APROXIMAÇÕES AO FILTRO IDEAL

APROXIMAÇÕE AO FILTRO IDEAL INTRODUÇÃO No capítulo estudaram-se vários tipos de fuções de trasferêcia de primeira e de seguda ordem, que são ecessárias para realizar qualquer fução de trasferêcia Neste capítulo determiar-se-ão as fuções de trasferêcia que satisfazem codições pré-determiadas de respostas de amplitude, de fase ou de atraso de grupo Como se viu, o filtro passa-baixo ideal teria uma ateuação ula e uma característica de fase liear com a frequêcia, desde a frequêcia ula até à sua frequêcia de corte, ω C, e uma ateuação ifiita para frequêcias maiores do que ω C, ver Fig Este filtro ão é realizável a prática, mas há diversas formas de obter características aproximadas a este ideal Estas formas podem separar-se em duas grades classes: aproximações à resposta de amplitude ideal e aproximações à resposta de fase ideal upoha que quer aproximar a resposta iversa do filtro pelo cociete de dois poliómios, sedo o do umerador de grau e o do deomiador de grau m X ( ) H ( ) = = T ( ) Y ( ) ( ) O quadrado da resposta em frequêcia iversa de um filtro passa-baixo, sedo uma fução par da frequêcia, será descrita pelo cociete de dois poliómios pares, isto é, por

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL H ( j) + a = H ( j) H ( j) = + b A (db) 4 + a + + a 4 + b + + b m m A (db) = + ( a b ) + 4 [( a b ) b ( a b )] + 6dB/oit ( ) A s A mi A p A máx ideal = 0 0 Bada de: passagem φ() ateuação ideal = 0 0 passagem φ() s trasição Badas de: ateuação ideal com atraso τ() ideal com atraso ideal = 0 τ() Fig - Filtro ideal passa-baixo e filtro real No caso de um filtro passa-baixo, só com pólos, os coeficietes b i são ulos, vido: H 4 ( j) = H ( j) H ( j) = + a + a + + a = + ( j em que K(j) é a chamada fução característica do filtro ) ( 3) APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL A fução K(j), a bada de passagem, represeta o erro do filtro em relação à fução ideal H(j) = Os métodos de aproximação ao filtro ideal pretedem impor várias codições sobre a variação do erro a bada de passagem ou a bada de ateuação Na secção seguite desevolver-se-ão métodos que permitem obter erros ulos em = 0 e cuja característica de ateuação é a que mais se aproxima do filtro ideal para frequêcias muito baixas Respostas de amplitude maximamete plaas No caso da resposta ( ), para um filtro passa-baixo, com pólos e com zeros, m <, poder-se-ia desevolver esta resposta uma série de termos da frequêcia, através de uma série de Mac-Lauri e obter: H ( j) '' ' D (0) D (0) d H ( j) = D(0) + D (0) + + + em que D (0) =!! d = 0

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 3 ( 4) Para obter uma fução de ateuação maximamete plaa em = 0, deve ser D(0) = e todas as derivadas ulas, com a excepção da de ordem, vido: a i = b i, i =,,, m; b = 0, i = m +,, ; e b 0 ( 5) Ou seja, os filtros dotados de ateuação com aplaameto máximo em = 0 têm o poliómio do umerador de H(j) igual ao do deomiador somado com o termo b 3 Aproximação de Butterworth A aproximação de Butterworth pressupõe que a fução de trasferêcia T() só tem pólos e que o filtro tem uma fução característica que é um poliómio de Butterworth, B (), da frequêcia, com grau A frequêcia está ormalizada à frequêcia de corte ω C, pretedida para o filtro, isto é: = s/ω C, vido X() Y() H () = = T() = B () = b 0 + b + + b ( 6) Nos filtros de Butterworth a fução característica é proporcioal a um poliómio de Butterworth, através da costate ε cujo sigificado será aalisado mais adiate, ( ) K ( j) = ε B ( 7) As fuções de Butterworth satisfazem quatro codições importates: B () é um poliómio de grau ; B (0) = 0; B () é maximamete plao em = 0; B () = A aproximação de Butterworth coduz ao aplaameto máximo da característica de ateuação do filtro, em = 0 e, por isso, H(j), tedo em cota ( 4) e ( 5), será do tipo H ( j) = H ( j) H ( j) = + = + K( j ) ( 8) Raízes dos poliómios de Butterworth As raízes da fução H(), que são os pólos do filtro, podem obter-se otado que De ( 8) obtém-se: H ( ) = H ( ) H ( ) ) = H ( j = j = = j j ( 9)

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 4 H ( ) H ( ) = + ( j) = + ( ), ( 0) cujas raízes satisfazem a codição = -, para par, e + para ímpar, isto é, têm módulo uitário e âgulo θ, (argumeto), dados por: = ( ± ) π θ =, ± π =, par para ímpar = 0,,, ( ) Regra Memóica: As raízes (pólos do filtro) estão situadas sobre uma circuferêcia com raio uitário, e, atededo a ( ), estão separados etre si de π/ radiaos; os filtros de ordem ímpar têm um pólo real egativo em = - Cada par de pólos cojugados origia uma fução de trasferêcia quadrática com a forma H ( ) = ( = + cosθ )( + = ) = ( + cosθ + ξ + = jseθ )( + cosθ + Q + jseθ ) + ( ) que depede do factor de amortecimeto dos pólos, ξ, ou do seu factor de qualidade, Q, pois ξ = cos θ = /(Q ) A partir desta codição podem calcular-se os poliómios de Butterworth, que se ecotram represetados a Tab, bem como os factores de qualidade dos pólos complexos cojugados Por exemplo, os pólos do filtro de 3ª ordem serão: = -;,3 = -cos 60º ± jse60º, o que coduz a H ( ) = ( )( )( = ( + )( + cos 60º jse60º )( + cos 60º + jse60º ), = ( + )( + + ) ( 3) como está represetado a Tab Nesta tabela ecotram-se listados também os valores do factor de qualidade dos pólos 3 ) Tab - Pólos dos filtros de Butterworth Pólos dos filtros Butterworth Q p Q p Q p3 (+) (+,44+ ) 0,7 3 (+) (++ ),00 - o módulo dos pólos é uitário

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 5 4 (+0,765+ ) (+,848+ ),3 0,54 5 (+) (+0,68+ ) (+,68+ ),6 0,6 6 (+0,58+ ) (+,44+ ) (+,93+ ),93 0,7 0,5 7 (+) (+0,445+ ) (+,47+ ) (+,80+ ),5 0,80 0,55 A ateuação de um filtro de Butterworth, em =, dada por ( 8), é de 3 db, ou seja (½ -/ ) e pretedermos uma ateuação A P, diferete de ½ -/, a frequêcia de corte C, diferete de, deve fazerse a seguite correspodêcia, ou escalameto de frequêcia, = α, isto é: C = α Fazedo α = ε /, vem ' = ε = ε s ω pelo que a ateuação de um filtro de Butterworth será, fialmete, P ( + ) A( ) = 0 log H ( j) = 0log ε ( 4) ( 5) Determiação dos parâmetros de um filtro de Butterworth O filtro deve satisfazer a especificação de ateuação A() < A P a bada de passagem e A() > A para > Pode-se observar de ( 5), que qualquer que seja a ordem do filtro, a ateuação é sempre a mesma para = Isto permite calcular o parâmetro ε e atribuir-lhe um sigificado Tedo o valor de ε, pode impor-se o valor da ateuação A desejada em e calcular a ordem ecessária para o filtro De facto vem: o que permite obter, = A() = 0log = A( ( + ε ) = AP ε ( + ε ) A ) = 0log, ( 6) ε = 0 0, AP 0 log ε log 0, A 0 log = 0 0, A 0, AP ( ) log( ) a ordem deve ser, evidetemete, aproximada ao úmero iteiro superior ao resultado obtido ( 7) Lei de ateuação assitótica de um filtro de Butterworth Defie-se a lei de ateuação assitótica como sedo a lei de variação da ateuação com a frequêcia, quado s A ateuação assitótica de um filtro de Butterworth pode obter-se fazedo >>, vido,

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 6 ( ε ) = 0logε + 0 log >> A( ) 0log ( 8) Esta característica de ateuação tem uma icliação de 0 db por década e varia ligeiramete com a odulação ε escolhida para a bada de passagem Exercício - Relação etre a frequêcia de corte e a ateuação a bada de passagem Calcule a frequêcia de corte, a 0,5 db, 0,5 db, db, db e 3 db, de erro a bada de passagem de um filtro de Butterworth de ª ordem Resolução: A ateuação de um filtro de Butterworth, de uma dada ordem, é apeas fução da frequêcia e pode estimar-se pelas equações ( 4) e ( 6), vido: A P ε 0,5 0,43 0,5 0,348 0,50 0,764 3 = ε / C 0,493 0,59 0,708 0,875 Exercício - Determiação da ordem de um filtro de Butterworth Qual a ordem de um filtro de Butterworth que satisfaz A P = 0, db, A = 30 db, ω /ω P =,3? olução: A solução é = 0,3 ou seja =, a que correspode A = 3,5 db, que é superior ao valor desejado Exercício 3- Escalameto de frequêcia Mostre que a operação de escalameto de frequêcia ão altera o factor de qualidade das raízes dos filtros de Butterworth Exercício 4- Factores de qualidade das raízes de poliómios de Butterworth Mostre que quado a ordem do filtro aumeta, o factor de qualidade das raízes também aumeta 4 Aproximação de Chebychev Como já foi visto, a aproximação de Butterworth de ordem coduz ao melhor poliómio em que maximiza o aplaameto da característica de ateuação a frequêcia = 0 O erro de ateuação, relativamete ao filtro ideal passa-baixo, é ulo em = 0, sedo progressivamete crescete a bada de passagem A aproximação de Chebychev coduz a um poliómio em que miimiza o erro a bada de passagem, segudo um critério de erro oscilate etre um certo úmero de valores máximos e míimos Poliómios de Chebychev Os poliómios de Chebychev são fuções do tipo siusoidal da frequêcia, do tipo: - O matemático russo Tchebychev estudou estes poliómios, mas o ocidete aceitou-se o ome Chebychev, por ter sido um fracês que primeiro traduziu os seus trabalhos

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 7 ( cos ( ) ) 0 ( cosh ( ) ) > C ( ) = cos = cosh ( 9) Embora estas expressões ão aparetem tratar-se de um poliómio, o cálculo das expressões trigoométricas permite obter as seguites relações recorretes 3 : C0( ) = ; C( ) = ; C ( ) = C ( ) C ( ); ( 0) As fuções de Chebychev, C (x), satisfazem as seguites codições: i)- C é um poliómio de ordem que é par se for par e é impar se for ímpar; ii)- C tem todas as raízes o itervalo < x <+; iii)- C tem valores que oscilam etre ± o itervalo < x < +; iv)- C () = Os filtros de Chebychev têm como fução característica um poliómio de Chebychev escalado em amplitude por um factor ε, isto é: K ( j) = ε C A fução de resposta em frequêcia iversa de um filtro de Chebychev será, etão, dada por: A( ) = 0log H(j) ( ) = 0log Determiação dos parâmetros de um filtro de Chebychev [ + ( εc ( )) ] ( ) ( ) A costate de escala, ε, permite cotrolar o erro máximo ou odulação da fução de trasferêcia a bada de passagem De facto, basta ver que, para =, se tem, para qualquer, C () =, dode se obtém, por um modo semelhate ao que se fez os filtros de Butterworth, ε = 0 0, AP 0 cosh ε cosh 0, A 0, A 0, AP ( ) cosh ( ) cosh = 0 0 ( 3) Compromissos de ateuação de um filtro Chebychev A largura de bada ω P e o factor de escalameto ε, estão relacioados etre si De facto, de ( ), para = (ω/ω P ) =, a ateuação é 0 log, isto é : 3 - Basta cosiderar a seguite relação trigoométrica: cos[(+)]a = cos(a)cos(a)-cos[(-)a]

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 8 0, AP ( 0 ) ω 0, A P ε C ( ) = ε C ( ) =, e sedo ε = vem 0 = + C ( ) ω P ω P ( 4) Esta equação mostra que existe um compromisso etre ε, a ordem e a frequêcia de corte ω P e para uma ordem fixa, se preteder uma odulação pequea, a bada de passagem deve ser pequea e se preteder uma odulação pequea e uma largura de bada grade, etão a ordem deve ser maior De ( ), obtêm-se para >>, a aproximação, baseada a aproximação (válida para x >>), C (x) - x, [ ε C ( ) ] 0log [( ε ] A( ) 0log ( = 0logε + 0log( ) + 0 log ( 5) Esta expressão permite verificar que ao reduzir-se ε (meor odulação a bada de passagem), também se reduz a ateuação a bada de ateuação Como era de esperar, a icliação assitótica da ateuação é de 0 db por década, mas a ateuação obtida com a aproximação de Chebychev é sempre superior à do filtro de Butterworth com a mesma ordem, uma quatidade pelo meos de 6 (-) db, como se pode observar comparado as expressões ( 8) e ( 5) Na Fig pode observar-se a variação com a frequêcia de um poliómio de ordem par, 4, e um de ordem ímpar, 5 Pode aida observar-se as curvas de ateuação dos correspodetes filtros de Chebychev Fig - Poliómios de Chebychev de ordem 4 e 5 e correspodetes filtros de Chebychev Pode cocluir-se o seguite: Os filtros de ordem par têm erro máximo em = 0, equato os de ordem ímpar têm erro ulo;

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 9 O filtro de ordem tem + extremos (máximos ou míimos) de ateuação o itervalo 0, ver potos assialados a Fig Determiação dos pólos do filtro de Chebychev edo, H ( j) = H ( j) H ( j) = + K( j), ( 6) os zeros, da fução H(), podem obter-se usado a teoria da cotiuação aalítica, que já foi usada a determiação dos pólos dos filtros de Butterworth, substituido por j e impodo a seguite equação: H ( ) H ( j) = + ε C ( j ) = 0 ( 7) Na solução desta equação atribuem-se os zeros com parte real egativa a H() e os zeros com parte real positiva a H(-) Usado ( 9) e as variáveis itermédias u e v, vem: cosh ( j ) = u + C ( j) = cosh ucos jv + sehu sehjv = ± lembrado que cosh(ju) = cos(u) e seh(ju) = jse(u), resulta jv j ε cosh ucos v = 0 seh( u) seh( v) = ± A solução coduz aos âgulos θ os quais se v = ±; Os zeros serão: ( ± ) π θ = para = 0,,,, e ε u = seh ε ( 8) dode se obtém = Σ + j = j cos( u + jv) = seu sehv + j cosu cosh v, ( 9) Σ seh + v cosh v =, ( 30)

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 0 que é a equação de uma elipse e que ilustra o facto de os pólos de T() estarem sobre uma elipse com semi-eixo maior dado por b = cosh(v) e o semi-eixo meor dado por a = seh(v), com focos localizados em = ± Na Fig 3 pode observar-se, sobre uma elipse, o pólo real (P C0 ) e um dos pólos complexos cojugados (P C ) de um filtro de Chebychev de 3ª ordem Estes pólos podem ser calculados a partir dos correspodetes pólos (P B0 e (P B )) de um filtro de Butterworth através da costrução geométrica apresetada a Fig 3 Por exemplo, o pólo P C pode determiar-se a partir do pólo P B, traçado a recta bissectriz a 45º (âgulo θ do pólo de Butterworth) e as duas rectas R e R que passam o poto de itersecção da bissectriz com as duas circuferêcias de raio a e b dados por: P C R [( ) ] / ε + + / γ = ε a = b = ( γ γ ) ( γ + γ ) P B R P B0 - b - - a P C0 θ = 45º Fig 3- Cálculo dos pólos de um filtro de Chebychev a partir dos pólos de um filtro de Butterworth Os pólos dos filtros de Chebychev depedem do parâmetro ε e, portato, da ateuação A P a bada de passagem, pelo que é ecessário ter uma tabela para cada valor de ε Na Tab ecotram-se os pólos e factores de qualidade de filtros de Chebychev para vários valores de ordem e de A P No aexo pode ecotrar mais valores tabelados Tab - Pólos de filtros de Chebychev para AP = 0,5 db Pólos dos Filtros Chebychev Q p Q p (,863+) (,56+,46+ ) 0,86 3 (0,66+) (,4+0,66+ ),7 4 (,064+0,35+ ) (0,356+0,847+ ) 0,7,94 5 (0,36+) (,036+0,4+ ) (0,447+0,586+ ),8 4,54 Exercício 5- Cálculo de um filtro de Chebychev Determie a ordem de um filtro de Chebychev que satisfaz as especificações: A P = 0, db, A = 30 db; f C = 000 Hz, F = 300 Hz Resolução: = f /f c =,3 De ( 3), obtêm-se = 7,9 Como deve ser iteiro, será = 8 Para =,3 A( 8 ) = 30, que satisfaz o valor pretedido de 30 db Exercício 6- Cálculo de um filtro de Chebychev Determie a ordem de um filtro de Chebychev que satisfaz as especificações: A P = 0, db, A = 50 db; f C = 000 Hz, F = 300 Hz

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 5 Aproximação de Chebychev Iversa Quer os filtros de Butterworth quer os de Chebychev são filtros poliomiais, isto é, só têm pólos a sua fução de trasferêcia Os zeros de trasmissão só acotecem para ifiito A itrodução de zeros de trasmissão uma frequêcia fiita coduz a uma variação da ateuação muito mais abrupta do que aquilo que se cosegue usado só pólos A iversão da característica de ateuação de um filtro de Chebychev, dado que este tem igual odulação da ateuação a bada de passagem, coduzirá a uma ateuação com igual odulação a bada de ateuação e origiará ateuações ifiitas algumas frequêcias, uma vez que o filtro de Chebychev tem ateuação ula algumas frequêcias, como se pode ver a Fig 4 Obtêm-se, assim, zeros de trasmissão Os filtros de Chebychev iversos têm a propriedade de aplaameto máximo a bada de passagem, tal como os filtros de Butterworth, mas são mais selectivos que estes a bada de trasição Fig 4- Correspodêcia etre ateuações de um filtro de Chebychev e do filtro de Chebychev iverso A fução H(j) do filtro de Chebychev iverso está relacioada com a do filtro de Chebychev por: H ( j) CI = + H ( j ) C = + ε C ( 3) Esta trasformação garate que os filtros iversos de Chebychev têm aplaameto máximo a origem, tal como os filtros de Butterworth, e têm igual odulação a bada de ateuação, coseguida à custa da itrodução dos zeros de trasmissão provocada pela iversão da característica Assim, para frequêcias pouco maiores do que =, a selectividade dos filtros iversos de Chebychev é maior do que a dos filtros de Chebychev e de Butterworth, devido ao efeito dos zeros de trasmissão Os pólos e os zeros de trasmissão do filtro iverso de Chebychev calculam-se muito facilmete a partir dos correspodetes pólos do filtro ormal de Chebychev

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL Assim, os míimos de ateuação a bada de ateuação ocorrem as frequêcias iversas daquelas em que o filtro de Chebychev tem a ateuação máxima a bada de passagem, ou seja, ode C (/)= ± /ε, o que, de ( 9) coduz a: z ( + ) π ( + ) π = sec para = 0,,,,, dado cos ( / ) = z ( 3) As frequêcias de ateuação míima a bada de ateuação são: A π = sec ( 33) Pólos e zeros do filtro iverso de Chebychev Para obter os pólos e zeros do filtro iverso de Chebychev deve começar-se por calcular o parâmetro ε, a partir da ateuação míima A requerida, através de: ε = 0,05 A 0 0 cosh cosh ε 0, A ( ) ( 34) Depois calculam-se os pólos do correspodete filtro de Chebychev, com a mesma ordem e o ε já calculado Os pólos do filtro iverso são os recíprocos do filtro de Chebychev ormal, e os zeros são os existetes as frequêcias A, acima referidas Os filtros iversos de Chebychev e os filtros de Chebychev satisfazem as mesmas especificações de ateuação com a mesma ordem, ão trazedo ehuma vatagem prática do poto de vista de ateuação Até a realização dos primeiros é mais complexa, pois ecessitamos de itroduzir zeros (para par) e - zeros, (para ímpar) Todavia estes filtros itroduzem o efeito dos zeros de trasmissão que pode ser muito mais bem explorado, do poto de vista da amplitude da resposta em frequêcia, os filtros elípticos, cujo estudo se segue Exercício 7- Cálculo do factor de qualidade dos pólos Chebychev iverso A partir dos pólos do filtro de Chebychev referido o Exercício 5, calcule o factor de qualidade destes pólos e os do filtro de Chebychev iverso Resolução: O factor de qualidade das raízes serão: i) Chebychev- 0,59,,8,,45 e 8,08; ii)- Chebychev iverso: 0,54, 0,86,,64 e 5,7

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 3 O factor de qualidade dos pólos do filtro de Chebychev iverso é meor do que o factor de qualidade dos filtros do correspodete filtro de Chebychev (ver Exercício 7), pelo que o atraso de grupo também será mais plao que o do filtro de Chebychev, sedo semelhate ao do filtro de Butterworth 6 Aproximação de Cauer-Chebychev Os filtros elípticos ou de Cauer-Chebychev têm a propriedade de ter igual odulação a bada de passagem e também a bada de ateuação De certo modo, são semelhates aos filtros de Chebychev a bada de passagem e aos filtros de Chebychev Iversos, a bada de ateuação A determiação destes filtros é muito complexa e baseia-se a utilização de itegrais elípticos Na prática é preferível usar tabelas ou programas de computador que calculam estes filtros em vez de obter expressões para o cálculos dos pólos e dos zeros da fução de trasferêcia destes filtros O livro de Zeverev apreseta tabelas destes filtros desde ordem a 7 em termos de parâmetros, um âgulo, θ (º) e o factor de reflexão ρ (%), defiidos da seguite forma: θ = se - ou = = cos ecθ seθ ρ = e m p ( 35) em que m p (epper) =A P (db) / 8,69 = 0,5 A P (db)

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 4 7 APROXIMAÇÕE A ATRAO DE GRUPO CONTANTE Como vimos, a resposta em frequêcia com atraso de grupo costate é uma das codições para que um filtro ão itroduza grade distorção a resposta o domíio do tempo Também aqui se procura, de modo semelhate ao que foi obtido para a aproximação à resposta em amplitude ideal, obter comportametos do atraso de grupo, do tipo costate com aplaameto máximo em = 0 ou com igual odulação o erro do atraso de grupo costate Os filtros de Bessel-Thomso seguem o critério de aplaameto máximo Tem também iteresse prático determiar um filtro cuja resposta ao impulso seja uma resposta do tipo de fução gaussiaa do tempo, que também aproxima um filtro com atraso de grupo costate 4 8 Aproximação de Gauss O filtro gaussiao ideal deve ter a seguite fução de trasferêcia que correspode à trasformada de uma fução gaussiaa o tempo 0,347 H ( j) = e, ( 36) tedo a frequêcia de corte a 3 db em =, isto é: H(j) = Por cotiuação aalítica, pode obter-se: H ( ) H ( ) = H ( j) = e = j 0,694 ( 37) expadido o termo expoecial em série de Mac-Lauri, obtém-se, H ( ) H ( ) = H ( j) a = j = e lim i= 0 i a i! supodo a = 0,694, podem obter-se os pólos da tabela seguite i a a + 4 3 6 a + 6 ( 38) 4 - Na trasmissão digital de pulsos a um ritmo /T, através de um sistema com rsposta em frequêcia do tipo gaussiao, a iterferêcia etre símbolos resultate da filtragem, aula-se sempre os istates múltiplos do período de amostragem

APROXIMAÇÕE À REPOTA DE AMPLITUDE IDEAL 5 A idetificação dos pólos de H() do semi-plao complexo esquerdo dá os pólos do filtro de Gauss, de ordem são os descritos a tabela Tab 3- Pólos de filtros de Gauss ormalizados a = com A P = 3 db P Q p P Q p P3 Q p3 P4,3908 0,54 3,66 0,6059,56 R 4,9086 0,6747,6768 0,544 5,309 0,7358,8498 0,547,7765 R 6,3373 0,7968,0 0,5755,90 0,5074 7,5384 0,8548,953 0,6098,0436 0,534,9998 Em que R sigifica que o pólo apeas tem parte real 9 Aproximação de Bessel-Thomso A aproximação d Bessel-Thomso visa obter atraso de grupo costate a bada de passagem, com uma característica de aplaameto máximo em = 0, ormalizado para um atraso de grupo τ 0 uitário, vem H ( ) = e τ 0 = e = seh( ) + cosh( ), τ 0 = podem obter-se os pólos represetados a Tab 4 ( 39) Tab 4- Pólos dos filtros de Bessel ormalizados a = com A P = 3 db P Q p P Q p P3 Q p3 P4,73 0,5774 3,4494 0,85,343 R 4,6043 0,8055,430 0,59 5,7573 0,964,558 0,5636,5040 R 6,9070,033,69 0,6,6058 0,503 7,059,64,854 0,6609,79 0,534,687