5 Insrumenal e Meodologia Aplicada à Análise de Invesimenos 5.1 Inrodução Aualmene o méodo mais difundido e aplicado para a análise de invesimenos corporaivos é o Valor Presene Líquido (VPL). egundo esa meodologia, o valor de um deerminado projeo pode ser deerminado calculando-se a diferença enre o valor presene dos ganhos e o valor presene dos cusos desse projeo. O invesimeno é considerado viável sempre que o VPL for maior do que zero. egundo Dixi & Pindyck [35], o VPL pode ser considerado um méodo orodoxo, excessivamene rígido para o ambiene corporaivo. Isso porque ese méodo sugere que o invesimeno deva ser realizado agora ou nunca, ignorando os benefícios da espera por novas informações. Impliciamene, o VPL presume que o gerenciameno de projeos é passivo, ou seja, que odas as decisões são inexoravelmene levadas adiane, como se o invesidor não dispusesse de flexibilidade para rever os planos originais. Enreano, a realidade enfrenada pelo mundo corporaivo é essencialmene diferene. Em um ambiene cercado de incerezas e inerações compeiivas, os fluxos de caixa efeivamene realizados apresenarão grandes chances de serem diferenes daqueles raçados por meio dos insrumenos radicionais. Com o ranscorrer do empo as incerezas vão sendo desfeias, especialmene pelo surgimeno de novas informações indisponíveis no momeno da análise. Concomianemene, podem vir à luz uma série de alernaivas que permiirão a revisão e o afasameno em relação às esraégias originalmene esabelecidas. egundo Dixi & Pindyck [35], a maioria das decisões de invesimeno êm em comum rês caracerísicas imporanes: a sua irreversibilidade, a incereza sobre os ganhos fuuros, e a liberdade de ação no empo. O fao é que a eoria
81 orodoxa não reconhece esas caracerísicas. No enano, é jusamene a ineração enre elas que deermina a regra óima para o invesimeno. Noe que a empresa que possui uma oporunidade de invesimeno, na verdade, possui uma opção semelhane a uma opção financeira, pois a empresa em o direio, mas não a obrigação de realizar esse invesimeno. Uma vez que o invesimeno é realizado, considera-se que a opção de invesir foi exercida. Enreano, ao exercer esa opção, a empresa ambém esará anulando qualquer possibilidade de espera, o que a impossibilia de agir no senido de reverer uma siuação desfavorável no fuuro. endo assim, noe que o exercício da opção implica em um cuso de oporunidade para a empresa, o qual deve ser incluído juno aos cusos de invesimeno no projeo. Desa forma, a regra convencional do VPL deve ser modificada para que o valor da opção seja percebido, ou seja, o novo VPL deve sinalizar que o invesimeno é óimo quando o valor presene dos ganhos for maior que o valor presene dos cusos, incluindo o cuso de oporunidade por abrir mão dos benefícios da espera. Ese novo valor é denominado VPL Expandido, o qual reúne o valor do VPL radicional, ou VPL passivo, e o valor das opções operacionais e esraégicas resulanes do gerenciameno dinâmico do projeo. Cabe ressalar que as opções de invesimeno podem ser basane valiosas. Muias empresas aribuem grande pare do seu valor de mercado às suas opões de invesir e crescer no fuuro. Esas opções, por serem baseadas em aivos reais, são conhecidas como opções reais. De acordo com rigeorgis [36], pode-se dizer que o problema da orçamenação de capial, ou da decisão de invesimeno, na verdade é composo por um conjuno de opções reais. Na próxima seção mosrar-se-á como a eoria das Opções Reais vem sendo empregada nos mais diversos seores da economia mundial. Apesar de basane difundida no meio acadêmico, pode-se dizer que o uso desa eoria ainda é resrio na práica da orçamenação de capial. Ainda na próxima seção, ambém será esabelecida uma analogia enre uma opção financeira e a oporunidade que o Mecanismo de Desenvolvimeno Limpo propicia a deerminados projeos. Considera-se que ais projeos possuem o direio, mas não o dever, de se regisrar no Comiê Execuivo e usufruir os
8 benefícios provenienes da venda das RCEs. Uma vez que os cusos de regisro são irreversíveis, que o preço do crédio de carbono é aleaório, e que exise liberdade de decisão no empo, ou seja, a decisão de regisrar o projeo não é do ipo agora ou nunca, enende-se que a eoria das Opções Reais é a meodologia correa para se avaliar esa oporunidade. 5. Aplicações da eoria das Opções Reais O ermo opções reais foi inicialmene empregado em 1977, pelo professor ewar C. Myers, com o objeivo de esabelecer uma analogia enre as opções de compra sobre aivos financeiros e as oporunidades de invesimeno em aivos reais [37]. Desa forma uma nova abordagem para a análise de invesimenos esava sendo iniciada. Esa abordagem foi denominada de eoria das Opções Reais. Em 1979, o brasileiro Ocávio A. F. ourinho foi pioneiro ao mosrar que reservas de recursos naurais poderiam ser enendidas e avaliadas empregando-se a eoria das Opções Reais [38]. Desde enão, diversos rabalhos êm sido desenvolvidos nesa área. Denre os primeiros rabalhos que aplicaram a eoria das Opções Reais (OR) para avaliar reservas de recursos naurais, desaca-se o rabalho de Brennan & chwarz [39]. Nese rabalho a OR foi empregada para avaliar uma mina de cobre cuja exploração poderia ser aivada, suspensa, ou abandonada definiivamene pelo invesidor. Nesa análise, as decisões do gerene se baseavam nas informações de mercado sobre o preço do cobre, o qual foi considerado esocásico. Concluiu-se que a flexibilidade operacional embuida nese projeo aumenou o seu valor de mercado. Na indúsria do Peróleo, desaca-se o rabalho pioneiro de iegel e. al. [40], o qual uilizou a OR para avaliar o valor de reservas de Peróleo ainda não desenvolvidas. Nese rabalho considerou-se que o aivo objeo da opção real seria represenado pelo valor da reserva já desenvolvida, o qual foi considerado aleaório. Dependendo da evolução do valor da reserva ao longo do empo, a opção real deveria ser exercida.
83 Ainda na indúsria do Peróleo, ambém merecem desaque as recenes conribuições de Dias [17][41][4]. Com o objeivo de esabelecer um canal de cooperação cienífica e de aualização conínua dos conhecimenos nesa área, seu rabalho de mesrado [17] eve como um dos objeivos criar um websie [41] sobre a aplicação da OR no seor de Peróleo. Já em seu rabalho de douorado, Dias [4] esende a aplicação da OR combinando-a com ouras eorias, ais como a eoria dos jogos e os méodos probabilísicos e de decisão esaísica Bayesianas. Apenas nos úlimos anos a aplicação da eoria das Opções Reais começou a penerar a indúsria da elericidade. Denre as suas principais aplicações ao seor elérico brasileiro, desacam-se os rabalhos de Casro [43] e Gomes [44]. Em seu rabalho de mesrado, Casro [43] uilizou a eoria das Opções Reais para avaliar uma unidade de geração ermelérica flexível, ou seja, que possui apenas uma pare da sua capacidade insalada despachada pelo Operador Nacional do isema Elérico. Desa forma, foi considerado que a operação da pare flexível dese ipo de usina é um direio, mas não um dever a ser cumprido. Esa consideração faz com que, ao longo do período de esudo, o empreendedor deenha uma opção para suspender emporariamene a operação da usina. Dando enfoque ao problema da expansão do seor elérico brasileiro, Gomes [44] raou a dinâmica de invesimenos privados em geração ermelérica uilizando a eoria das Opções Reais. Para ano, foi considerado que o planejameno da expansão ermelérica deveria levar em consideração rês ipos de incerezas: a incereza exógena na expansão da ofera de empreendimenos ermeléricos, a incereza na demanda deses empreendimenos, e a ineração enre os agenes do seor. rabalhos mais recenes, como os de Kumbaroglu el. al. [45] e iddiqui e. al. [46], aplicam a eoria das Opções Reais para avaliar invesimenos na geração de energia elérica com base nas fones renováveis, ais como as fones eólicas, geoérmicas, solares, enre ouras. Em Kumbaroglu el. al. [45], é desenvolvido um modelo para verificar o poencial de difusão das ecnologias renováveis denro da expansão do seor elérico urco. Para ano, o modelo acopla as curvas de aprendizagem (learning curve) desses invesimenos a uma formulação dinâmica do problema, onde ano o preço da
84 energia elérica quano o preço dos combusíveis fósseis são considerados inceros. Já no rabalho de iddiqui e. al. [46], uiliza-se a OR para analisar os benefícios do programa esabelecido pelo governo nore americano para a pesquisa e desenvolvimeno das ecnologias renováveis. Argumena-se que o méodo usualmene empregado nesas análises realiza uma previsão deerminísica dos cusos e da performance dos combusíveis renováveis e não renováveis. Esa abordagem é considerada inadequada, pois desconsidera as incerezas exisenes sobre os preços desses combusíveis, e, conseqüenemene, ambém desconsidera a opção de desenvolver as ecnologias renováveis quando os cusos das ecnologias não renováveis aumenarem. Mais recenemene, a OR começou a ser empregada no recém criado mercado de carbono. Aé o momeno, as principais aplicações êm se concenrado nas aividades de floresameno e refloresameno. Por exemplo, em Baran [1], a OR foi uilizada para deerminar o melhor momeno para o core de uma floresa de eucalipos, levando em consideração o fluxo de receia adicional proveniene da venda dos crédios de carbono. Nese rabalho a eoria das Opções Reais será uilizada para se esimar o valor incremenal do mercado de carbono para deerminados empreendimenos de geração de energia elérica no Brasil. Para ano, considerar-se-á que ese ipo de empreendimeno raz consigo a possibilidade do projeo ser regisrado no Comiê Execuivo e comercializar os crédios de carbono que venham a ser gerados pela sua aividade. odo o desenvolvimeno é realizado à luz das regras e leis aualmene vigenes no seor elérico brasileiro. Para avaliar correamene a flexibilidade gerencial aneriormene descria, é necessário perceber a sua fore analogia com as opções de compra disponíveis no mercado financeiro. Nese caso, noe que o valor presene da receia obida a parir da venda dos crédios de carbono pode ser enendido como o valor do aivo objeo de uma opção financeira. Da mesma forma, os cusos de ransação, necessários para que se efeue o regisro do projeo no Comiê Execuivo, podem ser enendidos como o seu preço de exercício. Além disso, o prazo disponível para que o invesidor regisre o projeo MDL pode ser enendido como o empo de vida da opção financeira. Finalmene, a volailidade do preço do crédio de carbono e
85 os fluxos anuais provenienes da sua venda podem ser enendidos, respecivamene, como a volailidade e o dividendo do aivo objeo da opção financeira. A relação de analogia descria aneriormene se enconra ilusrada na abela 5.1. abela 5.1 - Analogia enre uma Opção Financeira e a Opção de Regisrar um Projeo MDL no Comiê Execuivo OPÇÃO CALL Preço da Ação Preço de Exercício empo de Expiração Volailidade do Preço da Ação Dividendo da Ação REGIRO DO PROJEO MDL Valor Presene da Venda das RCEs Cuso de ransação Prazo para Início do Processo de Regisro Volailidade do Preço da RCE Fluxo de Receia da Venda das RCEs Uma ampla discussão sobre a influência que cada um deses faores exerce sobre o valor de uma opção financeira pode ser enconrada no rabalho de Hull [47]. Em Baisa [48], esa mesma análise é realizada considerando a opção de expandir a produção de um campo de Peróleo já desenvolvido. A produção dese campo pode ser expandida pelo início das aividades de aé dois poços adicionais. Enfim, fica claro que as mesmas écnicas empregadas para se avaliar as opções financeiras podem ser uilizadas para avaliar as opções sobre aivos reais. Na próxima seção, as écnicas mais difundidas para se avaliar as opções financeiras serão objeo de discussão. Em paricular, rês méodos serão descrios dealhadamene: o méodo da Árvore Binomial, o méodo de Gran, Vora & Weeks, e o méodo de Longsaff & chwarz (LM), odos empregados nese rabalho. 5.3 Méodos para a Avaliação de Opções Financeiras As opções financeiras são geralmene classificadas de acordo com a sua possibilidade de exercício anecipado. Enquano as opções européias só podem ser exercidas na sua daa de vencimeno, as opções americanas podem ser exercidas em qualquer momeno aé esse insane. Desde 1973, quando as opções de ações foram primeiramene negociadas em bolsa de valores, os mercados de opções
86 cresceram significaivamene, crescendo ambém a demanda por écnicas para uma correa avaliação do seu valor [47]. A avaliação de opções européias apresena-se como uma arefa basane simples quando comparada à avaliação de opções americanas. Uma vez que as opções européias só podem ser exercidas nas suas respecivas daas de vencimeno, apenas o conhecimeno do preço final do aivo é necessário para que as mesmas sejam avaliadas. Em 1973, Black & choles [49] desenvolveram uma solução analíica para a avaliação de opções de compra do ipo européia. Enreano, para a maioria das opções financeiras de naureza mais complexa, por exemplo, para as opções americanas, soluções analíicas ainda não exisem ou ainda não foram desenvolvidas. Nese conexo, o desenvolvimeno de écnicas para a avaliação deses derivaivos em ganhado grandes proporções nas úlimas décadas. Denre os primeiros modelos desenvolvidos para a avaliação de opções americanas, desaca-se o modelo binomial de Cox, Ross & Rubinsein [50]. A grande vanagem dese modelo é a sua capacidade em avaliar a possibilidade de exercício anecipado das opções americanas, fornecendo uma boa aproximação do seu valor. O maior problema do modelo binomial, assim como o de muios ouros méodos numéricos, reside na hipóese de que o preço do aivo objeo é o único faor a ser considerado aleaório na análise. egundo enof [51], esa não é uma suposição válida, enreano, sabe-se que a solução do problema se orna compuacionalmene inviável à medida que cresce o número de faores esocásicos considerados. No modelo binomial, isso ocorre porque a dimensão do problema cresce exponencialmene com o número deses faores. Esa caracerísica é conhecida como a maldição da dimensionalidade. Ainda na década de 70, a uilização de écnicas de simulação para avaliar opções financeiras surgiu como uma alernaiva à uilização do méodo binomial (vide Boyle [5]). Essas écnicas ganharam popularidade devido a caracerísicas como flexibilidade, ransparência e simplicidade do processo, ornando o processo de avaliação independene da quanidade de variáveis de esado e dos respecivos processos esocásicos empregados. Além disso, do pono de visa práico, a simulação permie o uso da compuação em paralelo, possibiliando ganhos de eficiência e desempenho [53].
87 Enreano, apesar de odas as vanagens das écnicas de simulação, inicialmene acrediava-se que seria impossível, do pono de visa compuacional, empregá-las para avaliar opções Americanas (vide Hull [47]). O problema eria origem na incapacidade deses méodos em deerminar o insane óimo para o exercício do derivaivo, o qual poderia ser anerior à sua mauridade. Neses casos, acrediava-se que os modelos de simulação, por serem inerenemene do ipo forward, não comporariam um modelo de programação dinâmica para a deerminação da esraégia óima de exercício anecipado, o qual é considerado backward por naureza. Uma das primeiras proposas para a avaliação de opções americanas usando écnicas de simulação foi realizada por illey [54]. illey apresena um algorimo de simulação que imia o méodo da árvore binomial padrão. Poseriormene, Brodie & Glasserman [55] ambém uilizaram a simulação para avaliar opções Americanas, porém, a sua abordagem se mosrou ainda mais próxima do méodo binomial. Finalmene, em 1996, Gran, Vora & Weeks [56] desenvolveram um dos primeiros méodos capaz de avaliar opções americanas combinando as écnicas de simulação de Mone Carlo e de programação dinâmica. O méodo baseia-se na deerminação de um conjuno de ponos, disribuídos ao longo da vida da opção, sobre os quais é indiferene para o invesidor exercer a opção imediaamene ou esperar aé o próximo insane para omar a sua decisão. A união deses ponos define a curva de gailho do derivaivo, a qual é empregada como regra óima para o exercício anecipado da opção. A vanagem dese algorimo é que ele rabalha independenemene do número de dimensões do problema, de forma que a curva de gailho em sempre a mesma dimensão do derivaivo o qual se preende avaliar. Além disso, ese méodo é geral e aplicável a diferenes ipos de opções, ais como opções sobre vários aivos ou com vários parâmeros esocásicos. A grande desvanagem dese méodo é o seu alo cuso compuacional. Oura classe de méodos empregada para a avaliação de opções americanas combina as écnicas de simulação, regressão e programação dinâmica para aproximar os resulados. Em 001, Longsaff & chwarz [57] propuseram um algorimo que uiliza o méodo dos mínimos quadrados para realizar regressões cross-secional sobre rajeórias simuladas para o preço do aivo. O objeivo dese
88 algorimo é esimar o valor de coninuação do derivaivo, ou seja, o valor esperado condicional de maner a opção viva aé o próximo pono de exercício anecipado. Assim como o méodo de Gran, Vora & Weeks, o méodo proposo por Longsaff & chwarz permie avaliar opções de diferenes ipos, envolvendo diferenes processos esocásicos ou com diferenes dimensões, porém, cabe ressalar que a principal vanagem dese méodo é o seu baixo cuso compuacional quando comparado a ouros méodos envolvendo simulação. Nas próximas seções o méodo binomial, o méodo de Gran, Vora & Weeks, e o méodo de Longsaff & chwarz serão descrios dealhadamene. Nese rabalho, eses méodos serão empregados para avaliar a oporunidade que os projeos de geração de energia elérica desenvolvidos no Brasil possuem para produzir e comercializar RCEs no âmbio do Mecanismo de Desenvolvimeno Limpo do Proocolo de Quioo. 5.3.1 Modelo Binomial egundo enof [51], denre os modelos binomiais empregados para a avaliação de opções financeiras, o modelo proposo por Cox, Ross & Rubisein é considerado o mais famoso e uilizado pela lieraura especializada. O princípio básico dese modelo consise em discreizar o processo esocásico uilizado por Black & choles [49] para, poseriormene, empregar a écnica de programação dinâmica a fim de deerminar o valor da opção. Para cada inervalo de empo, considera-se que o preço do aivo financeiro () esá sujeio a apenas dois ipos variações: uma variação posiiva de inensidade u, ou seja, + =.u onde u > 1, ou uma variação negaiva de inensidade d, ou seja, + =.d onde d < 1. Uma árvore binomial de apenas um passo se enconra ilusrada na Figura 5.1.
89 Valor do Aivo Preço Reorno q.u (u 1) 1-q.d (d 1) empo Figura 5.1 Ilusração de uma Árvore Binomial de um Passo De acordo com a Figura 5.1 uma deerminada probabilidade q é associada a uma variação posiiva no preço do aivo financeiro. Analogamene, uma probabilidade 1-q é associada a uma variação negaiva do mesmo. egundo Cox, Ross & Rubinsein, ese méodo converge para a solução enconrada por Black & choles desde que a equação do movimeno geomérico browniano seja represenada como o limie conínuo de um caminho aleaório em empo discreo, ou seja, fazendo-se com que 0. No insane +, o valor esperado e a variância do preço do aivo podem ser deerminados, respecivamene, pelas seguines equações (vide Hull [47]): E[.e r. + ] = (5.1) e Var r σ [ ] = e [ e 1] + (5.) onde r represena a axa de reorno esperada do aivo e σ represena a volailidade do valor de. A parir das equações 5.1 e 5. é possível deerminar os parâmeros u, d e q necessários para a uilização do modelo binomial de Cox, Ross & Rubisein. De acordo com o ilusrado na Figura 5.1, noa-se que o reorno esperado ( [ R] ) ou seja, E do aivo financeiro pode ser calculado da seguine forma: E[R] = q. ( u 1) + ( 1 q)(. d 1)
90 ( u d) + d 1 E[R] = q. (5.3) abendo-se que: E [ ] =.1 [ E( R) ] + + (5.4) e subsiuindo a equação 5.3 na equação 5.4, o seguine resulado é enconrado: E [ ] =.( 1+ q. ( u d) + d 1) + (5.5) Uma vez que os resulados do méodo binomial convergem para a solução de Black & choles a medida que 0, os resulados das equações 5.1 e 5.5 podem ser igualados de al forma que:.e r. =. ( 1+ q. ( u d) + d 1) Rearranjando os ermos desa equação o seguine resulado é obido: r. e d q = u d (5.6) O resulado enconrado especifica o valor da probabilidade neura ao risco associada a uma variação posiiva no preço do aivo financeiro. A probabilidade associada a uma variação negaiva é dada por (1-q). Empregando-se um raciocínio análogo ao anerior, ambém é possível deerminar os parâmeros de inensidade (u e d) da variação sofrida pelo preço. Para ano, rabalhar-se-á com a deerminação da variância do reorno do aivo ( V [ R] ) V [ R] E[ R E( R) ], ou seja: = (5.7) A parir do ilusrado na Figura 5.1, esa equação pode ser reescria da seguine forma: V [ R] q. [( u 1) E(R) ] + (1 q) [( d 1) E(R) ] = (5.8) ubsiuindo-se a equação 5.3 na equação 5.8 em-se que: V [ R] = q. [( u 1) ( q.u q.d + d 1) ] + (1 q) [( d 1) ( q.u q.d + d 1 )] Desenvolvendo algebricamene esa equação o seguine resulado é enconrado: [ ] q. ( 1 q)(. u + d.u.d) V R = (5.9)
91 ou seja, a variância do reorno do aivo pode ser expressa somene em função dos parâmeros u, d e q. Uma vez que a equação 5.6 especifica o parâmero q, a mesma pode ser subsiuída na equação 5.9 chegando-se ao seguine resulado: r..r. [ ] = ( u + d).e e 1 V R (5.10) Expandindo em aylor os ermos r. e e.r. e, e considerando que n = 0 quando n > 1, a equação 5.10 pode ser escria da seguine forma: V [ R] ( u + d)(. 1+ r. ) 1.r. 1 = (5.11) Cabe ressalar que Cox, Ross & Rubisein consideram o faor d igual ao inverso do faor u, ou seja, d = 1/u. endo assim, é possível mosrar que σ u = e e d σ = e saisfazem as premissas do processo esocásico uilizado por Black & choles. Expandindo em aylor os ermos u e d proposos aneriormene, em-se que: σ σ. u = e 1+ σ. + (5.1) d e σ = 1 σ. σ. + (5.13) ubsiuindo as equações 5.1 e 5.13 em 5.11, chega-se ao seguine resulado: [ ] σ. V R = (5.14) O resulado da equação 5.14 represena a variância do reorno de um aivo que segue o mesmo processo esocásico originalmene empregado por Black & choles [49], ou seja, o Movimeno Geomérico Browniano (vide seção 5.4.1). Ese resulado corrobora com os valores de u, d e q considerados aneriormene. A parir de um inervalo = / D, onde represena o empo aé o vencimeno da opção, e D represena o número de divisões dese horizone, enende-se que a simulação de preços represenada pela árvore binomial converge para o Movimeno Geomérico Browniano a medida que D. Para deerminar o valor de uma opção financeira do ipo americana, uma roina de programação dinâmica é iniciada a parir da sua daa de vencimeno. Nese insane, o valor de uma opção de compra deve ser esabelecido por meio da seguine equação:
9 i ( X,0) ) i i i C ( ) = max (5.15) onde i represena o número de preços (ou nós) finais da árvore, represena a mauridade da opção e X represena o preço de exercício da opção. Para cada nó inermediário represenado no insane =, o valor da opção deve ser obido comparando-se o valor de exercício imediao ( I ) com o valor de coninuação da opção ( F ), ou seja, o valor de maner a opção viva aé o próximo insane. A equação 5.16 represena esa comparação. i i { I, F } i i i C ( ) = max (5.16) onde I i i ( X,0) = max (5.17) e i ( q.c ( u. ) + ( 1 q).c ( d. i ) i r. F e + + = (5.18) rabalhando-se recursivamene aé o insane = 0, o valor da opção é deerminado empregando-se o mesmo raciocínio descrio aneriormene para os demais nós represenados pela árvore binomial. Cabe desacar que algumas variações dese modelo uilizam valores diferenes para os parâmeros u, d e q. Alguns exemplos são os modelos de Jarrrow e Rudd, Hull e Whie e rigeorgis. Nese rabalho, é imporane observar que os resulados obidos pela aplicação do modelo de Cox, Ross & Rubisein serão uilizados como benchmark para esar a eficiência de ouros méodos numéricos empregados para a solução do problema proposo. Na próxima seção o méodo de Gran, Vora & Weeks será descrio dealhadamene. 5.3. Méodo de Gran, Vora & Weeks (GVW) Em 1996, Gran, Vora & Weeks [56] propuseram um méodo capaz de avaliar um derivaivo americano empregando as écnicas de Programação Dinâmica e de imulação de Mone Carlo (MC). Aé enão, acrediava-se que não seria possível a uilização conjuna dessas écnicas, viso que a MC se caraceriza por movimenos forward, enquano que a Programação Dinâmica se
93 caraceriza por movimenos backward. A uilização conjuna dessas écnicas foi considerada um dos principais mérios do rabalho de Gran, Vora & Weeks (GVW). O princípio básico dese méodo consise em idenificar, para cada insane anerior ao vencimeno da opção, o preço críico do seu aivo objeo, ou seja, o preço no qual o invesidor é indiferene enre exercer ou não a opção naquele momeno. Uma vez conhecidos eses valores, argumena-se que o derivaivo americano pode ser avaliado da mesma forma que um derivaivo europeu, ou seja, calculando-se a média ariméica de valores previamene simulados. O conjuno de preços críicos definidos para uma opção de venda (PU) e para uma opção de compra (CALL) do ipo americana se enconram ilusrados na Figura 5.. Figura 5. Curvas de Gailho de uma Opção de Venda (Pu) e uma Opção de Compra (Call) do ipo Americana * Observando a Figura 5., noa-se que os preços críicos ( ) Fone: Froa (003), pg 47 definem um limie enre duas regiões: a região de exercício anecipado, onde exercer a opção é a decisão óima, e a região de coninuação, onde a melhor opção é esperar aé o próximo insane para omar uma nova decisão. A curva de indiferença enre essas regiões é denominada Froneira de Exercício Óimo, ou Curva de Gailho do derivaivo. Considere uma opção americana de compra que possa ser exercida em qualquer insane [ 0,]. Além disso, considere X o preço de exercício desa opção. egundo GVW, supondo que represene o preço do aivo objeo no
insane, o valor desa opção ( C ) pode ser deerminado segundo a equação 5.19 mosrada a seguir: (,X) max{ I, F } C = (5.19) 94 onde I { X, 0} = max (5.0) e [ C (,X)] r. F = e E (5.1) + + Esa equação é similar à equação 5.16 definida na seção anerior. Novamene, o primeiro ermo do operador de maximização represena o valor do exercício imediao da opção, enquano que o segundo ermo represena o seu valor de coninuação. Cabe desacar que para deerminar o valor de coninuação pelo méodo de GVW, é necessário o conhecimeno prévio de odos os preços críicos enre os insanes e o vencimeno da opção. Uma vez que o preço críico represena o preço para o qual o valor inrínseco do derivaivo é igual ao seu valor de coninuação, é possível definir uma condição de conorno para * [ C (,X)] * igualando-se as equações 5.0 e 5.1, ou seja: r. X = e E (5.) * + + A parir desa equação, conclui-se que o valor de * pode ser facilmene deerminado para a daa de vencimeno do derivaivo. Noe que, na mauridade, o valor de coninuação do derivaivo é igual a zero, pois não haverá oura oporunidade para o seu exercício. endo assim, a equação 5. pode ser reescria da seguine forma: * X = 0 (5.3) ou seja, * = X. Uma vez que a deerminação de * depende do conhecimeno prévio de odos os preços críicos nos insanes poseriores a, GVW propõem que a curva de gailho seja deerminada recursivamene, empregando-se a écnica de Programação Dinâmica.
95 O processo de oimização em início no insane anerior ao vencimeno da opção, ou seja, em. O porador da opção de compra pode exercê-la imediaamene ou maner a opção viva aé a sua mauridade. Empregando-se a equação 5.19, o valor da opção pode ser deerminado da seguine forma: r. C (,X) = max{ I,e E [ C (,X)]} * O preço críico ( ) é idenificado enconrando-se o valor de saisfaz a condição 5.. Assumindo que seja possível idenificar * que, a oimização coninua idenificando-se o valor de * condicional ao conhecimeno de * e *. Por esa lógica, o processo coninua aé a deerminação de * 0. egundo a condição 5., deerminar o valor de * implica em deerminar o valor de coninuação ( F ) associado ao insane, enreano, informações sobre preços fuuros ainda não são conhecidas nese insane. Gran, Vora & Weeks solucionam ese problema empregando a écnica de imulação de Mone Carlo. A MC é iniciada em, adoando-se como condição inicial * * =. Uma vez arbirado um valor inicial para *, valores de são simulados a fim de se deerminar o valor de coninuação da opção. Caso a * condição 5. não seja saisfeia, o valor de deve ser incremenado e a MC repeida. Esa roina deve ser realizada aé que a condição 5. seja aendida. O processo de solução coninua, recursivamene, ao longo da vida da opção. Uma vez deerminada a curva de gailho do derivaivo, deermina-se o valor da opção aravés de N simulações de Mone Carlo iniciadas em = 0. Para ano, é considerado um preço inicial para aivo objeo ( 0 ) dado pelo mercado. O exercício anecipado ocorre no primeiro insane em que o preço do aivo ulrapassa a curva de gailho. O valor final da opção é enão deerminado aravés da média dos valores obidos para cada rajeória simulada, ou seja, w w * ( X) 1 C > N r.τ 0 =. e. τ τ τ N w= 1 (5.4)
96 Nesa equação, τ represena o primeiro insane em que o preço simulado ulrapassa a curva de gailho. Caso isso não ocorra, enende-se que a decisão óima será não exercer a opção em momeno algum. Com o objeivo de consolidar o enendimeno do méodo de GVW, a seguir o algorimo é descrio passo a passo, de forma esquemáica e ilusraiva (Figura 5.3): Passo 1 - Discreizar a vida da opção em D pares iguais ( = / D). No vencimeno da opção, adoa-se * = X ; Passo - No insane, adoar um valor inicial para próximo ou * igual a *. Realizar a MC e, em seguida, calcular o valor de coninuação da opção aravés da equação 5.1. Passo 3 - Verificar se a condição 5. é saisfeia. Caso a condição seja saisfeia, deve-se iniciar o próximo passo. Caso conrário, o valor inicialmene adoado para * deve ser incremenado de passo é repeido aé que a condição 5. seja saisfeia., repeindo-se as MC. Ese Passo 4 - Repeir os passos e 3, recursivamene, para os demais insanes prévios ao vencimeno da opção. Passo 5: Uma vez deerminada a curva de gailho, novas MC devem ser realizadas a parir do preço de mercado do aivo objeo ( 0 ). Finalmene, calculase o valor da opção aravés da equação 5.4. Conforme mencionado aneriormene, a deerminação da curva de gailho para um derivaivo americano faz com que o mesmo possa ser avaliado como um derivaivo europeu. Apesar de simples e eficiene, o méodo de GVW fornece resulados basane sensíveis em relação a deerminados parâmeros, ais como o número de rajeórias simuladas ou o número de daas considerado para o exercício anecipado da opção. Em esudos específicos, Gran, Vora & Weeks [56] concluíram que 1000 rajeórias simuladas seriam suficienes para esimar um valor não endencioso para uma deerminada opção de venda. Para a mesma opção, resulados saisfaórios foram obidos quando a mauridade da opção, igual a 6 meses, foi dividida em um número maior do que 1 inervalos. Nese rabalho é realizada
97 uma análise de convergência do méodo de GVW quando aplicado ao problema proposo no Capíulo 6. Os resulados desa análise são apresenados na seção 7.. dese rabalho. Na próxima seção o Méodo dos Mínimos Quadrados, desenvolvido por Longsaff & chwarz, será descrio dealhadamene. 1 1 C = X C = X * * - N N C = X 1 L - Passo 1 - empo 1 L - Passo - empo - + - * - * - * - * 1 L - - empo Passo 3 Passo 4 1 L - - empo 0 * 1 L - Passo 5 - empo Figura 5.3 Represenação Esquemáica do Algorimo de GVW 5.3.3 Méodo dos Mínimos Quadrados (LM) Após analisar o méodo binomial e o méodo de GVW, noa-se que a decisão de exercer anecipadamene uma opção americana se baseia, principalmene, na comparação enre o valor inrínseco e o valor de coninuação do derivaivo. Conforme descrio nas seções 5.3.1 e 5.3., deerminar o valor inrínseco de uma opção pode ser considerado uma arefa pouco complexa,
98 enreano, uma boa esimaiva do valor de coninuação é mais difícil de ser obida. O méodo binomial considera que o preço do aivo objeo esá sujeio a apenas dois ipos de variações, o que simplifica significaivamene a deerminação do valor de coninuação (vide equação 5.18). Apesar de simples, argumena-se que ese méodo não é flexível quano à uilização de diferenes processos esocásicos. Méodos numéricos que uilizam a MC são considerados mais flexíveis quando comparados ao méodo Binomial, porém, a conraparida é a maior dificuldade em se deerminar o valor de coninuação da opção. Por exemplo, aplicando o méodo de GVW, ese processo demanda a realização de um grande número de MC, o que faz com que a sua principal desvanagem seja o alo cuso compuacional. Nese senido, Longsaff & chwarz [57] propuseram uma meodologia que reduz o cuso compuacional dos méodos de simulação. Comparando com o méodo de GVW, a principal diferença reside no cálculo do valor de coninuação. Enquano GVW esimam ese valor por meio de simulações, Longsaff & chwarz propõem que sejam realizadas regressões uilizando informações crosssecional sobre o preço do aivo financeiro. Ese méodo é denominado Leas quare Mone Carlo (Méodo dos Mínimos Quadrados), ou, simplesmene, LM. O primeiro passo do méodo LM consise em definir um número finio de daas onde é possível o exercício anecipado da opção. Desa forma, considerando o vencimeno do derivaivo, assume-se que a vida da opção pode ser dividida em D inervalos iguais de amanho = / D. Uma vez simuladas N rajeórias para o preço do aivo objeo, Longsaff & chwarz consideram que o valor de coninuação pode ser inicialmene definido por meio da seguine equação: ( ) r j F ( w, ) = E Q e.v( w, j,,) / I (5.5) j = + onde represena um insane qualquer denro do inervalo [ 0, ], w represena uma das rajeórias simuladas, Q represena uma medida de probabilidade neura ao risco e I represena o conjuno de informações disponíveis em. Ainda na
equação 5.5, ressala-se que ( w,,,) 99 V j represena o fluxo de caixa gerado pelo exercício da opção em qualquer insane j >. Uma vez que as opções americanas podem ser exercidas apenas uma vez em cada rajeória w, cabe ressalar que, no máximo, exisirá um j al que ( w,,,) 0 V j >. Conforme mencionado aneriormene, Longsaff & chwarz supõem que o valor de coninuação ( ( w,) ) F pode ser melhor esimado por meio de regressões cross-secional sobre o preço do aivo financeiro. O algorimo se susena na idéia de que F ( w,) pode ser represenado por meio de uma combinação linear de funções base ( B l ), cujas consanes são deerminadas aravés de uma regressão dos mínimos quadrados. Ese raciocínio é represenado pela equação 5.6, onde represena o preço do aivo objeo da opção e a l represena a consane associada a cada função base B l. = F(w, ) a l Bl() (5.6) l=0 Noe que a equação 5.6 considera infinios ermos para o cálculo de F ( w,), enreano, para fins práicos, essa consideração não é viável compuacionalmene. Nese caso, o valor de F ( w,) deve ser aproximado uilizando-se um número G < de funções base, ou seja: G F(w, ) F (w,) = a B () (5.7) G l= 0 l l A parir da equação 5.7 o méodo LM esima o valor de F G ( w,) regredindo os valores de coninuação inicialmene calculados em relação às funções base pré-definidas. Em um dado insane, al regressão é realizada considerando apenas às rajeórias em que a opção se enconra in-he-money 6, pois somene para esas rajeórias a decisão de exercício anecipado é relevane. egundo Church [58], definindo FˆG ( w,) como um esimador de ( w,) F G, o 6 Diz-se que uma opção se enconra in-he-money quando proporciona ao seu iular um fluxo de caixa posiivo caso seja exercida imediaamene [47].
100 mesmo pode ser considerado um esimador não endencioso, enreano, nada se pode afirmar sobre o viés de FˆG ( w,) em relação ao valor verdadeiro de ( w,) F. Uma vez esimado o valor de coninuação da opção, a decisão de exercê-la anecipadamene é omada comparando-se o seu valor inrínseco com o valor de coninuação esimado. Assim como no méodo Binomial e de GVW, o processo ieraivo do méodo LM é recursivo (backwards). O valor da opção ( C L ) é aproximado calculando-se a média ariméica da soma de odos os fluxos de caixa ( w,,,) V j onde o exercício da opção é óimo, ou seja: w = 1 = j (,0,) N 1 r. j C L = e V w, j (5.8) N Em resumo, o algorimo LM pode ser descrio da seguine forma: 1. Gera-se N rajeórias de preços correspondenes a um deerminado processo esocásico. Para cada insane e rajeória w simulada, os preços da ação devem ser represenados por meio da seguine mariz: 1 = M N ( ) 1 ( ) L 1 ( ) ( ) ( ) L ( ) M L N N ( ) ( ) L ( ) N x D M onde w () represena o elemeno dessa mariz correspondene a rajeória w e ao insane.. Na daa de vencimeno, o valor inrínseco da opção deve ser calculado empregando-se a seguine equação: I w w { ( ) - X, 0} w = 1,, 3, L, N = max (5.9) 3. Considerando Θ NxD a mariz de esraégias óimas para o exercício da opção, deve-se associar o valor 1 às rajeórias onde I w foi maior do que zero. Caso conrário, o valor associado deve ser nulo. 4. No insane =, deve-se calcular o valor de coninuação inicial para a opção empregando-se a equação 5.5, ou seja:
101 F ( w,) = EQ e j = + r ( j ).V( w,,,)/ I w = 1,, 3, L, N j O somaório definido nesa equação deve ser realizado aé o insane em que é óimo o exercício da opção. Poseriormene, os valores de F ( w,) são uilizados para definir o veor opção se enconra in-he-money. Y = F M F ( ) (, ) F 1, ( M, ) 5. Considerando ( ) n coninuação da opção, ou seja: G Y, onde M represena o número de rajeórias em que a f = a função base com a qual se deermina o valor de w w ( w,) a + a. ( ) + a. ( ) 0 1 w ( ) + a ( () ) G Fˆ = L + (5.30) os coeficienes 0 1 G G a, a, a, L, a podem ser esimados regredindo-se os ermos de FˆG ( w,) sobre os valores do veor Y pré-deerminados, ou seja: Y = F M F ( ) (, ) F 1, ( M, ) e X 1 1 = 1 M 1 ( ) L 1 G ( () ) ( ) L ( () ) () 1 () () () M G ( ) ( () ) M L M () () G a L 0, a1, a,, a G 6. Em seguida, o valor da opção deve ser calculado empregando-se a equação 5.31 mosrada abaixo: C w w { I, Fˆ ( w,) } w = 1,, 3, L, N = max (5.31) G onde ( w, ) FˆG represena o valor de coninuação da opção, o qual é deerminado pela equação 5.30. 7. Para cada rajeória w onde o exercício da opção é óimo, ou seja, onde w I > Fˆ G ( w,), o elemeno correspondene da mariz de esraégias óimas ( Θ NxD ) deve ser preenchido com o valor 1. Caso conrário, o valor associado deve ser nulo. Cabe ressalar que em cada rajeória simulada, deverá exisir
10 apenas um elemeno da mariz Θ NxD com valor 1, uma vez que a opção só poderá ser exercida uma vez em cada rajeória. Além disso, noe que a mariz Θ deermina quais elemenos serão empregados no cálculo de ( w,) NxD conforme descrio no iem 3, ou seja: V w ( w,,,) Θ.( ( ) X) onde da mariz j w j j j > e F, = (5.3) Θ NxD. Θ w represena o elemeno correspondene a linha w e a coluna j j 8. Repee-se os passos 4, 5, 6 e 7, recursivamene aé o insane =, preenchendo odos os elemenos da mariz Θ NxD. 9. O valor da opção Americana deve ser esimado aravés da equação 5.8: C L = 1 N N e w = 1 = onde ( w,,0,) j r. j (,0, ).V w, j V j é calculado segundo a equação 5.3. De acordo com o apresenado nesa seção, para que uma opção financeira possa ser devidamene avaliada, é necessário represenar adequadamene a dinâmica do seu aivo objeo ao longo do empo. Durane as úlimas décadas, diversos processos esocásicos êm sido desenvolvidos com esa finalidade, denre os quais o Movimeno Geomérico Browniano (MGB) merece lugar de desaque 7. Na próxima seção uma pequena discussão sobre processos esocásicos será iniciada. O objeivo é apresenar os principais conceios que noreiam a definição dos processos uilizados nese rabalho para modelar o comporameno do preço das RCEs. Cabe ressalar que dois processos esocásicos serão empregados com 7 No início da década de 1970, Fischer Black e Myron choles derivaram uma equação diferencial que deve ser saisfeia pelo preço de qualquer derivaivo financeiro dependene de uma ação que não paga dividendos. Em seu rabalho, Black & choles consideram que o MGB seria adequado para modelar o preço da ação [49].
103 esa finalidade: o MGB e o movimeno de difusão com salos. Ambos os processos ambém serão discuidos na próxima seção. 5.4 Processos Esocásicos egundo Dixi & Pindyck [35], um processo esocásico pode ser definido como uma variável que se desenvolve ao longo do empo de maneira aleaória e imprevisível. Como exemplo, uma vez que as suas realizações são aleaórias, a série emporal de preços de um aivo financeiro pode ser caracerizada como a realização de um processo esocásico. Denre os processos esocásicos mais conhecidos, desaca-se o processo de Markov [47]. Ese é um ipo específico de processo esocásico, no qual apenas o valor correne de uma variável é relevane para se prever o seu valor fuuro. Em ouras palavras, considera-se que o hisórico da variável esá oalmene conido no valor presene da mesma. egundo Hull [47], a propriedade de Markov para o preço das ações é consisene com a forma fraca de eficiência de mercado, que, por sua vez, deermina que o preço aual de uma ação encerra odas as informações conidas em sua série hisórica. e esa afirmação não fosse verdadeira, analisas écnicos poderiam ober reornos acima da média simplesmene inerpreando gráficos de preços hisóricos, o que é pouco provável de ocorrer. Um dos processos de Markov mais conhecidos é o processo de Wiener, ambém denominado movimeno browniano. Considerando dz a mudança no valor de uma variável z durane um inervalo de empo infiniesimal d, diz-se que z segue um processo de Wiener se as seguines propriedades são saisfeias: 1. dz = ε d, onde ε é uma variável aleaória com disribuição normal padronizada, ou seja, ε ~ N( 0,1) ; e. os valores de dz são independenes para quaisquer dois inervalos de empo disinos de amanho d. A parir da primeira propriedade, conclui-se que dz possui disribuição normal com média zero e variância d, ou seja, a variância das mudanças no valor
104 de z é proporcional à exensão do inervalo de empo considerado. Além disso, a segunda propriedade indica que a variável z segue o processo de Markov. Noe que o processo de Wiener não considera qualquer endência para os valores fuuros de z, ou seja, o valor esperado do processo é sempre igual ao seu valor aual. Enreano, nem sempre esa será uma realidade no mercado financeiro. Por exemplo, se o valor de uma ação esiver correlacionado ao crescimeno econômico de um deerminado país, os movimenos desa ação poderão exibir uma endência ao longo do empo. endo assim, o processo de Wiener pode ser generalizado de modo a considerar uma endência na rajeória do aivo. Maemaicamene, a variação de uma variável que segue o processo generalizado de Wiener pode ser represenada pela seguine equação diferencial: d = α.d + b.dz (5.33) onde α represena a axa de reorno esperada, e b a axa de variância dese processo. egundo Hull [47], é enador sugerir que o preço de um aivo financeiro siga um processo generalizado de Wiener. Enreano, ao analisar o comporameno desses aivos, deve-se levar em cona que o reorno esperado percenual exigido pelos invesidores é independene do seu preço aual. Iso significa que se o invesidor exigir uma axa de reorno igual a 15% ao ano quando o preço do aivo esiver em $10, a mesma axa de reorno será exigida quando o preço do aivo esiver em $50. Analogamene, ambém é razoável supor que a variância do reorno percenual seja independene do preço do aivo financeiro. Baseado nesas caracerísicas, um novo ipo de processo esocásico pode ser definido. Para ano, considera-se que a sua axa de variância e de reorno esperada esão sujeias a variações com o empo, ou seja, (, ).d b(, ).dz d = α + (5.34) Ese ipo de processo esocásico é denominado Processo de Iô. Um caso paricular do processo de Iô, onde α (, ) = µ. e (, ) σ. b =, é denominado
105 Movimeno Geomérico Browniano. Na próxima seção serão discuidas as principais caracerísicas do MGB. 5.4.1 Movimeno Geomérico Browniano Maemaicamene, a variação no preço de um aivo financeiro que segue um MGB pode ser definida a parir da seguine equação diferencial esocásica: d = µ..d + σ..dz (5.35) onde represena o preço do aivo, µ represena a sua axa de reorno esperada, σ represena a volailidade do preço do aivo, e dz represena o processo de Wiener. Conforme discuido na seção anerior, ese processo considera que o reorno efeivo do aivo é proporcional ao valor de. O mesmo raciocínio é válido para a variância dese processo. egundo Dias [41], o Movimeno Geomérico Browniano é o processo esocásico mais empregado nas análises econômicas e financeiras da aualidade. Adicionalmene, Meron [59] argumena que ese processo consegue represenar de forma adequada as alerações marginais no preço dos aivos financeiros, as quais podem ser causadas por um desequilíbrio emporário enre a sua ofera e demanda, por mudanças na axa de juros, ou simplesmene pela chegada de novas informações sobre o aivo. Uma vez que nese rabalho o MGB será uilizado para modelar o movimeno dos preços das RCEs, a equação de simulação dese processo deve ser enconrada. ob a hipóese do MGB, noe que a variável esocásica possui disribuição lognormal em qualquer insane fuuro. endo assim, supondo um derivaivo cujo valor seja igual ao logarimo do preço do seu aivo objeo, ou seja: (, ) ln G = (5.36) é possível deerminar a dinâmica do valor de G realizando uma expansão de aylor sobre a equação 5.36. Logo: G G 1 G G 1 G dg = d + d + d + d.d + d +L (5.37).
106 ubsiuindo a equação 5.35 em 5.37, conclui-se que: G G G 1 G G dg = µ..d + σ..dz + d + µ..d + µ.σ.d.dz + 1 G G G 1 G σ..dz + µ..d + σ..dz.d + d +L (5.38).. abendo que resulados podem ser obidos: dz = ε d e considerando que d n = 0 n > 1, os seguines 3 dz.d = ε.d 0 e dz = ε.d Uma vez que a variância de conclui-se que dz é nula, pois Var( dz ) d Var( ε ) 0 dz não é uma variável aleaória. Uma vez que ~ N( 0,1) E () ε = 0, pode-se deduzir que: Var () ε = E( ε ) [ E() ε ] = 1 E( ε ) = 1 Conclui-se enão que pode ser significaivamene simplificado para: =, ε e que dz = d. endo assim, o resulado da equação 5.38 G G 1 G G dg = µ. + + σ. d + σ..dz (5.39) Uma vez que (,) ln seguine forma: d 1 G =, a equação 5.39 pode ser desenvolvida da 1 1 ( ln ) = µ. + 0 + σ. d + σ..dz σ d ( ln ) = µ d + σ.dz (5.40) Inegrando-se ambos os lados da equação 5.40, deduz-se que: 1 σ d + 0 0 ( ln ) µ d = 0 σ.dz
107 ln ln 0 σ = µ d + 0 σ 0 dz ln + 0 σ = µ. σ.z 0 σ exp µ. + σ.z = σ = 0.exp µ. + σ.z (5.41) Noe que a equação 5.41 permie que o valor de uma variável modelada pelo MGB seja simulado aravés do soreio da variável z. Adicionalmene, a Figura 5.4 ilusra a disribuição dos preços desa variável ao longo do empo. Para qualquer insane, noe que a disribuição dos preços do aivo simulado é lognormal. Além disso, cabe ressalar que a média deses preços cresce exponencialmene com o empo, enquano que a variância do processo é ilimiada, ou seja, à medida que o inervalo de empo ende ao infinio, a variância do processo ambém ende na mesma direção. Figura 5.4 Movimeno Geomérico Browniano egundo Dias [4], para a avaliação de opções e derivaivos em geral, é mais comum uilizar a versão neura ao risco do processo descrio pela equação 5.35.
108 Nese caso, a axa de reorno esperada do aivo deve ser represenada pela axa de juros livre de risco, ou seja: d = r..d + σ..dz (5.4) Além disso, para os aivos financeiros que pagam uma axa conínua de dividendos ( δ ), a axa de reorno esperada do processo deve ser subraída de δ. Iso ocorre porque a valorização do aivo financeiro represena apenas uma pare do reorno oal esperado pelo invesidor (vide [35], [60] ou [61]). Esa siuação é represenada pela equação 5.43, a qual considera o MGB neuro ao risco. ( r δ)..d σ..dz d = + (5.43) Na próxima seção o movimeno de difusão com salos, o qual represena uma adapação do Movimeno Geomérico Browniano, será descrio dealhadamene. 5.4. Movimeno de Difusão com alos Durane as úlimas décadas o mundo financeiro foi palco de diversas crises, desacando-se a crise do sisema moneário europeu (199), a crise mexicana (1994-1995), a crise asiáica (1997-1998), a crise russa (1998), a crise brasileira (1999), e, por fim, a recene crise na Argenina (001). Nesa realidade, observase que os reornos de ações, íulos e moedas ficam sujeios a variações significaivas de valor em um curo espaço de empo. No mercado de commodiies essa realidade não é disina. Após a ª Guerra Mundial, seis crises do Peróleo ocorreram devido ao desequilíbrio enre a sua ofera e a sua demanda global. Por exemplo, durane a Guerra do Yon-Kippur, em 1973, o preço do barril subiu de U$,9 para U$ 11,65. Da mesma forma, durane a revolução Xiia, em 1981, o preço do barril subiu de U$ 13,00 para U$ 34,00. Apesar de não exisir um consenso se as RCEs devem ou não serem consideradas commodiies, sabe-se que as esimaivas do seu preço êm uma ala aleaoriedade embuida devido às incerezas exisenes sobre a sua ofera e demanda fuura [8]. Recenemene, enre os dias 4 de abril e 1 de maio de 006, a consaação de que as permissões de poluição (European Union Allowances)
109 haviam sido enregues em excesso às empresas européias fez com que o preço desses aivos caísse de 9,43 euros/co e para 10,14 euros/co e. endo em visa que o valor dos aivos financeiros pode apresenar salos discreos e aleaórios em função da chegada de novas informações, diversos esudos empíricos foram realizados com o objeivo de verificar se o modelo esocásico de difusão, baseado somene no movimeno browniano, é capaz de represenar adequadamene o seu comporameno [6]. egundo Lucas & Klaasen [63], uma grande desvanagem do movimeno browniano é supor que os reornos possuem disribuição normal, pois, devido ao decaimeno exponencial das suas caudas, a probabilidade de que grandes crises financeiras venham a aconecer orna-se muio pequena. Além disso, a suposição de reornos normalmene disribuídos é conradia empiricamene, mosrando-se que a disribuição de reornos apresena comporameno lepocúrico, ou seja, com curose maior do que rês e, conseqüenemene, caudas mais largas do que as da disribuição normal. Em sua ese de Douorado, Herencia [64] esudou o comporameno de duas séries financeiras: os preços de fechameno das ações da empresa ELEBRÁ PN, em Dólar nore-americano 8, e a coação do Marco Alemão no mercado fuuro, ambém em relação ao Dólar nore-americano 9. Em ambos os casos o esudo concluiu que as disribuições são lepocúricas. Mandelbro [65] e Fama [66][67], ao esudarem a série de preços de algodão e de ações de empresas nore-americanas, concluíram que a cauda da disribuição dos reornos eram exremamene pesadas, parecidas à da disribuição de Cauchy. egundo Herencia [64], cauda pesada é uma caracerísica presene em quase oda série financeira. Isso significa que os reornos exremos podem ocorrer de uma maneira muio mais freqüene do que os previsos por uma disribuição normal. Enfim, a inadequabilidade do modelo esocásico de difusão padrão em 8 Esa série é composa por 1599 valores, coleados no período de 3 de Janeiro de 1989 aé 17 de Julho de 1995. 9 Esa série é composa por 1767 valores, coleados no período de 3 de Janeiro de 1984 aé 31 de Dezembro de 1990.