Descorir Mtemátic com Músic relizdo n Cs d Músic em Outuro 2007 O conceito principl deste workshop é o de simetri - se de todos os pdrões, n rte, n ciênci, n nturez, e portnto tmém nos pdrões musicis - e su relizção mtemátic trvés d noção de grupo. Nests folhs poderás encontrr um resumo dos tems trtdos no workshop, ssim como um série de trefs que poderás relizr de modo consolidr e profundr s noções mtemátics presentds. Podes encontrr o workshop no endereço http://www.fc.up.pt/cmup/mtmusic/workshop/ Estudr Mtemátic n FCUP convidmos-te visitr o site: http://www.fc.up.pt/mt 1
Exemplo 1 Construir um melodi usndo pens 3 nots com mesm durção e stisfzendo s regrs seguintes: R1 n melodi têm que precer s 3 nots ordends de tods s forms possíveis R2 cd um ds ordenções ds 3 nots só pode precer um únic vez (chmremos série cd um desss ordenções) Ess construção deverá ser feit de form determinist, isto é, usndo um conjunto de instruções em definids. E o menor número possível de instruções pr que o processo não fique demsido complicdo. Designemos s três nots por: Existem 6 modos distintos de ordenr ests 3 nots: 2
Construção de um melodi de form determinist começr com instrução : trocr s posições ds dus primeirs nots instrução : trocr s posições ds dus últims nots Note-se que =e e =e sendo instrução e: não fzer nd 3
Usndo s instruções e, será possível construir um melodi com pens 3 nots e stisfzendo s regrs descrits trás? Começndo com série, existem pens 2 melodis ns condições nteriores: 4
Ms existem mis instruções que poderemos dr: trocr primeir com últim posição (ou ) trocr tods s posições e Existem portnto 6 instruções distints que podemos seguir pr otermos tods s séries de 3 nots: e. E qulquer cominção de dus dests operções dá novmente um dels: e e e e e e e e 5
Est máquin de instruções constitui quilo que os mtemáticos chmm de grupo. Um grupo é um conjunto de ojectos (neste cso instruções) que podem ser comindos entre si (trvés de um operção ) de form oter novmente um elemento desse conjunto (neste cso plicção consecutiv de instruções) e stisfzendo 3 regrs: 1. existênci de um ojecto especil, o não fz nd e e g=g e=g 2. cd um dos ojectos tem um pr que comindo consigo conduz o não fz nd g h=h g=e ex: =e =e () () =e 3. operção é ssocitiv ( ordem pel qul grupmos s operções é irrelevnte g (h i)=(g h) i Tref 1: Usndo tel d págin nterior, verific que cd um ds instruções tem um pr ns condições de 2. 6
Gerdores de um grupo: conjunto de ojectos que podem ser usdos pr oter todos os outros elementos do grupo. O conjunto constituído pels 6 instruções: e e pel operção é um grupo, onde g h signific plicr instrução h e seguir instrução g. Tref 2: Recorrendo à tel d págin 5, verific vercidde d firmção cim. Esse grupo (constituído pels 6 instruções) é tmém o grupo ds simetris de um triângulo equilátero: e 7
Exemplo 2 Construir um melodi usndo 4 nots com mesm durção e stisfzendo s regrs seguintes: R1 n melodi têm que precer s 4 nots ordends de tods s forms possíveis R2 cd um ds ordenções ds 4 nots só pode precer um únic vez Designemos s qutro nots por: Existem 24 mneirs distints de ordenr ests 4 nots e portnto situção é mis complicd. Se pretendermos construir um melodi de form determinist como no cso nterior, poderemos colocr seguinte questão: Qul o número mínimo de instruções necessáris pr construir melodi? Temos gor 4 nots pr ordenr. Inspirdos no exemplo nterior iremos considerr esss 4 nots como os vértices de um qudrdo. 8
9 O qudrdo tem 8 simetris, 4 de reflexão e 4 de rotção. rotção de 90º (sentido ntihorário) Consideremos s simetris seguintes:
10 Cominndo s simetris e conseguimos oter tods s 8 simetris do qudrdo. Rotções: de 90º: de 180º: de 270º: de 360º: =e Reflexões:
Tref 3: Constrói um tel nálog à d págin 5 correspondente às 8 simetris do qudrdo. Verific que se trt efectivmente de um grupo. Note-se que =e e =e. Assim pr construir melodi terá que se plicr e lterndmente: Não é possível construir melodi com pens ests dus instruções, pois não é possível oter s 24 séries de 4 nots. 11
Pr construirmos melodi necessitremos de pelo menos mis um instrução. E est instrução não poderá corresponder um simetri do qudrdo: c troc d 3ª e 4ª posições Construção d melodi: c c 12
E poderemos vnçr pr exemplos mis complicdos com um mior número de nots. Ms Qunto tempo demorri tocr um melodi com s regrs proposts? Supondo que tocmos 30 séries por minuto: número de nots n 3 4 6 8 10 12 16 número de séries n! 6 24 720 40 320 3 628 800 479 001 600 20 922 789 888 000 durção prox. d melodi 12 segundos 48 segundos 24 minutos 22 hors 84 dis 30 nos e meio 1 330 000 nos 13
Os mtemáticos tentm generlizr s situções concrets que estudm de modo colocá-ls no âmito de um teori mis gerl que explique esss e outrs situções prentemente distints. Nos dois exemplos nteriores o que há de essencil? Um conjunto de séries de nots. Ms poderim ser outros ojectos musicis. Por exemplo céluls rítmics, cordes, etc M={ojectos musicis} Um grupo G gerdo por instruções,, que ctum nos ojectos musicis de M trnsformndo-os uns nos outros. G M Alguns exemplos ilustrtivos 14
1. Círculo ds quints Pr presentr M necessitremos primeiro de um pouco de ritmétic do relógio. Pensemos num relógio com 0 n posição ds 12 hors: 11 0 1 1+2=3 mod 12 3-1=2 mod 12 10 2 11+1=0 mod 12 1-2=11 mod 12 9 3 11+2=1 mod 12 etc 0-3=9 mod 12 8 7 6 5 4 12 ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} é chmdo conjunto dos inteiros módulo 12. Tref 4: Mostr que 12 com operção de dição módulo 12 é um grupo. 15
1 3 6 8 10 0 2 4 5 7 9 11 M clsses dos 12 (semi)tons cromáticos so igul tempermento, otids trvés de equivlênci por oitvs 10 11 lá# si 0 dó 1 dó# ré 2 modelo mtemático 9 8 lá sol# 7 sol fá# 6 fá ré# mi 5 4 3 M = 12 ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} dição módulo 12 16
Que tipo de trnsformções se podem fzer em M = 12? Trnsposições e Inversões são dus trnsformções muito utilizds por músicos. Trnsposição: A função T n : 12 12 definid por T n (x)=x+n mod 12 é chmd trnsposição pelos músicos e trnslção pelos mtemáticos. 10 11 lá# si 0 dó 1 dó# ré 2 T 11 9 10 lá lá# 11 si 0 dó dó# 1 9 lá ré# 3 8 sol# ré 2 8 sol# 7 sol fá# 6 fá 5 mi 4 7 sol fá# 6 fá 5 ré# mi 4 3 17
Inversão: A função I n : 12 12 definid por I n (x)= -x+n mod 12 é chmd inversão pelos músicos e reflexão pelos mtemáticos. 10 9 11 lá# lá si 0 dó I 0 1 dó# ré ré# 2 3 10 9 11 lá# lá si 0 dó 1 dó# I 1 ré ré# 2 3 8 sol# 7 sol fá# 6 fá mi 5 4 8 sol# 7 sol fá# 6 fá mi 5 4 I 1 =T 1 I 0 18
Podemos encontrr trnsposições e inversões por exemplo em: Fugue No.6 in D minor, The ell-tempered Clvier Book I de Johnn Sestin Bch (1685-1750) Um fug começ usulmente com um tem principl que se repete váris vezes so diferentes forms. Num fug podemos encontrr ocorrêncis de trnsposição e inversão. tem: <ré,mi,fá,sol,mi,fá,ré,dó#,ré,lá#,sol,lá> = <2,4,5,7,4,5,2,1,2,10,7,9> T 7 P = <9,11,0,2,11,0,9,8,9,5,2,4> I 6 P = <4,2,1,11,2,1,4,5,4,8,11,9> De fcto não é exctmente I 6 P que podemos ouvir ms sim dus séries muito precids, diferindo pens ns 3 últims nots : <4,2,1,11,2,1,4,5,4,9,0,10> e <4,2,1,11,2,1,4,5,4,7,10,9> Explor em http://jn.ucc.nu.edu/~ts3/chindex.html 19
Tref 5: Us o modelo 12 pr reescrever seguinte melodi n Cnção do Toredor no 2º cto d óper Crmen de Bizet: e clcul I 6 (P), e T 4 (P). P= < dó,ré, dó,lá, lá, lá,sol, lá, lá#, lá, lá#, sol, dó > O conjunto G de tods s trnsposições em 12 com operção definid como n pág.7 constitui um grupo. G={T 0,T 1,T 2,T 3,T 4,T 5,T 6,T 7,T 8,T 9,T 10,T 11 } T 7 é um gerdor do grupo G Tref 6: Mostr que T 7 é de fcto um gerdor do grupo de tods s trnsposições em 12. 20
G M 1 0 dó 3 4 ré# mi 7 sol 8 sol# T 7 dó# 2 ré 5 6 fá fá# 9 lá 10 lá# 11 si Começndo com dó e plicndo T 7 sucessivmente: 10 lá# 3 ré# 5 fá 0 dó Círculo ds Quints 7 sol ré lá 2 9 (um quint just ou quint perfeit é o intervlo entre dus nots musicis correspondente um intervlo de 7 meios tons) 8 sol# dó# 1 fá# 6 si 11 mi 4 21
Existem pens 4 mneirs distints de dispôr s 12 nots de M sore um círculo de tl modo que o intervlo entre dus nots consecutivs no círculo sej sempre o mesmo: 10 9 8 11 lá# lá si sol# sol 7 0 dó fá# 6 1 dó# ré ré# mi fá 5 0 1 11 dó# dó si 2 2 ré lá# 10 círculo dos semitons 3 scendente e descendente 3 lá 9 ré# 4 4 mi sol# 8 fá T fá# sol 1 T 5 7 11 6 3 10 8 5 lá# ré# sol# dó# 1 fá 0 dó fá# 6 7 sol ré si 2 lá 9 círculo ds quints 9 ré# 3 scendente e descendente lá mi sol# 4 mi 4 8 si dó# 11 fá# 11 1 T T 7 6 5 2 7 ré sol 0 dó 5 fá lá# 10 22
Flámos em trnsposições e inversões. O conjunto constituído por tods s trnsposições de 12 é um grupo, ms o conjunto constituído por tods s inversões de 12 não é um grupo. No entnto, o conjunto constituído por tods s trnsposições e inversões de 12 é um grupo.. Tref 7: Mostr que o conjunto constituído por tods s inversões de 12 não é um grupo e que o conjunto constituído por tods s trnsposições e inversões de 12 é um grupo. 23
2. Acordes (escrit ou execução de três ou mis nots simultnemente) Tríde Mior corde de 3 semitons d form {k, k+4, k+7} 4 3 Tríde Menor corde de 3 semitons d form {k, k+3, k+7} 3 4 Existem 12 trídes miores otids trvés do corde de dó mior: dóm={dó,mi,sol}= ={0,4,7} por trnsposição: {0,4,7} {1,5,8} {2,6,9} {3,7,10} {4,8,11} {5,9,0} Existem 12 trídes menores otids trvés do corde de dó menor:dóm={dó,ré#,sol}= ={0,3,7} por trnsposição: {0,3,7} {1,4,8} {2,5,9} {3,6,10} {4,7,11} {5,8,0} Podemos oter trídes menores prtir de trídes miores trvés de inversões.. I 7 {0,4,7} {0,3,7} I 0 {0,4,7} {5,8,0} 24
Qulquer tríde menor pode ser otid trvés de um inversão dequd de qulquer tríde mior e vice-vers. I n {j,j+4,j+7} I m {k,k+3,k+7} Tref 8: Mostr que qulquer tríde menor pode ser otid trvés de um inversão dequd de qulquer tríde mior e vice-vers. G M 12 inversões 12 trnsposições 12 trídes menores 12 trídes miores grupo T I 25
N 9ª Sinfoni de L. Beethoven (1770-1827)(compssos 143-176 do 2º ndmento) pode encontrr-se seguinte sequênci de cordes (usndo o modelo 12 ): I 4 I 9 I 2 {0,4,7} {9,0,4} {5,9,0} {2,5,9} {10,2,5} {7,10,2} I 7 I 0 I 5 I 10 {3,7,10} {0,3,7} I 3 I 8 {8,0,3} {5,8,0} I 1 I 6 {1,5,8} {10,1,5} I 11 {6,10,1} {3,6,10} {11,3,6} {8,11,3} {4,8,11} {1,4,8} I 4 I 9 I 2 I 7 I 0 I 5 {9,1,4} 26
A prtir de um tríde mior é possível oter 3 trídes menores, cd um tendo 2 nots em comum com tríde mior. E prtir de um tríde menor é possível oter 3 trídes miores, cd um tendo 2 nots em comum com tríde menor. P {0,4,7} L R P L {0,3,7} R {0,3,7} {4,7,11} {9,0,4} {0,4,7} {3,7,10} {8,0,3} Tref 9: Aplic s instruções P, L e R os cordes {sol#,si,ré#} e {lá#,ré,fá}. 27
A prtir de um definição rigoros ds instruções P L e R é possível mostrr que o conjunto gerdo por ests três instruções é um grupo. grupo PLR G P, L, R, P P P L P R P P L M 12 trídes menores 12 trídes miores Tref 10: Verific que s inversões d págin 27 correspondem de fcto às instruções L e R. 28
3. Músic Seril Dodecfónic Neste exemplo M é o conjunto constituído por tods s séries de 12 clsses de semitons cromáticos so igul tempermento (séries de 12 elementos de 12 ). Tref 11: Clcul o número de elementos de M. Pr presentr o grupo G é necessário definir mis um instrução: Pr presentr o grupo G é necessário de definir mis um instrução: Retrogrdção ( R ): tocr série do fim pr o início. R <0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11> <11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0> G M inversões trnsposições retrogrdção séries de 12 clsses de semitons cromáticos so igul tempermento. grupo TIR 29
A músic seril dodecfónic sei-se no seguinte: Começ-se com um série de M e plicm-se sucessivmente váris instruções do grupo TIR. série inicil 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7 0 2 7 0 5 10 3 8 1 6 11 4 9 8 3 10 5 0 7 2 9 4 11 6 1 R T 9 I 10 Tref 12: Escolhe um série inicil e compõe um músic seril 30