List 5: Geometri Anlític A. Rmos 8 de junho de 017 Resumo List em constnte tulizção. 1. Equção d elipse;. Equção d hiperból. 3. Estudo unificdo ds cônics não degenerds. Elipse Ddo dois pontos F 1 e F no plno, e dois números positivos e c ( > c) com dist(f 1, F ) = c. A elipse é definid como o seguinte conjunto E := {P R : dist(p, F 1 ) + dist(p, F ) = }. Os pontos F 1 e F são chmdos de focos. Defin b := c. Observe que por definição de b, temos que = b + c. O número e := c é chmdo de excentricidde d elipse. 1. eixo focl (eixo trnsverso): ret que contem os focos F 1 e F ;. vértices: Interseção do eixo focl com elipse. A interseção é dd por dois pontos, denotdo V 1 e V ;; 3. centro : Ponto meio do segmento F 1 F ; 4. eixo norml (eixo conjugdo): ret perperndiculr o eixo focl que pss pelo centro; 5. cord: qulquer segmento de une dois pontos diferentes d elipse; 6. cord focl: cord que pss por lgum foco; 7. ldo reto : cord focl prlel à ret norml; 8. rio vetor: segmento de ret que une lgum foco com lgum ponto d prábol; 9. diámetro: cord que psss pelo centro. 10. eixo mior: segmento V 1 V. Observe que o eixo mior tem comprimento ; 11. eixo menor: segmeto definido pel interseção d elipse com ret norml. Note que o eixo menor tem medid b ; 1. rets diretrizes: rets prlels à ret norml cuj distânci o centro C é /e. Deprtment of Mthemtics, Federl University of Prná, PR, Brzil. Emil: lbertormos@ufpr.br. 1
Observe que dist(v 1, V ) = ( eixo mior d elipse ), dist(f 1, F ) = c ( distânci focl ). Remrk 1: Note que elipse é simetric em relção o eixo focl e tmbém o eixo norml. Remrk : Vej construção geometric d elipse n internet, por exemplo, https://www.youtube.com/ wtch?v=ryv-ubwdb8y. Usndo um sistem de coordends elipse E pode ser escrit com um ds seguintes forms. Form cnônic (tmbém chmd de form reduzid) x + y b = 1 ou x b + y = 1, onde o centro C = (0, 0) e o eixo focl é prlelo lgum dos eixos cnônicos. Desenhe mbs elipse explicitndo o segmento que tem comprimento e/ou b. (x h) b Qundo o centro C = (h, k) e o eixo focl é prlelo lgum dos eixos cnônicos, (x h) + (y k) = 1, + (y k) b = 1 ou Form gerl sem rotção x + y + Dy + Ex + F = 0. onde o eixo focl é prlelo lgum dos eixos cnônicos. Form gerl mesmo Ax + Bxy + Cy + Dy + Ex + F = 0 se B 4AC < 0. Rets tngentes pr Elipse. Em qulquer ponto sobre elipse podemos clculr rets tngentes e rets normis. Qundo x + y b = 1. A ret tngente à E no ponto P = (x 0, y 0 ) E é dd por r : ( x0 )x + ( y0 b )y = 1. Qundo x b + y Com esss informções respond: = 1. A ret tngente à E no ponto P = (x 0, y 0 ) E é dd por r : ( x0 b )x + ( y0 )y = 1. 1. Clcule os focos, vértices, medid do eixo mior e do eixo menor, esboce s elipses () x /9 + y /5 = 1 e 4x + 10y = 40 (b) 4x + 169y = 676 e 16x 4 + 4y = 0. Escreve equção reduzid d elipse nos seguintes csos: () Centro = (0, 0), eixo focl prlelo o eixo x, o eixo menor mede 6 e distânci focl é 8. (b) Os focos são (0, 6) e (0, 6) e o eixo mior mede 34 (c) Centro = (0, 0), um foco é (0, 40) e o ponto ( 5, 14/3) pertence à elipse. (d) Os focos são F 1 = (1, 1) e F = ( 1, 1) e stisfz dist(p, F 1 ) + dist(p, F ) = 4 3. Considere um elipse com foco F = (, 0) que pss por P = (, 3) e tem como ret diretriz é r : x + 8 = 0. Encontre excentricidde d elipse. Rpt: e = 1/. 4. Encontre equeção d elipse cujo focos e vértices coincidem com os focos e vértices ds prábols P 1 : y + 4x = 1 e P : y 4x = 1. Rpt: 5x + 9y = 45. 5. Se um elipse tem seu centro n origem, seus focos sobre o eixo x distânci entre s diretrizes é 1. Se P = (3, 5) pertence à elipse, encontre su equção reduzid. Rpt: Dus elipses, E 1 : 8x + 4y = 19 e E : 35x + 84y = 735. 6. Sej B 1 = (3, 5) e B = (3, 3) os extremos do eixo menor d elipse que tem uns dos vértices sobre ret 3x y + 7 = 0. Rpt: E : 16(x 3) + 5(y 1) = 400. 7. Considere equção d elipse em form reduzid. Mostre que se (x 0, y 0 ) está n elipse, os pontos (x 0, y 0 ), ( x 0, y 0 ) e ( x 0, y 0 ) tmbém pertencem à elipse. 8. Se distânci entre s diretrizes de um elipse é 18, e os focos são os pontos (1,5) e (1,3). Encontre equção d elipse. Rpt: 9(x 1) + 8(y 4) = 7.
9. Considere elipse b x + y = b, com foco F 1 = (c, 0), F = ( c, 0) e um ponto P = (x 0, y 0 ) d elipse. Mostre que o rio vetor P F 1 é igul ex 0 (i.e P F 1 = ex 0 ) e rio vetor P F é + ex 0 (i.e P F = + ex 0 ) 10. Encontre equção d cord focl d elipse 16x + 5y = 400, cujo comprimento é 8 uniddes e pss pelo foco com coordends positivs. Rpt: y ± (x 3) = 0. 11. Considere prábol P : x = 4y. Ache equção d elipse cujo centro é o vértice de P tl que o extremo do eixo menor é o foco d prábole e o eixo trnverso d elipse é prlelo à diretriz d prábol. Rpt: E : x + y = 3. Dic: Considere que cord é PQ, onde P e Q estão n elipse. (1) Encontre primeiro o foco F = (f 1, f ), () Escrev equção d ret que define cord PQ, tipo y f 1 = m(x f ), onde m é incognit, (3) Note que o comprimento do segmento PQ é igul à som dos segmentos PF e FQ, (4) Use o problem nterior pr clculr PF e FQ. 1. Encontre equção d elipse com centro (1, 3), com um foco em (0, 6) e interseção do eixo focl com um diretriz d elipse é (3, 3). Rpt: e = 1/, E : 19x 6xy + 11y 56x + 7y 64 = 0. 13. Sej E um elipse e P um ponto exterior à elipse (P / E). Encontre s rets tngentes d elipse que pssm por P, nos seguintes csos: () E : 9y + 4x = 7, P = (0, 4) Rpt: x + 3y 1 = 0, x 3y + 1 = 0; (b) E : x + 3y + x y = 5, P = (3, 1) Rpt: x + y =, 9x 191y = 18. (c) A ret r : x y 3 = 0 é tngente à elipse E : 9x + 16y = 144? Rpt: (i.e. cort elipse em dois pontos) (d) A ret r : x + y = 10 é tngente à elipse E : 4x + 9y = 36? Rpt: não, r é um ret secnte não, r não intercept elipse. 14. Sej E um elipse, com excentricidde 1/5 tl que r : x + y + 18 = 0 é diretriz ssocid o foco F = ( 4, 0). Ache equção d elipse ssim como tmbém equção d outr diretriz. Rpt: 11x 4xy + 14y + 488x 56y 14384 = 0 e diretriz x + y 1 = 0. 15. Sej E : x + 3y + 3x 4y = 3. Encontre os vlores de α R pr que s rets 5x + y + α sejm tngentes à elipse. Rpt: α = 7 e α = 58/3. 16. *Propriedde refletor d Elipse: Mostre que tngente d elipse num ponto T d elipse form ângulos iguis com os rios focis em dito ponto. Dic: Considere form reduzid d elipse e formul tn(α + β) = (tn(α) + tn(β))/(1 tn(α) tn(β)). 17. Sej E : 4x + 9y = 180. Do foco esquerdo d elipse si um rio de luz com um ângulo de inclinção α com tn(α) =, que bte n elipse no ponto P = (x 0, y 0 ) (y 0 > 0) e é refletido. Ache equção d ret que contem o rio refletido. Rpt: r : x + 11y 10 = 0. Hipérbole Ddo dois pontos F 1 e F no plno, e dois números positivos e c (c > ) com dist(f 1, F ) = c. A hipérbole é o conjunto H := {P R : dist(p, F 1 ) dist(p, F ) = }. Os pontos F 1 e F são chmdos de focos. Defin b := c. Por definição de b, temos que c = b + (perceb s diferençs com hipérbole). O número e := c é chmdo de excentricidde d hipérbole. Vej que pr hipérbole e > 1. 1. eixo focl (eixo trnsverso): ret que contem os focos F 1 e F ;. vértices: Interseção do eixo focl com hipérbole. A interseção são dois pontos denotdos por V 1 e V ; 3. centro : Ponto meio do segmento F 1 F ; 3
4. eixo norml (eixo conjugdo): ret perperndiculr o eixo focl que pss pelo centro; 5. cord: qulquer segmento de une dois pontos diferentes d hipérbole; 6. cord focl: cord que pss por lgum foco; 7. ldo reto : cord focl prlel o eixo norml; 8. rio vetor: segmento de ret que une lgum foco com lgum ponto d hipérbole; 9. eixo mior: segmento V 1 V. Observe que o eixo mior tem comprimento ; 10. eixo menor: segmento definido pel interseção d hipérbole com o eixo norml. O eixo menor tem medid b ; 11. rets diretrizes: rets prlels à ret norml cuj distânci o centro C é /e. 1. rectângulo fundmentl: rectângulo cujo centro é o centro d hipérbole, com ldos de comprimento e b e prlelos os eixo trnsveso e conjugdo respectivmente. 13. ssintots: rets que pssm por C, não interceptm à hipérbole ms tendem à hipérbole no infinito. Dits rets são defins pels digonis do rectângulo fundmentl. 14. rmo d hipérbole: cd um ds curvs que definem hipérbole. Observe que pr hipérbole dist(v 1, V ) = < dist(f 1, F ) = c. Remrk 1: Note que hipérbole é simetric em relção o eixo focl e o eixo norml. Remrk : Vej construção geometric d hipérbole n internet, por exemplo, https://www.youtube. com/wtch?v=etv_bwapoqu. Usndo um sistem de coordends hipérbole H pode ser escrit com um ds seguintes forms. Form cnônic (tmbém chmd de form reduzid). Nest cso, hipérbole é o lugr geometrico definido por x y b = 1 ( hipérbole horizontl) ou y x b = 1 ( hipérbole verticl), onde o centro C = (0, 0) e o eixo focl é prlelo lgum dos eixos cnônicos. Desenhe mbs hipérbole explicitndo o segmento que tem comprimento e/ou b. Lembre dist(v 1, V ) =. Remrk: Nesse cso s ssíntots podem ser fcilmente clculds. De fto: 1. Qundo H é um hipérbole horizontl, s ssíntots são s rets y = ± b x;. Qundo H é um hipérbole verticl, s ssíntots são s rets y = ± b x. Qundo o centro C = (h, k) e o eixo focl é prlelo lgum dos eixos cnônicos, temos que hipérbole pode ser descrit como (x h) (y k) b = 1 ou (y k) (x h) b = 1. Form gerl sem rotção Ax Cy + Dy + Ex + F = 0. onde o eixo focl é prlelo lgum dos eixos cnônicos. Form gerl mesmo Ax + Bxy + Cy + Dy + Ex + F = 0 se B 4AC > 0. Rets tngentes pr hipérbole. Em qulquer ponto sobre hipérbole podemos clculr rets tngentes e rets normis. Qundo x y b = 1. A ret tngente à H no ponto P = (x 0, y 0 ) H é dd por r : ( x0 )x ( y0 b )y = 1. Qundo y x b Com esss informções respond: = 1. A ret tngente à H no ponto P = (x 0, y 0 ) H é dd por r : ( y0 )y ( x0 b )x = 1. 1. Clcule os focos, vértices, s equções ds ssíntots. Esboce s hipérboles () 16x 5y = 400 e 9y 4y = 36 (b) x y + 1 = 0 e x 4y = 1 4
. Escreve equção reduzid d elipse nos seguintes csos: () Os focos são F 1 = (3, 1) e F = (3, 4) e stisfz dist(p, F 1 ) dist(p, F ) = 3; (b) Os focos são F 1 = ( 1, 1) e F = (1, 1) e stisfz dist(p, F 1 ) dist(p, F ) = 1; (c) Os vértices são (, 0) e (, 0) e os focos são (3, 0) e ( 3, 0); (d) Os vértices são (15, 0) e ( 15, 0) e s ssíntots são 5y 4x = 0 e 5y + 4x = 0. 3. Encontre equção d hipérbole cujos focos são (4, 0) e ( 4, 0), e o coeficiente ângulr dum ds ssíntots é 3. Rpt: H : 45x 5y = 7. 4. Sej um hipérbole com centro n origem, focos sobre o eixo x cuj distânci entre s diretrizes é 4 e pss por P = (4, 3). Rpt: H : 3x y = 30 5. Considere elipse E : 5x + 9y = 5. Se os focos dess elipse coincidem com os focos dum hipérbole de excentricidde 4/3. Escrev equção reduzid d hipérbole. Rpt: H : 7y 9x = 63. 6. Clcule àre do triângulo formdo por s ssíntots de hipérbole H : x 4y = 16 e ret r : 3x y + 1 = 0. Rpt: 9u 7. Encontre equção reduzid de um hipérbole se os focos são os pontos ( 10, 0) e (10, 0), e sus ssíntots são s rets r : y = ±x. Rpt: H : 4x y = 80. 8. Se s ssíntots dum hipérbole, que tem um foco em (3, ), são r 1 : 3x 4y 5 = 0 e r : 3x+4y+11 = 0. Encontre su excentricidde. Rpt: e = 5/4. 9. É possível construir um hipérbole com focos em (3, 4) e ( 1, ) tl que medid do eixo mior é. Cso firmtivo, escrev equção de dit hipérbole. Rpt: Sim, H : 3x +8y +1xy 18x 8y+11 = 0. Dic: Use definição d hipérbole. 10. Considere hipérbole b x y = b, com foco F 1 = (c, 0), F = ( c, 0) e um ponto P = (x 0, y 0 ) d hipérbole. Mostre que o rio vetor P F 1 é igul ex 0 (i.e P F 1 = ex 0 ) e rio vetor P F é + ex 0 (i.e P F = + ex 0 ) 11. Encontre s rets tngentes d hipérbole H : x 4y = 0 perpendiculres à ret r : 4x + 3y 7. Rpt: r 1 : 3x 4y + 10 = 0 e r : 3x + 4y 10 = 0. 1. Ache um ponto P d hipérbole H : 9x 1y = 16 mis próximo à ret r : 3x + y + 1 = 0. Clcule tmbém distânci entre P e ret r. Rpt: P = ( 6, 3) e distânci= 11/ 13. 13. Considere um hipérbole H com focos em (6, 1) e (0, 4) e pss por A = (0, 9). Ache s equções ds diretrizes. Rpt: D 1 : 6x + 3y 3 = 0 e D : 6x + 3y + = 0. 14. *Propriedde refletor d Hipérbole: Mostre que tngente d hipérbole num ponto T form ângulos iguis com os rios focis em dito ponto. Dic: Considere form reduzid d elipse e formul tn(α + β) = (tn(α) + tn(β))/(1 tn(α) tn(β)). 15. Encontre equção d hipérbole com centro n origem, que pss por P = (0, ) se o eixo focl é x y = 0 e um ssintot é o eixo x. Dic: Rpt: H : 3y + 4xy = 1. Estudo unificdo ds cônics não degenerds Usndo excentrecidde, é possível escrever tods s cônics não degenerds (menos cricunferênci) de form uniforme. De fto, temos o seguinte resultdo: 5
Theorem 0.1 Sej um ret fix D, chmd de diretriz e um ponto F fixo chmdo foco com F / D. Defin o seguinte lugr geometrico K := {P R : dist(p, F ) = e dist(p, D)}. (1) onde e > 0 é um constnte fix. Esse lugr geometrico K é chmdo de cônic. Dependendo do vlor de e temos s seguintes lterntivs: 1. Se e = 1, então K é um prábol;. Se e (0, 1), então K é um elipse; 3. Se e > 1, então K é um hipérbole. Reciprocmente, tod cônic não degenerd que não sej um circunferênci pode ser escrit como (1). Remrk: As seções cônics são curvs obtids o intercetr um plno com um cone. Vej, por exemplo: https://www.youtube.com/wtch?v=hozau3eppo. Respond s seguintes questões: 1. Sej K um cônic que pss por P = (, 3), com foco F = (, 3) e ret diretriz D : y + 1 = 0. Identifique cônic e encontre equção nlític que descreve. Rpt: K é um prábol cuj equção é x 4x 8y + 1 = 0.. Se temos um cônic cujo foco é ( 1, 4), cuj ret diretriz é x = e pss por P = ( 3, 5), identifique dit cônic e che su equção. Rpt: elipse, E : 4x + 5y + 14x + 40y + 81 = 0. 3. Considere um cônic cujo foco é (3, 1), cuj ret diretriz é x 3 = 0 e pss por P = (6, 55). Identifique cônic e che su equção. Rpt: hipérbole H : 11x 9y 6x 18y 45 = 0. 6