SOLUÇÕES DE NAVEGAÇÃO VIA GPS. Antonio F. Bertachini de A. Prado / DMC INPE - SJC

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1 Sére Arqumedes, Volume, Anas do DINCON 003, pp º Congresso emáco de Aplcações de Dnâmca e Conrole da Socedade Braslera de Maemáca Aplcada e Compuaconal (SBMAC). São José dos Campos, SP, Brasl, Agoso de 003. Edores: J. M. Balhazar, G. N. da Slva, M. suchda, M. Boavenura, L. S. Góes e J. D. S. Slva. SOLUÇÕES DE NAVEGAÇÃO VIA GPS Allan avares / FEG -UNESP Vvan Marns Gomes / DMC INPE - SJC Hélo Ko Kuga / DMC INPE - SJC Anono F. Berachn de A. Prado / DMC INPE - SJC Ana Paula M. Charada UNIAU Rodolpho Vlhena de Moraes / FEG - UNESP 1. RESUMO Deermnar a órba de um saéle arfcal sgnfca deermnar a posção e a velocdade do saéle em relação a um referencal nercal, ulzando um conjuno de meddas de observação do saéle. Esas observações podem ser obdas aravés de ssemas de rasreameno em solo ou de sensores a bordo do veículo espacal. Assm, o objevo prncpal dese rabalho é nvesgar, desenvolver, mplemenar e comparar soluções de navegação possíves aravés do uso de meddas obdas por recepores GPS, em ambene espacal. São apresenados rês méodos para se ober soluções de navegação aravés do GPS: méodo geomérco, méodo algébrco e méodo esaísco. Os algormos foram mplemenados em lnguagem FORRAN 90 e para valdação e análse dos 3 méodos proposos, além da análse do GDOP, foram usados dados reas de saéles. A precsão obda fo melhor que 5 m, chegando aé a mlímeros em alguns casos, confrmando assm a boa confabldade dos sofwares desenvolvdos. Conclu-se que o méodo esaísco é o mas precso denre os rês, porém o mas complexo e o que ocupa e exge mas memóra.. PALAVRAS CHAVES Solução de navegação, Ssema GPS. 3. INRODUÇÃO Deermnação de órba usando ssema de navegação por saéles, como o ssema GPS, é uma avdade que surgu no começo dos anos 80. Desenvolvmenos recenes êm mosrado precsão de poucos cenímeros para mssões de saéles com alímero. Um ambene de operação de pós-processameno é necessáro para angr esa precsão, com um araso do empo que pode angr uma semana ou mas (Berger, e al., 1994). A dsponbldade a bordo de conhecmeno conínuo e precso da órba de um saéle arfcal orna práca

2 a déa de aumenar o grau de auonoma do ssema de conrole, reduzndo a necessdade de nervenções em solo. No INPE, já exsem alguns rabalhos sendo realzados para realzar conrole auônomo de saéles arfcas usando GPS e ouros ssemas, como os rabalhos de Orlando e. al. (1997) e Orlando e Kuga (1999, 000a, 000b). O INPE (Insuo Naconal de Pesqusas Espacas) vem deermnando órba de seus saéles com muo sucesso ulzando esações de rasreameno erresres localzadas em ponos esraégcos pelo Brasl. Mas, a necessdade de desenvolver algormos com maor precsão e baxo cuso compuaconal é sempre um desafo consane. A cada da, novas écncas vêm sendo desenvolvdas, como a ulzação do ssema GPS. Porém, ese po de ecnologa anda não fo ulzado pelo INPE ou por qualquer nsuo braslero para deermnação de órba dos saéles brasleros. Assm, ese rabalho em por objevo nvesgar, desenvolver, mplemenar e comparar soluções de navegação possíves aravés do uso de meddas obdas por recepores GPS, em ambene espacal. 4. MÉODOS PARA SOLUÇÕES DE NAVEGAÇÃO ARAVÉS DE GPS Exsem dferenes méodos para se ober soluções de navegação aravés do GPS: méodos geomércos, méodos algébrcos e méodos esaíscos, como os mosrados a segur. 4.1 MÉODO GEOMÉRICO Os méodos geomércos são bascamene méodos smples que fornecem uma esmava ncal grossera para a solução de navegação, que pode ser refnada poserormene aravés dos ouros méodos, ou aravés de flros esaíscos. O méodo descro em Lopes e Kuga (1997) será mplemenado. Ouro méodo geomérco alernavo sera aquele descro em Kleusberg (1994). Para produzr um méodo smples e ssemáco para resolver o problema de ncalzação do algormo, o bas será neglgencado. Assm, uma solução lnear aproxmada pode ser enconrada da segune manera: y p r R = r r + R R R r, (4.1) onde r é o veor posção do saéle usuáro, R é o veor posção do -ésmo saéle GPS e y p são as meddas de pseudorange coleadas pelo recepor GPS, para o -ésmo saéle GPS. Subrando a Eq. (4.1) de sua méda arméca em, emos: [ R < R ] r y p < y p > R R < R R > > onde <.> represena o operador de méda arméca. Defnndo:, (4.)

3 [...: < > : e 1...: R R < R R > ( y p < y p > ) ~ R R R...] [ : ] z... (4.3) resula em: ~ Rr z. (4.4) Uma solução aproxmada dese ssema lnear deermnado pode ser dada por: 0 ~ ~ 1 ~ r = ( R R) Rz. (4.5) A condção de exsênca para a pseudo nversa de R ~ pode ser especfcada da segune manera: um número n 4 de saéles GPS não coplanar deve ser observado do saéle usuáro. 4. MÉODO ALGÉBRICO O nível de precsão da solução de navegação baseada em meddas GPS depende do po de medda coleada (depende do po e qualdade do recepor), da duração que as meddas foram coleadas e como elas foram modeladas e processadas. Se as meddas GPS são processadas em empo real, o problema de posconameno mas smples consse em resolver smulaneamene um conjuno de equações de navegação baseado em únca freqüênca. No mínmo quaro meddas smulâneas são necessáras para formar a solução. A enrada para esse algormo são os veores posção (3 x 1) dos saéles GPS e as meddas de pseudorange dos saéles GPS para o recepor. O méodo algébrco de solução de navegação esudado e proposo, conforme Bancrof (1985), é compuaconalmene efcene e numercamene esável. As equações do ssema de navegação GPS são geralmene resolvdas com uma aplcação do méodo de Newon: 1 xn+ 1 = xn + H ( f ( xn )), (4.6) onde x é um veor compreendendo a coordenada de posção do usuáro juno com a correção do relógo, é um veor de meddas de quaro pseudo-dsâncas e H é uma marz de dervada parcal H = f x. Façamos x e { 1 n} s caresanas; e { 1 n} : ndcar as coordenadas de posção do saéle e usuáro no ssema de coordenadas : as meddas da pseudo-dsânca coleadas pelo usuáro de cada um dos n saéles: = d( x, s ) b, (4.7) + onde d(x,y) é a dsânca de x a y e b a correção do relógo. Defnmos os veores de dados de colunas 1 x 4: a ) = ( s, n Defnmos: 1. (4.8) A ) = ( a1 a a3... a n, (4.9)

4 ) = 0 ( , (4.10) r ) = ( r1 r r3... r n, (4.11) onde r, 1 n é calculado por: r = a a /. (4.1), Calculamos a nversa generalzada: 1 B = ( A WA) A W, (4.13) onde W é a marz posva smérca. Calculamos os veores coluna 1 x 4 u e v de: e u = B 0 (4.14) v = Br (4.15) junamene com os coefcenes E,F,G, defndos por: E = u, u, (4.16) F = u, v 1, (4.17) G = v, v. (4.18) Resolvendo a equação quadrada: Eλ + Fλ + G = 0 (4.19) para o par de raízes λ 1,. y 1, = λ 1, u + v. (4.0) Enão com a denfcação y ) = ( x b (4.1) ambém o par x 1,b 1 ou o par x,b resolverá o problema GPS para a posção do usuáro e correção do relógo. Para dscrmnar a solução real, subsuímos de vola as equações defnndo as pseudo-dsânca orgnas. 4.3 MEODO ESAÍSICO O méodo esaísco ulza redundânca de meddas para esascamene ober a melhor solução. Os snas GPS podem ser recebdos e decodfcados adequadamene pelos recepores GPS. Se os snas forem recebdos adequadamene, um conjuno de rês saéles sera sufcene para suprr as dfculdades geomércas (Lopes e Kuga, 1988, 1997). Porém, prncpalmene devdo a dervas no relógo um bas é nroduzdo na dsânca compuada geomercamene (pseudorange) ornando essencal o uso de quaro saéles.

5 Em rabalhos anerores, Lopes e Kuga propuseram um méodo esaísco de mínmos quadrados para resolver o problema de deermnação de órba aravés de meddas GPS. O méodo era especalmene adequado para meddas processadas por um número redundane de saéles GPS, ornando-o dsno de méodos convenconas que nvaravelmene devem analsar a marz DOP. A vanagem do méodo consse no processameno de odas as meddas váldas de pseudorange assumndo precsões no mínmo guas ou melhores que as convenconas. Ouro benefíco do méodo é a fala de necessdade de analsar váras marzes DOP 4 x 4 para seleconar a melhor confguração enre os saéles vsíves. Para deermnação de posção esáca de baxa precsão, a solução de navegação pode ser obda, por exemplo, aravés do algormo proposo por Lopes e Kuga (1988): Mnmzar 1 L r, ρ ) = a r ( R + ρ ) (4.) ( Sujeo a ρ ρ =, = 1,,, n, (4.3) y Dados {( R, y, a ), = 1,,, n; n 3} (4.4) onde r é o veor posção do saéle usuáro (ou alvo); R é o veor posção do -ésmo saéle GPS; ρ é o veor posção relavo do saéle usuáro em relação ao -ésmo saéle GPS; y é o pseudo-range (pseudo-dsânca) meddo a parr do -ésmo saéle GPS; e a é um peso posvo. Assume-se que ano y quano R esão corrompdos por erros aleaóros não-vesados ( unbased ), δy e δr com covarâncas dadas por: E[( δy ) ] = σ E[ δ R δ R ] = σ y, R I (4.5) onde E[.] é o operador esperança; I é a marx dendade; e os desvos-padrão σ y e σ R são quandades conhecdas. Pode-se enão modfcar levemene o méodo para levar em cona os erros ssemácos. O méodo esenddo é enão formulado como: 1 Mnmzar L *( r, ρ, y) = L ( r, ρ ) + a * y, (4.6) Sujeo a ρ ρ = ( + y), = 1,,, n, (4.7) y p Dados { a*,( R, y, a ), = 1,,, n; n 4} (4.8) onde y p é a medda de pseudo-range, y é uma consane a ser adconada a y p para correção do bas, e a* é um peso posvo. Dessa forma assume-se que o pseudo-range pode ser modelado por: y p = y + b + δ y (4.9)

6 onde y é o verdadero range e b é o bas, com precsão σ do relógo do recepor GPS, ou seja b E [ b] 0, E[ b ] = σ b =, e σ b esá dreamene relaconado à σ = cσ, onde c é a velocdade da luz. Embora b enha sdo modelado como erro aleaóro de méda nula, deve-se lembrar que de fao ele represena um bas porque o que é adconado a odas as meddas de range posvos a e a* são suposos obedecerem ao vínculo de normaldade: + y é o mesmo valor consane: uma smples realzação b. Os pesos a * = 1. (4.30) a A dervação da solução pode ser obda aravés do méodo dos mulplcadores de Lagrange. Defnndo-se uma função de cuso modfcada: 1 l* = L * + λ a [ ρ ρ ( y p + y) ], (4.31) e mpondo as condções de omaldade: l * = r a [ r ( R + ρ )] l * = a { λ ρ [ r ( R ρ l * = a * y y = 0, + ρ )]} = 0, (4.3) (4.33) λ a ( y + y) = 0, (4.34) e levando em cona o vínculo (4.7) segue-se que: p a u [ r R ( y + y)] = 0 (4.35) p r R ρ = = ( y p + y) u, (4.36) 1+ λ a * y = λ a ( y + y), (4.37) onde u é o versor dado por: u r R = 1 y + y p p. Resolvendo as equações (4.38) e (4.36) para λ em-se: (4.38) r R λ = 1. (4.39) y + y p Usando o vínculo de normaldade (4.30) juno com a equação (4.39) acma, pode-se escrever: y = a [ r R y ] (4.40) p

7 e fnalmene defnndo-se a quandade U como U = a u resula: f ( r R, y p ) a ( u U )[ r R y p ] = 0. (4.41) Ese conjuno de equações (4.38), (4.40) e (4.41) fornece a solução fechada para a deermnação de posção do saéle, ulzando meddas GPS vesadas, va méodo de mínmos quadrados. Esas equações podem ser resolvdas numercamene va o méodo de Newon-Raphson quando um chue ncal esá dsponível. Veja Lopes e Kuga (1997) para dealhes. 5. MEODOLOGIA UILIZADA Os algormos proposos foram mplemenados em lnguagem FORRAN 90 (Complador da Mcrosof). Em as algormos aparecem operações com marzes cujas subronas esão dsponíves nas bbloecas MSIMSL e MSFLIB, acessíves somene por codfcação em Forran 90. Essas subronas não são compaíves com ouras versões do FORRAN. A descrção dos dados e os resulados serão apresenados a segur. Para valdar e analsar os 3 méodos proposos, além da análse do parâmero GDOP, dados reas de saéles foram rerados de referêncas, que serão cadas no decorrer da análse. As abelas 5.1, 5. e 5.3, com 4, 6, e 8 saéles GPS respecvamene, apresenam os valores que foram esados nos programas mplemenados. odas essas abelas lsam ambém as correspondenes meddas de pseudo-range (PSEUDO) de cada saéle. ABELA 5.1 FONE: Srang e Borre (1997) SAÉLIES X(m) Y(m) Z(m) PSEUDO R , , , ,09 R , , , ,83 R , , , ,771 R , , , ,98 SOLUÇÃO 59505, , ,981 ABELA 5. FONE: Srang e Borre (1997) SAÉLIES X(m) Y(m) Z(m) PSEUDO R , , , ,116 R , , , ,486 R , , , ,579 R , , , ,86 R , , , ,649 R , , , ,97 SOLUÇÃO 59690, , ,740

8 ABELA 5.3 FONE: Lundberg e al. (1997) SAÉLIES X(m) Y(m) Z(m) PSEUDO R , , , ,371 R , , , ,41 R , , , ,645 R , , , ,94 R , , , ,504 R , , , ,108 R , , , ,817 R , , , ,193 SOLUÇÃO , , , RESULADOS A posção a ser esmada nese rabalho é comparada com a solução apresenada nas abelas 5.1, 5., e 5.3 de referênca que possu valores reas com precsão aé a ercera casa decmal, ou seja, mlímeros. Os resulados obdos a parr dos algormos são avalados aravés do parâmero de erro em posção: 3 r = x xˆ = 1 em que x e ( ) 1 xˆ, =1,,3 são as componenes (x, y, z) de referênca e as calculadas pelos algormos esados, respecvamene. Sendo assm, r sera o erro em posção produzdo pelo algormo sendo esado. A abela 6.1 mosra os erros em posção (r e em cada componene x, y, z ndvdualmene) para os rês méodos mplemenados, para o caso da abela 5.1 com 4 saéles. Esse erro r fo calculado de acordo com a Equação 6.1. Os resulados nese ese mosram que a precsão obda pelo méodo esaísco é, em prncípo, superor a dos demas méodos. Assm, ouros eses foram realzados para verfcar a precsão aparenemene superor do méodo esaísco. ABELA 6.1 ERRO(m) GEOMÉRICO ALGÉBRICO ESAÍSICO X -1579,869 -,1554E-0 4,915E-03 Y 9063,9479-4,3333E-0 4,0050E-0 Z -4070,309 1,3508E-03-1,3675E-03 r 1137,933-0, , (6.1) A abela 6. mosra resulados para os rês méodos para os casos com 4, 6, e 8 saéles. Os resulados da abela mosram que o caso com 6 saéles GPS eve resulados anômalos. Esperava-se razoável precsão, pos o número de saéles é consderado sufcene. Uma análse mas dealhada mosrou que o erro obdo se deve

9 parcularmene a má geomera dos saéles que formam a conselação, que por sua vez prejudcaram os cálculos. Ese caso merece nvesgação poseror, pos odos os rês méodos veram erros semelhanes, podendo ndcar que a solução de referênca eseja equvocada. Enreano a precsão anda é relavamene sasfaóra, menor que 30m, comparável com erros esperados na práca. ABELA 6. SOFWARE / ERRO CASO 1 N=4 CASO N=6 CASO 3 N=8 GEOMÉRICO 48,30839m 5,8338m 10061,74m ALGÉBRICO 7,79E-04m 8,4898m 4,84E-0m ESAÍSICO 7,76E-04m 6,07836m 1,98E-03m Fcou mas evdene a aparene superordade do méodo esaísco em relação aos demas. Invesgou-se enão o efeo do chue ncal. A abela 6.3 apresena os resulados obdos quando, no méodo esaísco, os chues ncas foram exraídos a parr do méodo geomérco, algébrco, ou números aleaóros da mesma ordem de grandeza. Os resulados mosram que o chue ncal pode ser rum e anda assm o méodo esaísco converge para a mesma solução, ou seja, é um méodo robuso e que pode ser oalmene desvnculado dos ouros méodos. ABELA 6.3 CHUE ERRO (m) INICIAL GEOMÉRICO 7,76310E-04 ALGÉBRICO 7,76310E-04 ALEAÓRIO 7,76310E-04 Ouro ese realzado vsou verfcar a quandade de erações necessáras para que o algormo esaísco, consderado o melhor, convergsse para o resulado fnal. A referênca ulzada fo a da abela 5.3, com o número de saéles N=8 e o resulado enconra-se na Fgura 6.1, logo abaxo. Prova-se que com poucas erações (cerca de 3 a 4) converge-se para resulados com precsão. ABELA 6.4 NI ERRO E E E E E E E E E-0 ERRO (m) Nº IERAÇÕES X ERRO NI FIGURA 6.1

10 Um úlmo ese ulzando apenas o méodo esaísco mosrou as correlações que exsem quando dferenes quandades de saéles são ulzados no programa (de 4 a 8). Analsando a Fgura 6. pode-se verfcar que, em geral, quano maor o número de saéles GPS envolvdos no cálculo, melhor a precsão do méodo esaísco. É verfcado ambém esse mesmo comporameno no algormo geomérco; já no méodo algébrco esse ese é mpossível de ser realzado devdo a resrção do própro algormo que apenas supora o número de saéles gual a 4. Nº SAÉLIES X ERRO ERRO (m) Nº SAÉLIES Fgura 6. Foram realzados cálculos de sensvdade do parâmero GDOP (Dlução geomérca de precsão). O parâmero GDOP mosra que quando o número de saéles é maor do que 4, o que aconece na maora dos casos, é possível combná-los 4 a 4 a fm de ober o melhor resulado. Iso se dá quando a combnação que produz o menor GDOP é ulzada. A Fgura 6.3 mosra os valores de GDOPs obdos nas 15 possíves combnações para o número de saéles N=6 (abela 6.5). A Fgura 6.4 mosra o erro obdo quando são ulzados o melhor e o por GDOP e valores nermedáros. Iso demonsra que uma subrona com o cálculo do GDOP pode ser nserda num dos méodos possblando uma melhora nos resulados com a nrodução de um cálculo bem smples do GDOP. ABELA 6.5 NÚMERO DO GDOP GDOP COMBINAÇÃO FIGURA 6.3

11 GDOP x ERRO ERRO(m) 1,00E+00 8,00E-01 6,00E-01 4,00E-01,00E-01 0,00E+00 MIN INER INER MAX COMBINAÇÃO DE GDOP FIGURA 6.4 Vale ressalar que o melhor GDOP reorna um resulado precso, mas que por vezes, uma combnação com maor número de saéles pode razer um resulado anda melhor. Por fm, a abela 6.6 mosra algumas nformações que comparam os 3 méodos codfcados, aravés dos segunes parâmeros: amanho, precsão, velocdade, (para processador Penum), quandade de subronas, quandade de saéles e resrções do programa. ABELA 6.6 SOFWARE AMANHO VELOCIDADE PRECISÃO SUBROINAS SAÉLIES GEOMÉRICO,67 KB 0,30s 10 a 100 não =4 ALGÉBRICO 3,7 KB >0,01s 0,1 a 0,01 não 4 ESAÍSICO,53 KB >0,01s 0,01 a 0, GDOP,53 KB 0,10s MELHORA CONCLUSÕES O objevo desse rabalho fo nvesgar, equaconar, desenvolver, mplemenar e comparar soluções de navegação possíves aravés do uso de meddas obdas por recepores GPS ( Global Posonng Sysem ), em ambene espacal. Como resulado obeve-se um pacoe de programas que comparam os rês méodos (Geomérco, Algébrco e Esaísco) de compuação da solução de navegação em dversos aspecos. Resulados dese rabalho, ulzando dados reas de saéles foram comparados com arquvos dsponíves em referêncas e ambém na Inerne. A precsão em posção obda fo melhor que 5m, chegando aé a mlímeros em alguns casos; o que confrma a confabldade dos programas desenvolvdos. As comparações aqu realzadas mosraram que o méodo esaísco é o mas precso denre os rês, porém o mas complexo. O méodo algébrco ocupa e exge mas memóra (Vde abela 6.6). Para obenção de uma

12 aproxmação grossera, uma alernava é o méodo geomérco que é bem menos complexo e rapdamene reorna um valor bem próxmo ao da solução. O méodo algébrco apesar de bem smples e compaco confere boa precsão e alvez ofereça a melhor relação cuso x benefíco. O problema é que exse uma resrção, ele só rabalha com dados provndos de no máxmo quaro saéles. Uma alernava para melhorar a precsão dos sofwares é a nrodução do cálculo do parâmero GDOP (Geomerc Dluon Of Precson), que produz uma comparação enre dferenes combnações de saéles dsponíves no nsane em que se quer deermnar a posção e descreve a combnação que esá melhor dsrbuída, possblando uma maor precsão nos resulados. Espera-se que a parr dessas análses, a Dvsão de mecânca Espacal e Conrole do INPE enha subsídos sufcenes para escolher e ulzar o méodo mas adequado que cumpra os requsos de uma mssão espacal fuura com recepor GPS a bordo. REFERÊNCIAS BANCROF, S. An algebrc soluon of he GPS equaons. Ieee ransacons on Aerospace and Eleroncs Sysems, v.aes-1, n.7, BERIGER, W.I; Bar-Server, Y.E.; Chrsensen, E.J.; Davs, E.S.; Gunn, J.R.; Hanes, B.J.; Ibanez-Meer, R.W.; Jee, J.R.; Lchen, S.M.; Melbourne, W.G.; Muellerschoen, R.J.; Munson,.N.; Vgue, Y.; Wu, S.C.; Yunck,.P.; Schuz, B.E.; Abusal, P.A.M.; Rm, H.J.; Wakns, M.M.; Wlls, P. GPS precse rackng of OPEX/Posedon: resuls and mplcaons. Journal of Geophyscal Research. v. 99, n. C1, p , KLEUSBERG, A., 1994, Dreke lösung des räumlchen Hyperbelschns, Zeschrf für Vermessungswesen, No. 119, pp Lopes, R. V. F.; Kuga, H. K. Fas opmal orb esmaon from GPS measurmens. São José dos Campos: INPE, p. (INPE-4016-PRE/63). LOPES, R.V.F; Kuga. H. K. Opmal esmaon of local orb from GPS measuremens. AAIA Journal of Gudance, Conrol, and Dynamcs, v. 11, n., p , Mar.-Abr LOPES, R. V. F.; Kuga, H. K. ORBES - A GPS navgaon soluon algorhm whou DOP analyss. Advances n he Asronaucal Scences, AAS97-108, v. 95, p , LUNDBERG, J. B.;MINER, C. F.;YOON, S. Analyss of algebrac soluons o he GPS navgaonal equaons AAS/AIAA Space Flgh Mechancs Meeng, Hunsvlle, AL, Feb. 10-1, AAS ORLANDO, V.; Kuga, H. K.; Lopes, R. V. F. Reducng he geopoenal esseral harmonc effecs on auonomous longude drf conrol of Sun-synchronous saelles. Advances In he Asronaucal Scences, v.95, p , ORLANDO, V.; Kuga, H. K. Analyss of an auonomous orb conrol concep usng GPS. Revsa

13 Braslera de Cêncas Mecâncas, v.1, p. 5-59, ORLANDO, V.; Kuga, H. K. Effec analyss of maxmal allowable maneuver applcaon rae for an auonomous orb conrol procedure applcaon. In: Inernaonal Symposum Space Dynamcs. Proceedngs of Inernaonal Symposum Space dynamcs. Barrz: CNES, 000a. ORLANDO, V.; Kuga, H. K. Invesgaon on auonomous orb conrol usng DIODE and GPS navgaon sysems. Edado por Prado, A. F. B. A. Advances n Space Dynamcs, v.1, p , 000b. SRANG, G.; Borre, K. Lnear Algebra, Geodesy and GPS. Wellesle-Cambrdge Press, Wellesley, EUA, 1997, 64p.