.1 a A2.6. Para a laje sem armaduras de canto, a flecha final é dada por ( k c + ϕ) Wo W = (2.4.2) onde k c é o coeficiente de majoração da flecha, conforme a tabela Em todos os módulos que dependem do coeficiente de fluência, o programa considera o valor padrão ϕ = 2, 5. Os vãos da laje devem ser escolhidos conforme é mostrado na janela do módulo. O vão l x é sempre aquele que corta o maior número de engastes. Se a laje for armada em uma direção ( l y l x > 2 ou l x l y > 2 ), o cálculo dos momentos fletores e da flecha é feito como viga de largura unitária na direção do menor vão. As reações de apoio são calculadas pela teoria das linhas de ruptura, conforme o capítulo 1 do Volume 2 [1]. O programa também calcula a flecha admissível, dada por Vão menor W adm = (2.4.3) 250 Exemplo: Calcular a laje da fig , simplesmente apoiada em todo o contorno. A laje corresponde ao piso de um dormitório de apartamento. Este exemplo é apresentado nas páginas 56 a 59 do Volume 2 [1].

10 20 Curso de Concreto Armado y h=8 cm l y =3 m l x =4 m x Fig Laje retangular apoiada nos quatro lados com carga uniforme O carregamento é constituído das seguintes parcelas: - peso próprio: 25h = 25x0,08 = 2,0 kn/m 2 - revestimento:... = 0,8 kn/m 2 - carga acidental:... = 1,5 kn/m 2 Carga permanente: g = 2, 8 kn/m 2 Carga acidental: q = 1, 5 kn/m 2 Vãos: lx = 4 m ; l y = 3 m Concreto: fck = 20 MPa; módulo secante conforme o CEB/90; coeficiente de fluência: ϕ = 2, 5. Na fig , apresenta-se o formulário com os dados do problema. Para obter os resultados correspondentes à tabela A2.1, ou seja, sem levar em conta a falta das armaduras de canto, basta clicar no botão Calcular. Os resultados são apresentados na fig e podem ser comparados com os valores obtidos no Volume 2 [1], através do emprego da tabela A2.1.

11 Calculando com o PACON Fig Formulário com os dados do exemplo Fig Resultados para laje com armaduras de canto

12 22 Curso de Concreto Armado Na fig , apresenta-se o relatório típico para esse módulo. Fig Relatório visualizado e impresso Exercícios: Utilizar o PACON 2006 para projetar as lajes do pavimento tipo do edifício modelo apresentado na referência [2]. Os vãos de cálculo e as cargas são dados nas páginas 31 a 33 da referência [2]. Considerar todas as lajes simplesmente apoiadas e sem armaduras de canto.

13 Calculando com o PACON Comparar as reações de apoio com os valores fornecidos na página Comparar as flechas com os valores fornecidos na página Comparar os momentos fletores com os valores fornecidos na página Comparar as armaduras com os valores fornecidos na página Lajes maciças Lajes retangulares Apoiadas no contorno Cargas diversas Este módulo permite calcular os momentos fletores e a flecha no centro de uma laje retangular simplesmente apoiada nos quatro lados, submetida aos seguintes tipos de carga: - carga concentrada; - carga linear; - carga distribuída em área reduzida. Em todos os casos, a solução é obtida empregando-se a série dupla de Fourier (solução de Navier), conforme apresentado no capítulo 2 do Volume 2 [1]. O programa não faz nenhuma majoração devido à ausência das armaduras de canto. O módulo substitui as tabelas A2.19 e A2.20 do Volume 2. O cálculo é feito separadamente para cada tipo de carga. Uma vez que os momentos fletores e a flecha são fornecidos no centro da laje, esse módulo pode ser combinado com o anterior, aplicando-se a superposição dos efeitos. 2.6 Lajes maciças Lajes retangulares Com um bordo livre Este módulo permite calcular os momentos fletores, as reações de apoio e a flecha das lajes retangulares apoiadas em três lados, com o outro lado em bordo livre. A carga é uniformemente distribuída e os lados apoiados podem ser engastes ou apoios simples. O módulo substitui as tabelas A2.7 a A2.10 do Volume 2 [1]. Os momentos fletores e a flecha são obtidos por meio de fórmulas de interpolação, determinadas a partir dos coeficientes das

14 24 Curso de Concreto Armado tabelas. As reações de apoio são obtidas pela teoria das linhas de ruptura, como na tabela A2.11. A flecha final no centro da laje e no meio do bordo livre, incluindo os efeitos da fluência do concreto, é calculada para a carga quase permanente p o = g + 0, 3q. Os momentos fletores e as reações de apoio são calculados para a carga total de serviço p k = g + q. O vão l y é sempre perpendicular ao bordo livre. Se resultar, l y l x > 2, o programa considera l y l x = 2 (última linha das tabelas). Se resultar l y l x < 0, 3, o programa considera l y l x = 0,3 (primeira linha das tabelas). 2.7 Lajes maciças Lajes circulares Este módulo permite calcular os momentos fletores e a flecha de lajes circulares, submetidas a uma carga uniformemente distribuída. Consideram-se os casos de contorno engastado e contorno simplesmente apoiado. As soluções são baseadas na teoria de placas e foram extraídas da referência [8]. A flecha final no centro da laje, incluindo os efeitos da fluência do concreto, é calculada para a carga quase permanente p o = g + 0, 3q. Os momentos fletores são calculados para a carga total de serviço p k = g + q. Na fig , apresenta-se um elemento de laje circular e os momentos fletores solicitantes: momento radial M r e momento circunferencial M c.

15 Calculando com o PACON R ϕ M c M r Fig Momentos fletores em uma laje circular As seguintes expressões foram extraídas da referência [8]: A) Laje simplesmente apoiada Flecha inicial no centro da laje: 4 ( 5 + ν ) pr W o = 64( 1+ ν )D (2.7.1) Momentos fletores no centro da laje: 2 ( 3 +ν ) pr M r = M c = (2.7.2) 16 B) Laje engastada Flecha inicial no centro da laje: 4 pr W o = (2.7.3) 64D Momentos fletores no centro da laje: 2 ( 1+ν ) pr M r = M c = (2.7.4) 16

16 26 Curso de Concreto Armado Momento radial negativo no contorno: 2 pr M er = (2.7.5) 8 Nessas expressões, p é a carga uniforme, R é o raio da laje, ν = 0,2 é o coeficiente de Poisson do concreto e D é a rigidez à flexão da laje, conforme o capítulo 2 do Volume 2 [1]. Para facilitar a armação, pode-se empregar uma armadura em malha para o momento fletor positivo resultante M, dado por 2 r 2 c M = M + M = M 2 (2.7.6) r 2.8 Lajes maciças Lajes poligonais Este módulo permite calcular lajes poligonais pela analogia da grelha. Trata-se, portanto, de um método numérico que fornece uma solução aproximada para o problema. Quando se tratar de lajes retangulares ou de lajes circulares, deve-se empregar os módulos descritos anteriormente, os quais são baseados na teoria de placas. Inicialmente, a laje poligonal é discretizada através de dois conjuntos de linhas uniformemente espaçadas, como indicado na fig Essas linhas formam uma grelha equivalente que substitui a laje maciça, de forma aproximada. As barras da grelha dispostas segundo a direção x possuem seção retangular com largura b = Δy e altura h, onde Δ y é a distância entre as barras, conforme a fig , e h é a espessura da laje maciça. As barras dispostas segundo a direção y possuem largura b = Δx e altura h. Resolvendo a grelha pelo método da rigidez, obtém-se os deslocamentos nodais, os momentos fletores, os momentos torçores e os esforços cortantes em cada barra. Os resultados são muito dependentes da rigidez à torção das barras da grelha. Isto é controlado através da relação β = K K1 que é fornecida como dado de entrada. A rigidez à flexão das barras da grelha é dada por

17 Calculando com o PACON K 1 E bh = 12 ν 3 cs 2 ( 1 ) (2.8.1) onde Ecs é o módulo secante e ν = 0, 2 é o coeficiente de Poisson do concreto. A rigidez à torçao das barras da grelha equivalente é K t ( 1 ν ) K1 = β (2.8.2) Na teoria de placas tem-se β = 1, o que leva a grandes momentos torçores e a exigência das armaduras de canto, nos cantos simplesmente apoiados das lajes maciças. Um valor razoável para lajes retangulares sem armaduras de canto é β = 0, 5. Para evitar problemas numéricos, deve-se adotar 0,01 β 1. Δy/2 Δy y Barra da grelha Contorno da laje Δy Δy Nó Δy Δy Δy/2 Δx/2 Δx Δx Δx Δx Δx Δx/2 x Fig Discretização da laje poligonal

18 28 Curso de Concreto Armado As barras da grelha são carregadas com a carga uniforme equivalente p eq, dada por p eq ( g + q) A =, kn/m (2.8.3) ltot onde g = carga permanente na laje maciça (kn/m 2 ); q = carga acidental na laje maciça (kn/m 2 ); A = área da laje maciça poligonal (m 2 ); l tot = soma dos comprimentos das barras da grelha (m). O programa calcula a flecha máxima para a carga quase permanente p o = g + 0, 3q. Os momentos fletores e as reações de apoio são calculados para a carga total de serviço p k = g + q. Os momentos fletores na laje maciça, por unidade de comprimento, são obtidos das relações M x M xo = ; Δy M y M yo = (2.8.4) Δx onde M xo e M yo são os momentos fletores nas barras da grelha, segundo as direções x e y, respectivamente. As reações de apoio da grelha são distribuídas uniformemente em cada lado da laje maciça. As condições de contorno em um lado da laje podem ser de apoio simples, engaste perfeito ou bordo livre. Ao resolver a laje como grelha, resultam descontinuidades no diagrama de momentos fletores segundo cada direção, devido à torção das barras da direção ortogonal. Isto é indicado na fig O programa determina o momento médio em cada nó e fornece o diagrama de momentos fletores suavizado, como indicado na fig pela linha tracejada.

19 Calculando com o PACON y Grelha x Diagrama de M x Fig Descontinuidades no diagrama de momentos fletores O programa possui um gerador de malha com as opções: Grossa, Média, Fina e Refinar mais. Essa última opção permite fazer sucessivos refinamentos da malha a partir de uma malha inicial. Inicialmente, é necessário fornecer a geometria da laje. Os vértices da poligonal devem ser numerados no sentido anti-horário e o último vértice não deve coincidir com o primeiro (o circuito deve ficar aberto). Na fig , indica-se a numeração dos vértices para uma laje retangular e para uma laje em L. y x Fig Numeração dos vértices da poligonal

20 30 Curso de Concreto Armado No arquivo C:\PACON\EXEMPLOS\Laje1.pac encontram-se os dados correspondentes à laje em L apresentada na fig do Volume 2 [1]. Para abrir o arquivo, basta clicar no botão Abrir da barra de ferramentas e localizar o arquivo. O programa fornece os seguintes resultados: Momentos fletores máximos, mínimos e no centro da laje para as direções x e y (em knm/m): Flecha final máxima da laje, incluindo a fluência do concreto (em mm). Reações de apoio uniformemente distribuídas em cada lado (em kn/m). Diagramas de momentos fletores M x e M y. Exemplo: Calcular a laje da fig , empregando o módulo Lajes maciças Lajes poligonais. Os dados são os mesmos do exemplo da seção 2.4. Na fig , apresenta-se o formulário com os resultados correspondentes a uma malha Fina. Fig Resultados para malha Fina

21 Calculando com o PACON Na tabela 2.8.1, apresentam-se os resultados obtidos na seção 2.4, empregando-se o módulo baseado na teoria de placas, e os resultados obtidos com a teoria das grelhas. Observa-se que a aproximação obtida é satisfatória. Tabela Comparação dos resultados Teoria de placas Teoria das grelhas Flecha Wtot (mm) 5,34 5,53 Momento M x (knm/m) 1,71 1,31 Momento M y (knm/m) 2,65 2,64 Reação Rx (kn/m) 3,91 3,97 Reação Ry (kn/m) 3,39 3,31 Exercícios: Considere uma laje retangular, simplesmente apoiada nos quatro lados, com os seguintes dados: Concreto: fck = 20 MPa; ϕ = 2, 5 ; Ecs = MPa (Valores inicializados automaticamente pelo programa) Carga permanente: g = 3, 5 kn/m 2 Carga acidental: q = 1, 5 kn/m 2 Espessura da laje: h = 10 cm Malha da grelha: Fina 1. Vãos: lx = 4 m; l y = 4 m Rodar o programa considerando K K 1 = 1 para obter os momentos fletores M x e M y e a flecha Wc. Rodar novamente, considerando K K 1 = 0, 5 para obter os momentos fletores M x e M y e a flecha W c. Calcular os coeficientes M x k x =, M x M y k y = e M y Wc k c =. W c

22 32 Curso de Concreto Armado 2. Vãos: lx = 4 m; l y = 6 m Repetir os cálculos anteriores. 3. Vãos: lx = 4 m; l y = 8 m Repetir os cálculos anteriores. 4. Comparar os coeficientes k x, k y e kc com os valores fornecidos na tabela do Volume 2 [1].