METODOLOGIA ORIENTADA A OBJETOS PARA VISUALIZAÇÃO RÁPIDA DE GRAFOS NÃO-DIRIGIDOS A PARTIR DA LISTA DE ARESTAS

METODOLOGIA ORIENTADA A OBJETOS PARA VISUALIZAÇÃO RÁPIDA DE GRAFOS NÃO-DIRIGIDOS A PARTIR DA LISTA DE ARESTAS Alexndre de Assis Mot DSEE/FEEC/UNICAMP - Av Albert Einstein, 400 CP 6101 Cmpins (SP) Emil: ssis@dseefeeunicmpbr Li Toledo Moreir Mot DSEE/FEEC/UNICAMP - Av Albert Einstein, 400 CP 6101 Cmpins (SP) Emil: li@dseefeeunicmpbr André Luiz Morelto Frnç DSEE/FEEC/UNICAMP - Av Albert Einstein, 400 CP 6101 Cmpins (SP) Emil: morelto@dseefeeunicmpbr Resumo: A representção de problems reis por grfos não-dirigidos é um prátic comum em diverss áres do conhecimento n tulidde Em especil n Engenhri, utilizção de estruturs topologicmente conexs desempenh um ppel fundmentl n nálise de problems e desenvolvimento de projetos, em que muits desss estruturs podem ser trduzids em grfos nãodirigidos As forms de representção convencionl desses grfos (onde list de rests é mis simples de ser utilizd), entretnto, não oferecem fciliddes pr o usuário no sentido de fornecer um representção gráfic provid de significdo físico Neste trblho, é presentd um metodologi computcionl que utiliz progrmção orientd objetos pr construir um representção gráfic de grfos não-dirigidos, utilizndo como entrd pens list de rests Ess metodologi é bsed no juste gráfico dos vértices e rests do grfo de mneir progressiv, prtir de leis físics conhecids, possibilitndo interferênci do usuário no decorrer do processo Os métodos propostos form implementdos em um interfce gráfic, utilizndo lingugem Jv, e form testdos com um rede de energi elétric (IEEE-30 brrs), visndo obter su representção brrs-rmos Plvrs-chve: Grfos não-dirigidos, progrmção orientd objetos, visulizção Abstrct: Nowdys, ctul problems representtion using undirected grphs is common prctice mong severl different knowledge res Specilly in engineering, connected topologicl structures (such s undirected grphs) ply criticl role both in problems nlysis nd in projects development The most commom representtions of these grphs, however, fil in providing grphicl representtion with physicl significnce In this work, computtionl methodology using object oriented progrmming is presented, in order to obtin these grphicl representtions, just using the edges list This methodology is bsed on the grphicl coordintes djustment, using expressions derived from physicl lws, nd llows user interferences during the process The proposed methods were implemented in grphicl interfce using the Jv lnguge, nd results re presented, obtined from tests with the busbr representtion of the IEEE-30 bus system Keywords: Undirected grphs, object-oriented progrmming, visuliztion 1 Introdução N tulidde, s plicções de grfos se tornrm comuns, estndo presentes em um grnde vriedde de áres Muitos lgoritmos e métodos têm sido desenvolvidos pr lidr eficientemente com s relções de conectividde que podem ser explords prtir de um grfo Esses lgoritmos estão, gerlmente, bsedos n informção topológic explicitd por um estrutur de ddos pdrão Esss estruturs de ddos, pr stisfzer condições de eficiênci computcionl e/ou espço de

rmzenmento, são, em gerl, mtemátics, podendo ser trduzids em conjuntos de mtrizes e vetores, como list de rests, list de incidênci ou mtriz de incidênci [1,, 3, 4] Embor eficientes, esss estruturs tmbém são bstrts, isto é, desprovids de significdo físico Um vez que no trtmento de situções reis o objetivo de um problem está quse sempre relciondo à otimizção de um condição físic e bem conhecid, o conhecimento d estrutur topológic do grfo que represent formulção do processo nem sempre é necessário, bstndo pens determinção do resultdo finl Em lgums situções, entretnto, esse tipo de informção se torn importnte pr s pessos envolvids no seu processo de resolução É o cso de problems onde topologi é importnte ou sujeit um grnde número de mudnçs Nesss condições, extrção ds relções de conectividde ds estruturs mtemátics bstrts que são usulmente empregds pr representr grfos é um tref árdu, que requer um elevdo gru de concentrção, tornndo-se cd vez mis sujeit erros conforme dimensão do problem ument Ness situção, é desejável o desenvolvimento de métodos que possm derivr, mesmo que de mneir proximd, representção visul de um grfo prtir de um ds sus estruturs primitivs de ddos Nesse trblho, um metodologi computcionl bsed em progrmção orientd objetos é propost com o intuito de determinr, trvés de um processo itertivo, topologi de grfos não-dirigidos prtir ds informções contids n su list de rests Pr tingir esse objetivo, são empregds fórmuls derivds de leis físics reis pr tulizr constntemente s coordends gráfics dos componentes do grfo (vértices e rests) Assim, o item seguir descreve com mior detlhmento o problem de representção de grfos não dirigidos prtir de su list de rests O item 3 trt de spectos d visulizção gráfic, enqunto o item 4 explicit formulção propost pr o cálculo ds coordends gráfics dos componentes do grfo O item 5 expõe metodologi computcionl propost pr obtenção d representção gráfic O item 6 exibe os resultdos obtidos pr um plicção d metodologi com o sistem elétrico IEEE de 30 brrs e, finlmente, o item 7 descreve s principis conclusões deste trblho Representção de Grfos prtir d List de Arests De um mneir bstrt, um grfo G pode ser definido como um conjunto de vértices V e um coleção de rests E dd por pres de vértices Em outrs plvrs, o grfo corresponde à representção de relções ou conexões entre pres de elementos definidos no conjunto de vértices trvés ds rests Váris estruturs de ddos podem representr s relções e ddos contidos em um grfo, sendo list de rests mis simples (embor nem sempre mis eficiente) Ess list consiste n implementção descritiv do contêiner E, que represent coleção de rests, como um descrição seqüencil dos vértices finis de tods s rests Dd bix eficiênci de lguns lgoritmos de busc e inspeção de grfos qundo d utilizção d list de rests, outrs estruturs mis elbords de ddos são tmbém utilizds pr representção de grfos, como list de djcênci (que inclui informção dicionl sobre o cesso os vértices djcentes de cd vértice de G) e mtriz de djcênci (que consiste em um rrnjo bidimensionl A pr representr djcêncis entre pres de vértices) Entretnto, sempre é possível derivr list de rests desss outrs forms de representção sem grndes esforços Por esse motivo, list de rests foi escolhid, neste trblho, como o ponto de prtid pr o método proposto pr visulizção rápid de grfos A estrutur de um grfo pode ser representd visulmente como n Figur 1 Ness figur, existem 7 vértices (ou nós), identificdos como N1 N7, e 11 rests identificds como E1 E11 58

E1 N E7 N1 E E5 E8 N5 E3 N4 E4 N3 E6 N6 E9 E10 E11 N7 Figur 1: Estrutur simplificd de um grfo A list de rests pode ser montd usndo um seqüênci de registros simplificdos do tipo: {(Nome d rest) (Primeiro vértice extremo) (Segundo vértice extremo)} em que o registro do nome d rest é opcionl pr o usuário Pr o grfo representdo n Figur 1, list de rests é dd por: (E1) N1-N; (E) N1-N3; (E3) N1-N4; (E4) N4-N6; (E5) N3-N; (E6) N3-N6; (E7) N-N5; (E8) N3-N5; (E9) N3-N7; (E10) N6-N7; (E11) N5-N7 Figur : List de rests simplificd A estrutur obtid n Figur, embor bstnte dequd pr mnipulções computcionis e mtemátics, é inconveniente qundo o usuário objetiv diretmente extrção de informções, sendo representção gráfic ilustrd pel Figur 1 significtivmente mis proprid pr esse tipo de interpretção Além disso, especilmente no âmbito d pesquis opercionl, os grfos são utilizdos pr representr estruturs ou dinâmics de processos reis, visndo otimizção de tempo, de recursos ou do produto finl; nesse cso, representções numérics, como list de rests, ficm desprovids de um significdo físico, o que pode impor limitntes n su interpretção pelos profissionis responsáveis pel otimizção do processo Tmbém existem situções ns quis visulizção do grfo referente o processo rel deve ser relizd de form rápid e precis Um exemplo desse tipo de situção é recomposição de sistems de energi elétric pós ocorrênci de blecutes totis ou prciis Ness condição, visulizção do grfo ssocido à rede elétric ser recompost deve ser relizd d mneir mis rápid possível, um vez que tomd de decisões decorrente d nálise do grfo deve possibilitr minimizção do tempo requerido pr o restbelecimento de tods s crgs do sistem e o tendimento de todos os consumidores Por esss rzões, é bstnte desejável o desenvolvimento de técnics que permitm visulizção rápid de grfos trvés do mpemento d estrutur numéric d list de rests utilizd n representção convencionl dos mesmos 59

3 Visulizção de Grfos Pr representção de grfos trvés de interfces de visulizção, é necessári utilizção de ddos que podem ser clssificdos em dois grupos [5]: Máscrs Semi-estátics ou Bckground: são ddos que representm s informções que não mudm freqüentemente pr o objeto de visulizção, como, por exemplo, o digrm unifilr de um rede elétric ou plnt de um processo industril Descritores e Ddos Dinâmicos: são informções usds pr vibilizr exibição n tel e que podem ser periodicmente tulizds Representm s informções sobre s medids ds grndezs representtivs do sistem, como, por exemplo, os custos ssocidos às rests em problems de cminho mínimo ou demnds dos vértices em problems de designção O objetivo deste trblho está ligdo à determinção inicil ds máscrs semi-estátics pr grfos genéricos Presume-se, qui, que nenhum informção inicil estej disponível pr o cálculo desss máscrs, embor interferênci do usuário sej possível durnte o processo de obtenção ds mesms Por fcilidde de nálise, neste trblho são considerdos pens grfos não-dirigidos (cujs rests estão desprovids de orientção) e sem presenç de rests múltipls Entretnto, os métodos propostos seguir podem ser estendidos outros tipos de grfos sem grnde esforço de dptção Anlisndo estrutur dd pel Figur 1, not-se que representção de um grfo pode ser definid completmente em termos ds coordends de posicionmento do centro geométrico dos nós, um vez que os vértices do grfo podem ser desenhdos utilizndo diretmente esss coordends Além disso, s rests podem ser conectds entre s coordends centris dos vértices nos quis incidem O problem d determinção ds máscrs estátics de posicionmento pode, então, ser inicilmente definido como determinção ds coordends gráfics do centro geométrico {xc, yc} pr todos os nós prtir d list de rests A Figur 3 ilustr os centros geométricos referentes os vértices N1, N e N3 extrídos do grfo d Figur 1 xc, yc N1 E1 E5 N E xc1, yc1 N3 xc3, yc3 Figur 3: Centros geométricos dos vértices N1, N e N3 A idéi centrl do lgoritmo proposto pr obtenção dess representção gráfic é determinr s coordends desejds, utilizndo um modelo físico pr os componentes do grfo e clculndo seu posicionmento ótimo segundo um critério pré-determindo Ess bordgem tem sido utilizd, com sucesso, pr visulizção rápid de grfos em lgums implementções computcionis [6] Neste trblho, foi utilizdo um lgoritmo que clcul o deslocmento incrementl dos centros geométricos ssocidos os nós do problem cd psso A prtir de um distribuição inicil letóri ds posições dos centros geométricos dos vértices, é inicido um processo itertivo que lev em cont dus hipóteses principis, bseds n modelgem de fenômenos físicos bem conhecidos: 60

Os centros dos vértices se repelem mutumente, do ponto de vist gráfico, com um forç inversmente proporcionl à distânci que os sepr, segundo um expressão similr à d lei físic de repulsão de crgs puntiformes de mesm polridde no espço (Lei de Coulomb); Os centros de vértices djcentes (conectdos por um rest) se trem ou repelem grficmente com um forç clculd em função d distânci que os sepr, similr à lei físic d forç resultnte nos extremos de um mol sob tensão (Lei de Hooke) A cd iterção, forç resultnte no centro geométrico de cd vértice é integrlizd e o deslocmento incrementl, derivdo prtir d direção e intensidde dess forç resultnte, é plicdo o finl d iterção correspondente O processo persiste té que um critério de prd sej stisfeito Esse critério pode ser um número pré-determindo de iterções ou obtenção de um vlor ssocido o mior deslocmento de centros geométricos, que sej menor que um tolerânci ε préespecificd Os itens 4, 5 e 6, seguir, presentm metodologi propost pr implementção desse processo, bsed em rotins orientds objeto, contemplndo desde quisição de informções d list de rests té etp de cálculo dos deslocmentos gráficos ssocidos os vértices Ao finl de um número de iterções definido, o problem tinge o equilíbrio, um vez que os vlores que s coordends geométrics podem ssumir é limitdo o tmnho d jnel de visulizção; nesse cso, áre de desenho é considerd como o universo de possibiliddes pr os centros geométricos dos vértices dos grfos e dmite-se que todos os vértices podem excursionr livremente pel tel gráfic 4 Cálculo dos Deslocmentos Incrementis A obtenção dos deslocmentos incrementis dos centros geométricos, cd iterção do processo, pode ser relizd de dus mneirs: primeir consiste no cálculo de tods s forçs pr obtenção d resultnte no centro de cd vértice e derivção do correspondente deslocmento prtir d su direção e intensidde; segund, computcionlmente mis eficiente, consiste no cálculo dos deslocmentos incrementis, já decompostos em um sistem de coordends crtesins, prtir d influênci de cd componente do grfo (vértices e rests djcentes), sendo o cálculo do deslocmento totl ddo pel composição dests prcels individuis Adotndo-se est últim bordgem, podem ser utilizdos modelos orientdos objeto pr vibilizr implementção individul de cd elemento do grfo A utilizção de progrmção orientd objetos crcteriz-se por demndr um quntidde ligeirmente mior de recursos computcionis (como memóri e processmento), ms permite individulizção de cd componente do grfo e plicção d metodologi propost pr diferentes tipos de estruturs mlhds não orientds (como circuitos elétricos, redes de energi sob lterções topológics, mlhs de elementos finitos, etc) sem grndes esforços de dptção Os modelos orientdos objeto tnto pr os vértices qunto pr s rests do grfo estão descritos nos itens seguir A) Modelo de Vértice O modelo computcionl orientdo objetos de um vértice de um grfo pode ser definido prtir dos seguintes cmpos ou tributos: Coordends bsoluts do centro geométrico {x, y números reis} Deslocmentos incrementis { x, y números reis} Nome do vértice {cdei de crcteres } Pr determinção ds máscrs estátics não é necessário conhecer, dentro do modelo do vértice, s rests que lhe são incidentes Os métodos que devem ser providos no rcbouço básico de um vértice pr obtenção dos deslocmentos incrementis são: 61

Método pr cessr prâmetros de coordends: retorn os vlores ds coordends bsoluts do centro geométrico do vértice{x, y} Método de tulizção dos deslocmentos incrementis: permite que dus prcels {dx, dy} sejm dicionds o deslocmento incrementl { x, y} Método pr efetivr deslocmento incrementl: permite que s coordends bsoluts do centro geométrico {x, y} sejm tulizds com o deslocmento incrementl tul { x, y} Método de cesso os demis vértices: permite que esse vértice tenh cesso os métodos e prâmetros públicos dos demis vértices definidos no problem Método pr clculr influênci no deslocmento de outro vértice: clcul influênci {dx, dy} que esse vértice exerce nos deslocmentos incrementis { x, y} de outros vértices do grfo sob nálise Nesse último método estão implementdos os cálculos dos deslocmentos incrementis bsedos n lei físic de repulsão de crgs com sinis de mesm nturez A título de ilustrção, sej N A o vértice sob nálise em um determind iterção e desej-se obter su influênci no deslocmento de um outro vértice N B Atrvés dos outros métodos definidos n clsse de vértices (e, portnto, presentes tnto em N A qunto em N B ) é possível extrir s coordends gráfics bsoluts {x A, y A } do centro geométrico de N A e s coordends {x B, y B } do centro geométrico de N B Nesss condições, s distâncis projetds ns coordends gráfics horizontl x, n verticl y e totl entre os centros geométricos d são dds por: ( x x ) x (1) b ( y y ) y () ( x x ) + ( y y ) b b b d (3) Assim, repulsão mútu exercid entre mbos os vértices é dd por: F RV K (4) R b b ( x x ) + ( y y ) em que K R é um constnte de repulsão rbitrári; contribuição de N B no deslocmento incrementl de N A é: x K ( x xb ) ( x x ) + ( y y ) F A T RV V 3 (5) d b b y K ( y yb ) ( x x ) + ( y y ) F A T RV V 3 (6) d b b que é igul o oposto d contribuição de N A no deslocmento incrementl de N B, sempre obedecendo o princípio de repulsão entre os vértices Nesss expressões, K T é um constnte dependente do psso de iterção e KV é constnte finl que grup s influêncis combinds de K R e K T K K x y 6

B) Modelo de Arest O modelo computcionl de um rest de um grfo pode ser definido prtir dos seguintes tributos: Identificção do primeiro nó extremo {cdei de crcteres} Identificção do segundo nó extremo {cdei de crcteres } Nome d rest {cdei de crcteres } Comprimento nturl d rest {L número rel} Um vez que os métodos de inferênci de coordends já estão bem definidos n clsse de vértices, determinção ds coordends extrems de um rest se dá de mneir indiret, trvés d chmd de métodos pertencentes os objetos vértices que formm seus extremos Assim, no rcbouço básico de um rest é necessário prover pens um método pr determinção dos deslocmentos incrementis dos seus vértices extremos Esses cálculos são bsedos n lei físic d forç nos extremos de um mol A título de ilustrção, sejm gor N A e N B os vértices extremos de um rest E 1, sob nálise em um determind iterção, e desej-se obter influênci dess rest no deslocmento dos vértices Como nteriormente, trvés dos métodos definidos n clsse de vértices (e implementdos em N A e N B ) é possível extrir s coordends gráfics bsoluts {x A, y A } do centro geométrico de N A e s coordends {x B, y B } do centro geométrico de N B A prtir desses ddos, distânci entre os centros dos vértices é dd por: ( x x ) + ( y y ) b b d (7) Se ess distânci for menor que o comprimento nturl L definido pr rest, el se comportrá como um mol comprimid e, portnto, exercerá um influênci de repulsão entre os seus extremos Cso contrário, rest se comportrá como um mol distendid e, portnto, exercerá um influênci de trção A intensidde dess forç (ssumindo vlores positivos pr o sentido de repulsão) é dd por: F RA ( L d ) K (8) em que K é um constnte de repulsão rbitrári Definindo tmbém: ( x x ) x (9) b ( y y ) y (10) A contribuição d rest no deslocmento do seu vértice extremo N A é dd por: ( x xb ) ( x x ) + ( y y ) b ( L d ) xa KT F K RA A (11) d b b ( y yb ) ( x x ) + ( y y ) x ( L d ) ya KT F K RA A (1) d b b que, ssim como nteriormente, é igul o oposto d rest no deslocmento incrementl de N B Nesss expressões, K T é um constnte dependente do psso de iterção e K A é constnte finl que grup s influêncis combinds de K e K T y 63

5 Metodologi Propost Um vez definidos os modelos de objetos pr representção de rests e vértices, que encpsulm grnde miori dos cálculos envolvidos no problem, são necessários três pssos pr construção d representção visul de grfos prtir d su list de rests: nálise d list de rests, o juste ds coordends dos vértices e visulizção do grfo Esses pssos encontrm-se descritos seguir A) Análise d List de Arests A list de rests, normlmente rmzend em um registro textul (bnco de ddos ou rquivo) é processd seqüencilmente, com o objetivo de se montr dus lists seprds: um list de objetos rest e um list de objetos vértice, denominds LOA e LOV, respectivmente Os objetos desss lists são derivdos prtir ds clsses definids nteriormente e possuem crcterístics individulizds qunto à denominção e coordends gráfics Os pssos seguir definem o lgoritmo pr montgem desss dus lists Sej A list de rests Sej LOA list de objetos rest Sej LOV list de objetos vertice Pr cd linh i d list de rests A novo objeto rest nome de primeiro registro de i origem de segundo registro de i Cso não exist vértice com nome igul à origem de v novo vértice nome de v origem de dicionr v n LOV destino de terceiro registro de i Cso não exist vértice com nome igul o destino de v novo vértice nome de v destino de dicionr v n LOV Adicionr n list de objetos rest LOA B) Processo de Ajuste ds Coordends dos Vértices Um vez que todos os objetos pertinentes o problem estão instncidos, pode-se inicir o processo de juste d coordend dos vértices Esse processo itertivo consiste no cálculo mútuo de tods s influêncis no deslocmento dos centros geométricos dos vértices e su integrlizção, em lote, o finl do processo O procedimento se encerr qundo um condição de prd é tingid, como o limite de iterções ou deslocmentos menores que um tolerânci pré-especificd Os pssos seguir definem o processo de juste desss coordends Sej LOA list de objetos rest Sej LOV list de objetos vertice Sejm {x mx, x min, y mx, y min } s dimensões d jnel gráfic Pr cd vértice v d list de objetos vértice LOV x v vlor letório entre x mx e x min y v vlor letório entre y mx e y min Enqunto o critério de prd não for tingido, fç Inicilize mtriz de deslocmentos incrementis M di Pr cd linh i d list de objetos rest LOA v o vértice de origem de i v d vértice de destino de i clculr distânci L entre v o e v d 64

C) Visulizção do Grfo clculr forç F RA em função de L clculr os deslocmentos incrementis x e y pr v o e v d tulizr mtriz de deslocmentos incrementis M di Pr cd vértice i d list de objetos vértice LOV Pr cd vértice j d list de objetos vértice LOV clculr distânci L entre i e j clculr forç F RV em função de L clculr os deslocmentos incrementis x e y pr i e j tulizr mtriz de deslocmentos incrementis M di Atulizr os vlores {x,y} dos centros dos vértices em LOV com os vlores de M di Impor restrições gráfics dos limites {x mx, x min, y mx, y min } d jnel de desenho Verificr critério de prd Um vez determinds tods s coordends dos centros dos vértices, visulizção do grfo se torn um problem trivil, que consiste n inspeção ds lists LOA e LOV pr utilizção ds rotins gráfics proprids o desenho dos componentes do grfo Deve-se notr que ess etp pode ser intercld com os procedimentos d etp nterior (juste d coordend dos vértices) Ess bordgem, embor princípio umente significtivmente o tempo pr se tingir configurção finl dos centros geométricos dos vértices (pois s rotins de desenho são muito mis custoss computcionlmente que s numérics), permite o usuário compnhr visulmente o processo de juste Isso pode ser desejável em lgums situções pois ssim, trvés de um eventul interferênci humn, posição dos vértices pode ser mnulmente justd conforme o desejo do usuário e, n miori ds situções, o tempo totl requerido pr tingir um solução estável pode té ser reduzido 6 Aplicção Como resultdo d plicção d metodologi propost, foi desenvolvid um interfce de visulizção de grfos não-dirigidos, no Lbortório de Sistems de Energi Elétric (LSEE) d UNICAMP, utilizndo lingugem Jv Ess lingugem foi escolhid por ser orientd objetos e possuir um grnde número de primitivs gráfics e métodos de desenho disponíveis e de fácil utilizção Ess interfce utiliz como ponto de prtid um rquivo textul, contendo s rests do grfo sob nálise Neste trblho, foi utilizdo o sistem IEEE de 30 brrs, ilustrdo n Figur 4, pr obtenção de um representção gráfic do grfo ssocido o mesmo Figur 4: Digrm unifilr d rede IEEE de 30 brrs 65

A list de rests dest rede, pr o seu modelo brrs-rmos simplificdo, sem os nomes ou identificdores ds linhs, é dd por: Glen Lyn-Kumis, Glen Lyn-Clytor, Kumis-Hncock, Clytor- Hncock, Clytor-Ronoke, Clytor-Fieldle, Hncock-1, Ronoke-Bline, Fieldle-Bline, Ronoke-Reusens, Ronoke-9, Ronoke-8, Reusens-8, 9-10, 9-11, 10-17, 10-0, 10-1, 10-, 1-13, 1-14, 1-15, 1-16, 14-15, 15-18, 15-3, 16-17, 18-19, 19-0, 1-, -4, 3-4, 4-5, 5-6, 5-7, 7-8, 7-9, 7-30, 9-30 Figur 5: List de rests pr rede IEEE de 30 brrs (modelo brrs-rmos) Ness situção, visulizção gerd pelo lgoritmo implementdo está representd n Figur 6 Figur 6: Visulizção do grfo ssocido à rede IEEE de 30 brrs Os nós em cor mis escur são queles onde ocorreu interferênci do usuário durnte o processo de juste ds coordends dos elementos do grfo Pode-se notr tmbém que o lgoritmo permite identificção lfnuméric ds brrs do sistem (subestções de crg e gerdors) como vértices do grfo e ds linhs de trnsmissão e trnsformdores como sus rests 66

7 Conclusões Neste trblho, foi presentd um metodologi computcionl que permite obtenção de um representção gráfic de grfos não-dirigidos, utilizndo como entrd pens s lists de rests ssocids os mesmos Ess metodologi foi implementd trvés d filosofi de orientção objetos e foi bsed no juste gráfico dos vértices e rests do grfo de mneir progressiv, prtir de leis físics conhecids Apesr de exigir miores recursos computcionis, o emprego de progrmção orientd objetos possibilit o instncimento individul de cd elemento do grfo e, conseqüentemente, plicção d metodologi propost pr diferentes tipos de estruturs mlhds não orientds, sem grndes esforços de dptção O lgoritmo permite, ind, o compnhmento visul do processo de juste ds coordends dos vértices do grfo, grntindo o usuário possibilidde de interferênci no decorrer desse processo, trvés do juste mnul desss coordends Agrdecimentos Os utores gostrim de grdecer Fundção de Ampro à Pesquis do Estdo de São Pulo (FAPESP), reconhecendo o seu poio no desenvolvimento deste trblho, trvés dos processos 00/11163-8 e 00/11164-4 Referêncis [1] J J Moder nd C R Phillips, Project Mngement with CPM nd PERT, New York: Vn Nostrnd Reinhold Compny, 1970 [] B D Sivzlin nd L E Stnfel, Optimiztion Techniques in Opertions Reserch, New Jersey: Prentice-Hll, 1975 [3] Federl Electric Corportion, A Progrmmed Introduction to PERT Progrm Evlution nd Review Technique, New York: John Wiley nd Sons, 1963 [4] M C Goldbrg e H P L Lun, Otimizção Combintóri e Progrmção Liner Modelos e Algoritmos, Rio de Jneiro: Editor Cmpus, 000 [5] A A Mot, Desenvolvimento de Interfces Gráfics pr Centros de Controle de Energi Elétric, Dissertção de Mestrdo, UNICAMP, Cmpins-SP, 001 [6] Sun Microsystems, Documentção Jv On-line, disponível em http://jvsuncom 67