Problema do Fluxo Máximo

Transcrição

1 Coneúdo Problema do Fluxo Máximo Coneúdo. Problema do Fluxo Máximo. Problema do Core Mínimo. Teorema Max-fluxo min-core Algorimo de caminho aumenane. capacidade-ecala. Caminho aumenane Mínimo. Aula e Fluxo Máximo e Core Mínimo Fluxo Máximo e Core Mínimo. Doi riquíimo problema algorimico Problema cláico em oimização combinaória. Dualidade maemáica. Rede de Fluxo Máximo Rede de Fluxo Máximo: G (V, E,,, u). (V, E) Grafo dirigido, em arco paralelo Doi nó diino: ource, ink. u( capacidade do arco e. Aplicaçõe / reduçõe. Conecividade em rede. Emparelhameno biparido. Daa mining. Open-pi mining. rede reliabiliy. Segurança de dado eaíico. Compuação Diribuída. Ecalonameno de vôo. Egaliarian able maching. Proceameno de imagen. Muio mai... Capacidade

2 Fluxo - fluxo é uma função f: E R aifazendo: Para cada e E: f( u( (capacidad Para cada v V {, }: f ( (conervação) e in o v e ou of v Fluxo - fluxo é uma função f: E R aifazendo: para cada e E: f( u( (capacidad para cada v V {, }: f ( (conervação) e in o v e ou of v e in o v f ( : w : ( w, v) E f ( w, v) e ou of v f ( : w :( v, w) E f ( v, w) Fluxo Máximo: enconrar um - fluxo que maximiza o fluxo que ai da fone. f e ou of Capacidade Fluxo capacidade fluxo Valor Fluxo Fluxo - fluxo é uma função f: E R aifazendo: para cada e E: f( u( (capacidad para cada v V {, }: f ( (conervação) e in o v e ou of v Fluxo Máximo: enconrar um - fluxo que maximiza o fluxo que ai da fone. An - fluxo i a funcion f: E R ha aifie: para cada e E: f( u( (capacidad para cada v V {, }: f ( (conervação) e in o v e ou of v Fluxo Máximo: enconrar um - fluxo que maximiza o fluxo que ai da fone. capacidade fluxo valor capacid ade fluxo valor

3 Rede comunicação circuio Nó elefone, compuador, aélie Rede pora, regiradore, proceodore Arco cabo, fibra óica, microonda fio Fluxo voz, video, pacoe correne elérica mecânica junçõe eaca, mola energia reervaório, eaçõe hidráulica cano fluído, óleo de raameno finança açõe, dinheiro ranaçõe dinheiro ranpore aeroporo, inerecção de rua erada, roa aérea vôo, veículo, paageiro química locai limie energia Core - core é uma parição de nó (S, T) al que S, T. u( : u( v, w). capacidade de um - core (S, T) é: e ou of S ( v, w ) E v S, w T - Core Mínimo: Enconrar um - core de capacidade mínima. capacidade Core - core é uma parição de nó (S, T) al que S, T. capacidade de um - core (S, T) é: u( : u( v, w). e ou of S ( v, w ) E v S, w T - Core Mínimo: Enconrar um - core de capacidade mínima. Core - core é uma parição de nó (S, T) al que S, T. capacidade de um - core (S, T) é: u( : u( v, w). e ou of S ( v, w ) E v S, w T - Core Mínimo: Enconrar um - core de capacidade mínima. capacidade capacidade

4 Fluxo e Core L. Seja f um fluxo, e (S, T) um core. Enão, o fluxo enviado aravé do core é igual a quanidade chegando ab. Fluxo e Core L. Seja f um fluxo, e (S, T) um core. Enão, o fluxo enviado aravé do core é igual a quanidade chegando ab. f ( f ( e ou of S e in o S e ou of f f ( f ( e ou of S e in o S e ou of f valor valor L. Seja f um fluxo, e (S, T) um core. Enão, o fluxo enviado aravé do core é igual a quanidade chegando ab. f ( f ( e ou of S e in o S Fluxo e Core e ou of f Fluxo e Core Seja f um fluxo, e (S, T) um core. Enão, f ( e ou of S f ( e in o S f. Prova por indução em S. Cao Bae: S { }. Hípóee Induiva: uponha que vale para S < k. Conidere um core (S, T) wih S k S S' { v } para algum v,, S' k- cap(s', T') f. incluir v a S' aumena a capacidade do core por f ( f ( e ou of v e in o v v v valor S' Ane S Depoi

5 Fluxo e Core Fluxo Máximo e Core Mínimo L. Seja f um fluxo, e (S, T) um core. Enão, f cap(s, T). Prova. f f ( e ou of S e in o S f ( e ou of S u( e ou of S cap(s, T) S T Corolário. Seja f um fluxo, e (S, T) um core. Se f cap(s, T), enão f é um Fluxo Máximo e (S, T) é um Core Mínimo. Corolário. Seja f um fluxo, e (S, T) um core. Se f cap(s, T), enão f é um Fluxo Máximo e (S, T) de um Core Mínimo. core capacidade fluxo valor Teorema Max-flow Min-cu Teorema MAX-flow MIN-cu (Ford-Fulkeron, ): Qualquer rede, o valor do Fluxo Máximo é igual ao valor do core mínimo. Boa caracerização." Prova IOU. Conruindo um Algorimo Enconre um - caminho onde cada arco em u( > f( e "aumene o fluxo ao longo do caminho. core capacidade fluxo valor fluxo valor

6 Conruindo um Algorimo Conruindo um Algorimo Enconre um - caminho onde cada arco em u( > f( e "aumene o fluxo ao longo do caminho. Repia aé não poder mai. Enconre um - caminho onde cada arco em u( > f( e "aumene o fluxo ao longo do caminho. Repia aé não poder mai. Algorimo Greedy falha. X X X fluxo valor fluxo valor fluxo valor Arco Reidual Grafo Reidual e Caminho Aumenane Grafo original G (V, E). fluxo f(. Arco e (v, w) E. capacidade Grafo Reidual : G f (V, E f ). E f {e : f( < u(} {e R : f( > }. u( f ( uf ( f( if e E R if e E v Grafo Reidual: G f (V, E f ). Arco Reiduai e (v, w) e e R (w, v). Defaz" fluxo enviado. v w w fluxo Capacidade Reidual Capacidade G G f Reidual

7 Caminho Aumenane Caminho aumenane Caminho no Grafo Reidual. Caminho Aumenane Caminho aumenane Caminho no Grafo Reidual. Fluxo Máximo em caminho aumenane??? G X X X X X G fluxo valor G f G f Teorema Max-flow Min-cu Prova do Teorema Max-flow Min-cu Teorema do Caminho Aumenane (Ford-Fulkeron, ): U m fluxo f é Fluxo Máximo e e ó em não há caminho aumenane. Teorema MAX-flow MIN-cu (Ford-Fulkeron, ): o valor do Fluxo Máximo é igual ao valor do core mínimo. Provamo ambo imulaneamene morando : (i) f é um Fluxo Máximo. (ii) Não há caminho aumenane relaivo a f. (iii) Há um a core (S, T) al que f cap(s, T). Provamo ambo imulaneamene morando : (i) f é um Fluxo Máximo. (ii) Não há caminho aumenane relaivo a f. (iii) Há um a core (S, T) al que f cap(s, T). (i) (ii) Moramo a conrapoiiva. Seja f um fluxo. Se há um caminho aumenane, enão podemo aumenar f enviando fluxo ao longo do caminho. (iii) (i) Próximo lide. (iii) (i) Foi o Corolário do Lema.

8 Prova do Teorema Max-flow Min-cu Algorimo Caminho Aumenane Provamo ambo imulaneamene morando : (i) f é um Fluxo Máximo. (ii) Não há caminho aumenane relaivo a f. (iii) Há um a core (S, T) al que f cap(s, T). (ii) (iii) Seja f um fluxo em caminho aumenane. Seja S um conj. de verice aingívei de no grafo reidual. claramene S, e S pela definição de f Aumena (f, P) b boleneck(p) FOREACH e P IF (e E) // arco indo f( f( + b ELSE // arco volando f(e R ) f( - b RETURN f FordFulkeron (V, E,, ) f f ( f ( e ou of S e in o S u( e ou of S cap(s, T) S Rede Original T FOREACH e E f( G f grafo reidual WHILE (houver caimho aumenane P) f aumena(f, P) aualiza G f RETURN f Tempo de execução Ecolha de Bon Caminho Aumenane Supoição: oda a capacidade ão ineiro enre e U. Tome cuidado na ecolha do caminho aumenane. Invariane: odo valor de fluxo f( e oda capacidade reidual u f ( permanece um ineiro durane o algorimo. Teorema: o algorimo ermina em no máximo f * nu ieraçõe. Corolário: e U, enão o algorihm é O(mn). Teorema da inegralidade: Se oda a capacidade ão ineira, enão há um Fluxo Máximo f para o qual odo valor de fluxo f( é um ineiro. Noa: o algorimo pode não erminar em inância paológica (com capacidade irracionai). Além dio, o valor de fluxo pode nem memo convergir para a repoa correa.

9 Ecolha de Bon Caminho Aumenane Tome cuidado na ecolha do caminho aumenane. Ecolha de Bon Caminho Aumenane Tome cuidado na ecolha do caminho aumenane. X X X Ecolha de Bon Caminho Aumenane Tome cuidado na ecolha do caminho aumenane. Ecolha de Bon Caminho Aumenane Tome cuidado na ecolha do caminho aumenane. X X X ieraçõe poívei.

10 Ecolha de Bon Caminho Aumenane. Tome cuidado na ecolha do caminho aumenane Alguma ecolha levam a algorimo exponenciai. Boa ecolha levam a algorimo polinomiai. Objeivo: Ecolher caminho aumenane al que: Econre caminho aumenane eficienemene. Pouca ieraçõe. Capacidade de Ecala Inuição: Ecolher caminho de maior capacidade aumena o fluxo na quanidade máxima poível. Não precia enconrar o caminho com a maior capacidade exaa. Manenha o parâmero de ecala Δ. Seja G f (Δ) o ubgrafo do grafo reidual coniindo ó de arco com capacidade pelo meno Δ. Edmond-Karp (): Ecolher caminho aumenane com Capacidade Máxima. (caminho gordo) Capacidade uficienemene grande. (ecala da capacidad Menor número de arco. (caminho mínimo) G f G f () Capacidade de Ecala Inuição: Ecolher caminho de maior capacidade aumena o fluxo na quanidade máxima poível. Não precia enconrar o caminho com a maior capacidade exaa. Manenha o parâmero de ecala Δ. Seja G f (Δ) o ubgrafo do grafo reidual coniindo ó de arco com capacidade pelo meno Δ. ecalamaxfluxo(v, E,, ) FOREACH e E, f( Δ menor poência de maior ou igual a U WHILE (Δ ) G f (Δ) Δ-grafo reidual WHILE (houver caminho aumenane P em G f (Δ)) f aumena(f, P) aualize G f (Δ) Δ Δ / RETURN f Capacidade de Ecala: Análie L. Se oda a capacidade ão ineira, enão durane o algorimo, odo valor de fluxo e de capacidade reidual permanecem ineiro. Aim, Δ G f (Δ) G f, e no érmino f é um Fluxo Máximo. L. O while exerno repee + log U veze. Inicialmene U Δ<U, e Δ diminui por um faor de a cada ieração. L. Seja f o fluxo no final de uma fae de Δ-ecala. Enão o valor do fluxo máximo é no máximo f + m Δ. L. Há no máximo m aumeno por fae de ecala. Seja f o fluxo no final da fae de ecala anerior. L f* f + m (Δ). Cada aumeno em uma Δ-fae aumena f de pelo meno Δ. Teorema. O algorimo roda em empo O(m log (U) ).

11 Capacidade de Ecala: Análie L. Seja f o fluxo no final de uma fae de Δ-ecala. Enão o valor do fluxo máximo é no máximo f + m Δ. Moramo que no final de uma Δ-fae, há um a core (S, T) al que cap(s, T) f + m Δ. Ecolha S para er o conj. de nó aingívei de em G f (Δ). f claramene S, e S pela definição de S f ( e ou of S e in o S ( u( Δ) Δ e ou of S e in o S u( Δ Δ e ou of S e ou of S e in o S cap(s, T) - mδ S Rede Original T Ecolha de Bon Caminho Aumenane. Tome cuidado na ecolha do caminho aumenane Alguma ecolha levam a algorimo exponenciai. Boa ecolha levam a algorimo polinomiai. Objeivo: Ecolher caminho aumenane al que: Econre caminho aumenane eficienemene. Pouca ieraçõe. Edmond-Karp (): ecolha caminho aumenane com Capacidade Máxima. (Caminho gordo) Capacidade uficienemene grande. (ecada de capacidad Menor número de arco. (menor caminho) Menor caminho aumenane Inuição: ecolha o caminho via breadh fir earch. Fácil de implemenar. Podem implemenar para ver! Enconra caminho aumenane com menor número of arco. FewerAugmeningPah(V, E,, ) FOREACH e E f( G f grafo reidual WHILE (houver caminho aumenan enconre um caminho P com o BFS f aumena(f, P) aualiza G f RETURN f Menor caminho aumenane: Decrição da Análie L. Durane o algorimo, o comprimeno do menor caminho nunca diminui. Prova a eguir. L. Depoi de no máximo m aumeno de menore caminho, o comprimeno do menor caminho aumenane aumena eriamene. Prova a eguir. Teorema. O algorimo menor caminho aumenane rod em empo O(m n). O(m+n) para enconrar o menor caminho aumenane via BFS. O(m) aumeno para caminho de k arco exao. Se há um caminho aumenane, ele é único. k < n O(mn) aumeno.

12 Menor caminho aumenane: Análie Grafo Nível de (V, E, ). para cada vérice v, defina λ(v) como o comprimeno (número de arco) do menor caminho de a v. L G (V, E G ) é ubgrafo de G que conêm apena o arco (v,w) E com λ(w) λ(v) +. G: Menor caminho aumenane: Análie Grafo Nível de (V, E, ). para cada vérice v, defina λ(v) como o comprimeno (número de arco) do menor caminho de a v. L (V, F) é ubgrafo de G que conêm apena o arco (v,w) E com λ(w) λ(v) +. Compue em empo O(m+n) uando BFS, removendo arco laerai e de vola. P é um menor -v caminho em G e e ó e ele é um -v caminho em L. L: L G : λ λ λ λ λ λ λ λ Menor caminho aumenane: Análie L. Durane o algorimo, o comprimeno do menor caminho nunca diminui. Sejam f e f' fluxo ane e depoi de aumenar o menor. Sejam L e L' grafo nívei de G f e G f' Apena arco de vola incluido em G f' Caminho com arco volando em comprimeno maior que o comprimeno anerior L Menor caminho aumenane: Análie L. Depoi de no máximo m aumeno de menore caminho, o comprimeno do menor caminho aumenane aumena eriamene. Pelo meno um arco (o arco gargalo) é removido de L depoi de cada aumeno. Nenhum novo arco é adicionado a L aé que o comprimeno do menor caminho creça eriamene. L λ λ λ λ L' λ λ λ λ L'

13 Menor caminho aumenane: Reumo da Análie Menor caminho aumenane: Verão Melhorada L. Durane o algorimo, o comprimeno do menor caminho nunca diminui. Doi ipo de aumeno. Aumeno normal: Comprimeno do menor caminho não muda. L. Depoi de no máximo m aumeno de menore caminho, o comprimeno do menor caminho aumenane aumena eriamene. Teorema. O algorimo menor caminho aumenane roda em empo O(m n). O(m+n) para enconrar o menor caminho aumenane via BFS. O(m) aumeno para caminho de exaamene k arco. O(mn) aumeno. Aumeno epecial: comprimeno do menor caminho crece. L. Grupo de aumeno normai omam empo O(mn). Expliciamene manenha o grafo nível - ele muda de no máximo n arco depoi de cada aumeno normal. Inicie em, avance em um arco em L G aé alcançar ou não coneguir. Se alcaçar, aumene e delee pelo meno um arco Se não coneguir, delee o nó Noa: Θ(mn) aumeno ão neceário em alguma rede. Tene reduzir o empo em cada aumeno. L G Árvore Dinâmica O(mn log n) Sleaor-Tarjan, Idéia Simple O(mn ) λ λ λ λ Menor caminho aumenane: Verão Melhorada menor caminho aumenane: Verão Melhorada L G aumena L G aumeno L G delee L G L G aumena PARE: Comprimeno do menor caminho deve er crecido

14 menor caminho aumenane: Verão Melhorada AdvanceRerea(V, E, f,, ) menor caminho aumenane: Verão Melhorada Doi ipo de aumeno. Aumeno normal: Comprimeno do menor caminho não muda. Aumeno epecial: comprimeno do menor caminho crece. ARRAY pred[v V] L G grafo nível de G f v, pred[v] nil REPEAT WHILE (houver (v,w) L G ) pred[w] v, v w IF (v ) P caminho def. por pred[] f aumena(f, P) aualiza L G v, pred[v] nil delee v de L G UNTIL (v ) RETURN f avanço aumena rerai L. Grupo de aumeno normai omam empo O(mn). Expliciamene manenha o grafo nível - ele muda de no máximo n arco depoi de cada aumeno normal. Inicie em, avance em um arco em L G aé alcançar ou não coneguir. Se alcaçar, aumene e delee pelo meno um arco Se não coneguir, delee o nó No máximo n avanço ane do eveno acima Teorema. O Algorimo roda em empo O(mn ). Tempo O(mn) enre aumeno epeciai. No máximo n aumeno epeciai. Ecolha de bon caminho aumenane: Reumo Hiórico Méodo Aumeno Tempo Caminho aumenane nu mnu Capacidade Máxima m log U m log U (m + n log n) Capacidade de ecala m log U m log U Capacidade de ecala melhor m log U mn log U Menor caminho mn m n Menor caminho melhorado mn mn O primeiro upõe capacidade enre e U. Ano... Auor Méodo Tempo Danzig Simplex mn U Ford, Fulkeron Caminho aumenane mnu Edmond-Karp Menor caminho m n Diniz Menor caminho mn Edmond-Karp, Diniz Capacidade de ecala m log U Diniz-Gabow Capacidade de ecala mn log U Karzanov Prefluxo-puh n Sleaor-Tarjan Árvore Dinâmica mn log n Goldberg-Tarjan FIFO prefluxo-puh mn log (n / m) Goldberg-Rao Função Comprimeno m / log (n / m) log U mn / log (n / m) log U