TP05-PESQUISA OPERACIONAL I Método Simple Prof. Volmir Wilhelm Curitib, Prá, Brsil
Limitções d progrmção lier m (mi) s. Z m, m,, 0 m b b m. Coefiietes osttes. Divisibilidde 3. Proporiolidde 4. Aditividde 5. Prâmetros osttes/preisos (sem iertezs) Prof. Volmir - UFPR - TP05
Prévi de um lgoritmo de otimizção SIMPLEX. Obter um solução bási iiil mis trivil e mis fáil. Verifir se solução tul é ótim 3. Se solução tul ão for ótim, prourr outr solução bási 4. Voltr o psso Questões ) Como hr solução iiil? b) Que ritério usr pr gerr um ov solução bási? ) Como posso sber se solução tul é ótim? Prof. Volmir - UFPR - TP05 3
Formto Gerl Formto dos PL s Form Côi Form Pdrão 0,,.,. m (mi) m m m m.. b b s Z 0,,.,. (mi) m l l l l k k k k.. b b b s Z 0,,.,. m (mi) m m m m.. b b s Z 4
Form Pdrão Qudo s restrições de um modelo de Progrmção Lier são presetds form de equções diz-se que esse modelo está form pdrão. mimizr Z= + + + N N (miimizr) sujeito + + + N N = b + + + N N = b M + M + + M N N = b M,,, j,, N 0 www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps 5
Redução à Form Pdrão I. Qulquer problem de mimizção pode overter-se um problem de miimizção, pois: mi Z = -m (-Z) www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps 6
Redução à Form Pdrão II.Qulquer restrição de desiguldde de tipo pode ser overtid um restrição do tipo multiplido por (-) mbos os seus membros. i + i + + i N N b i - i - i - - i N N - b i www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps 7
Redução à Form Pdrão III. Qulquer restrição de iguldde pode ser overtid em dus restrições de desigulddes equivletes àquel. i + + i N N = b i i + + i N N b i i + + i N N b i i + + i N N b i - i - - i N N - b i www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps 8
Redução à Form Pdrão O primeiro psso pr resolução de um problem de PL osiste su redução à Form Pdrão. Pr isto é preiso overter s restrições de desiguldde em restrições equivletes de iguldde. um restrição de desiguldde de tipo pode ser overtid um restrição de iguldde diiodo um ov vriável ão egtiv (vriável de folg) N+ : i + + i N N b i i + + i N N + N+ = b i N+ 0 Form Gerl t t F b b F 0 www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps 9
Redução à Form Pdrão um restrição de desiguldde de tipo pode ser overtid um restrição de iguldde subtrido um ov vriável ão egtiv (vriável de eesso ou de folg) N+ : i + + i N N b i i + + i N N - N+ = b i N+ 0 Form Gerl t t S b b S 0 www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps 0
Redução à Form Pdrão Eemplo m Z= 3 + 5 s Form Côi 4 3 + 8, 0 m Z= 3 + 5 s Form Pdrão + 3 = 4 3 + + 4 = - 5 = 8,, 3, 4, 5 0 As vriáveis de folg (e eesso) têm oefiietes ulos fução objetivo www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps
Redução à Form Pdrão Eemplo IV. Qulquer vriável egtiv j, deve ser substituid por um vriável ão egtiv j =- j, j ' 0, fzedo: j = - j Form Côi m Z= 3 + 5 Form Pdrão m Z= -3 + 5 s 4 3 + 8 s - + 3 = 4 + 4 = -3 + - 5 = 8 0, 0 ',, 3, 4, 5 0 www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps
Redução à Form Pdrão V. Qulquer vriável livre j, (ão restrigid pel odição de ão egtividde) pode ser substituid por um pr de vriáveis ão egtivs j ' 0 e j '' 0, fzedo: j = j ' j '' e deste modo formuldo de ovo o problem em fução dests dus ovs vriáveis. Após substituir j por j ' j '', delet-se vriável j do problem. www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps 3
Redução à Form Pdrão Eemplo 3 m Z= 3 + 5 s Form Côi 4 3 + 8 livre, 0 m Z= 3( - ) + 5 s Form Pdrão ( - '' ) + 3 = 4 + 4 = 3( - '' )+ - 5 = 8 ', '',, 3, 4, 5 0 www.mt.u.pt/io/doumetos/aettos/cpituloii_.pps 4
Método Simple 5
Método Simple Teorem: Se fução objetivo possui um máimo (míimo) fiito, etão pelo meos um solução ótim é um poto etremo do ojuto ds soluções (viáveis). Emie um seqüêi de soluções básis viáveis om o umeto dos vlores d fução objetivo té que um solução idel sej tigid ou sej provdo que o PL é ilimitdo. (G. Dtzig, 947). Prof. Volmir - UFPR - TP05 6
Método Simple m (mi) s. Z m, m,, 0 m b b m Pr ser iiido, o método simple eessit oheer um solução bási viável (solução iiil). Se solução tul ão é ótim, etão o simple mud do poto etremo tul o poto etremo djete. Este proesso otiu té que solução sej ótim. Prof. Volmir - UFPR - TP05 7
Método Simple Psso 0: Ahr um solução viável bási iiil. Psso : Verifir se solução tul é ótim. Se for, pre. Psso : Determir vriável ão-bási que deve etrr bse. Psso 3: Determir vriável bási que deve sir d bse. Psso 4: Ahr ov solução viável bási, e voltr o Psso Prof. Volmir - UFPR - TP05 8
Método Simple Iíio Determir um solução viável bási Solução ótim? Fim Determie um solução viável melhor Prof. Volmir - UFPR - TP05 9
Método Simple Téis Algébri Simple por Qudros Simple Revisdo Prof. Volmir - UFPR - TP05 0
Eemplo de uso do Simple por Qudros 0, 3 6 6 4 3 m s Z 0,,, 3 6 6 4 3 m 4 3 4 3 s Z otiu Prof. Volmir - UFPR - TP05
Eemplo de uso do Simple por Qudros otiução Bse 3 4 b Z - - 0 0 0 3 3 4 0 6 4 6 0 3 Teste do Bloqueio: 0, mi js js j j RS R b b 0 0 B 0 0 B Bse 3 4 b Z 0 -/3 0 /3 3 0 7/ -/ 9/ /6 0 /6 / 6 0 3 B 6 0 B Bse 3 4 b Z 0 0 4/ 5/ 3/7 0 /7 -/7 9/7 0 -/ 4/ /7 6 3 4 B 4 7 7 B 0,0, 7 9, 7,,, 4 * 3 * * * 7 * 3 Z Prof. Volmir - UFPR - TP05
Simple sos espeiis pl miimizção Problems de miimizção (bst multiplir Fução Objetivo por -) mi Z s., 3 40 60 0 m Z s., 3 40 60 0 Solução: 0,0, Bse 3 4 b -Z - 0 3 40 4 3 60 Bse 3 4 b -Z 5/3 /3 40 3 5/3 -/3 0 /3 /3 0 Prof. Volmir - UFPR - TP05 3
Simple sos espeiis Solução Úi Problem om úi solução (qudo o qudro ótimo j > 0, pr tod vriável j ão bási) m Z s., 3 40 60 0 Solução úi,6, Bse 3 4 b Z - - 0 3 40 4 3 /3 60 Bse 3 4 b Z -/3 /3 40 3 5/3 -/3 0 /3 /3 0 Bse 3 4 b Z /5 3/5 44 3/5 -/5 -/5 /5 6 Prof. Volmir - UFPR - TP05 4
Simple sos espeiis Soluções Múltipls Soluções Múltipls (qudo o qudro ótimo lgum j = 0, pr j ão bási) m Z s., 3 3 40 60 0, 0,0 Soluções múltipls,,6 Bse 3 4 b Z - -3 0 3 40 3 60 Bse 3 4 b Z 0 60 3 5/3 -/3 0 /3 /3 0 Solução bási viável ótim lçd é VNB om oefiiete ulo fução o objetivo ( =0) Colodo bse pr determir outr solução ótim Bse 3 4 b Z 60 3/5 -/5 -/5 /5 6 Outr solução bási viável ótim. Observe que o vlor d fução objetivo ão mudou. Prof. Volmir - UFPR - TP05 5
Simple sos espeiis Solução Ilimitd Solução Ifiit Solução Ilimitd (qudo solução id ão é ótim porém ão há vriável didt pr sir d bse) m Z s. 3, 3 40 60 0 Solução ilimitd Bse 3 4 b Z - - 0 3 -/3 40 4-3 60 Bse 3 4 b Z -5/3 /3 40 3 0 -/3 0 -/3 /3 0 Prof. Volmir - UFPR - TP05 6
Simple sos espeiis Empte Etrd Empte Etrd (esolh qulquer vriável pr etrr bse) m Z s. 3 40 60, 0 A) etr bse Bse 3 4 b Z - - 0 3 40 4 3 60 Bse 3 4 b Z 4/5 /5 56 3/5 -/5 -/5 /5 6 Solução:,6, Bse 3 4 b Z - 0 40 / / 0 4 5/ -/ 40 B) etr bse Bse 3 4 b Z - - 0 3 40 4 3 60 Bse 3 4 b Z -4/3 /3 40 5/3 -/3 0 4 /3 /3 0 Bse 3 4 b Z 4/5 /5 56 3/5 -/5 -/5 /5 6 Prof. Volmir - UFPR - TP05 7
Simple sos espeiis Degeerção Empte Síd Degeerção (qudo um vriável etr bse om vlor ulo) m Z s. 3 40 60, 0 A) 3 si d bse Bse 3 4 b Z - - 0 3 40 4 3 60 Solução: 0,0, Bse 3 4 b Z 0 0 40 / 0 4 - -3/ 0 B) 4 si d bse Bse 3 4 b Z - - 0 3 40 4 3 60 Bse 3 4 b Z -/3 0 /3 40 3 4/3 -/3 0 /3 /3 0 Bse 3 4 b Z /4 / 40 3/4 -/ 0 -/4 ½ 0 Prof. Volmir - UFPR - TP05 8