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1 MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

2 IESDE Brsil S.A. É proibid reprodução, mesmo prcil, por qulquer processo, sem utorizção por escrito dos utores e do detentor dos direitos utoris. I9 IESDE Brsil S.A. / Pré-vestibulr / IESDE Brsil S.A. Curitib : IESDE Brsil S.A., 009. [Livro do Professor] 660 p. ISBN: Pré-vestibulr.. Educção. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD Disciplins Língu Portugues Litertur Mtemátic Físic Químic Biologi Históri Geogrfi Produção Autores Frncis Mdeir d S. Sles Márcio F. Sntigo Clixto Rit de Fátim Bezerr Fábio D Ávil Dnton Pedro dos Sntos Feres Fres Hroldo Cost Silv Filho Jyme Andrde Neto Rento Clds Mdeir Rodrigo Pircicb Cost Cleber Ribeiro Mrco Antonio Noronh Vitor M. Squette Edson Cost P. d Cruz Fernnd Brbos Fernndo Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernndes Jefferson dos Sntos d Silv Mrcelo Piccinini Rfel F. de Menezes Rogério de Sous Gonçlves Vness Silv Durte A. R. Vieir Enilson F. Venâncio Felipe Silveir de Souz Fernndo Mousquer Projeto e Desenvolvimento Pedgógico

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5 Geometri Anlític no Plno: Elipse, Hipérbole e Prábol Elipse Ddos dois pontos fixos F 1 e F de um plno, tis que, F F 1 = c 0, chmmos elipse o lugr geométrico dos pontos desse plno, cuj som ds sus distâncis os dois pontos F e F 1 é constnte > c. Elementos d elipse (d ) (d 1 ) M N B 1 P I. Pontos principis: A,, B e B 1 vértices F e F 1 focos C centro II. Segmento: A eixo mior m(a ) = B B 1 eixo menor m(b B 1 ) = b F F 1 distânci focl m(f F 1 ) = c Os vetores de origem num dos focos e extremidde em qulquer ponto d elipse são chmdos rios vetores: F P,F 1 P etc. D definição, decorre: F M + F 1 M = F N + F 1 N = F A + F 1 A = F P + F 1 P =... = = F + F 1 = F + F A = m(a ) = III. Relções: e= c <1 Excentricidde F 1 =b +c EM_V_MAT_01 B Relção notável tird do triângulo retângulo B 1 CF 1 p= b Prâmetro. 1

6 Prâmetro de um cônic é semicord focl mínim. p= b IV. Rets Diretrizes d elipse são dus rets, (d 1 ) e (d ), perpendiculres o suporte do eixo mior, distndo e do centro d curv. Equções Equção espontâne ou nturl D definição tirmos: F P + F 1 P = I. Equção reduzid: Como u=d FP e v=d F1P, dedução é imedit: (x+c) +y + (x c) +y = x +cx+c +y = x cx+c +y x +cx+c +y =4 4 x cx+c +y +x cx+c +y x cx+c +y = cx x cx+ c + y = 4 cx+c x x c x + y = 4 c ( c )x + y = ( c ) b x + y = b Dividindo mbos os membros por b x y + = 1 b (x m) + (y n) =1 b e se C(m, n) e A prlelo o eixo y: (x m) + (y n) =1 b IV. Equção gerl: A equção gerl é obtid pelo desenvolvimento ds forms reduzids. Consideremos elipse: (x m) + (y n) =1 E 1 com E 1 E e mbos positivos. Desenvolvendo e ordenndo: E x + E 1 y E mx E 1 ny + E m + E 1 n E 1 E = 0 Hipérbole Um ds proprieddes ds hipérboles contece em óptic geométric. Um rio de luz que se proxim de um hipérbole, em direção um foco, se reflete pr for d mesm em direção o outro foco. Ddos pontos fixos F 1 e F de um plno, tis que, F F 1 = c 0, chmdo hipérbole o lugr geométrico dos pontos desse plno, cujo módulo d diferenç de sus distâncis os dois pontos F e F 1 é constnte < c. E Elementos d hipérbole As diretrizes terão, nesse cso, s equções: x=± e II. Se C = 0, porém, A y y, equção difere d inicil n colocção do e do b. Então, decorre: x + y b =1 III. Qundo elipse tem seu centro no ponto C(m, n) e A prlel o eixo x. EM_V_MAT_01

7 I. Pontos principis: e A vértices F e F 1 focos C centro II. Segmentos: A eixo rel ou trnsverso m(a ) = B B 1 eixo imginário ou não trnsverso m(b B 1 ) = b F F 1 distânci focl m(f F 1 ) = c j Os vetores de origem num dos focos e extremidde em qulquer ponto d hipérbole são chmdos rios vetores: F P, F 1 P etc. D definição de hipérbole, concluímos que: F Q F 1 Q = F P F 1 P =... = F A F = F F 1 = m(a ) = III. Relções: e = c > 1 (Excentricidde) c = + b (Relção notável tird do triângulo retângulo C M) p = b (Prâmetro) IV. Rets: Diretrizes são dus rets, (d 1 ) e (d ), perpendiculres o suporte do eixo rel, distndo e do centro d hipérbole. Assíntots são dus rets, ( 1 ) e ( ), que pssm pelo centro d hipérbole e posições limite ds tngentes el, qundo os pontos de contto se fstm indefinidmente. Equções Sej hipérbole de eixos rel A e imginário B B 1, referid num sistem x O y, de tl modo que seu centro C = 0 e A está contido em x x. Consideremos P(x, y) o ponto genérico d curv. Equção espontâne ou nturl I. Decorre d definição que: F P F 1 P = ou u v = equção espontâne. Equção reduzid: (x+c) +y (x c) +y = (x+c) +y = + (x c) +y x + cx + c + y = = 4 4 x cx + c + y +x cx + c + y 4cx 4 = 4 x cx + c + y cx = x cx + c + y c x cx + 4 = x cx + c + y c x x x y = c 4 (c ) x y = (c ) b x y = y Dividindo mbos os membros por b, temos: x y b = 1 Pr y = 0, temos: x =, bscisss dos vértices e A. Pr x = 0, temos: y = bi, o que signific que curv não é interceptd pelo eixo dos y. As equções ds diretrizes (d1) e (d) são EM_V_MAT_01 3

8 4 x =, pois são rets prlels o eixo y y. e As equções ds ssíntots, rets que pssm pelo centro e, neste cso C = 0, serão do tipo y = tg b. x y = x II. Se C = 0 e A A contido em y y, como n 1 elipse, equção d hipérbole ssumirá form: x y b + = 1 As diretrizes são, gor, prlels o eixo x x e sus equções: y = e e s ssíntots: y = b x III. Qundo hipérbole tem seu centro no ponto C (m, n) e A // x x Aplicndo trnslção de eixos x = x m e y = y n logo, (x m) (y n) = 1 b As equções ds diretrizes são x = m e ds ssíntons b y = n (x m) e C 0, com A //y y (x m) + (y n) = 1 b As equções ds diretrizes ssumem form y = n e s ds ssíntons y = n (x m) e b IV. Equção gerl: A equção gerl é obtid pelo desenvolvimento ds forms reduzids. Considermos hipérbole (x m) + (y n) = 1 E 1 E tendo E 1 e E sinis contrários. Se E 1 > 0 e E < 0, sbemos que E 1 = e E = b então, o eixo rel é horizontl. Se E 1 < 0 e E > 0, E = então, o eixo rel é verticl. Prábol A interseção de um plno com um cone dá origem às cônics. Neste módulo veremos um desss cônics, prábol. Elementos d prábol Prábol é o lugr geométrico dos pontos de um plno, situdos igul distânci de um ret fix (d) e de um ponto fixo F não pertencente (d), do plno considerdo. I. Pontos principis: F foco V vértice II. Segmentos: V F = p prâmetro (semicord focl mínim FP rio vetor III. Relção: IV. Relção notável VF = p Ret e eixo: A ret fix (d) é diretriz e e, eixo que pss pelo foco é perpendiculr à diretriz, eixo de simetri d prábol. D definição d prábol, concluímos que: FT = UT, FP = MP, FR = SR = p, FQ = NQ etc. EM_V_MAT_01

9 Equções Sej prábol de foco F e diretriz (d), referid num sistem x O y, de tl modo que V = 0, o eixo de simetri coincid com o eixo x. Sej P(x, y) o ponto genérico. Equção espontâne ou nturl: no sistem foco diretriz equção espontâne d prábol é FP = MP ou u = v (1) III. Qundo prábol tem V(m, n), portnto, V 0 e o eixo de simetri prlelo o eixo 0x, vem (y ) = px e plicndo trnslção de eixos de I result (y n) = p(x m) ou (y n) = p(x m) (x m) = p(y n) ou (x m) = p(y n) e s equções ds diretrizes, respectivmente, y = n ± p. EM_V_MAT_01 I. II. j Equção reduzid: o ponto F tem coordenp ds, 0 clculemos u e v u = d FP = x p + y Igulndo, conforme (1), vem: x p + y = p + x e v = p + x x px + p + y = p + px + x 4 4 y = px Equção d diretriz x= p Se V = 0 e o eixo de simetri coincidir com o eixo dos y s coordends do foco pssm ser 0, p, então equção d prábol tom form e d diretriz x = py y= p IV. Equção gerl: equção gerl é obtid, como vimos, desenvolvendo s reduzids. Assim: (y n) = p(x m), prábol com eixo horizontl, y ny + n = px mp x = 1 y n y + n + mp (1) p p p Se 1 > 0, concvidde à direit e 1 < 0, p p concvidde à esquerd. De (x m) = p(y n), prábol com eixo verticl, x mx + m = py np y = 1 x m x + m + np () p p p Se 1 > 0, concvidde pr cim e 1 < 0, p p concvidde pr bixo. Um equção do.º gru com dus vriáveis represent um prábol com eixo horizontl ou verticl se, e somente se, for redutível às forms: x = y + by + c, com 0 (3) ou y = x + bx + c, com 0 (4) Comprndo (1) e (3): = 1 p p = 1 b= p n n = bp n= b c = n +mp cp = n = mp p 5

10 c = b + m m = 4c b ou m = b 4c então, o vértice é e V Δ, b 4 o prâmetro p = 1. De modo nálogo, comprndo () e (4), concluímos que o vértice é V b, 4 e o prâmetro p = 1. c = b = 100 b c = 5 c = 5. = = 6 Então, c = 36 =100 b b = 64 Assim, : (x+) (y 1 ) + = Escrev equção d elipse de C = 0, A A sobre y y, 1 eixo mior 10 e distânci focl 8. `` Solução: A equção procurd é do tipo x y + =1 b e = 10 = 5 4. A segund Lei de Kepler mostr que os plnets movem-se mis rpidmente qundo próximos o Sol do que qundo fstdos dele. Lembrndo que os plnets descrevem órbits elíptics ns quis o Sol é um dos focos, podemos firmr que, dos pontos ssinldos n figur, quele no qul velocidde d Terr é mior, é o ponto:. x = 8 c = 4 D relção notável = b + c b = 5 16=3 logo, equção procurd é: y x + =1 9 5 Escrev equção d elipse de eixos 0 e 16, tendo C =(0, 0) e eixo mior pertencente o eixo x. b) c) d) e) A B C D E `` Solução: = 0 = 10 `` Solução: E Velocidde mior está mis próximo do Sol. b = 16 b = 8 d Sol, A = + c e elipse tem por equção d Sol, B = 3. y x y + =1, logo x + =1 b Determine equção d elipse de centro (, 1), excentricidde 3 e eixo mior horizontl de comprimento 0. 5 d Sol, C = c d Sol, D d Sol, C d Sol, E = c `` Solução: Elipse C(, 1) x + 4c = 4 4x + x C = 3 5 c = x 6 (x x C ) (y y C ) = + =1 b Eixo mior horizontl de comprimento 0 = 0, = 10, pois é o comprimento do semieixo mior. x = c x = c Logo, menor distânci é (E). EM_V_MAT_01

11 EM_V_MAT_01 5. `` 6. `` Determine s coordends do centro e dos vértices d hipérbole x 4y + 6x 8y + 1 = 0, verificndo direção do eixo rel e determinndo s equções ds diretrizes e ssíntots. Solução: x + 6x + 9 4y + 8y = 0 (x + 6x + 9) (4y 8y + 4) = 16 (x + 3) (y ) = 16 (x 3) 16 (x+3) 16 (x+3) 16 (x+3) 16 [(y 1)] (y 1) (y 1) 16 = 1 = 1 = 1 (y 1) + = 1 b = 16 e = 4 4 b = 4 e = C ( 3, 1); A1 ( 3, 3) e A ( 3, 1) O eixo rel é verticl. As diretrizes (d) y = n e c = + b c = = 5 c = 5 = 5 logo, y = 1 5 As ssíntots ( y = n y = 1 b (x m) 4. (x+3) x y = 1 (x+3) O gráfico d equção x² y² = 4 represent um hipérbole. Os focos dess hipérbole são: b) (1/, 0) e ( 1/, 0) (, 0) e (, 0) c) (, 0) e (, 0) d) (0, ) e (0, ) e) (0, 1/) e (0, 1/) Solução: C x y = 4 C = (0, 0) = b = 4 = b = c = + b = 8 c = Como o sinl positivo está no x, hipérbole tem seu eixo rel sobre o eixo x, ou sej, os focos serão: (, 0) e (, 0) 7. `` 8. `` Determine s coordends dos focos e dos vértices, s equções ds diretrizes, s equções ds ssíntots e s equções prmétrics d hipérbole 9x 16y 144 = 0. Solução: Escrevmos equção dd n form reduzid x 16 y = 1 (eixo rel horizontl) 9 Então, = 16 = 4 e b = 9 b = 3 D relção notável, c = + b, result c = = 5 Os focos são: F( 5;0) As equções ds diretrizes: x = x = As equções ds ssíntots: y = b x y = 3 4 x As equções prmétrics: x = 4 sec y = 3 tg A 3, 15 é um ponto d hipérbole x -y /3 = 1, cujos focos são F 1 e F, então o triângulo AF 1 F é : retângulo e isósceles. b) obtusângulo e escleno. c) cutângulo e isósceles. d) cutângulo e escleno. Solução: C A 3, 15 c = F 1 = (, 0) F = (, 0) AF 1 = 3 AF = 3 F1F= ( +) = x y 3 = 1; c = + b = = = = A F F 7

12 Logo, o triângulo já é isósceles. Vejmos se é retângulo: 4 = 4 + (F) = (F) Logo, o triângulo AF 1 F é isósceles e cutângulo. p (x x V ) = (y y V ) x v = + p = 3 9. `` Determine o vértice, o prâmetro, o foco e equção d diretriz d prábol y = x 6x + 8. Solução: O eixo é verticl e como Δ = 36 3 = 4 V(3, 1) e p = A equção d diretriz é y = 1 1 = e F 3, Então, 4(x 3) = (y 3) 10. `` Determine equção d prábol de foco F(3, 3) e diretriz y = 1. Solução: F (3, 3) diretriz: y = 1 Sbemos que equção d ret diretriz é y d = y f p p = e que corresponde um prábol com concvidde n direção verticl. A equção d prábol é: p (y y V ) = (x x V ) y V = 1 + p = 1. A figur seguir represent um nve espcil que se desloc num região do espço onde s forçs grvitcionis são desprezíveis. A nve desloc-se de X pr Y, em linh ret, com velocidde constnte. No ponto Y, um motor lterl d nve é ciondo, exercendo sobre el um forç constnte, perpendiculr à su trjetóri inicil. Depois de um certo intervlo de tempo, qundo nve se encontr em Z, o motor é desligdo. O digrm que melhor represent trjetóri d nve entre os pontos Y e Z é: `` Logo, ficmos com: 4(y ) = (x 3) O foco de um prábol é o ponto F(4, 3) e su diretriz é ret x =. Determine su equção reduzid. Solução: F(4, 3) diretriz x = O eixo é horizontl, p = p = 1. b) c) EM_V_MAT_01

13 d) e) y 0 y B. No cminho de Y pr Z, temos, no eixo x, um movimento uniforme, com velocidde constnte. No eixo y, temos um forç constnte, logo, um celerção constnte, pr bixo. Logo, trjetóri é um curv. Como celerção é negtiv, concvidde é pr bixo ( ) (B). Em conts : Δ S y = v o t o + t = - t (prábols com concvidde pr bixo) ΔS x = vt t = Δ S x ΔSy = Δ S x v v constnte > 0 x Z Mostre que o ponto P = (3,1/5) pertence à elipse e clcule distânci de P o eixo ds bscisss. b) Determine os vértices Q e R d elipse que perten- cem o eixo ds bscisss e clcule áre do triângulo PQR, onde P = (3,1/5). Um elipse que pss pelo ponto (0,3) tem seus focos nos pontos ( 4,0) e (4,0). O ponto (0, 3) é interior, exterior ou pertence à elipse? Mesm pergunt pr o ponto (5/, 13/5). Justifique su respost. Se z = x + iy é um número complexo, o número rel x é chmdo prte rel de z e é indicdo por Re(z), ou sej, Re(x + iy) = x. Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que stis- fzem à equção Re [(z + i)/(z )] = 1/, o qul se crescent o ponto (, 0), é um circunferênci. b) Ache equção d ret que pss pelo ponto (, 0) e é tngente àquel circunferênci. A equção 9x² + 4y² 18x 7 = 0 represent, no plno crtesino, um curv fechd. A áre do retângulo circunscrito ess curv, em uniddes proprids, vle: 36 b) 4 c) 18 d) 16 e) 1 O comet Hlley tem um órbit elíptic com eixo mior e eixo menor iguis 540 x 10 7 km e 140 x 10 7 km, respectivmente. Sbendo que o Sol está em um dos focos d elipse, clcule o vlor d/10 7, em que d é menor distânci entre o Sol e o comet, medid em quilômetros. Desconsidere prte frcionári de seu resultdo, cso exist. O gráfico d equção x² y² = 4 represent um hipérbole. Os focos dess hipérbole são: (1/, 0) e ( 1/, 0). EM_V_MAT_01 1. Sbe se que um elipse de equção (x²/²) + (y²/b²) = 1 tngenci internmente circunferênci de equção x² + y² = 5 e que ret de equção 3 x+ y = 6 é tngente à elipse no ponto P. Determine s coordends de P.. Sejm F e F os pontos do plno crtesino de coordends F 1 1 = ( 3, 0) e F = ( 3, 0). Determine s coordends dos pontos d ret r de equção x y = 1, cujs soms ds distâncis F 1 e F sejm iguis 4 (isto é: determine s coordends dos pontos P sobre ret r que stisfzem PF 1 + PF = 4). 3. Considere elipse de equção (x²/5)+(y²/9)=1. b) (, 0) e (, 0). c) (, 0) e (, 0). d) (0, ) e (0, ). e) (0, 1/) e (0, 1/). 9. (UFF) As equções y x=0, y+x = 0 e y x +1=0 representm no plno, respectivmente: b) um ret, um hipérbole e um prábol. um prábol, um hipérbole e um ret. um ret, um prábol e um elipse. c) 9

14 d) um elipse, um prábol e um hipérbole. e) um ret, um prábol e um hipérbole. 10. Assinle V se el for verddeir e F se sentenç for fls. Cso ssinle F, justifique respost. x /9 + y /4 = 1, no plno crtesino, é equção de um elipse com excentricidde igul 0,6. b) No plno crtesino, equção x y = 0 represent um hipérbole equiláter. c) No plno crtesino, equção x + y x 4y + 6 = 0 represent um circunferênci. d) No plno crtesino, equção x y = 3 repre- sent um pr de rets prlels. 11. (Unirio) As equções x 9y 6x 18y 9=0, x +y x+4y+1=0 e x 4x 4y+8=0 representm, respectivmente, um: hipérbole, um elipse e um prábol. b) hipérbole, um circunferênci e um ret. c) hipérbole, um circunferênci e um prábol. d) elipse, um circunferênci e um prábol. e) elipse, um circunferênci e um ret. 1. O produto de dus vriáveis reis, x e y, é um constnte. Portnto, dentre os gráficos bixo, o único que pode representr ess relção é: b) b) c) c) e) y 0 x y 0 x y d) d) y ) 0 x 0 x y 13. (ITA)Considere fmíli de circunferêncis com centros no segundo qudrnte e tngentes o eixo 0y. Cd um dests circunferêncis cort o eixo 0x em dois pontos, distntes entre si de 4cm. Então, o lugr geométrico dos centros dests circunferêncis é prte: b) c) d) e) de um elipse. de um prábol. de um hipérbole. de dus rets concorrentes. d ret y = x. 14. Determine s coordends do centro e dos vértices d hipérbole x 3y 4x + 6y 5 = Determine s coordends do centro e dos focos d cônic x 7y 4x+14y 19= Considere os pontos: P 1 (0, 0), P (1, 1) e P 3 (, 6). Determine equção d prábol que pss por P 1, P e P 3 e tem eixo de simetri prlelo o eixo Y ds ordends. b) Determine outr prábol que psse pelos pontos P, 1 P e P São dds s prábols p : y = x² 4x 1 e 1 p : y = x² 3x + 11/4 cujos vértices são denotdos, respectivmente, por V 1 e V. Sbendo que r é ret que contém V 1 e V, então distânci de r té origem é: 5/ 6 b) 7/ 6 c) 7/ 50 d) 17/ 50 e) 11/ Dus plnts de mesm espécie, A e B, que nscerm no mesmo di, form trtds desde o início com dubos diferentes. Um botânico mediu todos os dis o crescimento, em centímetros, dests plnts. Após 10 dis de observção, ele notou que o gráfico que represent o crescimento d plnt A é um ret pssndo por (,3), e o que represent o crescimento d plnt B pode ser descrito pel lei mtemátic y=(4x x²)/1. Um esboço desses gráficos está presentdo n figur. ltur y (centímetros) plnt A plnt B 10 0 x 3 x (dis) EM_V_MAT_01

15 EM_V_MAT_01 Determine: equção d ret; b) o di em que s plnts A e B tingirm mesm ltur e qul foi ess ltur. 19. O foco de um prábol é o ponto F(4, 3) e su diretriz é ret x=. Determine su equção reduzid e sus equções prmétrics. 0. Determine s coordends do foco do vértice e equção d diretriz d prábol y 6y 8x + 17 = Determine equção d prábol que tem eixo de simetri verticl e pss pelos pontos A(0, 0), B(, ) e C( 4, 0).. Determine k pr que ret x y + k = 0 sej tngente à prábol x = 5y. 3. Do ponto (, 3) trçm se s tngentes à prábol y + 8x = 0. Determine equção dests rets. 1.. Um montgem comum em lbortórios escolres de Ciêncis é constituíd por um plno inclindo, de ltur proximdmente igul 40cm, com qutro cnlets prlels e poido em um mes forrd de feltro, cuj bord é curvilíne. Sobre mes há um ponto mrcdo no qul se coloc um bol de gude. A experiênci consiste em lrgr, do lto do plno inclindo, outr bol de gude, qul, depois de rolr por um ds cnlets, ci n mes e colide sucessivmente com bord d mes e com primeir bol. A bord d mes tem form de um rco de: elipse, e o ponto mrcdo é um de seus focos. b) prábol, e o ponto mrcdo é seu foco. c) hipérbole, e o ponto mrcdo é um de seus focos. d) hipérbole, e o ponto mrcdo é seu centro. e) circunferênci, e o ponto mrcdo é seu centro. A elipse x² + (y²/) = 9/4 e ret y = x + 1, do plno crtesino, se interceptm nos pontos A e B. Pode se, pois, firmr que o ponto médio do segmento AB é: b) c) d) e) ( /3, 1/3) (/3, 7/3) (1/3, 5/3) ( 1/3, 1/3) ( 1/4, 1/) 3. Tngencindo externmente elipse e 1, tl que e 1 : 9x²+4y² 7x 4y+144 = 0, considere um elipse e de eixo mior sobre ret que suport o eixo menor de e 1 e cujos eixos têm mesm medid que os eixos de e 1. Sbendo que e está inteirmente contid no primeiro qudrnte, o centro de e é: b) c) d) e) (7,3) (8,) (8,3) (9,3) (9,) Determine equção d elipse de centro (, 1), ex- centricidde 3 e eixo mior horizontl de comprimento 0. 5 Determine os pontos em que ret x+y 5 = 0 intercept elipse 3x +7y 115=0. Determine pr que vlores de k ret x+y k=0 é secnte, tngente, exterior à elipse x +4y=0. Determine s equções ds rets tngentes à elipse x y + = 1 e perpendiculres à ret x y 13= Determine equção d elipse de excentricidde, cujos focos são pontos d ret (r) y+6=0 e sendo B 1 (3, 1) um dos extremos do seu eixo menor. 9. Determine s equções ds rets tngentes à hipérbole x y + = 1 e prlels à ret x 5y = O eixo rel de um hipérbole é horizontl e sus ssíntots são s rets x + y 3 = 0 e x y 1 = 0. Ache equção d hipérbole, sbendo se que o ponto (4, 6) pertence el. 11. Os focos de um hipérbole são F (6, ) e F (6, 1) e o 1 comprimento de seu eixo imginário é 6. Determine equção reduzid d hipérbole. 1. Determine s coordends dos focos d hipérbole xy = Determine equção d hipérbole equiláter que pss pelo ponto P 0 (13, 1) e que tem por eixos de simetri os eixos coordendos, s coordends dos focos e dos vértices. 14. Determine equção d ret tngente à hipérbole x 3y x + 36y 116 = 0 no seu ponto T(7, 9). 15. Os eixos, rel e imginário, de um hipérbole de eixo rel horizontl têm, respectivmente, os comprimentos 8 e 6. Determine equção dest hipérbole e d su conjugd, sendo seu centro o ponto C(1, 3). 16. Determine s coordends dos focos d cônic (x ) (y 1)

16 17. Demonstre que o prlelogrmo limitdo pels ssíntots d hipérbole x y = 1 e s rets trçds de qulquer b um de seus pontos, prlelmente às ssíntots, é constnte b 18. O eixo rel de um hipérbole tem o comprimento igul 1, sendo seus focos os pontos F (4, 9) e F 1 (4, 11). Determine equção ds tngentes à hipérbole, conduzids do ponto P 1 (0, 1). 19. Determine equção d tngente à prábol y = 8x prlel à ret x y+4 = Demonstre que equção d ret tngente à prábol y = px e prlel à ret y = x+b, pr 0, 1 1. y = x + p Sejm A e B os pontos de interseção d prábol y = x² com circunferênci de centro n origem e rio. Quis s coordends dos pontos A e B? b) Se C é um ponto d circunferênci diferente de A e de B, clcule s medids possíveis pr os ângulos A Ĉ B.. Determine equção d prábol de vértice (6, ), cujo eixo é y + = 0 e que pss pelo ponto (8, ). 3. Um prábol tem o eixo de simetri verticl e pss pelos pontos (, 0), (6, 0) e (, 4), determine su equção, seu vértice e seu prâmetro. 4. Determine equção d fmíli de prábols de eixo de simetri verticl e foco comum (, 6). 5. Determine s equções ds tngentes à prábol x = y conduzids pelo ponto P(5, 0). 6. Um lvo de ltur 1,0m encontr cert distânci x do ponto de dispro de um rm. A rm é, então, mird no centro do lvo e o projétil si com velocidde horizontl 500m/s. Supondo nul resistênci do r, dotndo g =10m/s, qul distânci máxim que se deve loclizr rm do lvo, de modo que o projétil o tinj? 7. Um menino ndndo de skte com velocidde v =,5m/s num plno horizontl, lnç pr cim um bolinh de gude com velocidde v = 4,0m/s e pnh de volt. Considere g = 10m/s. Esboçe trjetóri descrit pel bolinh em relção à Terr. b) Qul é ltur máxim que bolinh tinge? c) Que distânci horizontl bolinh percorre? 8. Mostre que cord dos conttos ds tngentes, à prábol (y ) =8(x 4), trçds do ponto (1, ), pss pelo foco d mesm. EM_V_MAT_01

17 EM_V_MAT_ P (8/9, 5/3) Os pontos são (0, 1) e (8/5, 3/5). 1 5 b) Q( 5, 0), R(5,0) e A = 1 4. (0, 3) pertence e (5/, 13/5) é exterior à elipse. É o conjunto dos números complexos cujos fixos são os pontos externos à elipse representd cim. 5. Sendo z = x + iy um número complexo com (x,y) ÌIR e i = 1. Substituindo z por x + iy, temos; (z+i)/(z ) = (x+iy+i)/(x+iy ) com z ¹ = [x+(+y)i/ (x )+iy] Efetundo se divisão, temos que: Re [(z+i)/(z )] = = (x² x+y²+y)/(x²+y² 4x+4) = 1/ Logo, x²+y²+4y 4 = 0 (z ¹ ). A condição z exclui o ponto (,0) d circunferênci de equção x²+y²+4y 4=0, que tem centro (0, ) e rio. Portnto, se crescentrmos o ponto (,0) esse conjunto de pontos, obteremos circunferênci de centro (0, ) e rio. b) x y + = 0 B 9 C E F, F, F, V C C C 14. C(, 1) e os vértices A( 6,1) 15. C (1;1); e focos F ( ;1) e F (4;1) 1 13

18 y = x x b) x = /15 y + 17/15 y E x y = 3 b) 6º di e 9 cm y = 3 + t 19. (y 3) = 4(x 3) e t + 1 x = V (1, 3), F (3, 3) e (d) x + 1 = y = x x k = 5. x y 1 = 0 e x + y 8 = 0 B E D (x + ) (y 1) 4. + = (6, 1) e (1, 4) < K4 < 35, K = ± 5 ek> 5ouK < secnte 7. x + y ± 5 = 0 tngente exterior Demonstrção 1± 41 y= x y = x Demonstrção b) A (1; 1) e B ( 1; 1) 45 ou 135. (y+) = 8(x 6): A equção d prábol é do tipo (y + ) = p(x 6), pois o eixo de simetri é horizontl (y = ). D pertinênci do ponto (8, ), result 16 = p. p = 8 3. A prábol é (x ) = 4(y + 4); v(; 4); p = 4. Sugestão: Tente resolver este problem tomndo equção d prábol sob form y = x + bx + c. ( ) + y= x p p ( 6 ) ; P 5. As tngentes têm por equções y x 6. d = m máx b) c) gráfico 0,8 m 1,0 m Demonstrção. 5 =± ( 5) 10 (x 3) (y + 6) 8. + = x 5y ± 1 = x y 8x + y 8 (x 6) (y 7) = F ( 4, 4) e F (4, 4) x y = c = = 5 F ( 5,0 ) A( ± 5,0) x 3y + 13 = 0 (x 1) (y + 3) (x 1) (y + 3) + =1 e + + = F (1;1); F ( 8;1) 1 EM_V_MAT_01

19 EM_V_MAT_01 15

20 16 EM_V_MAT_01