1.1 Regras de Entrada Eixos da Janela de Visualização Raízes de Funções Assíntotas Exemplo...

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1 Sumário 1 Introdução Regras de Entrada Eixos da Janela de Visualização Objetos, Funções e Polinômios Funções definidas por partes Produto e Composiçao de Funções Divisão de Polinômios Fatoração e Decomposição Raízes de Funções Assíntotas Exemplo Janela para Cálculos Algébricos Simbólicos(CAS) Funções na Janela CAS Cédulas e Operadores de Referência Limites Introdução Exemplos Limites Laterais Exemplos Limites no infinito e Limites infinitos Exemplos Derivadas Introdução Reta Tangente e Reta Normal Encontrando Derivadas com o GeoGebra Exemplos Derivadas Laterais Exemplos Derivadas Implícitas Derivadas de Ordem Superior Aplicações de Derivadas e Pontos Críticos Estudo de Sinal Sinais da primeira derivada Máximos e Mínimos Sinais da segunda derivada Concavidades

2 2 SUMÁRIO Pontos de Inflexão Construção de Gráficos Exemplo Integrais Indefinidas Integração de polinômios Exemplo Método de substituição Exemplo Integração por partes Exemplos Frações Parciais Exemplo I Exemplo de Integração Manipulações Trigonométricas Integrais definidas Área abaixo do gráfico de uma função Exemplo I Área de regiões entre gráficos Exemplo I Inspetor de Funções Problemas de Otimização Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Exercício Tabela de Operações 73

3 Capítulo 1 Introdução O GeoGebra é um software livre que permite a combinação de conceitos algébricos e visualizações geométricas com uma interface intuitiva e amigável, compatível com a maioria dos sistemas operacionais disponíveis, inclusive Android e ios para tablets. Figura 1.1: Tela Inicial Ao abrir o programa a tela acima será apresentada. A partir daqui já é possível acessar diversas opções para a criação de pontos, retas, figuras geométricas e relações de interseção, reflexão entre objetos ou adição de textos, coisas que veremos com mais profundidade posteriormente. O que nos interessa agora é a caixa Entrada, no canto inferior esquerdo da tela. Nela, podemos escrever expressões numéricas, equações, funções e superfícies cônicas, que serão exibidas na Janela de Visualização. 3

4 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1.1 Regras de Entrada Para a entrada de dados, o programa segue algumas regras simples: Os comandos para adição (+), subtração ( ), multiplicação ( ), divisão (/) e exponenciação (^) seguem a ordem normal de precedência, ( ) assim, se digitarmos a expressão ^3/5*3 ela será interpretada da forma ; O uso de parênteses pode ser importante caso se queira algo do tipo ou 1 3 5, pois 1/3+5 será interpretado como , e 1/3*5 como 1 5, sendo a forma correta de 3 representá-los, 1/(3+5) e 1/(3*5), respectivamente; O símbolos >, <, e são representados por >, <, >= e <=, respectivamente, mas o símbolo = é representado de forma diferente para equações e para comparação entre dois valores. Se queremos saber se um número é igual a outro, usamos ==. Para equações, usamos = normalmente. Se digitarmos 1 == 1 a Janela de Álgebra irá no retornar o valor Booleano(valor true, para verdadeiro ou false, para falso) da expressão digitada; O programa reconhece 2x, 2 x, x 2 e x 2 como coeficientes de x para uma equação, entretanto não vai reconhecer x2 como x 2 nem como 2x; Produtos podem ser feitos sem o operador padrão de multiplicação(*), podendo ser utilizado o operador ponto(.) ou não, por exemplo 2(5), 2 5 ou 2.(5) serão interpretadas como 10, mas 25 será o número 25 e 2.5 será o número 2, 5; A vírgula não é usada para casas decimais, usa-se o ponto(.) nesses casos. Se for digitado o número 2, 5, ele será interpretado como uma dupla de coordenadas (x, y) escrito com sintaxe incorreta; A raiz quadrada de um número é obtida com o comando sqrt(x), sendo x o número do qual se quer a raiz quadrada, por exemplo, a linha sqrt(17), será interpretada interpretada como 17; Para outras raízes(raíz cúbica, quarta, etc) pode ser utilizada potenciação por frações ou o comando RaizNÉsima[], assim, se quisermos a raíz cúbica de 31, por exemplo, podemos digitar 31^(1/3) ou RaizNÉsima[31, 3] e o programa irá interpretar isso como 3 31; As funções

5 1.2. EIXOS DA JANELA DE VISUALIZAÇÃO 5 sen(x), cos(x), tg(x), e ln(x) terão a seguinte sintaxe sen(x), cos(x), tan(x) e ln(x), respectivamente e a função log a (x), é escrita da forma log(a, x); O GeoGebra também permite a inserção de alguns caracteres especiais, inclusive os números π, e, e i, que podem ser incluídos também digitando pi, e(ou exp(1)) e i, respectivamente. Mas caso se queira adicionar o símbolo, há um submenu de caracteres especiais. Basta clicar na caixa de entrada e depois na caixa α que vai aparecer no canto direito da barra. O valor infinito pode ser inserido tanto pelo caracter quanto pela palavra chave inf. Figura 1.2: Menu de caracteres especiais 1.2 Eixos da Janela de Visualização Clicando na Janela de Visualização com o botão direito do mouse, serão exibidas diversas opções de preferências, como a proporção dos eixos x e y, zoom e controle de exibição dos eixos coordenados e malha. Figura 1.3: Menu de preferências que será exibido com clique do botão direito na Janela de Visualização.

6 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Para deixar algum dos eixos em medidas de radianos, basta clicar em Janela de Visualização, nesse mini-menu será aberta uma janela de Preferências, com as mesmas opções do mini-menu anterior e algumas mais. Agora basta clicar na aba EixoX ou EixoY, marcar a caixa Distância, e escolher a marcação desejada. Figura 1.4: Menu de preferências para o Eixo X. A configuração padrão de proporção x : y é de 1 : 1, mas pode ser facilmente alterada por esse submenu: Figura 1.5: Preferências de proporção.

7 Capítulo 2 Objetos, Funções e Polinômios Após digitada a entrada, basta apertar a tecla Enter e o resultado da sua expressão aparecerá avaliado na Janela de Álgebra e o objeto geométrico, se houver, na Janela de Visualização: Figura 2.1: As funções podem ser vistas na Janela Algébrica e os gráficos são desenhados na Janela de Visualizações Como pode ser observado na imagem acima, cada item digitado receberá um nome que poderá ser usado enquanto o item não for deletado. Por exemplo, ao invés de reescrever a função x^2-4 é possível apenas referenciar f ou f(x), o mesmo vale para a circunferência c e a expressão a. 2.1 Funções definidas por partes Para funções definidas em mais de uma sentença, como { x se x 0 x = x se x < 0 7

8 8 CAPÍTULO 2. OBJETOS, FUNÇÕES E POLINÔMIOS temos os comandos Se[<condiç~ao>, <entao>] e Se[<condicao>, <entao>, <senao>]. Assim, se quisermos definir x, digitamos Se[x >= 0, x, -x], caso a função tenha mais de duas partes, podemos usar outro Se[] dentro do primeiro, por exemplo, a função pode ser descrita no GeoGebra como x, se x > 2 f(x) = x 2, se 0 x < 2 x, se x < 0 Se[x > 2, x, Se[x >= 0, Se[x < 2, x^2], -x]].

9 2.2. PRODUTO E COMPOSIÇAO DE FUNÇÕES 9 Figura 2.2: A função f(x) definida em 3 partes, note que a função não é definida para x = Produto e Composiçao de Funções O produto de duas funções pode ser obtido definindo cada uma delas e digitando f(x)g(x), ou quaisquer que sejam os nomes das funções; A composição de duas funções pode ser obtida definindo cada uma delas e digitando f(g(x)), ou quaisquer que sejam os nomes das funções, a composição pode ser feita inclusive utilizando funções definidas em partes. Figura 2.3: A função h(x) em laranja representa a composta de g(x) em f(x) e a função p(x) em roxo representa o produto entre f e g A composição de funções definidas em partes pode ficar um pouco bagunçada, e o GeoGebra pode exibí-la com sua notação de comandos ao invés da notação matemática, entretanto irá exibir seu gráfico normalmente, por exemplo, as funções

10 10 CAPÍTULO 2. OBJETOS, FUNÇÕES E POLINÔMIOS { x 2, se x < 0 f(x) = x 2 2 e g(x) = x 3, caso contrário O GeoGebra irá representar a compostas f(g(x)) dessa forma: Figura 2.4: h(x) = f(g(x)) representada na Janela de Álgebra, na Janela CAS a representação será a mesma 2.3 Divisão de Polinômios O GeoGebra também nos permite efetuar a divisão entre dois polinômios, com o comando Divis~aoEuclidiana[<Polin^omio Dividendo>, <Polin^omio Divisor>] O resultado do Geogebra será uma lista com 2 polinômios, o primeiro o quociente da divisão, e o segundo o resto. Assim, por exemplo, se quisermos avaliar f(x) = g(x) h(x) = x5 + 2x x 2 que pode ser escrita no GeoGebra como: = (x 3 ) (x 2 ) + 2x x 2, Divis~aoEuclidiana[x^5+2x, x^2] E o resultado será a lista: {x 3, 2x} 2.4 Fatoração e Decomposição Para decompor ou fatorar polinômios, o GeoGebra possui o comando:

11 2.5. RAÍZES DE FUNÇÕES 11 Figura 2.5: Resultado da divisão de x 5 + 2x por x 2 Fatorar[<Polin^omio>] Que irá retornar a forma fatorada do polinômio. Por exemplo, a função: f(x) = x 4 + x 3 x 2 + x 2 Se usarmos o comando: o GeoGebra irá retornar a expressão Fatorar[x^4 + x^3 - x^2 + x - 2] (x 1)(x + 2)(x 2 + 1) Para o processo reverso, há o comando: Simplificar[<Funç~ao>] que expande os termos da função. Utilizando o mesmo exemplo acima: Simplificar[(x-1)(x+2)(x^2+1)] Irá retornar: f(x) = x 4 + x 3 x 2 + x Raízes de Funções Para encontrar raízes de uma função no GeoGebra, é possível usar o comando Raiz[<Polin^omio>] Mas como é sugerido pelos argumentos, ele só é válido para funções polinomiais. Para outros tipos de funções(que incluem sen(x), cos(x), ln(x), etc, é importante colocar também um intervalo onde há uma raíz. Raiz[<Funç~ao>, <Valor de x inicial>] ou Raiz[<Funçao>, <Valor de x inicial>, <Valor de x final>] Dessa forma, as raízes serão calculadas utilizando métodos numéricos. A Janela CAS, que veremos a seguir, resolve raízes de algumas funções não polinomiais se forem razoavelmente simples, como f(x) = sen(x) + cos(x).

12 12 CAPÍTULO 2. OBJETOS, FUNÇÕES E POLINÔMIOS 2.6 Assíntotas O GeoGebra possui o comando: Assíntota[<Funç~ao>], que desenha as retas assintóticas ao gráfico da função na Janela de Visualização, e uma Lista, na qual os elementos são os valores de x ou y onde há assíntota, na Janela CAS. Figura 2.6: Exemplos clássicos de funções que possuem assíntotas tanto verticais quanto horizontais Exemplo Tomemos por exemplo a função: Se digitarmos o comando: f(x) := x2 2x + 1 (x 1)(x 2) Assíntota[(x^2-2x+1)/((x-1)(x-2))], Vamos obter a lista: {y = 1, x = 2} Indicando uma assíntota horizontal em 1 e uma assíntota vertical em 2. Digitando a função sem nenhum comando no GeoGebra, vemos que ele a simplifica automaticamente para x 1 x 2 indicando que não há assíntota em x = 1, já que esse ponto é raiz de f.

13 Capítulo 3 Janela para Cálculos Algébricos Simbólicos(CAS) Diferente dos métodos numéricos de aproximação utilizados pela entrada padrão do GeoGebra, ele também permite que façamos cálculos simbólicos, apresentando as soluções analíticas dos problemas; Para acessar a Janela CAS, vá até a aba Exibir na tela inicial do GeoGebra e selecione a opção Janela CAS. É possível, também, pressionar as teclas Ctrl + Shift + K para abrir a janela. Figura 3.1: A Janela CAS vai aparecer entre as duas janelas iniciais, mas é possível mudar a posição de cada janela livremente As entradas na Janela CAS seguem o mesmo padrão de entrada, mas serão digitados dentro das caixas enumeradas(chamadas Cédulas) na janela. A Janela CAS exibe tanto a expressão digitada quanto o valor simbólico avaliado. 13

14 14 CAPÍTULO 3. JANELA PARA CÁLCULOS ALGÉBRICOS SIMBÓLICOS(CAS) Figura 3.2: Expressões avaliadas na Janela de Álgebra e na Janela CAS 3.1 Funções na Janela CAS Quase tudo o que já foi visto para a Janela de Álgebra também funcionana Janela CAS, mas para a criação de funções, é importante usar o operador de atribuição(:=) ao invés do operador de igualdade(=), isso porque o GeoGebra vai tentar avaliar f(x) = x^2-4x + 2 como uma equação onde f(x) é outra variável ou uma constante. A forma de avisar que f(x) é uma função de x, é atribuindo o valor a f(x), dessa forma f(x) := x^2-4x + 2. O mesmo vale, inclusive, para as funções trigonométricas e logarítmicas. Além disso, a Janela CAS conta ainda com o comando Resolver[] Que resolve equações, inequações e encontra as raízes de funções polinomiais. 3.2 Cédulas e Operadores de Referência A Janela CAS possui uma facilidade para obtermos a solução de problemas, que são os operadores $ e #, que são usados como uma forma de referência a alguma cédula. Os operadores são usados da seguinte forma $(n o da Cédula) e #(n o da Cédula) Isso nos dá a facilidade de dividir a resolução do problema, por exemplo, ao invés de digitarmos Resolver[x^2-2x-3], podemos digitar apenas a equação na cédula 1, e depois referenciá-la na cédula 2: Resolver[$1].

15 3.2. CÉDULAS E OPERADORES DE REFERÊNCIA 15 Figura 3.3: Comparação dos valores na Janela Algébrica e na Janela CAS(que veremos mais adiante) Figura 3.4: Note que f é identificada como um objeto geométrico, enquanto g é vista como uma equação, com solução não identificada. Note também que as raízes de f são exibidas da forma convencional, sem aproximações numéricas. Esses operadores serão mais úteis quando várias operações forem feitas sobre uma mesma função, ou mesmo quando a função for muito grande ou complexa. É importante lembrar que há diferenças entre $ e #, sendo que o primeiro irá sempre resolver a expressão que estiver na cédula que ele referencia, assim, se mudarmos a expressão naquela cédula, a solução também vai mudar. Já o # copia o conteúdo da cédula referenciada para a cédula atual, sendo assim, mudar a cédula original não irá afetar os resultados.

16 16 CAPÍTULO 3. JANELA PARA CÁLCULOS ALGÉBRICOS SIMBÓLICOS(CAS) Figura 3.5: Uma equação resolvida diretamente, e usando o operador $

17 Capítulo 4 Limites 4.1 Introdução Uma das formas interessantes de usar o GeoGebra para o cálculo de limites, é usar a própria Janela de Visualizações para avaliar o comportamento das funções. Além disso são oferecidas funções que auxiliam no cálculo, ou mesmo calculam o limite, por exemplo, se digitarmos a função f(x) = x2 1 x 1, que pode ser escrita no GeoGebra como: (x^2-1)/(x-1). Temos o comando Fatorar[<Polin^omio>], que irá criar uma nova função g(x) = x+1. Na Janela CAS, a fatoração é feita automaticamente se os polinômios forem divisíveis. Há também o comando: Simplificar[<Funç~ao>] Figura 4.1: A função g(x) = x2 1 x 1 na Janela de Álgebra e Janela CAS Para calcular um limite, usamos o comando Limite[<Express~ao, Valor>] ou Limite[<Express~ao, Variável, Valor>], 17

18 18 CAPÍTULO 4. LIMITES A principal diferença entre os dois, é que o segundo só é possível na Janela CAS, além disso, ele nos permite colocar constantes não definidas na expressão, como por exemplo: lim 2k + xy, x 5 que pode ser escrito no GeoGebra como: Limite[2k + x*y, x, 5]. A Janela CAS irá retornar uma nova expressão, avaliada com x = 5, nesse caso, 2k + 5y. O comando também reconhece os limites fundamentais, por exemplo sen(x) lim x 0 x ( = 1 e lim x = e x x) Figura 4.2: A Janela de Álgebra não consegue representar esse tipo de equação. Caso o limite não exista, o GeoGebra pode retornar a palavra indeterminado ou simplesmente um símbolo de interrogação (?). Geralmente o primeiro para indicar um limite que realmente não existe e o segundo quando o GeoGebra não consegue calculá-lo, apesar de que as janelas de Álgebra e Janela CAS podem variar nesse aspecto Exemplos Exmeplo 1) lim x 0 1 x x + 1 x Simplesmente digitando a função na Janela CAS, como (1/(x-1) + 1/(x+1))/x já será exibida a forma mais simplificada da função, 2 x 2 1, que já é extremamente fácil de se avaliar o limite. Digitando: Limite[(1/(x-1) + 1/(x+1))/x, 0] ou Limite[$1, 0]

19 4.2. LIMITES LATERAIS 19 Figura 4.3: Solução do exercício 1 será obtido diretamente o resultado 2 Exemplo 2) lim x 2 x x 2 Basta repetir os mesmos processos do exercício anterior, digitando no GeoGebra (sqrt(x^2+12)-4)/(x-2) E depois Limite[$1, 2] ou digitar diretamente Limite[(sqrt(x^2+12)-4)/(x-2), 2] E o GeoGebra irá retornar o valor 1 2. Figura 4.4: Solução do exercício Limites Laterais É importante tomar alguns cuidados com essa ferramenta de cálculo de limites, principalmente em funções definidas por partes, pois se a função estiver definida no ponto em que se quer saber o limite, o GeoGebra irá retornar o valor da função naquele ponto, algo que é válido

20 20 CAPÍTULO 4. LIMITES somente se a função for contínua. Um exemplo simples é o limite lim x 0 f(x), onde f(x) = { 0, se x < 0 1, caso contrario, que pode ser escrita no GeoGebra como: Se[x < 0, 0, 1] Esse limite não existe, entretanto, o GeoGebra irá dizer que o limite é 1. contornar esse tipo de erro é utilizar os comandos Uma forma de LimiteSuperior[] e LimiteInferior[], ambas com os mesmos parâmentros dos comandos Limite[]. Sendo LimiteSuperior[f(x), a] equivalente a lim f(x) e LimiteInferior[f(x), a] equivalente a lim f(x). x a + x a Exemplos f(x) = x + 2 se x < 2 1 se x = 2 x 2 se 2 < x 1 1 se 1 < x < 0 0 se x = 0 1 se x > 0 Esse é um exemplo onde é importante usar os operadores $ ou #, essa função digitada no GeoGebra será Se[x < -2, x+2, Se[x == -2, 1, Se[x <= -1, -x-2, Se[x < 0, -1, Se[x == 0, 0, 1]]]]] Aqui, queremos lim f(x), lim f(x) e f(2) x 2 + x 2 Então podemos digitar no GeoGebra os seguintes comandos: LimiteSuperior[$1, -2], para obtermos LimiteInferior[$1, -2], para obtermos lim f(x) : x 2 + lim f(x) : x 2 E para obtermos f( 2), é importante definir a função do exercício como uma função no GeoGebra, assim: Em seguida, basta avaliarmos f( 2): f(x) := $1

21 4.3. LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 21 Figura 4.5: Solução do exercício 4.3 Limites no infinito e Limites infinitos Para represertar limites tendendo ao infinito, utilizamos a seguinte sintaxe Limite[f(x), inf], da mesma forma, para as funções LimiteSuperior[] e LimiteInferior[], usamos: LimiteSuperior[f(x), inf] e LimiteInferior[f(x), inf] o GeoGebra reconhece a palavra inf da mesma forma que o símbolo, e reconhce -inf como. Para limites infinitos, o GeoGebra irá retornar o símbolo caso o limite seja +, e irá retornar o símbolo caso esse seja o limite. Caso os limites laterais sejam os infinitos de sinais opostos, o GeoGebra o irá avaliar normalmente como um limite não existente Exemplos Nesses exercícios é interessante digitar as funções, já definindo-as, assim seu gráfico será plotado na Janela de Visualização e as assíntotas poderão ser observadas. Exercício 1) lim x + x 3 4x Vamos digitar no GeoGebra: f(x) := (x - 3) / sqrt(4x^2 + 25)

22 22 CAPÍTULO 4. LIMITES Daqui já podemos ver o gráfico da função se aproximando de 1 conforme a função cresce, 2 para calcular esse limite, como a função foi definida, podemos digitar: Limite[f(x), inf] ou Limite[f(x), ] E vamos obter o valor esperado de 1 2. Usando o comando: Assíntota[f] Vamos obter a lista: {y = 1 2 } Exercício 2) lim x 8 + 2x x + 8 Novamente, basta digitar no GeoGebra: g(x) := 2x/(x+8) E já é possível observar que o gráfico da função possui assíntota vertical em x = 8. Também 2x é possível perceber que lim não existe. x 8 x + 8 Agora, para calcular o que o exercício pede, queremos o Limite Superior da função, quando x tende a 8, então: LimiteSuperior[g(x), -8] E o resultado dado será, indicando a assíntota vertical. Usando o comando: Assíntota[g] Vamos obter a lista: {x = 8}.

23 4.3. LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 23 Figura 4.6: Exercícios 1 e 2 resolvidos.

24 24 CAPÍTULO 4. LIMITES

25 Capítulo 5 Derivadas 5.1 Introdução 5.2 Reta Tangente e Reta Normal Há também diversas funcionalidades para se obter retas tangentes pelo GeoGebra. Aqui, a de maior interesse é a Tangente[<Valor de x>, <Funç~ao>] que retorna a equação da reta tangente àquele ponto. Para a reta normal, há o comando Perpendicular[<Ponto>, <Reta>] Basta usar o comando passando a reta tangente como argumento. É importante também lembrar que o ponto consiste de duas coordenadas, e deve ser passado como (x, f(x)). Por exemplo, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico da função 3sen(x) no ponto onde x = π e, logo em seguida, encontrar a reta normal naquele mesmo ponto, dado por (π, f(π)). Figura 5.1: Reta tangente(rt ) e reta normal(rn ) ao gráfico da função em π. 25

26 26 CAPÍTULO 5. DERIVADAS 5.3 Encontrando Derivadas com o GeoGebra A Janela CAS consegue calcular a derivada a partir da definição usando limites, mas também é possível utilizar métodos mais sofisticados do GeoGebra, o software reconhece o comando f (x), desde que f(x) esteja definida, e também conta com o comando Derivada[<Express~ao>] ou Derivada[<Express~ao>, <Variável>] O segundo que pode ser usado para derivadas parciais, ou quando a função tiver constantes não definidas. Esse comando encontra a primeira derivada da função. O comando Derivar[<Express~ao>] consegue, também, identificar as regras de derivação, inclusive a regra da cadeia, e exibí-las na Janela CAS, como visto na imagem abaixo: Figura 5.2: As regras de derivação escritas de forma generalizada na Janela CAS Exemplos Exercício 1) Achar a primeira derivada de xe sen(x) A solução mais direta, é simplesmente digitar no GeoGebra: Derivada[x*e^sen(x)]

27 5.3. ENCONTRANDO DERIVADAS COM O GEOGEBRA 27 Nesse exemplo, é importante usar o * ou o, pois a Janela CAS irá interpretar xe como uma única variável. A resposta será obtida diretamente. Figura 5.3: Resultado do exercício 1 Exercício 2) f(x) = x + sen x cos(x) Novamente, a forma mais direta é: Derivada[(x+sen(x))/(x-cos(x))] E o resultado será exibido. É importante lembrar, entretanto, que o GeoGebra não é tão organizado para manipular as funções trigonométricas, e o resultado apresentado pode precisar de simplificações para ficar igual ao gabarito da lista. Figura 5.4: Resultado do exercício 2 conforme exibido no GeoGebra. Exercício 3) Queremos os pontos onde a reta tangente à curva: y = 4x 3 + 6x 2 24x + 10 é horizontal. Esses pontos serão dados por todo (a, f(a)) onde f (a) = 0. Então vamos definir a função no GeoGebra: f(x):= 4x^3 + 6x^2-24x + 10

28 28 CAPÍTULO 5. DERIVADAS Agora podemos simplesmente escrever: Resolver[Derivada[f(x)]] E nos será dada a lista com as raízes de f (x), por fim, é só achar o valor de f(x) em cada umas das raízes de f (x). f(-2) e f(1) Figura 5.5: Resultado do exercício 3, os pontos serão ( 2, 50) e (1, 4). Exercício 4) Queremos a equação das retas tangentes à curva y = 3 3x + 2 que têm inclinação 45 o. Então, primeiro vamos digitar a função no GeoGebra: f(x) := RaizNÉsima(3x+2, 3) Em seguida, queremos todos os pontos onde a inclinação é de 45 o, ou seja, onde a derivada da função vale 1(tg(45 o )) Resolver[f (x) = 1] Agora é só prosseguir como no exercício anterior, mas ao invés de somente os pontos, o exercício pede a equação da reta, para isso, temos o comando:

29 5.3. ENCONTRANDO DERIVADAS COM O GEOGEBRA 29 Reta[<Ponto>, <Reta Paralela>] Os pontos podem ser facilmente encontrados como no exercício anterior, e uma reta paralela a qualquer reta de inclinação 1 é a reta y = x, então, basta digitarmos: Reta[(-1, f(-1)), y=x] e Reta[(-1/3, f(-1/3)), y=x] E o GeoGebra irá nos dar as equações das retas. Figura 5.6: Resultado do exercício 4.

30 30 CAPÍTULO 5. DERIVADAS 5.4 Derivadas Laterais Em funções definidas por partes, o GeoGebra irá derivar cada uma das parcelas independentemente, isso pode funcionar para a maioria dos pontos da função, mas no ponto onde a função se divide, é importante calcular as derivadas laterais utilizando a definição. No Geo- Gebra, devemos usar as ferramentas de Limite superior e inferior para verificar a existência da derivada nesses pontos. Figura 5.7: A forma como o GeoGebra deriva as funções definidas em partes Exemplos Exercício 1 Verificar se a função f(x) é derivável em x = 1, sendo f dada por; f(x) = { 2x 1 se x 1 x 2 se x < 1 Para esse exercício, é importante usar a definição de derivada, f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Mas primeiro vamos digitar a função no GeoGebra: f(x):= Se[x >= 1,2x - 1,x^2] Agora, podemos digitar a definição de derivada, já aplicada no ponto em que queremos: (f(1 + h) - f(1))/h E agora calcular os limites superior e inferior da expressão acima quando h tende a 0. LimiteSuperior[$2, h, 0] e LimiteInferior[$2, h, 0] Como ambos são iguais, a função é derivável em 1.

31 5.4. DERIVADAS LATERAIS 31 Figura 5.8: Resultado do exercício 1. Exercício 2 Verificar se a função f(x) é derivável em x = 0, sendo f dada por; f(x) = { x 2 se x < 0 x se x 0 Digitando a função GeoGebra: Se[x < 0, x^2, x] agora vamos criar uma função df para representar nossa derivada por definição quando x = 0: df(x):= (f(x) - f(0))/(x-0). Por fim, agora basta calcular: LimiteSuperior[dF, 0] e LimiteInferior[dF, 0] E podemos perceber que diferem, indicando que a função f(x) não é derivável em x = 0. É importante observar que o GeoGebra irá dizer que f (0) = 1, o que não é correto.

32 32 CAPÍTULO 5. DERIVADAS Figura 5.9: Resultado do exercício 2. Note que o GeoGebra retorna f (0) = 1, mas f (0)

33 5.5. DERIVADAS IMPLÍCITAS Derivadas Implícitas Para derivadas implícitas, há o comando DerivadaImplícita[<f(x, y)>], que toma x como a variável dependente e y como a variável independente. É possível também colocar quaisquer letras para representar as variáveis, basta informar qual delas será a variável independente e qual será a dependente, nessa ordem. O comando espera como parâmetro o lado esquerdo da uma equação igual a zero e irá retornar dy. Por isso é importante lembrar que se quisermos encontrar: dx x 2 + y 2 = 1, devemos digitar: x^2 + y^2-1. Figura 5.10: Na cédula 4, a variável j é dada como a variável independente e k a variável dependente; 5.6 Derivadas de Ordem Superior Para derivadas de ordem superior, apesar de possível usar o comando Derivada[] dentro dele próprio, assim: Derivada[Derivada[Derivada[...[Derivada[f(x)]...]]], é mais prático utilizar o comando: Derivada[<Funç~ao>, <Número>], que irá retornar a derivada n-ésima de função digitada.

34 34 CAPÍTULO 5. DERIVADAS Figura 5.11: A segunda derivada de 5x 4 3x 2 + 2x + 15 e a terceira derivada de sen(x)cos(x).

35 Capítulo 6 Aplicações de Derivadas e Pontos Críticos 6.1 Estudo de Sinal A Janela de Visualização é uma ferramenta poderosíssima para auxiliar o estudo de sinais de uma função, mas há várias formas de utilizar o GeoGebra para esse fim. A mais simples, é utilizar o comando Resolver[] da seguinte forma: Resolver[f > 0, para encontrar os intervalos onde a função é positiva e Resolver[f < 0, para encontrar os intervalos onde a função é negativa. Uma outra forma é, caso a função seja contínua, usar o comando Resolver[] ou Raízes[] para encontrar as raízes da função e depois calcular f(x 0 ), x 0 uma constante que pertence ao intervalo aberto entre duas das raízes da função que não contém nenhuma outra raíz. Por exemplo, se as raízes da função forem x = 2, x = 1, x = 5, x = 10, então x 0 ( 2, 1), x 0 (1, 5), ou x 0 (5, 10), A partir do sinal de f(x 0 ) sabemos que a cada próximo intervalo delimitado por uma raíz de f(x), o sinal será trocado. Continuando o exemplo anterior, seja x 0 = 0, e f(0) < 0 então como 0 ( 2, 1) : f(x) < 0 se x ( 2, 1); f(x) > 0 se x (1, 5); f(x) < 0 se x (5, 10); 35

36 36 CAPÍTULO 6. APLICAÇÕES DE DERIVADAS E PONTOS CRÍTICOS f(x) > 0 se x > 10; f(x) > 0 se x < 2. Ainda outra forma, é utilizar o comando: Fatorar[<Polin^omio>] e fazer o estudo de sinal no resultado simplificado. Por exemplo, para função f(x) = x 4 14x x x 100, digitamos: Fatorar[x^4-14x^3 + 33x^2 + 80x -100] Resultado: f(x) = (x 10)(x 5)(x 1)(x + 2) Agora basta avaliarmos os sinais de cada um dos termos quando x > 10; 5 < x < 10; 1 < x < 5; 2 < x < 1; x < 2. Caso o número de termos negativos seja par, a função é positiva naquele intervalo, caso seja ímpar, a função é negativa naquele intervalo. 6.2 Sinais da primeira derivada O estudo de sinal da primeira derivada de uma função, nos diz sobre o seu crescimento ou decrescimento. f(x) é crescente onde f (x) > 0; f(x) é decresente onde f (x) < 0; Quando f (x) = 0, temos um ponto crítico da função.

37 6.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS Máximos e Mínimos Figura 6.1: Gráfico de f(x). Os comandos para encontrar máximos e mínimos no GeoGebra só são disponíveis na entrada padrão da Janela de Álgebra. Possuem a sintaxe: Máximo[<Funç~ao>, <Valor de x inicial>, <Valor de x final>] e Mínimo[<Funç~ao>, <Valor de x inicial>, <Valor de x final>] Além disso, esses comandos só funcionam com intervalos fechados e limitados, e são válidos para qualquer tipo de função: exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, etc. Esses comandos irão retornar o primeiro ponto de máximo ou mínimo encontrado no intervalo dado. Não há comando para encontrar máximos e mínimos absolutos da função na biblioteca padrão do GeoGebra. Uma forma mais interessante de achar máximos e mínimos locais com o GeoGebra, é utilizando, na Janela CAS o comando Resolver[f (x) = 0] para encontrar os pontos críticos, x, de f, caso seja derivável, e para cada um deles, calcular f (x ). A partir daí, sabemos que: f (x ) > 0, x é um ponto de mínimo local; f (x ) < 0, x é um ponto de máximo local. Essa forma de encontrar esses pontos é muito mais interessante que a anterior pois nos dá informações importantes sobre o comportamento da função, e não somente o maior ou menor número de um intervalo fechado.

38 38 CAPÍTULO 6. APLICAÇÕES DE DERIVADAS E PONTOS CRÍTICOS Figura 6.2: Gráfico de f(x), em azul e f (x), em roxo. 6.4 Sinais da segunda derivada Concavidades O GeoGebra não possui comandos específicos para fazer o estudo das concavidades de uma função. Além disso, algumas funções podem ter concavidades difícieis de achar mesmo na Janela de Visualização. A concavidade de uma função está diretamente relacionada com o sinal de sua segunda derivada. A função é côncava para cima onde sua segunda derivada possui sinal positivo, e côncava para baixo onde sua segunda derivada possui sinal negativo. Isso é interessante de ser observado na Janela de Visualização, e muito bem destacado pelas funções sen(x) e cos(x). Quando f (x) = 0, temos um ponto de inflexão da função, onde sua concavidade muda.

39 6.4. SINAIS DA SEGUNDA DERIVADA 39 Figura 6.3: Gráfico de f(x), em azul e f (x), em vermelho Pontos de Inflexão Os pontos de inflexão de uma função são os pontos onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada troca de sinal. Há duas formas de encontrar os pontos de inflexão de uma função usando o GeoGebra, uma delas é usar o comando: PontoDeInflex~ao[<Polin^omio>], que apesar de especificar que o argumento passado a ele deve ser um polinômio, também resolve algumas funções envolvendo termos trigonométricos e logarítmicos, se não forem muito complexos. Esse comando irá retornar os pontos de inflexão do gráfico. A outra forma é utilizar o comando Resolver[] em conjunto com Derivada[f(x), 2]: Resolver[Derivada[f(x), 2]] Esse comando irá retornar os valores de x dos candidatos a pontos de inflexão. Por exemplo, se quisermos os pontos de inflexão das funções arcsen(x) e e x (x 2 + 3x + 1), Essas são as opções de encontrá-los pelo GeoGebra:

40 40 CAPÍTULO 6. APLICAÇÕES DE DERIVADAS E PONTOS CRÍTICOS Figura 6.4: Quadro para auxílio do estudo de crescimento e concavidade Figura 6.5

41 6.5. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Construção de Gráficos Exemplo 1 Vamos construir o gráfico da função: Domínio da função f(x) = x2 x Vemos que f está definida para qualquer x real, dessa forma: D f = {x R}. Digitando na Janela CAS: f(x):=(x^2)/(x^2+1) O gráfico já irá aparecer na Janela de Visualização, mas agora vamos estudá-lo. Interseção com os eixos cartesianos Podemos calcular os pontos de interseção da função com os eixos x e y de duas formas. Neste exemplo, vamos encontrar as raízes de f para os pontos de interseção com o eixo x e, para o ponto de interseção com o eixo y, calcular f(0). Para encontrar os pontos de interseção com o eixo x, basta digitar no GeoGebra: Resolver[f] E a saída será: {x = 0} Indicando que a função se intersepta com o eixo x no ponto (0, 0). Agora para o eixo y, digitamos: f(0) E a saída será 0, indicando que a interseção também ocorre no ponto (0, 0). Assíntotas É possível observar pelo gráfico que f possui assíntota horizontal. Novamente, há duas formas de encontrar a assíntota horizontal de f. Uma delas é utilizando o comando: a := Assíntota[f] Que irá retornar:

42 42 CAPÍTULO 6. APLICAÇÕES DE DERIVADAS E PONTOS CRÍTICOS {y = 1} Que é a equação da reta assintótica ao gráfico de f. Utilizamos uma variável a e o operador de atribuição para que a(s) assíntota(s) sejam desenhadas automaticamente na Janela de Visualização. Outra forma de encontrar essa assíntota é verificando os limites No GeoGebra: lim f(x) e lim f(x) x + x Limite[f, inf] e Limite[f, -inf] E ambos irão retornar 1. Pontos críticos Agora vamos verificar os pontos críticos de f, para isso vamos definir a derivada de f : f (x) := Derivada[f] Note que o GeoGebra já reconhece f (x) como sendo a derivada de f, mas se digitarmos apenas f (x) na Janela CAS, só será retornada a expressão, sem que seja feito o desenho do gráfico de f. Fazer essa atribuição não irá influenciar em nada além disso. Vemos que o domínio de f também é R, então os únicos pontos críticos serão as raízes de f. Para encontrá-las: Resolver[f ] O resultado será: {x = 0} Indicando que (0, 0) é o único ponto crítico de f. Máximos e mínimos A imagem de f é Im(f) = [0, 1). Analisando a imagem da função, e sabendo que possui apenas um ponto crítico, sabemos que seu valor mínimo absoluto é 0, e não há nenhum outro ponto de mínimo ou máximo, seja local ou global. Estudo de sinal da primeira derivada A primeira derivada de f é dada por: f (x) = 2x x 4 + 2x Seu denominador será sempre positivo, então o sinal de f depende somente de seu numerador, que será positivo quando x for positivo, e negativo quando x for negativo, ou seja:

43 6.5. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 43 f (x) > 0 se x > 0 e f (x) < 0 se x < 0 Esse resultado deve ser compatível com o resultado dos comandos: Resolver[f (x) > 0] e Resolver[f (x) < 0]. Crescimento e decrescimento De acordo com o estudo de sinal da primeira derivada de f, sabemos que f é crescente quando x > 0 e decrescente quando x < 0. Observando os gráficos de f e f na Janela de Visualização é possível perceber isso com clareza. Figura 6.6: Gráfico de f(x), em verde, e sua derivada, f (x) em azul. Estudo do sinal da segunda derivada Para encontrarmos a segunda derivada de f, fazemos da mesma forma como fizemos para achar a primeira: f (x) := Derivada[f, 2] Será plotado o gráfico de f e teremos a função: f (x) = 6x x 6 + 3x 4 + 3x Da mesma forma que a primeira derivada, o sinal de f só depende do sinal de seu numerador, 6x 2 + 2, que é negativo sempre que ou 3 x < 3 x > 3 3.

44 44 CAPÍTULO 6. APLICAÇÕES DE DERIVADAS E PONTOS CRÍTICOS E positivo quando 3 3 < x < 3 3. Novamente, o resultado é compatível com os comandos: Resolver[f (x) > 0] e Resolver[f (x) < 0]. Concavidades As concavidades de uma função estão diretamente relacionadas com sinal de sua segunda derivada. O gráfico de f é côncavo para cima nos intervalos onde f (x) > 0. E côncavo para baixo onde f (x) < 0. Dessa forma, temos que f é côncava para baixo em ( ) 3, 3 ( ) 3 3,, e côncava para cima em ( Teste da segunda derivada 3 3, ) 3 O teste da segunda derivada é usado para descobrir se os pontos críticos são pontos de máximo, mínimo ou pontos de inflexão. O ponto crítico que encontramos para f é com x = 0, então vamos calcular f (0), e verificarmos seu valor. Caso seja positivo, x = 0 é um ponto de mínimo de f, caso seja negativo x = 0 é um ponto de máximo de f, e caso seja 0, x = 0 é um ponto de inflexão de f. Com isso, calculando no GeoGebra 3 f (0) O resultado será 2, então, como esperado, (0, 0) é um ponto de mínimo de f. Pontos de inflexão Os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda, podem ser encontrado calculando as raízes de f, como já foi feito anteriormente, ou usando o comando: Que irá retornar a lista: {( 1 3, 1 4 PontoDeInflex~ao[f] ) )}, ( 1 3, 1 4 Confirmando que os pontos de inflexão são os pontos em x = ± 3 3.

45 6.5. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 45 Figura 6.7: Gráfico de f(x), em verde, e sua segunda derivada f (x), em roxo Exemplo 2 Figura 6.8: Gráfico de f(x) e, pontilhado, a reta assíntota. Vamos construir o gráfico da função: Domínio da função f(x) = x2 + 1 x 2 1 Agora temos uma função que não está definida para todo x real, dessa forma: D f = {x R x ±1}. Digitando na Janela CAS: f(x):=(x^2+1)/(x^2-1) Interseção com os eixos cartesianos Nesse exemplo, vamos usar o comando Interseç~ao[f, x = 0]

46 46 CAPÍTULO 6. APLICAÇÕES DE DERIVADAS E PONTOS CRÍTICOS Para encontrarmos a interseção do gráfico com o eixo y. A saída será: {(0, 1)} Indicando que a função se intersepta com o eixo y nesse ponto. Agora para o eixo x, digitamos: Interseç~ao[f, y = 0] E a saída será {} Isso nos diz que não há interseção com o eixo x, e, realmente, olhando para a definição da função, vemos que não há raízes reais. Assíntotas É possível observar pelo gráfico que f possui assíntotas horizontais e verticais. Novamente, há duas formas de encontrar as assíntotas de f. Uma delas é utilizando o comando: a := Assíntota[f] Que irá retornar: {y = 1, x = 1, x = 1} Cada um desse valores é a equação de uma das retas assintóticas ao gráfico de f, duas verticais e uma horizontal. Verificando os limites No GeoGebra: lim f(x) e lim f(x) x + x Novamente ambos irão retornar 1. Limite[f, inf] e Limite[f, -inf] Agora para as assíntotas verticais, os pontos candidatos a assíntotas verticais são x = 1 e x = 1, dessa forma, vamos calcular os limites lim f(x) x 1 lim x 1 f(x) e lim f(x) lim f(x) + x 1 + x 1 No GeoGebra: LimiteInferior[f, -1] LimiteSuperior[f, -1] LimiteInferior[f, 1] LimiteSuperior[f, 1] Que irão retornar, respectivamente,,,, e.

47 6.5. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 47 Pontos críticos Agora vamos verificar os pontos críticos de f, para isso vamos definir a derivada de f : f (x) := Derivada[f] Vemos que o domínio de f também é R \ { 1, 1}, mas como 1 e 1 não estão no domínio de f, não são pontos críticos. Para encontrar as raízes de f : Resolver[f ] O resultado será: {x = 0} Indicando que (0, 0) é o único ponto crítico de f. Estudo de sinal da primeira derivada A primeira derivada de f é dada por: f (x) = 4x x 4 2x Dessa vez, é importante avaliar o sinal do denominador, mas utilizando o comando: Obtemos como resposta: Fatorar[x^4-2x^2+1] (x 1) 2 (x + 1) 2 Uma expressão que sempre será positiva. Assim, o sinal da derivada depende somente do termo do numerador, 4x, assim, f é possitiva quando x < 0 e negativa quando x > 0. Crescimento e decrescimento De acordo com o estudo de sinal da primeira derivada de f, sabemos que f é crescente quando x > 0 e decrescente quando x < 0. Observando os gráficos de f e f na Janela de Visualização é possível perceber isso com clareza. Estudo do sinal da segunda derivada Definindo a segunda derivada: Obtemos a expressão: f (x) := Derivada[f, 2] 12x x 6 3x 4 + 3x 2 1 Novamente, essa função não é definida para x = ±1 e não possui interseção com o eixo x. O numerador da expressão é sempre positivo, então o que irá definir o sinal da segunda derivada é seu denominador, x 6 3x 4 + 3x 2 1. Utilindo o comando:

48 48 CAPÍTULO 6. APLICAÇÕES DE DERIVADAS E PONTOS CRÍTICOS Figura 6.9: Gráfico de f(x), em verde, e sua derivada, f (x) em vermelho. Fatorar[x^4-2x^2+1] Temos como resultado a expressão: (x 1) 3 + (x + 1) 3 Que é positiva se x > 1 ou x < 1 e é negativa se 1 < x < 1. Teste da segunda derivada O único ponto crítico de f, é no ponto (x, f(x)) com x = 0. Digitando no GeoGebra: f (0) Obteremos como resultado 4, indicando que temos um ponto de mínimo relativo de f no ponto (0, 1) Como a imagem de f é Im f = (, 1] (1, + ) Não há pontos de máximo e mínimo globais.

49 6.5. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 49 Concavidades Pelo estudo de sinal da segunda derivada de f temos que é côncava para cima quando x < 1 e quando x > 1. E côncava para baixo quando 1 < x < 1 Figura 6.10: Gráfico de f(x), em verde, e sua segunda derivada, f (x) em roxo.

50 50 CAPÍTULO 6. APLICAÇÕES DE DERIVADAS E PONTOS CRÍTICOS Figura 6.11: Gráfico de f(x), em verde. As retas assíntotas pontilhadas em vermelho.

51 Capítulo 7 Integrais Indefinidas Para calcular a integral indefinida de uma função, o GeoGebra possui o comando: Integral[<Funç~ao>] Esse comando irá considerar a constante c da função resultante como sendo Integração de polinômios O caso mais simples para integrais, é a integração de polinômios. Inversamente ao processo de derivação, a integral de um polinômio x n, n 1 é: Caso n = 1, x 1 dx = x n dx = xn+1 n c. 1 dx = ln(x) + c. x Como na derivação, a soma das integrais, é a integral das somas. O mesmo se dá para a subtração. Por exemplo: x 2 2x + 5dx = x 2 dx 2xdx + 5dx E também é um operador linear, então: 5xdx = 5 xdx Exemplo Resolva a integral: x 3 4x x dx x 2 51

52 52 CAPÍTULO 7. INTEGRAIS INDEFINIDAS Primeiro, vamos separar essa integral em 4 integrais fáceis de serem resolvidas: xdx dx 3 x dx x, Agora basta resolver as quarto integrais polinomiais, então temos: xdx = x2 2 + c 1 4 dx = 4x + c x dx = 3 2 x + c x dx = 2ln(x) + c 4 E basta somar os resultados, note que somando ou subtraindo 4 constantes, temos sempre uma constante, então o resultado fica: x 2 2 4x + 3 x + 2ln(x) + c Para conferir o resultado, digite na Janela CAS: Integral[(x^3-4x^ x)/x^2] 7.2 Método de substituição Esse método geralmente é usado quando queremos integrar algo que foi resultado do uso de regra da cadeia, formalmente, quando temos a situação: f(g(x))g (x)dx Essa técncica consistem em aplicarmos que u = g(x), então du = g (x)dx e substituindo na expressão acima: f(u)du Exemplo Resolva a integral: Note que: 1 xln(x) dx

53 7.3. INTEGRAÇÃO POR PARTES 53 1 x = [ln(x)] Então, seja u = ln(x) e du = 1 dx, temos: x 1 du = ln(u) + c = ln(ln(x)) + c u Para conferir, digite na Janela CAS: Integral[1/(x ln(x))] ou Integral[1/(x*ln(x))] 7.3 Integração por partes A integração por partes, é usada para reverter a regra do produto, é usada quando temos a situação: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx ou, sejam as funções f(x) = u(x) e g(x) = v(x) : udv = uv vdu Exemplos Exemplo I Resolva a integral: ln(x)dx Nesse exemplo, temos ln(x) = u(x) e dx = dv v = x, então: ln(x)dx = ln(x) x xd(ln(x)) Como d(ln(x)) = 1 dx, temos: x ln(x)dx = ln(x) x x 1 x dx = xln(x) dx Finalmente: ln(x)dx = xln(x) x + c Para conferir, digite na Janela CAS: Integral[ln(x)]

54 54 CAPÍTULO 7. INTEGRAIS INDEFINIDAS Exemplo II Resolva a integral: xe x dx Nesse exemplo, seja x = u e e x dx = dv, assim: du = dx v = e x Dessa forma: xe x dx = xe x e x dx Finalmente: ou xe x dx = xe x e x + c xe x dx = e x ( x 1) + c Para conferir, digite na Janela CAS: Integral[x*exp(-x)] 7.4 Frações Parciais A expansão em frações parciais é usada quando temos um produto de polinômios no denominador da função. Por exemplo: No caso de polinômios repetidos: E em polinômios de grau 2 ou maior: O GeoGebra possui o comando: x (x + 1)(x 2) = A x B x 2. x + 1 (x + 2) = A 2 x B (x + 2) 2 1 (x 2 + 1)(x + 1) = Ax + B x C x + 1

55 7.4. FRAÇÕES PARCIAIS 55 Fraç~oesParciais[<Funç~ao>] que retorna a expressão já simplificada com os valores de A, B, etc. encontrados. Outra forma de encontrar os valores das constantes, é resolvendo um sistema com o comando: Resolver[<Lista de Equaç~oes>, <Lista de Variáveis>] Exemplo I Usando a funcionalidade de resolver sistemas do GeoGebra, tomemos a função: Essa função, pode ser expandida da forma: 1 (x 1) 2 (x 2) 1 (x 1) 2 (x 2) = A x 1 + B (x 1) + C 2 x 2 Da expressão acima, multiplicando todos os termos por (x 1) 2 (x 2) temos: 1 = A(x 1)(x 2) + B(x 2) + C(x 1) 2 Aqui, podemos usar o comando: Simplificar[A*(x-1)(x-2) + B*(x-2) + C*(x-1)^2] e a resposta será: Ax 2 3Ax + 2A + Bx 2B + Cx 2 2Cx + C agrupando os termos: 0x 2 + 0x + 1 = (A + C)x 2 ( 3A + B 2C)x + (2A 2B + C) Então temos o sistema: A + C = 0 3A + B 2C = 0 2A 2B + C = 1 Para resolvê-lo usando o GeoGebra, primeiro vamos criar uma lista, que chamaremos de EqL, com as equações acima: EqL := {A + C = 0, -3A + B - 2C = 0, 2A -2B + C = 1} E criaremos uma lista contendo as variáveis, VarL:

56 56 CAPÍTULO 7. INTEGRAIS INDEFINIDAS VarL := {A, B, C} Feito isso, basta usarmos o comando: Resolver[EqL, VarL] E teremos como resultado a lista: {A = 1, B = 1, C = 1} Indicando que a expressão simplificada é: Para conferir, digite no GeoGebra: E a mesma resposta deverá ser obtida. 1 x (x 1) x 2 Fraç~oesParciais[1/((x-1)^2(x-2))] Exemplo de Integração Resolva a integral: Digitando essa função no GeoGebra: 4x 3 + 8x x + 2 x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 8x + 4 dx f(x) := (4x^3+8x^2+11x+2)/(x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 8x + 4) Nessa exemplo, é interessante usar o comando: Fatorar[f] Que irá retornar o resultado: Expandindo em frações parciais: 4x 3 + 8x x + 2 (x + 1) 2 (x 2 + 4) 4x 3 + 8x x + 2 (x + 1) 2 (x 2 + 4) = A x B (x + 1) + Cx + D 2 x Multiplicando tudo por (x + 1) 2 (x 2 + 4) 4x 3 + 8x x + 2 = A(x + 1)(x 2 + 4) + B(x 2 + 4) + Cx(x + 1) 2 + D(x + 1) 2 Usando o comando:

57 7.4. FRAÇÕES PARCIAIS 57 Obtemos: Simplificar[ A*(x+1)(x^2+4) + B*(x^2+4) + C*x(x+1)^2 + D*(x+1)^2] Ax 3 + Ax 2 + 4Ax + 4A + Bx 2 + 4B + Cx 3 + 2Cx 2 + Cx + Dx 2 + 2Dx + D Clicando em cima do resultado e apertando a tecla enter, uma nova cédula vai ser criada, com os termos já organizados, o que facilita o agrupamento. Agrupando os termos temos a igualdade: (A + C)x 3 + (A + B + 2C + D)x 2 + (4A + C + 2D)x + (4A + 4B + D) = 4x 3 + 8x x + 2 E o sistema: A + C = 4 A + B + 2C + D = 8 4A + C + 2D = 11 4A + 4B + D = 2 Na Janela CAS, vamos criar a lista de equações, EqL, e de variáveis, VarL. Note que os nomes da lista podem ser escolhidos arbitrariamente. EqL := {A+C = 4, A + B + 2C + D = 8, 4A + C + 2D = 11, 4A + 4B + D = 2} e VarL := {A, B, C, D} Depois usar: Resolver[EqL, VarL] Para obter o resultado: {A = 1, B = 1, C = 3, D = 2} Ou seja, a expressão simplificada é da forma: Pode ser conferindo usando o comando: 1 x (x + 1) + 3x x Fraç~oesParciais[f] Sendo assim, basta separar o problema original em 4 integrais simples de serem resolvidas: 1 x + 1 dx 1 (x + 1) dx x x dx x dx

58 58 CAPÍTULO 7. INTEGRAIS INDEFINIDAS A resposta será: ln( x + 1 ) + 1 x ln(x2 + 4) + arctg( 1 2 x) + c Para conferir: Integral[f] 7.5 Manipulações Trigonométricas O GeoGebra não possui muitas opções para trabalhar com funções trigonométricas, possui somente os comandos: SimplificarExpress~oesTrigonométricas[<Express~ao>] ExpandirExpress~oesTrigonométricas[<Express~ao>, <Funç~ao Alvo>, <Variável Alvo>] O primeiro procura reduzir as identidades trigonométricas que forem digitadas. Por exemplo: SimplificarExpress~oesTrigonométricas[1 - sen(x)^2] Irá retornar cos 2 x, e: SimplificarExpress~oesTrigonométricas[sen(x)/cos(x)] Irá retornar tgx. O segundo comando irá expandir a expressão digitada, dando preferência à função passada como Função Alvo. Esse comando irá retornar sempre uma expressão contendo somente variáveis simples, por exemplo: ExpandirExpress~oesTrigonométricas[sen(a+b)] Ele irá retornar: sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) Outra forma de usar esse comando, é definindo uma função alvo, que o GeoGebra irá tentar inserir na resposta, por exemplo, usando o comando: ExpandirExpress~oesTrigonométricas[tg(a+b)] Obteremos: sen(x) + sen(y) cos(x) cos(y) 1 sen(x) sen(y) cos(x) cos(y) Mas usando o comando:

59 7.5. MANIPULAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 59 Obteremos: ExpandirExpress~oesTrigonométricas[tg(a+b), tg(x)] tg(a) + tg(b) 1 tg(a)tg(b) Ainda uma terceira forma de usar o comando, é indicando uma variável para a qual ele deve tentar inserir na resposta, por exemplo, a expressão: sen 2 (x) já é considerada simplificada, entretanto, usando o comando: ExpandirExpress~oesTrigonométricas[sen(x)^2, sen(x)^2, cos(x)] Conseguimos obter: 1 cos 2 (x) Nenhum dos dois comandos parece reconhecer as identidades: e sen 2 (x) = 1 cos(2x) 2 cos 2 (x) = 1 + cos(2x) 2

60 60 CAPÍTULO 7. INTEGRAIS INDEFINIDAS

61 Capítulo 8 Integrais definidas Para calcularmos uma integral definida de a até b no GeoGebra, usamos o comando Integral[] e passamos como parâmetros a função e os valores de a e b : Integral[f(x), a, b] Por exemplo, se quisermos a integral definida de 0 a 1 da função x 2 : Usamos: 1 0 x 2 dx Integral[x^2, 0, 1] Quando esse comando é usado pela Entrada padrão, a área aparece destacada na Janela de Visualização. 8.1 Área abaixo do gráfico de uma função A integral definida de uma função, representa a área limitada pelo gráfico da função e o eixo x do plano cartesiano. Se o intervalo de integração está abaixo do eixo x, o resultado da integral será um número negativo, então é sempre importante estudarmos o sinal da função antes de utilizarmos uma integral definida para encontrarmos áreas Exemplo I Um exemplo simples, é a função: f(x) = x 3 Se fizermos a integral definida: 1 1 x 3 dx 61

62 62 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS DEFINIDAS Integral[x^3, -1, 1] Vamos obter: [ x 4 4 ] 1 1 = (1)4 4 ( 1)4 4 Isso acontece porque a função x 3 é negativa de 1 até 0. Com o Geogebra, basta pedirmos para que ele calcule a integral do módulo da função alvo: = 0. Integral[abs(x^3), -1, 1] ou Integral[ x^3, -1, 1] Sem o uso do GeoGebra, é importante separar a integral entre os sub-intervalos onde a função é positiva e onde é negativa. 1 0 x 3 dx 0 1 x 3 dx

63 Capítulo 9 Área de regiões entre gráficos O GeoGebra possui o comando: IntegralEntre[<Funç~ao 1>,<Funç~ao 2>,<Valor de x Inicial>,<Valor de x Final>] Que retorna o valor da diferença entre a integral da Função 1 no intervalo dado, e da Função 2 no intervalo dado. Para obtermos a área delimitada por dois gráficos, fazemos a integral definida das funções a partir do ponto onde as funções se interseptam a primeira vez, até o ponto onde elas se interseptam novamente. Para saber qual das funções é maior, podemos usar o comando: Resolver[f(x) > g(x)] Para obtermos esses intervalos Exemplo I Encontra a área delimitada pelo gráfico das funções: f(x) = x 3 2x e g(x) = x 4 6x 3 + 7x 2 + 7x 6 Digitando essas funções no GeoGebra: f(x) := x^3-2x^2 + 4 e g(x) = x^4-6x^3 + 7x^2 + 7x - 6 Para acharmos os pontos de interseção das duas funções, podemos usar o comando: Resolver[f = g] 63

64 64 Que irá retornar a lista: CAPÍTULO 9. ÁREA DE REGIÕES ENTRE GRÁFICOS {x = 1, x = 1, x = 2, x = 5} Já sabemos então nossos intervalos de integração, de 1 a 1, de 1 a 2 e de 2 a 5. Agora verificando a função maior: Resolver[f > g] Temos o resultado: { 1 < x < 1, 2 < x < 5} Tendo esses intervalos, usamos os comandos: a := IntegralEntre[f, g, -1, 1] b := IntegralEntre[g, f, 1, 2] c := IntegralEntre[f, g, 2, 5] Note que, b tem os parametros g e f trocados, pois representa a área do intervalo onde g é maior do que f. Por fim, basta somar a, b e c usando: a + b + c ou area := a + b + c O resultado difere do resultado do comando: a := IntegralEntre[f, g, -1, 5] Porque esse comando realiza a operação: 5 f(x)dx g(x)dx Sem se preocupar com estudo de sinais, seu resultado não representa área.

65 Capítulo 10 Inspetor de Funções O GeoGebra conta com uma ferramente bastante útil, chamada Inspetor de Funções. Essa ferramenta pode ser encontrada na paleta de ferramentas acima da Janela de Visualização, na aba onde está escrito ABC conforme mostra a imagem: Figura 10.1: Paleta de ferramentas do GeoGebra. Clicando na seta que está no canto esquerdo inferior do quadrado, serão exibidas as seguintes opções: Figura 10.2 Para utilizá-lo, precisamos ter alguma função já definida no GeoGebra, nesse exemplo, vamos utilizar a função cosx. Clicando na função alvo e em seguida no ícone do inspetor de funções, será apresentada a seguinte tela: 65

66 66 CAPÍTULO 10. INSPETOR DE FUNÇÕES Figura 10.3: A janela exibe diversos detalhes sobre a função em um determinado intervalo. Movendo os pontos vermelhos no gráfico ou mudando o intervalo no canto inferior da janela do inspetor podemos alterar o intervalo de avaliação conforme quisermos. Na Janela CAS, o inspetor é encontrado na aba da Calculadora de probabilidades. E devemos clicar na cédula que possui a função que queremos avaliar. Exemplo Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por: v(t) = t t t + 20km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante entre 13 e 18 horas em que o trânsito está mais rápido? E em qual instante ele é o mais lento? Há duas formas de se trabalhar com o enunciado que foi dado, podemos usar a função: (t 12) (t 12) (t 12) + 20 e trabalhar no intervalo de 13 a 18. Ou usar a função dada no enunciado e usar o intervalo de 1 a 6. Não há diferença para o GeoGebra usar a variável x ou t, mas seguindo o enunciado, vamos definir a função: v(t) = t^3-10.5t^2 + 30t + 20 Clicando na cédula, nome ou gráfico da função v, e depois selecionando o inspetor de funções, precisamos definir o intervalo que nos interessa. Para isso, mudamos os valores no canto inferior da janela para o intervalo desejado. Nesse caso, queremos 1 x 6. Mudando os valores e

67 67 Figura 10.4 apertando a tecla Enter, as propriedades da função já serão alteradas, o inspetor de funções ficará assim: Nos campos Máximo e Mínimo, são dados pontos da forma (x, f(x)), então como no exercício o ponto de máximo é (2, 46), quer dizer que a maior média de velocidades é de 46km/h e ocorre às 14h. Enquanto que a menor média, de 32.5km/h acontece às 17h, no ponto (5, 32.5). Os pontos devem coincidir com os dados pelos comandos da Janela de Álgebra: Máximo[x^3-10.5x^2 + 30x + 20, 1, 6] Mínimo[x^3-10.5x^2 + 30x + 20, 1, 6]