Modelos de Computção Folh de trlho n. 3 Not: Os exercícios origtórios mrcdos de A H constituem os prolems que devem ser resolvidos individulmente. A resolução em ppel deverá ser depositd n cix d disciplin té o di 3.03.004 (pr P1-P4) e 5.03.004 (pr P5-P9) às 13h30m e presentd n ul prátic respectiv. Pr ser quis dos exercícios que deverás presentr, consult http://www.ncc.up.pt/ rvr/mc03/dist.pdf. Autómtos finitos não determinísticos com trnsições 3.1 Consider os seguintes utómtos finitos não-determinísticos representdos pelo seguinte digrm: 1, 3 () Clcul o fecho- de cd estdo () Usndo pel construção dos suconjuntos, determin um utómto finito determinístico equivlente. 3. Consider o utómto finito ({s 0, s 1, s, s 3, s 4 }, {, }, δ, s 0, {s 4 }) com seguinte função de trnsição: s 0 {s 0, s 1 } {s } s 1 {s 3 } s {s 1 } s 3 {s 1, s 4 } {s 4 } s 4 {s 1 } () Pr cd um ds seguintes plvrs indic se são ceites ou não pelo utómto: i) ii) iii) () Descreve, informlmente, lingugem ceite pelo utómto. (c) Determin o utómto finito determinístico que reconhece lingugem complementr dest. 3.3 Consider o utómto finito ({s 0, s 1, s, s 3, }, {, }, δ, s 0, {s 0, s 3 }) com seguinte função de trnsição: s 0 {s 1, s } {s 0 } s 1 {s 3 } s {s 0 } s 3 {s 1, s } () Pr cd um ds seguintes plvrs indic se são ceites ou não pelo utómto: i) ii) iii) () Descreve, informlmente, lingugem ceite pelo utómto. (c) Determin o utómto finito determinístico que reconhece lingugem complementr dest. Dep. Ciênci de Computdores/FCUP 003 004 1
Modelos de Computção Folh de trlho n. 3 Resolução de exercícios escolhidos 3. () i), não. ii), sim. iii), não. () {} {, }{} {}{, }{{}{} {, }} (c) δ {s 0 } {s 0, s 1 } {s 1, s } {s 0, s 1 } {s 0, s 1 } {s 1, s, s 3 } {s 1, s } {s 3 } {s 1, s, s 3 } {s 1, s 4 } {s 3, s 4 } {s 3 } {s 1, s 4 } {s 4 } {s 1, s 4 } {s 1 } {s 3 } {s 3, s 4 } {s 1, s 4 } {s 4 } {s 4 } {s 1 } {s 1 } {s 3 } Ou sej, tomndo s 0 = {s 0 }, s 1 = {s 0, s 1 }, s = {s 1, s }, s 3 = {s 1, s, s 3 }, s 4 = {s 3 }, s 5 = {s 1, s 4 }, s 6 = {s 3, s 4 }, s 7 = {s 4 }, s 8 = {s 1 }, o utómto finito determinístico equivlente é ({s 0, s 1, s, s 3, s 4, s 5, s 6, s 7, s 8}, {, }, δ, {s 0 }, {{s 1, s 4 }, {s 3, s 4 }, {s 4 }}). Tornndo este utómto completo (pr poder encontrr o utómto que reconhece lingugem complementr), e trnsformndo os estdos finis em não-finis e vice vers, vem: 3.3 () i), sim. ii), sim. iii), não. () {{} {}{} {, }} (c) s 1 s 3 s 6 s 0 s 5 s s 4 s 7, s 9 s 8 δ {s 0, s 1, s } {s 0, s 1, s } {s 3 } {s 3 } {s 1, s } {s 1, s } {s 0, s 1, s } {s 3 } Ou sej, tomndo s 0 = {s 0, s 1, s }, s 1 = {s 3 }, s = {s 1, s }, o utómto determinístico equivlente é ({s 0, s 1, s }, {, }, δ, s 0, {s 0, s 1}) Dep. Ciênci de Computdores/FCUP 003 004
Modelos de Computção Folh de trlho n. 3 Tornndo este utómto completo (pr poder encontrr o utómto que reconhece lingugem complementr), e trnsformndo os estdos finis em não-finis e vice vers, vem: s 0 s 1 s s 3, Expressões regulres 3.4 Escreve expressões regulres pr cd um ds seguintes lingugens de Σ = {, }: () plvrs com não mis do que três s () plvrs com um número de s divisível por três (c) plvrs com exctmente um ocorrênci d su-plvr. 3.5 Quis ds seguintes firmções são verddeirs? Justific. () L( ) () L( ) L( ) = L( + ) (c) L( ) L(c d ) = (d) cd L(((cd) ) ) 3.6 () A lingugem {x {0, 1} x não termin em 1} é descrit pel expressão: i) (1 + 0) 0 ii) (0 + 10) iii) 0 + (0 + 1) 0 () A lingugem {x {0, 1} x começ por 1} é descrit pel expressão: i) ( + 1)1(1 + 0) ii) (11 + 10)(1 + 0) iii) 1 (1 + 0) 3.7 Escreve expressões regulres mis simples equivlentes às seguintes: () + + + ( + ) () (( ) ( ) ) (c) ( ) + ( ) (d) ( + ) ( + ) 3.8 Descreve cd um ds lingugens seguintes por um expressão regulr. () L 1 = {x {,, c, d} x não têm s à direit de c s nem s à esquerd de d s} () L = {xy x, y {0, 1} e diferenç entre o número de 0 s em x e em y é ímpr} (c) L 3 o conjunto ds plvrs de lfeto {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} que são representção em deciml de inteiros não negtivos múltiplos 5 ou de 10. (d) L 4 = {x {0, 1} x têm 110 como suplvr ms não 101} 3.9 Pr cd um ds igulddes seguintes sore expressões regulres diz se é verddeir ou fls, demonstrndo se for verddeir ou rrnjndo um contr-exemplo se for fls. Dep. Ciênci de Computdores/FCUP 003 004 3
Modelos de Computção Folh de trlho n. 3 () ( + r) = r () (r + s) = r + s (c) (rs + r) = r(sr + r) (d) (r + s) s = (r s ) Prolems origtórios A Consider o utómto finito com trnsições por, ({s 0, s 1, s }, {,, c}, δ, s 0, {s }) com seguinte função de trnsição δ: c s 0 {s 1, s } {s 1 } {s } s 1 {s 0 } {s } {s 0, s 1 } s () Apresent o digrm que descreve o utómto. () Clcul o fecho- de cd estdo. (c) Determin tods s plvrs com comprimento 3 ceites pelo utómto. (d) Determin um utómto finito determinístico completo equivlente. B Consider o utómto finito não determinístico B = ({s 0, s 1, s, s 3, s 4, s 5 }, {, }, δ, s 0, {s 3, s 5 }), onde função de trnsição δ é definid pel tel seguinte: s 0 {s 3, s 5 } s 1 {s } s {s 5 } s 3 {s 4 } s 4 {s 3 } s 5 {s 1 } () Apresent o digrm que descreve o utómto e diz quis ds seguintes plvrs são ceites por B:, e () Descreve lingugem reconhecid por B, eventulmente usndo um expressão regulr. (c) Determin o fecho por de cd estdo de B. (d) Usndo o método de construção de suconjuntos, determin um utómto finito determinístico completo equivlente B. C Consider o utómto finito não determinístico C = ({s 0, s 1, s, s 3, s 4, s 5 }, {0, 1}, δ, s 0, {s 4, s 5 }), onde função de trnsição δ é definid pel tel seguinte: 0 1 s 0 {s 3, s 5 } s 1 {s } {s 1 } s {s 5 } s 3 {s 3 } {s 3, s 4 } s 4 s 5 {s 1 } {s 5 } () Apresent o digrm que descreve o utómto e diz quis ds seguintes plvrs são ceites por C: 0001, 1000 e 00100 () Descreve lingugem reconhecid por C, eventulmente usndo um expressão regulr. (c) Determin o fecho por de cd estdo de C. Dep. Ciênci de Computdores/FCUP 003 004 4
Modelos de Computção Folh de trlho n. 3 (d) Usndo o método de construção de suconjuntos, determin um utómto finito determinístico completo equivlente C. D Consider o seguinte utómto finito não determinístico D, com lfeto Σ = {1, }: s 0 s 1 1 s 3 s 1 () Escreve função de trnsição do utómto. () Clcul o fecho- de cd estdo (c) Encontr um utómto finito determinístico completo equivlente D. (d) Descreve lingugem reconhecid por D, eventulmente usndo um expressão regulr. E F G H () Escreve um expressão regulr que descreve cd um ds seguintes lingugens: As plvrs de {0, 1} que não contém 01 As plvrs de {0, 1} com exctmente um ocorrênci de 111 () Dá um descrição informl d lingugem representd pel expressão regulr ( + ( ) ) (c) Sendo r, s e t expressões regulres, indic se s expressões regulres seguintes são ou não equivlentes, demonstrndo se o forem ou exiindo um plvr que pertenç um e não à outr, cso contrário: (rs + t) e (r + s + t) () Escreve um expressão regulr que descreve cd um ds seguintes lingugens: As plvrs de {0, 1, } que têm um número ímpr de 1s As plvrs de {0, 1} que terminm em 1 ms não em 111. () Dá um descrição informl d lingugem representd pel expressão regulr 0(0 + 1) + (11) (c) Sendo r e s expressões regulres, indic se s expressões regulres seguintes são ou não equivlentes, demonstrndo se o forem ou exiindo um plvr que pertenç um e não à outr, cso contrário: (r + s) e (r + s) () Escreve um expressão regulr que descreve cd um ds seguintes lingugens: As plvrs de {0, 1, } que contêm pelo menos um 1 ou um. As plvrs de {0, 1} que contêm 11 ms não 00 () Dá um descrição informl d lingugem representd pel expressão regulr ( + ) (c) Sendo r e s expressões regulres, indic se s expressões regulres seguintes são ou não equivlentes, demonstrndo se o forem ou exiindo um plvr que pertenç um e não à outr, cso contrário: (rs + r) r e r(sr + r) () Escreve um expressão regulr que descreve cd um ds seguintes lingugens: As plvrs de {, } que não terminm em As plvrs de {,, c} que não contêm () Dá um descrição informl d lingugem representd pel expressão regulr (01 1 + 0 0) (c) Sendo r e s expressões regulres, indic se s expressões regulres seguintes são ou não equivlentes, demonstrndo se o forem ou exiindo um plvr que pertenç um e não à outr, cso contrário: r (sr ) e (s + r) Dep. Ciênci de Computdores/FCUP 003 004 5