J. M. Brisson Lopes Computação Gráfica. 1 Rasterização

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1 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica Rasterização No andar final do ieline de visualização, as rimitivas gráficas são enviadas ao disositivo físico onde são afiadas, deois de realizada a transformação das suas coordenadas ara as coordenadas rórias do disositivo. A afiação das rimitivas em unidades do tio vectorial não aresenta quaisquer roblemas, elo menos no caso de rimitivas simles suortadas or essas unidades. Porém, no caso de disositivos gráficos do tio de quadrícula, há ainda que converter tais rimitivas nas quadrículas dos disositivos, em oerações denominadas de rasterização ou, como também são conhecidas, conversão or varrimento. O objectivo desta oeração é determinar quais as quadrículas que reresentarão as rimitivas gráficas. A rasterização de rimitivas gráficas é uma oeração que é eecutada milhões de vezes e, ortanto, faz todo o sentido que os algoritmos desenvolvidos, além de esecíficos, devam ser eficientes ara que o desenho das rimitivas seja o mais ráido ossível. Cada tio de rimitivas é diferente dos restantes e, consequentemente, os algoritmos de rasterização são também diferentes. Neste caítulo aresentaremos os algoritmos de rasterização ara o traçado de segmentos de recta e de circunferências e ara o reenchimento de olígonos que são três das rimitivas mais frequentes. Na rasterização, algo que é contínuo como, or eemlo, um segmento de recta, é convertido numa colecção de quadrículas que tem uma natureza discreta. Esta conversão faz erder arte da informação eistente. Isto tem como consequência que não é ossível reresentar um segmento de recta com a mesma densidade visual se o segmento for horizontal (ou vertical) ou aresentar um declive de 45º. No entanto, as quadrículas que comõem estes segmentos estarão semre alinhadas segundo a recta que as suorta (veja-se a figura -). Isto deia de suceder a, or eemlo, um segmento de recta com declive de, or eemlo, /3, tal como a figura - aresenta, surgindo uma colecção de quadrículas com vários atamares, dando a imressão de uma escada. A este fenómeno visual devido à rasterização dá-se o nome de aliasing. No final deste caítulo abordaremos

2 Comutação Gráfica Rasterização este roblema, aresentando algoritmos de o combater, os chamados algoritmos de antialiasing. igura - Rasterização de linhas horizontais, verticais e diagonais, de densidade visual variável. igura - Quadrículas de um segmento de recta rasterizado aresentando o efeito de aliasing. inalmente, convém deiar aqui uma nota de natureza histórica referente às caacidades dos disositivos de quadrícula. Quando estes disositivos foram ela rimeira vez introduzidos, não ossuíam a caacidade de realizar a rasterização e esta tinha que ser realizada or software elos controladores dos disositivos (device drivers). Aos oucos, estas caacidades foram sendo imlementadas em hardware, com o consequente aumento do desemenho gráfico. Hoje em dia, raticamente todas as oerações de rasterização são realizadas em hardware cujo desemenho é etremamente elevado.. Rasterização de Segmentos de Recta A rasterização de segmentos de recta consiste em, num disositivo de quadrícula, dados os dois iéis etremos de um segmento de recta, determinar que iéis localizados entre eles devem ser seleccionados ara comor visualmente o segmento. Este roblema tem solução trivial quando o segmento a traçar é horizontal, vertical ou diagonal (veja-se a figura -), se bem que, como já referimos e a figura mostra, a densidade visual de segmentos diagonais não seja a mesma dos que são verticais ou horizontais. ora destes casos, a determinação dos iéis que irão constituir um dado segmento de recta coloca alguns roblemas que a figura -3 ilustra. Se aenas fossem seleccionados os iéis ertencentes ao segmento de recta, no caso do segmento PV da figura só seriam seleccionados os iéis P, R, T e V, daqui resultando uma linha de fraca densidade visual. Este roblema acentuar-se-ia no segmento AK, fazendo com que só fossem seleccionados os iéis A, e K, e, no limite, o segmento LO ficaria reduzido aos seus etremos. Por esta razão, esta regra não ode constituir uma solução ara o roblema roosto. Porque os algoritmos de antialiasing odem aresentar soluções deendentes das técnicas de geração de imagem, abordaremos este tema semre que tal se justificar como, or eemlo, no âmbito da técnica de Ra Tracing.

3 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica M O N L H J K C E I V A B D R G S T U P Q igura -3 Rasterização de segmentos de recta mostrando iéis seleccionáveis e iéis seleccionados. Para que a densidade visual do segmento seja o mais uniforme ossível, há então que seleccionar o maior número ossível de iéis entre os dois iéis dos etremos de um segmento de recta, seleccionando os iéis mais róimos do segmento. Para o caso do segmento AK, isto corresonderia a ter como ossíveis candidatos os iéis B, C, D, E, G, H, I e J. A selecção de todos estes iéis roduziria no entanto uma linha cuja densidade variaria ao longo do segmento. A solução ara esta questão consiste em, ara dois iéis candidatos situados sobre uma mesma linha vertical de iéis, escolher o iel mais róimo do segmento de recta. Desta forma, os iéis B, E, G e I seriam os escolhidos, tal como a figura -3 aresenta. Consideremos agora o caso do segmento PV. Ecluindo os iéis elos quais o segmento assa (R e T), em todos os outros casos o segmento assa eactamente elo onto médio entre dois iéis candidatos. É normal convencionar que a escolha recaia então sobre o iel localizado imediatamente abaio do segmento, elo que os iéis a serem seleccionados serão os iéis O, S e U. Para tratar o segmento LO, em vez de escolher dois iéis candidatos localizados sobre uma linha vertical de iéis, teremos que escolher agora entre dois iéis que se localizem sobre uma linha horizontal de iéis. Isto equivale a realizar uma transformação de coordenadas trocando os dois eios, seleccionar os iéis que farão arte da reresentação do segmento de recta e voltar a trocar os eios, numa transformação inversa da transformação recedente. Esta solução ara o caso do segmento LO, que aresenta um declive de módulo suerior a, ermite tratar todos os casos de uma única forma, isto é, fazendo a selecção de iéis somente sobre linhas verticais de iéis. Assim, ara estes casos, a selecção de iéis será realizada incrementando a coordenada horizontal de uma em uma unidade, mas será recedida de uma transformação que rocederá à troca de coordenadas (eios) e seguida or uma nova transformação de troca de eios. Este tema será retomado mais adiante. 3

4 Comutação Gráfica Rasterização Esta regra será alicada na aresentação dos algoritmos ara selecção dos iéis fazendo arte da reresentação de segmentos de recta em disositivos de quadrícula e em que aresentaremos os seguintes três algoritmos: Algoritmo imediato Algoritmo incremental básico Algoritmo de Bresenham Estes algoritmos diferem na recisão dos resultados e na velocidade de eecução, ou seja, na carga comutacional envolvida. Todos eles se destinam a seleccionar quais os ontos que comõem a reresentação de um segmento de recta num disositivo de quadrícula quando os seus etremos se localizam nos iéis P e P de coordenadas (, ) e (, ), resectivamente... Algoritmo Imediato O algoritmo imediato ara a rasterização de segmentos de recta arte da equação da recta que suorta o segmento, cuja eressão é m b (-) Para um segmento de recta cujos etremos cujas coordenadas são (, ) e (, ), é imediato que os coeficientes m e b da equação (-) deverão ser m b m (-) azendo então variar entre e or incrementos de uma unidade, o valor de calculado será um valor real que deve ser arredondado ara o inteiro mais róimo, o que ode ser realizado através de uma das seguintes eressões equivalentes ( m b) loor(, m b) Round 0 5 (-3) em que Round é a função de arredondamento matemático e loor a função de truncatura. O custo comutacional do cálculo do valor de ara cada valor de corresonde à realização de três oerações de vírgula flutuante (uma multilicação e duas adições) e à oeração de truncatura de um valor real ara valor inteiro... Algoritmo Incremental Básico Poderemos melhorar o desemenho da rasterização de segmentos de recta se diminuirmos o número de oerações matemáticas envolvidas. Para tal consideremos o valor de ara dois valores consecutivos de que diferem entre si de uma unidade, ou seja, 4

5 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica i i (-4) O valor de ara i, tendo em conta (-4), é m i i m ( ) m i m m b i b i b (-5) Isto significa que, ara calcular o valor de ara um novo iel cujo valor da coordenada dista uma unidade do valor anterior, basta adicionar o declive da recta (m) ao anterior valor de. Novamente, é ainda necessário roceder ao arredondamento matemático do valor calculado. Em relação ao algoritmo imediato, este algoritmo disensa a realização da multilicação efectuada or aquele e, ortanto o número de oerações de vírgula flutuante a realizar reduz-se agora a duas adições e uma truncatura. Como a multilicação é uma oeração mais cara que uma adição em termos comutacionais, é de eserar um aumento significativo do desemenho da rasterização de segmentos de recta quando o algoritmo incremental básico é emregue. Este algoritmo aresenta orém um roblema de acumulação de erros devido ao número limitado de algarismos significativos com que um valor real ode ser reresentado em memória, ois o valor reresentado ode não ser eactamente o valor do declive. Assim, a realização de sucessivas adições irá aumentar o erro com que o valor de é calculado, o que não é de forma alguma desejável...3 Algoritmo de Bresenham Os algoritmos anteriores aresentam vários inconvenientes, tanto quanto a recisão, como no referente ao tio de aritmética emregue, o que é muito imortante ara o desemenho da rasterização. Com efeito, uma oeração entre oerandos inteiros é mais ráida do que a corresondente oeração entre oerandos em vírgula flutuante. O algoritmo de Bresenham realiza a rasterização de segmentos de recta emregando aenas oerações de aritmética de inteiros e, ortanto, ermite um maior desemenho. O algoritmo baseia-se no critério do onto médio. Consideremos a figura -4 onde está reresentada uma linha recta que intersecta duas colunas de iéis. Para cada coluna de iéis eistem dois iéis que se encontram mais róimos da recta, um abaio e outro acima desta. A escolha do iel a seleccionar oderia ser realizada determinando a distância da intersecção da recta com a coluna de iéis a cada um dos dois iéis, escolhendo-se então o iel mais róimo da intersecção. No entanto, esta determinação acarretaria uma carga comutacional elevada. 5

6 Comutação Gráfica Rasterização (,) < 0 M M (,) 0 (,) > 0 igura -4 Posicionamento do onto médio em relação à linha a traçar na selecção de iéis. igura -5 Sinal da função imlícita da recta em função da osição de um onto relativamente à recta. Porém, se atentarmos na localização do onto médio entre os dois iéis em relação à recta, teremos uma forma simles de determinar qual dos iéis deve ser seleccionado. Como a figura -4 mostra, se o onto médio se encontrar abaio da recta (M ), deve ser seleccionado o iel imediatamente acima desta. Caso contrário (onto M ), o iel a seleccionar deverá ser o iel imediatamente abaio desta. Para determinar a osição do onto médio em relação à recta, consideremos a forma imlícita da equação de uma recta, que é ( ) a b c, (-6) Para um dado onto de um lano, esta função tem valor nulo se o onto ertencer à recta. O valor da função será negativo se o onto se encontrar acima da recta e ositivo se o onto se encontrar abaio desta (veja-se a figura -5). Isto significa que, se a eressão (-6) assumir um valor ositivo no onto médio, este onto encontra-se abaio da recta e deve ser seleccionado o iel imediatamente acima desta. Caso contrário, o iel a seleccionar será o iel imediatamente abaio. Para o caso esecial da função assumir o valor nulo oder-se-ia escolher qualquer um dos dois iéis. Neste caso, é rática comum escolher o iel imediatamente abaio, tal como já foi referido. NE Y Y M NE M Y E Y E X X X Y X X X igura -6 Localização do onto médio consoante o iel anteriormente seleccionado (E à esquerda e NE à direita). 6

7 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica Consideremos agora a figura -6 onde se aresentam dois casos distintos. Em ambos os casos encontram-se já seleccionados dois iéis ara os quais a coordenada assume os valores e e retende-se determinar qual o róimo iel a seleccionar quando a coordenada assumir o valor. Para o rimeiro caso (à esquerda na figura), a selecção realiza-se entre os iéis E e NE. O valor da função imlícita da recta ara o onto médio entre estes dois iéis é (, / ) a ( ) b ( / ) c a ( ) a b ( / ) a ( ) b ( / ) c (, / ) a c a (-7) ou seja, o valor da função imlícita no onto médio é igual ao valor do coeficiente a adicionado ao valor da função imlícita calculado quando se retendeu determinar qual o iel a seleccionar ara. Para o caso à direita na figura -6, o onto médio encontra-se em (, 3/). A função imlícita da recta no onto médio assume agora o valor (, 3/ ) a ( ) b ( 3/ ) c a ( ) a b ( / ) a ( ) b ( / ) c (, / ) a b b c a b (-8) Neste caso, é necessário adicionar os valores dos coeficientes a e b da equação imlícita da recta ao valor que esta equação assumiu no onto médio quando se determinou o iel a seleccionar ara. Disomos assim de um algoritmo recursivo. Resta agora determinar os valores dos coeficientes a e b e o valor inicial da função ara que o algoritmo esteja comleto. O segmento de recta tem como etremos os iéis de coordenadas (, ) e (, ) onde o valor da função imlícita é nulo. Definindo agora (-9) a forma elícita da equação da recta em função destas diferenças será B (-0) Por analogia com os ontos cardeais. 7

8 Comutação Gráfica Rasterização Multilicando então ambos os membros or e agruando os termos, obteremos a forma imlícita da equação da recta que suorta o segmento em função das diferenças e ( ) B, (-) Comarando as eressões (-6) e (-), é imediato que os coeficientes a, b e c da forma imlícita da equação da recta que suorta o segmento serão a b c B (-) No iel inicial do segmento, de coordenadas (, ), a função imlícita tem o valor nulo ois o iel encontra-se sobre a recta. Para o iel seguinte, o onto médio tem como coordenadas (, /), e há que determinar o valor da função imlícita nesse onto, que é (, / ) a ( ) b ( / ) ( a b c) a (, ) a b / / c b / (-3) Como os valores de e são inteiros, todo o algoritmo oderia ser imlementado em aritmética de inteiros se fosse semre ar, o que não ode ser assegurado. Porém, dado que a função imlícita da recta é uma função homogénea, oderemos reescrevê-la da seguinte forma (, ) a b c (-4) e, assim, o seu valor no onto médio ara seleccionar o segundo iel assará a ser (, / ) (-5) que será semre inteiro e as eressões de recursividade serão agora (, / ) (, / ) (, 3/ ) (, / ) ( ) (-6) ara avanços nos iéis anteriores ara E e NE, resectivamente, ossibilitando assim a imlementação do algoritmo em aritmética de inteiros. 8

9 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica O algoritmo de Bresenham ode então ser aresentado como se segue. Calcular d d d d d ince d incne ( d d). Inicializar e e marcar o iel com estas coordenadas. 3. Reetir os assos seguintes enquanto < 4. Se d 0, incrementar d de ince. Caso contrário, incrementar d de incne e incrementar de uma unidade. 5. Incrementar de uma unidade e marcar o iel com as coordenadas e. Eemlo Alicando os algoritmos incremental e de Bresenham ao segmento de recta unindo os iéis (5, 8) e (9, ), obtemos os iéis que a tabela - aresenta. Deve notar-se que, ara 7, os dois algoritmos diferem nos resultados obtidos ois o arredondamento matemático do algoritmo incremental arredonda o valor 9,5 ara 0, seleccionando o iel (7, 0), enquanto o algoritmo de Bresenham selecciona o iel (7, 9) 3. i Incremental Bresenham m(-8)/(9-5)0,75 d9-54 d-83 d 3-4 ince 36 incne (3-4)- i i- m round( i ) d i avanço d i i ,75 9 NE ,5 0 0 E ,5 0 6 NE 4 0 9,0 4 NE - Tabela - Comaração entre o algoritmo incremental e o algoritmo de Bresenham no traçado do segmento de recta entre os iéis (5, 8) e (9, ). 3 Se o incremento 0,5 não fosse reresentado eactamente, o que não é o caso, haveria coincidência entre todos os iéis seleccionados elos dois algoritmos. 9

10 Comutação Gráfica Rasterização..4 Redução ao Primeiro Octante O algoritmo de Bresenham, tal como foi aresentado, ressuõe que o declive dos segmentos de recta a rasterizar esteja comreendido no intervalo [0; ] e que o algoritmo é alicado or valores crescentes da coordenada distando de uma unidade. Isto significa que o algoritmo de Bresenham é aenas alicável a segmentos de recta eistentes no rimeiro octante. Para segmentos de recta que não eistam no rimeiro octante, há que transformá-los ara o rimeiro octante antes de alicar o algoritmo de Bresenham e que alicar a transformação inversa aos iéis que o algoritmo calcule. A transformação a realizar antes de alicar o algoritmo consiste nos seguintes assos que devem ser efectuados ela seguinte ordem: Transformar segmentos de recta de declive negativo em segmentos de recta de declive ositivo, substituindo os valores da coordenada de cada etremo do segmento elos resectivos valores simétricos. Transformar segmentos de recta de declive suerior a em segmentos de recta com declive inferior a, trocando as coordenadas e em cada um dos etremos do segmento. Trocar a ordem dos etremos do segmento de recta se o valor da coordenada do rimeiro etremo for suerior ao valor da mesma coordenada do segundo etremo. A transformação inversa, a ser alicada a cada um dos iéis calculados elo algoritmo, deve inverter a transformação segundo uma ordem dos assos inversa da anterior, isto é: Se o declive do segmento de recta for suerior a, trocar as coordenadas e de cada iel calculado. Se o declive do segmento de recta for negativo, substituir a valor da coordenada do iel calculado elo seu valor simétrico. Note-se que, como é indiferente traçar um segmento de recta do rimeiro ara o segundo etremo ou do segundo ara o rimeiro, uma eventual troca da ordem dos etremos não necessita de ser invertida na transformação inversa. O algoritmo ara a transformação de um segmento de recta ara o rimeiro octante antes de alicar o algoritmo de Bresenham ode agora ser aresentado como segue. Definir dois valores lógicos, declive e simetrico, e inicializá-los como falsos.. Calcular os valores de d e d conforme definido elo algoritmo de Bresenham 3. Testar o roduto d d e, se for negativo, substituir o valor de em cada um dos etremos e o valor de d elos resectivos valores simétricos, e atribuir a simetrico o valor verdadeiro 4. Testar se o valor absoluto de d é menor que o valor absoluto de d e, caso afirmativo, trocar os valores das coordenadas e de cada etremo, trocar os valores de d e d, e atribuir a declive o valor verdadeiro 5. Verificar se o valor da coordenada do rimeiro etremo é suerior ao valor da mesma coordenada do segundo etremo e, em caso afirmativo, trocar os 0

11 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica dois etremos e substituir os valores de d e d elos resectivos valores simétricos. Para cada iel calculado elo algoritmo de Bresenham, a transformação inversa ara o octante original segue os seguintes assos. Se declive for verdadeiro, tocar as coordenadas e do iel calculado. Se simetrico for verdadeiro, substituir o valor da coordenada do iel calculado elo seu valor simétrico A tabela - eemlifica os assos da transformação ara o rimeiro octante de um segmento de recta cujos ontos etremos são P e P, or esta ordem, e cujas coordenadas são (, 5) e (8, 9), resectivamente. Deia-se como eercício calcular os iéis resultantes da rasterização do segmento de recta e a verificação da correcção dos resultados obtidos. Teste P P d d simetrico declive (,5) (8,9) -3 4 falso falso (d d)<0 (,-5) (8,-9) -3-4 verdadeiro falso d < d (-5,) (-9,8) -4-3 verdadeiro verdadeiro > (-9,8) (-5,) 4 3 verdadeiro verdadeiro Tabela - Transformação ara o rimeiro octante de um segmento de recta com etremos nos ontos (,5) e (8,9) antes da alicação do algoritmo de Bresenham.. Rasterização de Circunferências A rasterização de circunferências emrega a roriedade de simetria que as circunferências aresentam. Observando a figura -7, que aresenta uma circunferência de raio R centrada na origem, verificamos que, uma vez calculado o iel A do segundo octante, os iéis B a H dos outros octantes encontram-se imediatamente determinados or simetria. Se (, ) forem as coordenadas do iel A, e como a circunferência se encontra centrada na origem, as coordenadas dos iéis a seleccionar em todos os octantes serão os que a tabela -3 aresenta. Se o centro da circunferência se localizar num onto ( c, c ) que não a origem, bastará calcular os iéis da circunferência como se ela estivesse centrada na origem e adicionar às suas coordenadas as coordenadas do centro da circunferência. Para evitar a dulicação de iéis que ocorrerá quando se reresentarem os iéis dos etremos dos octantes, como o iel (0, R), dever-se-á seleccionar aenas quatro iéis em vez de oito o que, ara este caso, corresonde a seleccionar os iéis localizados em (0, R), (0, -R), (R, 0) e (-R, 0).

12 Comutação Gráfica Rasterização A B,, Y H A C, - D, - G B E -, - -, - O C X G -, H -, E D Tabela -3 Rasterização de uma circunferência: relação entre as coordenadas dos iéis gerados or simetria a artir de um iel calculado no segundo octante. igura -7 Rasterização de uma circunferência emregando a simetria entre octantes (os iéis B a H são imagens do iel A do segundo octante). A determinação dos iéis do segundo octante de uma circunferência recorre ao critério do onto médio. Uma circunferência de raio R centrada na origem do esaço é o lugar geométrico dos iéis tais que (, ) R (-7) seja igual a zero. Esta função é ositiva ara ontos eteriores à circunferência e negativa ara os ontos localizados no seu interior. Y E M M E Y - SE M SE Y - X X X igura -8 Posições dos ontos médios necessários à rasterização de uma circunferência.

13 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica 3 Consideremos agora a figura -8 em que se encontra já seleccionado o iel de coordenadas (, ). Para escolher entre os iéis E e SE da figura ara é necessário determinar o sinal de (-7) avaliado no onto médio entre estes dois iéis ( ) ( ) ( ) / /, R d ant (-8) Se o valor de (-8) for negativo, é escolhido o iel E e, ara, o teste é então alicado ao onto médio M E, de que resulta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 / 3 / / 4 4 / /, ant novo d R R R R d (-9) Quando o valor de (-8) for ositivo, será escolhido o iel SE e, ara, o valor de teste no onto médio M SE será ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 / 3 4 / 4 9/ / 3/, ant novo d R R R R d (-0) ou seja, ara, o valor de decisão ara seleccionar um novo iel será o valor de decisão emregue em adicionado de 3 ou - 5, ambos calculados em (, ), consoante em se tenha escolhido o iel E ou o iel SE. Os valores de decisão iniciais são ( ) ( ) R R R R R d R d 4 5/ 4 / /, 0 0, 0 (-) Note-se que, enquanto (-9) e (-0) ermitem o emrego de aritmética de inteiros, ois, e R são inteiros, o valor de (, R-/) não o é e, ortanto, obriga a emregar aritmética de vírgula flutuante. Se definirmos s tal que d s/4, o valor de teste em será s -R, que é reresentável como valor inteiro e todos os testes ao valor de d (d < 0) serão substituídos elo teste s < -/4. Porém, como estamos a emregar aritmética de inteiros, isto equivale a testar se s < 0. A subtracção de /4 não altera ortanto o sinal da função de teste devido ao emrego de aritmética de inteiros. Assim, mantendo a consistência de nomenclatura com o

14 Comutação Gráfica Rasterização algoritmo ara rasterização de segmentos de recta, manteremos a designação de d ara o valor da função de teste. O algoritmo ara rasterização de circunferências, tal como até agora aresentado, obriga a adicionar os valores de 3 ou - 5 calculados em, consoante se tenha escolhido o iel E ou o iel SE em, ao valor de teste já determinado ara, ara obter o valor de teste em. Veremos agora como é ossível simlificar o cálculo destes incrementos. Se em for escolhido o iel E, o incremento da função de decisão ara, se for novamente escolhido o iel E, será E (, ) E (, ) [ ( ) 3] [ 3] enquanto que, se for escolhido avançar ara o iel SE, o incremento será SE (, ) SE (, ) [ ( ) 5] [ 5] Se em tiver sido escolhido o iel SE de coordenadas (, -), teremos, de forma idêntica, E (, ) E (, ) [ ( ) 3] [ 3] SE (, ) SE (, ) [ ( ) ( ) 5] [ 5] 4 notando que, no onto inicial de coordenadas (0, R), os valores ara os incrementos E e SE são, resectivamente, 3 e R5, odemos agora aresentar o algoritmo comleto ara rasterização de circunferências cujos assos são. Calcular d R deltae 3 deltase -R5. Inicializar 0 e R e marcar os 4 iéis da circunferência corresondentes. 3. Reetir os assos 4 a 5 enquanto >. 4. Se d < 0 incrementar d de deltae incrementar deltae de incrementar deltase de Caso contrário incrementar d de deltase incrementar deltae de incrementar deltase de 4 decrementar de uma unidade 4

15 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica 5. Incrementar de uma unidade e marcar os 8 iéis da circunferência corresondentes às coordenadas e. A figura -9 aresenta os iéis do rimeiro quadrante de uma circunferência de raio 0, centrada na origem, que resultam da alicação do algoritmo de rasterização de circunferências. Os valores das variáveis do algoritmo nos seus vários assos são aresentados ela tabela -4. d E SE Tabela -4 Valores das variáveis do algoritmo de rasterização de circunferências durante a rasterização da circunferência da figura -9. Y X igura -9 Piéis do rimeiro quadrante de uma circunferência de raio 0 calculados elo resectivo algoritmo de rasterização..3 Preenchimento de Polígonos A oeração de reenchimento de olígonos é a oeração de rasterização que tem or objectivo atribuir a cor do olígono aos iéis ertencentes ao olígono 4. Para um olígono simles (veja-se a figura -0), a definição do que constitui o seu interior não aresenta quaisquer ambiguidades, mesmo quando o olígono é multilamente coneo, tal como a figura mostra. Porém, quando o erímetro do olígono se intersecta a si rório, criando um olígono auto-intersectante, a definição do que constitui o interior ode ser ambígua e, ortanto, suscetível de diferentes interretações. Com efeito, se não eistem dúvidas sobre o que constitui o interior do olígono A da figura -, o mesmo não se verifica quanto ao interior do olígono B, que ode ser interretado das duas formas que a figura aresenta. 4 Esta cor não é necessariamente uniforme, odendo variar de iel ara iel, como sucede quando se rocede ao sombreamento de um olígono. 5

16 Comutação Gráfica Rasterização igura -0 Polígonos reenchidos. Da esquerda ara a direita: simles, simlesmente conectado e dulamente conectado, A B igura - Polígonos auto-intersectantes: identificação do interior única (A) e ambígua (B). O algoritmo ara reenchimento de olígonos, que a seguir aresentamos, foi concebido ara tratar quaisquer olígonos simles, côncavos ou conveos, e olígonos multilamente coneos. Pode também ser alicado a olígonos autointersectantes desde que a interretação do que constitui o interior de tais olígonos seja a interretação do tio do olígono B que aresenta uma zona interior não ertencente ao olígono..3. Algoritmo Básico de Preenchimento de Polígonos Considere-se a figura - onde se encontra reresentado o erímetro de um olígono e uma linha horizontal que corresonde a uma linha de iéis do disositivo de quadrícula no qual se retende rasterizar o olígono da figura. A linha horizontal é chamada linha de varrimento (ou scan-line) e intersecta os lados do olígono em ontos bem determinados. Estes ontos, uma vez ordenados or abcissa (coordenada ) crescente, odem ser agruados em ares de ontos consecutivos. O conjunto dos iéis eistentes entre dois ontos de intersecção consecutivos ( e, or eemlo) é denominado de san. Os iéis de um dado san 6

17 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica ertencem ao interior do olígono e, ortanto, serão os iéis a que será atribuída a cor do olígono. Note-se que os valores das abcissas dos ontos de intersecção da linha de varrimento com os lados do olígono não são, em geral, valores inteiros. Isto significa que, ara determinar o rimeiro e último iel de um dado san há que roceder ao arredondamento dos valores das abcissas dos ontos de intersecção anteriormente determinados. Porque se trata de determinar ontos interiores, o arredondamento deve ser feito or ecesso à esquerda e or defeito à direita do intervalo de abcissas. Y linha de varrimento 3 4 X igura - Linha de varrimento e suas intersecções com os lados de um olígono. Para roceder ao reenchimento do olígono, basta agora considerar todas as linhas de varrimento que intersectam o olígono, isto é, as linhas de varrimento cuja ordenada se situa entre os valores das ordenadas mínima e máima dos vértices do olígono, e reetir o rocedimento anterior ara cada uma dessas linhas de varrimento..3. Contabilização de Intersecções A determinação das intersecções de uma linha de varrimento com os lados de um olígono aresenta dois casos articulares que é necessário considerar: dulicação de intersecções e lados horizontais. Dulicação de intersecções O rimeiro caso ocorre quando a linha de varrimento intersecta um vértice de um olígono onde, como é natural, concorrem semre dois lados do olígono. Tal como a figura -3 aresenta, isto não constitui qualquer roblema ara as linhas de varrimento e 3 ois essas linhas intersectam o olígono nos seus vértices de menor e maior ordenada e do cálculo das intersecções resultam semre dois ontos de intersecção. Porém, ara um vértice como o vértice B que não é nem o vértice suerior nem o vértice inferior do olígono, do cálculo da intersecção da linha de varrimento com o olígono resultam 3 ontos de intersecção: um com o lado AB, outro com o lado BC e um outro onto situado sobre o lado AD. Não havendo dúvida sobre este último onto de intersecção, torna-se claro que eiste uma dulicação de ontos de intersecção em 7

18 Comutação Gráfica Rasterização B. Uma forma de evitar esta dulicação seria descartar uma destas intersecções se o vértice não fosse nem suerior nem inferior. Mas a detecção desta condição seria uma oeração demasiado comlicada que teria imacte negativo no desemenho do algoritmo. A solução ara este caso assa or eliminar um dos lados do olígono. Se, or convenção, não se considerar o lado do olígono que num dado vértice atinge o valor máimo da sua ordenada (coordenada ), elimina-se aquela dulicação. Para o onto B da figura -3, isto equivale a aenas considerar as intersecções da linha de varrimento com os lados AB e AD do olígono. A 3 G B I H E D J C D C A B igura -3 Dulicação de intersecções no vértice B removida or eclusão do lado BC nesse vértice. igura -4 Multilicidade de intersecções com lados horizontais removida or eclusão de tais lados. Esta solução aresenta aenas um equeno (e aarente) inconveniente que consiste em que, no vértice suerior de um olígono (veja-se a figura -3), já não eistam quaisquer lados a serem intersectados ela linha de varrimento e, ortanto, o iel corresondente ao vértice suerior não será desenhado. Mas, como na maioria dos casos irão ser desenhados vários olígonos adjacentes, é fácil constatar que o vértice em falta será um vértice não suerior de um outro olígono e será desenhado quando esse outro olígono for reenchido. Lados horizontais O outro caso articular que é necessário considerar rende-se com a eistência de lados horizontais num olígono, ois a intersecção de um lado horizontal com uma linha de varrimento, também horizontal, resulta não num onto, mas no rório lado. Porém, cada um dos vértices de um lado horizontal é também o vértice de um outro lado do olígono e, ortanto, eistirá um lado à esquerda e outro à direita do lado horizontal. Eliminando este, aqueles dois lados definirão dois ontos de intersecção que criarão um san coincidente com o lado horizontal eliminado e assim ficará resolvido o roblema. No caso do olígono da figura -4, eliminar-se-ão os lados AB, CD, IH e G. Todos estes lados serão no entanto desenhados com eceção do lado G que o não será 8

19 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica orque, ara a linha de varrimento 4 da figura, os lados GH e E já não devem ser considerados or força da regra anterior destinada a evitar a dulicação de intersecções. Mas, tal como ara o caso do não desenho do vértice suerior de um olígono, um lado horizontal suerior será necessariamente um lado de um olígono adjacente ao olígono que foi reenchido e, não sendo agora um lado suerior, será desenhado quando esse outro olígono for reenchido..3.3 Determinação de Intersecções A determinação da intersecção de uma linha de varrimento com um lado de um olígono ode ser realizada or substituição do valor da ordenada (coordenada ) da linha de varrimento na equação da recta que suorta o lado do olígono, seguida da elicitação do valor da abcissa (coordenada ). Considerando que um lado tem como etremos os ontos (( min ), min ) e (( ma ), ma ), em que min e ma são, resectivamente, o menor e o maior valor das ordenadas dos vértices de um lado e que se definem ( ) ( ) ma ma min min (-) tal equivale a calcular o valor de b (-3) m m em que /m e b são m b min m ( ) min (-4) o que envolve uma multilicação e uma adição ara determinar a intersecção de um lado de um olígono com cada linha de varrimento que o intersecte, além do cálculo inicial dos dois coeficientes. Poderemos simlificar este cálculo considerando duas linhas de varrimento consecutivas, cujas ordenadas são e, ois diferem de uma unidade. Assim, o valor da abcissa ara será b m m b m m m b m m m ( ) m ( ) ( ) (-5) Isto significa que o valor da abcissa da intersecção de uma linha de varrimento com um lado de um olígono é igual ao valor da abcissa da sua intersecção com a linha de 9

20 Comutação Gráfica Rasterização varrimento imediatamente anterior adicionado do valor de /m e, or consequência, disoremos de uma forma recursiva ara realizar este cálculo. Naturalmente, o valor inicial da abcissa será o valor da coordenada do vértice de ordenada min. Desta forma, torna-se necessário calcular aenas o valor do coeficiente /m e, ara cada linha de varrimento, adicioná-lo ao valor da abcissa da intersecção do lado do olígono com a linha de varrimento anterior, o que imlica aenas uma adição. Daqui resulta um óbvio aumento do desemenho..3.4 Lados, Lados Activos e Tabelas de Lados Uma dada linha de varrimento não ode intersectar todos os lados de um olígono. Por outro lado, uma dada linha de varrimento só ode intersectar um lado de um olígono se a sua ordenada estiver comreendida no intervalo das ordenadas dos vértices desse lado. Arbitrando que as linhas de varrimento começam a varrer o olígono a artir do menor valor de dos vértices de um olígono e rogridem ara o maior valor desta coordenada, só faz sentido determinar a intersecção de uma linha de varrimento com um lado a artir do momento em a ordenada da linha de varrimento se torna igual ao min desse lado. Por outro lado, deve-se deiar de calcular a intersecção de uma linha de varrimento com um lado logo que a ordenada da linha de varrimento atinja o valor de ma do lado ara evitar dulicações de intersecções nos vértices. Diz-se que um lado se encontra activo quando está a ser intersectado ela linha de varrimento. É aenas sobre os lados activos num dado momento que devem ser calculadas as suas intersecções com a linha de varrimento corrente, ois é inútil tentar calcular intersecções da linha de varrimento com lados que não se encontrem activos. Assim, oderemos construir uma lista de lados que, inicialmente, contém todos os lados do olígono, eceto os lados horizontais, e uma lista de lados activos que se encontra vazia. Quando um lado se torna activo, esse lado é retirado da lista de lados e colocado na lista de lados activos, assando a ertencer ao conjunto de lados com os quais são calculadas as intersecções. inalmente, quando a ordenada da linha de varrimento atinge o valor do ma do lado, o lado deve ser retirado da lista de lados activos e eliminado ois não será mais intersectado or qualquer linha de varrimento. Para facilitar a detecção do momento em que um lado se torna activo, os lados que ossuem o mesmo valor de min devem ser agruados numa lista, ordenada de referência segundo o valor da abcissa do vértice ara o qual a ordenada tem o valor min. 5 Por sua vez, estas listas devem ser inseridas num vector com ma - min osições, na osição corresondendo ao valor da ordenada mínimo dos lados da lista. Esta lista de lados é chamada Tabela de Lados. A figura -5 aresenta um olígono e a resectiva tabela de lados no seu estado inicial. A lista de lados corresondendo ao valor da menor ordenada de vértices contém os lados AB e BC, or esta ordem, dado que o valor de /m ara o lado AB (-5/) é menor que o valor corresondente do lado BC (6/4). Identicamente, ao nível 7, o lado E deve receder o lado DE. 5 No caso de dois lados aresentarem a mesma abcissa, os lados devem ser ordenados através do resectivo declive. 0

21 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica À lista de lados activos, chamada Tabela de Lados Activos, inicialmente vazia, é adicionada a lista de lados cujo min é igual ao valor da ordenada da linha de varrimento corrente. Se a tabela de lados activos estiver semre ordenada segundo as abcissas e orque a lista de lados que lhe é adicionada está também ordenada, é fácil então manter ordenada a tabela de lados activos. Y Tabela de Lados Y A E B D C X E 9 7-5/ ma /m CD A 9 AB / DE BC 5 7 6/4 7 6/4 - igura -5 Polígono e resectiva tabela de lados no início do rocesso de reenchimento. Também como a figura -5 mostra, a estrutura de dados de cada lado deve conter os valores de ma, e /m, em que, inicialmente, é atribuído a o valor de ( min ). Esta estrutura não necessita de quaisquer outros valores deois de calculado o valor de /m. Por conveniência na construção de listas de lados, é usual incluir nesta estrutura a referência ao lado que se lhe segue na lista..3.5 Algoritmo de Preenchimento de Polígonos Em face do anterior, odemos agora aresentar comletamente o algoritmo ara o reenchimento de olígonos que será. Construir a tabela de lados e inserir nela todos os lados do olígono eceto os lados horizontais.. Construir a tabela de lados activos, deiando-a vazia. 3. Inicializar Y como o valor da menor ordenada de todos os vértices do olígono. 4. Reetir os assos 5 a 9 até que tanto a tabela de lados como a tabela de lados activos fiquem vazias 5. Mover da tabela de lados ara a tabela de lados activos os lados ara os quais Y min, ordenando a tabela de lados activos.

22 Comutação Gráfica Rasterização 6. Preencher os sans da linha de varrimento corrente utilizando os ares dos valores de dos lados eistentes na tabela de lados activos ela ordem em que os lados se encontrem na tabela. 7. Remover da tabela de lados activos todos os lados ara os quais Y é igual a ma. 8. Incrementar o valor de Y de uma unidade. 9. Incrementar de /m o valor de dos lados eistentes na tabela de lados activos. Para oder alicar este algoritmo a olígonos auto-intersectantes é necessário o seguinte asso adicional 0. Reordenar segundo os lados eistentes na tabela de lados activos. Eemlo A figura -6 eemlifica a evolução da tabela de lados activos, da tabela de lados e dos valores dos camos dos lados quando se rocede ao reenchimento do olígono reresentado na figura -5, artindo da menor ordenada do olígono () até se atingir a sua maior ordenada (). Inicialmente, a tabela de lados activos recebe os lados AB e BC da tabela de lados onde ermanecem os lados A, CD, E e DE. Da linha de varrimento com ordenada ara a linha de varrimento com ordenada aenas ocorre a alteração dos valores do camo dos lados contidos na tabela de lados activos or adição dos resectivos incrementos (m). Ao ser atingida a ordenada de valor 3, o lado AB é eliminado da tabela de lados activos e o lado A é retirado da tabela de lados e adicionado à tabela de lados activos, onde é colocado antes do lado BC dado que o valor da sua abcissa () é inferior ao da abcissa do lado BC (0). Estes lados ermanecem na tabela ara a linha de varrimento de ordenada 4, aenas com o incremento das resectivas abcissas. Para a linha de varrimento de ordenada 5, o lado BC é removido da tabela de lados activos e, em seu lugar surge nesta tabela o lado CD, retirado da tabela de lados que assa conter aenas os lados E e DE. Os lados A e CD, com as resectivas abcissas modificadas, ermanecem na tabela de lados activos quando a ordenada da linha de varrimento assume o valor 6.

23 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica Y Tabela de Arestas Activas Tabela de Arestas AB 3 7-5/ BC 5 7 6/4 - A, CD, E, DE AB 3 4,5-5/ BC 5 8,5 6/4 - A, CD, E, DE 3 A 9 0 BC 5 0 6/4 - CD, E, DE 4 A 9 0 BC 5,5 6/4 - CD, E, DE 5 A 9 0 CD E, DE 6 A 9 0 CD E, DE 7 A 9 0 E 9 7-5/ DE 7 6/4 CD vazia 8 A 9 0 E 9 4,5-5/ DE 8,5 6/4 CD vazia 9 DE 0 6/4 CD vazia 0 DE,5 6/4 CD vazia vazia vazia igura -6 Evolução das tabelas de lados activos (à esquerda) e de lados (à direita) durante o reenchimento de um olígono. Quando a linha de varrimento tem como ordenada o valor 7, os lados E e DE são retirados da tabela de lados ara a tabela de lados activos. A tabela de lados fica assim vazia. A tabela de lados activos é reordenada ela sequência que a figura aresenta durante a inserção dos lados E e E. Os quatro lados (A, E, DE e CD) ermanecem activos ara a linha de varrimento de ordenada 8. Os lados A e E atingem o valor da sua ordenada máima quando a ordenada da linha de varrimento assume o valor 9 e são eliminados da tabela de lados activos onde ermanecem os lados DE e CD. Estes lados continuam nesta tabela aara a linha de varrimento de ordenada 0 mas, quando a ordenada da linha de varrimento atinge o valor, têm que ser retirados. A tabela de lados activos fica vazia e, como a tabela de lados já se encontra vazia, o rocesso de reenchimento do olígono está terminado. A tabela -5 aresenta os intervalos de intersecções definidas or ares de lados consecutivos (sans) e os iéis interiores do olígonos ara todos os valores da ordenada da linha de varrimento deste eemlo. 3

24 Comutação Gráfica Rasterização Y Sans Piéis [7; 7] 7 a 7 [4,5; 8,5] 5 a 8 3 [; 0] a 0 4 [;,5] a 5 [; 3] a 3 6 [; 3] a 3 7 [; 7] [7; 3] a 7 e 7 a 3 8 [; 4,5] [8,5; 3] a 4 e 9 a 3 9 [0; 3] 0 a 3 0 [,5; 3] a 3 Tabela -5 Sans entre intersecções consecutivas e iéis seleccionados ara cada ordenada da linha de varrimento do eemlo..3.6 ragmentação de Polígonos No reenchimento de olígonos odem ocorrer situações em que, de um ar de ontos de intersecção da linha de varrimento com dois lados de um olígono, resultam um ou nenhum iel devido à roimidade dos lados. Isto ocorre em olígonos ou zonas de olígonos muito estreitas denominadas zonas de fragmentação (slivers, em inglês) que odem criar descontinuidades no reenchimento dos olígonos, tal como a figura -7 aresenta. Na figura, o triângulo esquerdo, com os vértices em (, 5), (4, 5) e (7, 4), erde arte da sua informação ara as linhas de varrimento de ordenada 7, 8, 0 e orque, segundo a regra de reenchimento, só os iéis interiores ou aqueles que ertençam à fronteira devem ser seleccionados 6. Esta erda é total junto do vértice suerior do triângulo orque não eistem quaisquer iéis interiores ao triângulo ara a linha de varrimento de ordenada 3 e a linha de varrimento de ordenada 4 não deve ser considerada devido à regra que elimina os lados activos quando estes atingem a sua maior ordenada. A tabela -6 aresenta os iéis seleccionados ara cada linha de varrimento dos triângulos da figura -7. O triângulo à direita na figura, com vértices em (4, ), (8, 0) e (6, 0), aresenta uma situação ainda mais etrema dado que do seu reenchimento surgem duas zonas searadas. O vértice inferior encontra-se reresentado mas está comletamente desligado do resto do triângulo orque não eistem quaisquer iéis interiores a este ara as linhas de varrimento de ordenadas e 3. inalmente, o conjunto dos dois triângulos aresenta uma erda de detalhe ois, embora se trate de dois triângulos searados, os seus reenchimentos coalescem ara 6 Para as ordenadas 8 e, ocorre ainda o facto do declive do lado direito do triângulo aresentar um declive inverso (/3) que é aroimado or defeito. 4

25 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica as linhas de varrimento de ordenadas 5 e 9 e, inversamente, ficam demasiado searados ara as linhas de varrimento de ordenadas 6, 7 e 8. Casos como este surgem da alicação das regras ara reenchimento de triângulos, mas não são consequência de tais regras. A sua origem encontra-se no aliasing orque a quadrícula emregue não é suficientemente fina ara caturar os detalhes dos objectos. É aos algoritmos de antialiasing, que a seguir aresentamos, que cabe aresentar soluções ara estes roblemas. Y san esquerdo san direito Tabela -6 Sans dos iéis seleccionados no reenchimento dos triângulos da figura -7. igura -7 Preenchimento de dois triângulos de reduzida largura com erda de detalhe..4 Aliasing e Antialiasing A discretização de uma grandeza contínua imlica erda de informação. Por vezes a informação erdida não é significativa e é ossível reconstruir quase fielmente a grandeza original mas, a artir de uma certa erda, os valores discretos medidos são insuficientes ara que se ossa roceder à reconstrução da grandeza original. Quando tal sucede, a reconstrução roduz informação que ouco ou nada tem a ver com a informação original. Este fenómeno tem o nome de aliasing. Um eemlo simles de aliasing é o resultado da amostragem de um sinal sinusoidal com uma frequência de amostragem idêntica à frequência do sinal. Os valores amostrados são todos iguais e qualquer tentativa de reconstrução do sinal original resultará num sinal sem qualquer relação com o original (veja-se a figura -8) ois, não só se erdeu a amlitude do sinal, como igualmente se erdeu a sua rória 5

26 Comutação Gráfica Rasterização eriodicidade. Este eemlo mostra que a frequência de amostragem deve ter em conta a eriodicidade do sinal amostrado. Se, or eemlo, se tivessem tomado quatro amostras or eríodo, conforme a figura -9 aresenta, teria sido ossível reconstruir quase eactamente o sinal original. No entanto, se aumentarmos a frequência do sinal e mantivermos a frequência de amostragem, verificamos que esta deiou de ser adequada, ois o sinal que é ossível reconstruir aresenta uma frequência mais baia do que a frequência original, ainda que a informação sobre a amlitude do sinal tenha sido correctamente reconstruída. Estes eemlos ilustram o essencial do teorema de Nquist. Segundo este teorema, a frequência mínima de amostragem deve ser o dobro da frequência do sinal amostrado ara que se ossa reconstruir o sinal original. É or esta razão que nas gravações digitais de música em áudio CD, realizadas com a frequência de amostragem de 44 khz, todas as frequências sueriores a khz, que não são audíveis, são eliminadas do sinal antes do seu registo, ois, caso contrário, seriam reroduzidas como frequências mais baias que iriam contaminar o som escutado. igura -8 Amostragem de um sinal sinusoidal com frequência de amostragem igual à do sinal. A reconstrução do sinal a artir das amostras discretas conduz a um sinal contínuo cujo valor nada tem a ver com a amlitude do sinal original. igura -9 Amostragem com frequência constante. A amostragem é suficiente ara o sinal à esquerda e é insuficiente ara o sinal à direita. 6

27 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica igura -0 Perda de detalhe devida ao efeito de escada na fronteira de um objecto..4. Aliasing em Comutação Gráfica O fenómeno de aliasing ocorre em Comutação Gráfica, uma vez que a informação contínua dos objectos a reresentar graficamente é discretizada e reresentada associada a iéis nos disositivos de quadrícula. Uma das formas mais comuns de aliasing em Comutação Gráfica consiste no chamado efeito de escada ou efeito de serra que ocorre quando se reresentam linhas que não sejam horizontais, verticais ou diagonais, como a figura - aresenta. Este efeito (veja-se também a figura -0) aarece ainda na reresentação de olígonos, mais roriamente nas arestas, e é articularmente visível quando eiste grande contraste entre as cores do olígono e do eterior. A erda de detalhe das imagens, quando a densidade dos iéis é insuficiente (ou não suficientemente fina) ara reroduzir os detalhes ou mesmo os objectos a reresentar, é também devida ao aliasing. Um eemlo desta ocorrência foi já anteriormente aresentado (figura -7). Um outro eemlo de erda de detalhe ocorre quando se retende reresentar um conjunto de triângulos, de largura de base δ e uma altura de várias unidades, que se encontram justaostos. Se o esaçamento horizontal dos iéis corresonder, or eemlo, a,05 δ, a reresentação aresentará o asecto de um triângulo cuja base é de δ, conforme a figura - aresenta. O aliasing ocorre orque, de acordo com o teorema de Nquist, deveríamos ter emregue uma quadrícula em que os iéis estivessem esaçados de 0,5 δ, em vez de,05 δ. Em rincíio, a erda de detalhe devida ao aliasing oderia ser eliminada emregando uma quadrícula mais fina. No entanto, oderemos semre questionar se na imagem não oderão eistir outros detalhes de ainda menor dimensão que criam, or sua vez, artefactos de baia frequência e que nos obrigariam a emregar quadrículas ainda mais finas. Um outro eemlo de erda de detalhe devido ao aliasing ode ser observado quando se reresentam teturas regulares cuja dimensão aarente diminui com o aumento da distância ao observador, como é o caso de um chão de ladrilhos alternadamente brancos e negros que a figura - aresenta. Os ladrilhos deveriam diminuir de tamanho e manter a sua forma à medida que ficassem mais distantes. Em vez disso, aarecem formas irregulares e de tamanhos maiores devido à coalescência de ladrilhos róimos. O aumento da resolução da imagem não elimina o roblema ois o roblema ersiste ara ladrilhos mais distantes. 7

28 Comutação Gráfica Rasterização igura - Rasterização de um conjunto de triângulos com uma quadrícula (too), com resultado incorrecto (ao meio) or insuficiência da quadrícula onde se erdeu comletamente o detalhe da imagem correcta (em baio). igura - Perda de detalhe de teturas com o aumento da rofundidade (à esquerda) numa imagem de 5656 iéis. O aumento da resolução da imagem (à direita) ara 0404 iéis aenas consegue relegar esta erda ara distâncias maiores, mas não a elimina. 8

29 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica igura -3 Traçado de segmentos de recta com diferentes resoluções: com maior resolução, o segmento recta aarenta maior fidelidade mas é mais fino. A mesma constatação ode ser obtida observando a figura -3. O emrego de maior resolução não elimina o efeito de escada ois surgem mais atamares, embora de menor dimensão. Também a mancha visual do segmento de recta se torna menos nítida orque a sua esessura aarente diminui..4. Antialiasing Como vimos, o fenómeno de aliasing tanto ode ter origem na discretização no esaço (aliasing esacial), como na discretização no temo (aliasing temoral). Neste caítulo trataremos aenas da correcção dos efeitos do aliasing esacial. Eistem várias técnicas designadas genericamente or técnicas de antialiasing ou algoritmos de antialiasing ara resolver de modo satisfatório, mas nunca total, os roblemas criados elo fenómeno de aliasing nas suas várias manifestações. Estas técnicas baseiam-se na filtragem da informação que ode ser realizada tanto no esaço da imagem como no esaço dos objectos. A filtragem realizada no esaço dos objectos designa-se or ré-filtragem, enquanto a realizada a artir da informação que eiste no esaço da imagem é designada or ós-filtragem. Pré-filtragem As técnicas de ré-filtragem são muito emregues elas técnicas de geração de imagem que oeram no esaço dos objectos, como é o caso da técnica de Ra Tracing. 7 De uma forma genérica, a ré-filtragem consiste em determinar a cor a atribuir a um iel or eame da área que lhe corresonde no esaço dos objectos, determinando as cores emregues nessa área e a resectiva roorção. Considere-se, or eemlo, um objecto verde sobre um fundo de cor vermelha. Aos iéis corresondentes a áreas de cor uniforme (verde ou vermelho) será atribuída a cor da área resectiva. A cor a atribuir a iéis corresondentes a áreas na fronteira do objecto, que têm arte a verde e arte a vermelho, deverá ser uma mistura de verde e vermelho nas roorções eistentes na resectiva área. Assim, numa área em que 30% esteja dentro do objecto de cor verde e 70% fora dele, a cor do iel corresondente na imagem deverá ser uma mistura de 30% de verde com 70% de vermelho. A ré-filtragem que acabamos de descrever, denominada ré-filtragem não onderada, roduz resultados bastante correctos ara rimitivas que ocuam áreas da 7 Para mais detalhes sobre a ré-filtragem em Ra Tracing, consultar o caítulo dedicado a este tema. 9

30 Comutação Gráfica Rasterização imagem corresondendo a um número razoável de iéis, como é o caso de olígonos. Porém, a ré-filtragem não onderada não é directamente alicável à rasterização de rimitivas como menos do que uma dimensão, como é o caso dos segmentos de recta e ontos, ois, não tendo esessura, tais rimitivas não contribuem ara os iéis da imagem dado não ocuarem qualquer área no esaço dos objectos. Para ultraassar este roblema, teremos que considerar que ontos e segmentos de recta ossuem duas dimensões e criar no esaço dos objectos círculos e rectângulos que os reresentam, atribuindo, or eemlo, a largura de um iel ao diâmetro dos círculos e à esessura dos segmentos de recta. Este rocedimento ermite então rasterizar estas rimitivas or meio da ré-filtragem não onderada. A figura -4 ermite comarar o resultado da rasterização de um segmento de recta com um declive de /3 realizada de diferentes formas. Em (a) o segmento aresentase tal como resultaria da sua rasterização através do algoritmo de Bresenham, enquanto em (b) se ode observar a rasterização do mesmo segmento alicando a técnica de ré-filtragem não onderada, em que se atribuiu ao segmento a largura corresondente a um iel. 8 O resultado visual é uma linha em que se nota uma atenuação do efeito de escada e uma esessura mais uniforme do que em (a), mas ainda se nota alguma irregularidade. Isto sucede orque os valores dos iéis a que se sobreõe o rectângulo reresentando o segmento são calculados sem atender à distância a que se encontram do segmento de recta original. A ré-filtragem com onderação entra em conta com esta distância. Em (c) foi alicado um filtro de onderação da intensidade dos iéis em função da distância dos seus centros ao segmento de recta, em que a intensidade varia inversamente com a distância segundo Guta e Sroull. Como se ode observar, o segmento de recta aresenta-se agora mais nítido e uniforme em toda a sua etensão. (a) (b) (c) igura -4 Pré-filtragem de segmento de recta: sem ré-filtragem (a), com ré-filtragem não onderada (b) e ré-filtragem onderada emregando filtro cónico (c). 8 A figura deverá ser observada a alguns metros de distância ara que os iéis ossam fundir-se visualmente. 30

31 J. M. Brisson Loes Comutação Gráfica igura -5 Sobre amostragem. Imagem com a resolução de 5656 iéis (à direita) obtida a artir de uma imagem com a resolução de 0404 iéis. Comare-se este resultado com uma imagem da mesma resolução (à esquerda) sem sobre amostragem. Pós-filtragem As técnicas de ós-filtragem, também designadas or técnicas de sobre amostragem (suer samling), consistem em gerar uma imagem de resolução suerior à resolução da imagem retendida e, em seguida, usar a informação de vários iéis contíguos ara, através da média das suas cores, gerar os iéis da imagem final. Para uma imagem de 5 5 iéis gerar-se-iam, or eemlo, imagens de ou iéis com uma resolução resectivamente dula ou trila da resolução final retendida. A seguir, ara calcular a cor de cada iel da imagem final, seria determinada a cor média das cores dos quatro ou nove iéis corresondentes das imagens de maior resolução. A figura -5 aresenta um eemlo de alicação de ós-filtragem onde se observa uma nítida melhoria da reresentação dos olígonos localizados no fundo da imagem. As técnicas de ós-filtragem são muito emregues em Comutação Gráfica devido à sua simlicidade, embora sejam comutacionalmente mais esadas orque requerem o emrego de mais memória e a carga comutacional aumenta devido a ser necessário rocessar um muito maior número de iéis e, no final, ser também necessário combinar num só iel da imagem final a informação de vários iéis da imagem em resolução aumentada Estas técnicas não são alicáveis a rimitivas com menos de duas dimensões (segmentos de recta e ontos) ois, tal como a figura -3 aresenta, o emrego de uma resolução maior não elimina o feito de escada dado que surgem mais atamares, ainda que estes sejam de menor dimensão. Por outro lado, a mancha visual do segmento é muito mais fina e, se se alicasse a ós-filtragem, obteríamos um segmento cuja intensidade seria bastante inferior à intensidade original. 3