46 Técnics de Inteligênci Computcionl.. Introdução Este cpítulo resume os principis conceitos sobre s técnics de inteligênci computcionl empregds neste trblho. Primeirmente fornece-se um breve explicção sobre o princípio de funcionmento dos lgoritmos Genéticos (G) descrevendo sus prtes principis e seus prâmetros de evolução. Em seguid present-se um introdução sobre os conceitos básicos de Números Fuzzy descrevendo teori de ritmétic intervlr que é bse pr definição dos operdores de números fuzzy... lgoritmos Genéticos Essencilmente lgoritmos Genéticos é um método de busc e otimizção [] [] [4] [44] [45] que tem su inspirção nos conceitos d teori de seleção nturl ds espécies propost por Drwin. Os sistems desenvolvidos prtir deste princípio são utilizdos pr procurr soluções de problems complexos ou com espço de soluções muito grnde (espço de busc) o que os tornm problems de difícil modelgem e solução qundo se plicm métodos de otimizção convencionis. Estes lgoritmos são inspirdos nos processos genéticos de orgnismos biológicos pr procurr soluções ótims ou sub-ótims. Pr tnto procede-se d seguinte mneir: codific-se cd possível solução de um problem em um estrutur chmd de "cromossomo" que é compost por um cdei de bits ou símbolos. Estes cromossomos representm indivíduos que são evoluídos o longo de váris gerções de form similr os seres vivos de cordo com os princípios de seleção nturl e sobrevivênci dos mis ptos descritos pel primeir vez por Chrles Drwin em seu livro " Origem ds Espécies". Emulndo estes
47 processos os lgoritmos genéticos são cpzes de "evoluir" soluções de problems do mundo rel. Os cromossomos ou indivíduos são então submetidos um processo evolucionário que envolve vlição seleção recombinção (crossover) e mutção. pós vários ciclos de evolução populção deverá conter indivíduos mis ptos. Os lgoritmos genéticos utilizm um nlogi diret deste fenômeno de evolução n nturez onde cd indivíduo represent um possível solução pr um problem ddo. cd indivíduo tribui-se um vlor de dptção: su ptidão que indic qunto solução representd por este indivíduo é bo em relção às outrs soluções d populção. Dest mneir o termo Populção referese o conjunto de tods s soluções com s quis trblh o sistem. os indivíduos mis dptdos é dd oportunidde de se reproduzirem medinte cruzmentos com outros indivíduos d populção produzindo descendentes com crcterístics de mbs s prtes. mutção tmbém tem um ppel significtivo o introduzir n populção novos indivíduos gerdos de mneir letóri. O processo de evolução começ com crição letóri dos indivíduos que formrão populção inicil. prtir de um processo de seleção bsedo n ptidão de cd indivíduo são escolhidos indivíduos pr fse de reprodução que cri novs soluções utilizndo-se pr isto um conjunto de operdores genéticos. Deste modo ptidão do indivíduo determin o seu gru de sobrevivênci e ssim possibilidde de que o cromossomo poss fzer prte ds gerções seguintes. O procedimento básico de um lgoritmo genético é resumido n Figur 5 [46].
48 Inicio t inicilizr populção P(t) vlir populção P(t) enqunto (não condição_de_fim) fç tt+ selecionr populção P(t) prtir de P(t-) plicr operdores genéticos vlir populção P(t) fim enqunto fim Figur 5 Procedimento básico do lgoritmo genético Pr determinr o finl d evolução pode-se fixr o número de gerções o número de indivíduos cridos ou ind condicionr o lgoritmo à obtenção de um solução stisftóri isto é qundo tingir um ponto ótimo. Outrs condições pr prd incluem o tempo de processmento e o gru de similridde entre os elementos num populção (convergênci). s seções seguintes presentm em mis detlhes cd um dos componentes de um lgoritmo genético.... Representção representção é um specto fundmentl n modelgem de um lgoritmo genético pr solução de um problem. Neste estágio define-se estrutur do cromossomo com os respectivos genes que o compõem de mneir que este sej cpz de descrever todo o espço de busc relevnte do problem.... Codificção e Decodificção solução de um problem pode ser representd por um conjunto de prâmetros (genes) unidos pr formr um cdei de vlores (cromossomo); este processo chm-se codificção. s soluções (cromossomos) são codificds
49 trvés de um seqüênci formd por símbolos de um sistem lfbético. Originlmente utilizou-se o lfbeto binário (0 ) porém novos modelos de Gs codificm s soluções com outros lfbetos como por exemplo com números reis [4]. decodificção do cromossomo consiste bsicmente n construção d solução rel do problem prtir do cromossomo. O processo de decodificção constrói solução pr que est sej vlid pelo problem.... vlição vlição permite o lgoritmo genético determinr su proximidde à solução do problem. El é feit trvés de um função que melhor represent o problem e tem por objetivo oferecer um medid de ptidão de cd indivíduo n populção corrente que irá dirigir o processo de busc. Ddo um cromossomo função de vlição consiste em ssocir-se um vlor numérico de dptção o qul supõe-se proporcionl à su "utilidde" ou "hbilidde" do indivíduo representdo em solucionr o problem em questão...4. Operdores Genéticos Os operdores mis conhecidos nos lgoritmos genéticos são os de Reprodução Cruzmento (Crossover) e Mutção. Reprodução: refere-se o processo de selecionr e copir um determindo cromossomo pr populção seguinte de cordo com su ptidão. Isto signific que os cromossomos mis ptos têm mior probbilidde de contribuir pr formção de um ou mis indivíduos d populção seguinte. Existem bsicmente os seguintes métodos: troc de tod populção troc de tod populção com elitismo onde todos os cromossomos são substituídos sendo o cromossomo mis pto d populção corrente copido pr populção seguinte e troc prcil d populção (stedy stte) onde os M melhores indivíduos d populção corrente são copidos pr populção seguinte [] [] [4]. Cruzmento: é um operdor bsedo n troc de prtes dos cromossomos (pis) formndo-se dus novs soluções (filhos). Este processo pode ser
50 observdo no exemplo seguir (Figur 6) onde solução está codificd com lfbeto binário. Indivíduos ntes do Crossover Resultdo pós o Crossover Indivíduo 0 0 0 0 Filho Indivíduo 0 Filho 0 0 0 0 0 Ponto de corte Figur 6 Cruzmento de um ponto. O ponto onde ocorre o corte pr relizção do cruzmento é escolhido letorimente; no exemplo d Figur 6 utilizou-se um único ponto ms podem ser relizdos cortes em mis de um ponto crcterizndo o multi-point crossover [] [4] [5]. Pr relizr o cruzmento primeiro é necessári escolh por sorteio dos cromossomos pis. Em seguid ocorre relizção ou não do cruzmento segundo um prâmetro denomindo tx de cruzmento. Deste modo de cordo com tx de cruzmento pode ocorrer que os cromossomos pis sejm repssdos sem modificção pr gerção seguinte crindo filhos idênticos eles. idéi do operdor de Cruzmento é tirr vntgem (exploit) do mteril genético presente n populção. Mutção: é troc letóri do vlor contido nos genes de um cromossomo por outro vlor válido do lfbeto. No cso de lfbeto binário troc-se de 0 pr e vice-vers. D mesm form que pr o cruzmento utiliz-se um tx de mutção que pr cd bit d seqüênci de crcteres sortei-se se ocorrerá ou não mutção; no cso de ocorrênci o bit será trocdo por outro vlor válido pertencente o lfbeto (Figur 7). Indivíduo 0 0 0 0 Bit lterdo Indivíduo resultnte pós d mutção 0 0 0 Figur 7 Mutção.
5 mutção grnte diversidde ds crcterístics dos indivíduos d populção e permite que sejm introduzids informções que não estiverm presentes em nenhum dos indivíduos. lém disto proporcion um busc letóri (explortion) no G oferecendo oportunidde pr que mis pontos do espço de busc sejm vlidos...5. Prâmetros d Evolução Os prâmetros que mis influencim o desempenho do lgoritmo genético são: Tmnho d Populção: fet o desempenho globl e eficiênci dos lgoritmos Genéticos. Um populção muito pequen oferece um pequen cobertur do espço de busc cusndo um qued no desempenho. Um populção suficientemente grnde fornece um melhor cobertur do domínio do problem e previne convergênci premtur pr soluções locis. Entretnto com um grnde populção tornm-se necessários recursos computcionis miores ou um tempo mior de processmento do problem. Logo deve-se buscr um ponto de equilíbrio no que diz respeito o tmnho escolhido pr populção. Tx de Cruzmento: probbilidde de um indivíduo ser recombindo com outro. Qunto mior for est tx mis rpidmente novs estruturs serão introduzids n populção. Entretnto isto pode gerr um efeito indesejável pois mior prte d populção será substituíd cusndo ssim perd de vriedde genétic podendo ocorrer perd de estruturs de lt ptidão e convergênci um populção com indivíduos extremmente precidos indivíduos estes de solução bo ou não. Com um vlor bixo o lgoritmo pode-se tornr muito lento pr oferecer um respost ceitável. Tx de Mutção: probbilidde do conteúdo de um gene do cromossomo ser lterdo. tx de mutção previne que um dd populção fique estgnd em um vlor lém de possibilitr que se chegue em qulquer ponto do espço de busc. Porém deve-se evitr um tx de mutção muito lt um vez que est
5 pode tornr busc essencilmente letóri prejudicndo fortemente convergênci pr um solução ótim. Intervlo de Gerção: control porcentgem d populção que será substituíd durnte próxim gerção (substituição totl substituição com elitismo substituição dos piores indivíduos d populção tul substituição prcil d populção sem duplicts). Esse número de indivíduos substituídos tmbém é conhecido como GP. Número de gerções: represent o número totl de ciclos de evolução de um lgoritmo Genético sendo este um dos critérios de prd do lgoritmo genético. Um número de gerções muito pequeno cus um qued no desempenho: um vlor grnde fz necessário um tempo mior de processmento ms fornece um melhor cobertur do domínio do problem evitndo convergênci pr soluções locis.
5.. Teori de Conjuntos Fuzzy Dois dos principis spectos d imperfeição d informção são imprecisão e incertez. s teoris mis conhecids pr trtr de imprecisão e incertez são respectivmente teori dos conjuntos e teori de probbiliddes. Ests teoris embor muito úteis nem sempre conseguem cptr riquez d informção fornecid por seres humnos. teori dos conjuntos não é cpz de trtr o specto vgo d informção fornecid por seres humnos e teori de probbiliddes é mis dequd pr o trtmento de informções coletds trvés de repetids medições do que quels fornecids por seres humnos teori dos conjuntos fuzzy foi inicilmente introduzid por Zdeh [47] qundo ele observou impossibilidde de modelr sistems com fronteirs ml definids trvés ds bordgens mtemátics rígids e preciss dos métodos clássicos. trnsformção entre probbilidde e possibilidde vem sendo estudd e discutid há vários nos [48] [49] [50] [5]. Estes estudos exminm os princípios que devem ser cumpridos pr stisfzer ess trnsformção buscndo estbelecer relções entre o gru de pertinênci e probbilidde. Um vissão mis mpl deste tem pode ser encontrd em [48] [49] [5] [5] [54] [55]. teori de conjuntos fuzzy proporcion um estrutur mtemátic que permite trblhr com imprecisão e incertez d informção fornecid por seres humnos. Est teori tem sido cd vez mis usd em sistems que utilizm informções fornecids por seres humnos e tem produzido bons resultdos ns mis vrids plicções [6] [7] [8]. teori dos conjuntos fuzzy qundo utilizd juntmente com conceitos de lógic result nos chmdos sistems de inferênci fuzzy. No entnto qundo usd pr efetur operções ritmétics os conjuntos fuzzy são conhecidos como números fuzzy.
54... Conjunto Fuzzy Conjunto fuzzy é ponte que lig o conceito impreciso à su modelgem numéric tribuindo-se cd elemento do universo um vlor entre 0 e que represent o gru de pertinênci deste indivíduo o conjunto fuzzy. Um conjuntos fuzzy F definido no universo de discurso U pode ser representdo como um conjunto de pres ordendos de um elemento genérico x e seu gru de pertinênci µ. Este vlor de pertinênci é obtido medinte um função de pertinênci que mpei os elementos de U pr o intervlo [0 ] conforme descrito pel equção (0). F x ( x) / x U (0) Figur 8 ilustr s componentes de um conjunto fuzzy. O eixo x corresponde os números reis que constituem o domínio do conjunto fuzzy o eixo y com vlores entre 0 e represent o gru de pertinênci o conjunto e curv represent função de pertinênci do conjunto que conect cd elemento do domínio com o seu gru de pertinênci [6] [7] [56]. u(x) Função de Pertinênci Gru de Pertinênci.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0 4 5 6 7 8 9 Domínio do Conjunto Fuzzy x Figur 8 - Componentes de um conjunto fuzzy... Conjunto Singleton Um conjunto fuzzy é chmdo de singleton se seu suporte é um único ponto em U com gru de pertinênci igul ( x). Figur 9 ilustr um conjunto singleton de domínio igul 4.
55 u(x) Gru de Pertinênci.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0 4 5 6 7 8 9 Domínio do Conjunto Fuzzy x Figur 9 Conjunto singleton... -Cut de um Conjunto Fuzzy O cut de um conjunto fuzzy é o conjunto que contém todos os elementos do universo de discurso U que possuem grus de pertinênci µ (x) cim de um certo vlor de. equção () mostr definição deste conjunto. x U x 0 () Figur 0 ilustr o cut de um conjunto fuzzy com = 0.. u(x) Gru de Pertinênci.0 0.8 0.6 0.4 =0. 0.0 0 4 5 6 7 8 9 Domínio do Conjunto Fuzzy x Figur 0 Cut de um conjunto fuzzy.
56.4. Números Fuzzy O número fuzzy [6] [7] [57] [58] é um conjunto fuzzy definido em um universo de discurso sobre os números reis U R. operção de -cut é tmbém plicd pr os números fuzzy. Denot-se como o intervlo -cut pr um número fuzzy. definido como: 0 é um intervlo crisp R () Com est definição é possível conhecer qulquer intervlo crisp dentro do número fuzzy correspondente um -cut qulquer Figur. Pr que um conjunto fuzzy sej definido como um número fuzzy este deve cumprir s seguintes condições: Estr definido nos números reis; função de pertinênci deve ser contínu; O conjunto fuzzy deve ser normlizdo; O conjunto fuzzy deve ser convexo. Logo um número fuzzy deverá ser normlizdo e convexo onde condição de normlizção implic que o máximo vlor de pertinênci é. x x R () condição de convexidde signific que linh trçd por um -cut é contínu e o intervlo -cut stisfz relção seguir. Sej o intervlo definido pel equção (4): Logo: (4) ' ' ' (5) condição de convexidde tmbém pode ser escrit como: ' ' (6)
57 u (x) 0 (0) ( ) (0) () () ( ) ' ' ' x Figur Intervlo -Cut de um número fuzzy ( < ) ( ).4.. Número Fuzzy Tringulr Neste número fuzzy função de pertinênci é tringulr e definid por: 0 x x x x (7) x x 0 x Figur ilustr um número fuzzy tringulr: no eixo x estão os prâmetros que definem o triângulo ( e ) e no eixo y está representdo o gru de pertinênci pr cd vlor de x.
58 u (x) 0 x Figur Número fuzzy tringulr seguir define-se o intervlo -cut pr um número fuzzy. Sej um intervlo crisp de um número fuzzy obtido trvés de um operção -cut 0. D equção (7) tem-se: ssim: Logo: (8).4.. Número Fuzzy Trpezoidl Pr definir este número fuzzy são necessários qutro prâmetros ( 4 ) e su função de pertinênci é dd pel equção (9):
59 0 x x x x x (9) 4 x x 4 4 0 x 4 Figur ilustr um número fuzzy trpezoidl. No eixo x estão presentdos os prâmetros que definem o número fuzzy trpezoidl ( e 4 ) onde e correspondem os vlores de mior possibilidde e no eixo y está representdo o gru de pertinênci pr cd vlor de x. O número fuzzy trpezoidl é utilizdo qundo vriável em nálise possui um fix de vrição onde todos os números dentro dest fix possuem mesm possibilidde de ocorrênci. u (x) 0 4 x Figur Número fuzzy trpezoidl 4 equção (0) descreve o intervlo -cut pr este número fuzzy. 0 4 4 4
60 ssim: 4 4 4 Logo: 4 4 4 (0) Observe que qundo = o número fuzzy trpezoidl coincide com um número fuzzy tringulr..4.. ritmétic Intervlr O conceito de números fuzzy pode ser presentdo de diverss mneirs. Neste trblho um número fuzzy é considerdo como um extensão do conceito de intervlo de confinç. Est extensão bsei-se em um idéi nturl e simples: o invés de se considerr o intervlo de confinç em um único nível ele é considerdo em vários níveis entre 0 e. O máximo intervlo de confinç é considerdo igul e o mínimo igul 0. O nível de pertinênci pr ( ) ( ) 0 fornece um intervlo de confinç monotônic decrescente de isto é: pr todo '0 se ' ou ' ( ') ( ') ( ) ( ) ( ' ) que é um função Dest form pode se plicr ritmétic intervlr pr definir s operções com números fuzzy onde cd intervlo possibilístico definido por um -cut pode ser trtdo independentemente.
6 seguir são presentds brevemente s definições ds principis operções intervlres considerndo e B como números expressdos como intervlos [59] [60] [6] de modo que: b b R B b b. dição: dição de dois intervlos definidos nos números reis é: B b b b b (). Subtrção: B b b b b () B. Multiplicção: B min b b b b b b mx b b b b () 4. Divisão: / b / B b / b / b / b / b mx / b / b / b / B min b / (4) excluindo o cso de b 0 ou b 0 5. Invers de um intervlo: min / / mx/ / (5) excluindo o cso de 0 ou 0 6. Multiplicção de um intervlo por um esclr: R se 0 (6)
6 se 0 (7).4.4. Operções com Números Fuzzy seguir define-se brevemente form de relizr s operções com números fuzzy.. Operções com o intervlo -cut: os intervlos -cut de um número fuzzy podem ser referencidos como um conjunto crisp. é um intervlo crisp definido por: 0 R Logo s operções de intervlos vists n seção nterior podem ser plicds pr o intervlo -cut Se o intervlo -cut B B b b b b R. B de um número fuzzy B é definido por: b b 0 b b R então s operções entre e form: B podem ser descrit d seguinte B b b b b B b b b b Isto é pr cd gru de pertinênci do número fuzzy estbelece-se um -cut crindo-se intervlos -cut. Logo s operções com o número fuzzy serão relizds pr cd nível (cd -cut) segundo teori intervlr. Est metodologi é tmbém plicável às operções de multiplicção divisão e outrs.
6 Pode-se concluir que s operções com números fuzzy seguem s mesms proprieddes ds operções intervlres. diferenç é que com os números fuzzy s operções são relizds pr cd nível de pertinênci como se o número fuzzy fosse ftido em diversos intervlos [58] [6] [6].. Operção de números fuzzy - Solução nlític: n solução nlític de operções com números fuzzy função de pertinênci do resultdo é obtid d seguinte form: Obtém-se os intervlos fuzzy dos operndos; Com estes intervlos fuzzy reliz-se operção mtemátic desejd; Com o resultdo d operção mtemátic (em intervlo fuzzy) escreve-se função de pertinênci do número fuzzy resultnte. solução nlític será presentd com um exemplo numérico pr som de dois números fuzzy. Figur 4 present som de dois números fuzzy n form nlític (C=+B). u (x) C B -7-6 -5-4 - - - 0 4 5 6 7 x Figur 4 - Solução nlític d som fuzzy Os números e B são definidos pels seguintes funções: x R 0 x / 4 / ( x) x / / 0 x 4 4 x x x
64 B 0 x /5 /5 ( x) x / 6/ 0 x x x 6 x 6 Pr se obter o resultdo d som o número fuzzy C consider-se um nível de pertinênci genérico e escreve-se função de pertinênci de cd número pr este nível genérico: Número : O nível (ret ) intercept o número em dois pontos qui chmdos de e. / 4 / e / / Resolvendo pr i i o intervlo de confinç de pr o nível é ddo por: 4 Número B: O nível (ret ) intercept o número B em dois pontos qui chmdos de b e b. b / 5 / 5 e b / 6 / Resolvendo pr b i i o intervlo de confinç pr o nível é ddo por:
65 B b b 5 6 Relizndo operção de som: B B b b b b B B ( 4) (5 )( ) ( 6) 8 6 5 7 Comprndo termo termo: b 8 6 5 b 7 Fzendo s substituições de vriáveis: x 8 ( x) 6 C x 5 ( x) 7 C i b i c i x e C (x) : Os extremos ( x) 0 e os intervlos ds funções são C simplesmente somdos. O resultdo d operção finl é o número fuzzy representdo pel seguinte função de pertinênci: C 0 x / 8 6 / 8 ( x) x / 5 7 / 5 0 x 6 6 x x 7 x 7 Este procedimento é genérico e pode ser utilizdo pr qulquer tipo de operção com números fuzzy. N prátic solução nlític não é utilizd e sim solução numéric expost seguir.
66. Operção de números fuzzy - Solução Numéric: n implementção computcionl o gru de pertinênci 0 é discretizdo em n níveis por exemplo 0 e s operções de intervlo de confinç (ritmétic intervlr) são relizds pr cd nível. Figur 5 present o número fuzzy como um conjunto de números intervlres que são definidos pr cd nível de pertinênci. Observe que qundo cresce isto é o gru de confinç ument lrgur do intervlo diminui. u (x) 0 x Figur 5 - Número fuzzy como intervlo de confinç ssocição entre intervlo de confinç e gru de pertinênci form o número fuzzy. Por exemplo considere-se que um projeto devesse terminr entre os dis 5 e 5 e que foi efetivmente encerrdo no di. Ou sej o intervlo de confinç é [55] pode-se tribuir um gru de pertinênci 0 pr os extremos do intervlo (dis 5 e 5) e pr o di correto () obtendo-se ssim por exemplo um número fuzzy tringulr. É importnte ressltr que função de pertinênci possui vlores entre pens os vlores 0 e. 0 R enqunto que lógic boolen possui