UNI etores e grndezs vetoriis: inemáti vetoril pítulo 7 etores s vetores são entes mtemátios mplmente utilizdos em Físi. les representm grndezs que só fim definids qundo são onheidos seu módulo, su direção e seu sentido. Grndezs desse tipo são denominds grndezs vetoriis. 7.1 Introdução lgums grndezs físis podem ser definids pens por um vlor numério e um unidde; outrs preism, lém disso, de um direção e um sentido. Sistem de Posiionmento Glol GPS, n sigl em inglês é um sistem de rdionvegção sedo em stélites que permite o usuário ser su lolizção em qulquer ponto do gloo terrestre trvés de su posição reltiv um determindo grupo desses stélites. 1 R1 R2 R3 2 Um reeptor pt sinis de rádio envidos do sistem de stélites. Sendo o tempo que o sinl lev pr ir e voltr um stélite, pode-se lulr que distâni o reeptor está d fonte emissor. 3 7.2 etores etor é o ente mtemátio rterizdo pelos elementos módulo, direção e sentido, sendo representdo por um segmento de ret orientdo. 7.3 perções om vetores dição vetoril pode ser feit pel regr d linh poligonl ou pel regr do prlelogrmo. sutrção de dois vetores orresponde à dição de um vetor om o oposto do outro. 7.4 omponentes de um vetor É frequente o uso d Trigonometri em prolems que envolvem vetores. posição dos stélites em relção o reeptor (sendo este onsiderdo omo origem do eio rtesino) pode ser representd por meio de um vetor posição representdo por um segmento orientdo que prte d origem té o ponto em questão. Qundo se desej hegr um determindo lol, o álulo é feito tmém pr o destino, e então é trçd um rot, que indi, por meio de vetores, direção ser tomd. omo é feit lolizção São neessários no mínimo 3 stélites pr um lolizção et do reeptor. Um qurto stélite fz o juste do tempo. S1 S1 R1 R2 S1 R1 R2 R1 S3 S2 S2 R3 Sendo R1 distâni do reeptor o primeiro stélite. reeptor pode estr em qulquer ponto d irunferêni de entro neste stélite. Um segundo stélite enontr um distâni R2 do reeptor: posição fi restrit dois pontos (s interseções ds dus irunferênis). om o álulo d distâni R3 do reeptor o tereiro stélite, su posição é enontrd n interseção ds três irunferênis entrds nos stélites.
Seção 7.1 Introdução Unidde etores e grndezs vetoriis: inemáti vetoril jetivos iferenir grndezs eslres de grndezs vetoriis. istinguir os oneitos de direção e de sentido. Termos e oneitos grndezs eslres grndezs vetoriis N S N S N S 1 m 0 135 km ST SÃ PUL São Pulo onsidere um feie de rets prlels um dd ret r (fig. 1). Figur 1. ângulo J que s rets do feie formm om ret s determin direção de r e de tods s rets prlels r. Sendo ssim, direção é o que há de omum num feie de rets prlels. Num mesm direção podemos ter dois sentidos possíveis. Por eemplo, n direção horizontl, temos o sentido d esquerd pr direit e o d direit pr esquerd; n direção vertil, temos o sentido de im pr io e o de io pr im. É muito omum o uso de pls inditivs, que forneem direções e sentidos de vários destinos, omo mostr foto o ldo. Grndezs eslres e grndezs vetoriis Muits grndezs fim perfeitmente definids qundo onheemos seu vlor numério e orrespondente unidde. Tis grndezs são denominds grndezs eslres. É o so, por eemplo, d mss e do volume de um orpo. Qundo dizemos que mss de um orpo é igul 20 kg e que seu volume é de 10 litros, nd mis preismos resentr pr definir esss grndezs. istem, porém, grndezs que, lém do vlor numério e d unidde, neessitm de direção e sentido pr que fiquem definids. Por eemplo, distâni em linh ret de São Pulo elo Horizonte é de proimdmente 510 km (fig. 2). Pr hegrmos elo Horizonte prtindo de São Pulo, devemos perorrer proimdmente 510 km n direção sudoeste-nordeste, no sentido de sudoeste pr nordeste. Grndezs que neessitm, lém do vlor numério e d unidde, de direção e de sentido pr serem definids são hmds grndezs vetoriis, sendo representds mtemtimente por vetores. deslomento entre dois pontos é um grndez vetoril. Um vetor pode ser representdo omo n figur 2, por meio de um segmento orientdo. ST MINS GRIS elo Horizonte r s Reprodução proiid. rt.184 do ódigo Penl e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 118 Figur 2. lolizção de São Pulo e elo Horizonte no mp. Figur 2. representção vetoril do deslomento de São Pulo elo Horizonte.
Seção 7.2 jetivos efinir vetor. Identifir vetores iguis e vetores diferentes. Termos e oneitos módulo direção sentido vetor etores s segmentos orientdos d figur 3 têm o mesmo omprimento e, por serem prlelos, têm mesm direção. Têm ind o mesmo sentido. etor* é o ente mtemátio rterizdo pelo que há de omum o onjunto dos segmentos orientdos im desrito: o mesmo omprimento, mesm direção e o mesmo sentido. omprimento omum dos segmentos orientdos é hmdo módulo do vetor. ssim, um vetor possui módulo, direção e sentido. Reprodução proiid. rt.184 do ódigo Penl e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Figur 3. Figur 4. Notção vetor: módulo do vetor: ou Represent-se o vetor por um segmento orientdo, omo o segmento orientdo d figur 4: é origem e é etremidde. omprimento de té represent o módulo do vetor, de ordo om esl dotd pr representção gráfi. ois vetores são iguis qundo têm mesmo módulo, mesm direção e mesmo sentido. Portnto, ns figurs 3 e 4, represent um únio vetor. ois vetores são diferentes qundo têm o menos um desses elementos diferente. grndez físi vetoril representd grfimente n figur 5 em três instntes distintos está vrindo porque os vetores têm direções diferentes, ind que tenhm o mesmo módulo. ssim, um grndez vetoril vri qundo vrir o menos um dos três elementos do vetor que represent: o módulo, o sentido ou direção (fig. 6). (t 1 ) (t 2 ) (t 3 ) Figur 5. F G H Y X Z * Figur 6. T % (sentidos opostos) % GH (módulos diferentes) % ZT (direções diferentes) Ms: 5 5 F 5 ZT etor é um termo que provém do ltim vetor (ondutor). om esse signifido ind é utilizdo em iologi: o vetor trnsmissor de um doenç signifi o gente ondutor d doenç. pítulo 7 etores 119
Seção 7.3 perções om vetores Unidde etores e grndezs vetoriis: inemáti vetoril jetivos iferenir som lgéri de som vetoril. Utilizr s forms gráfis de dição vetoril. rterizr o vetor oposto de um vetor. Utilizr s regrs gráfis de sutrção vetoril. oneitur o produto de um número rel por um vetor. efinir s omponentes ou projeções dos vetores nos eios e. Termos e oneitos vetor som vetor diferenç digonl prlelogrmo vetor nulo vetor omponente projeção do vetor S = + Figur 8. S 1 dição vetoril onsidere os vetores e representdos respetivmente pelos segmentos orientdos e, om o ponto em omum (fig. 7). vetor S, representdo pelo segmento orientdo, uj origem é origem do primeiro e etremidde é etremidde do segundo, é denomindo vetor som dos vetores e e se indi por: S S 5 1 S = + serve que iguldde nterior é vetoril, diferente portnto ds igulddes lgéris que voê está hitudo. N figur 7, o módulo do vetor S não é igul à som dos módulos dos vetores e. Portnto: S % 1. ss regr gráfi de operção se pli qundo os segmentos orientdos que representm os vetores que se desej somr são onseutivos (ponto em omum). Qundo não o forem, os vetores devem ser deslodos por trnslção té que se tornem onseutivos, plindo-se então regr (fig. 8). ordem de oloção não lter o resultdo finl. ss regr vle pr dois ou mis vetores (fig. 9). s vetores podem ter mesm direção (fig. 10) ou direções diferentes formndo um linh poligonl (figs. 7, 8 e 9). _ Figur 7. 3 S S = + + 3 + 4 4 Figur 9. Figur 10. ntre n rede No endereço eletrônio http://www.wlter-fendt.de/ph11r/resultnt_ r.htm (esso em junho/2009), voê pode fzer dição de vetores, vrindo o número de vetores, o módulo e o ângulo entre eles. S S G F Reprodução proiid. rt.184 do ódigo Penl e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 120
Note, n figur 11, que o vetor som S 5 1 é representdo pel digonl de um prlelogrmo, ujos ldos são representções dos vetores e. Temos ssim hmd regr do prlelogrmo d dição de vetores, equivlente à regr gráfi de torná-los onseutivos (fig. 11). S 2 S Figur 11. servção Qundo os segmentos orientdos que representm os vetores formm um linh poligonl fehd ( etremidde do último segmento orientdo oinide om origem do primeiro), o vetor som é denomindo vetor nulo e é indido por 0. módulo do vetor nulo é zero. 3 S 5 1 1 3 5 0 eeríio resolvido R. 51 São ddos os vetores e de módulos 5 3 e 5 4. etermine grfimente o vetor som S e lule o seu módulo. Pr lulr o módulo do vetor som S podemos usr o teorem de Pitágors, um vez que, e S onstituem os ldos de um triângulo retângulo. S 2 5 2 1 2 ] S 2 5 3 2 1 4 2 ] Solução: Podemos plir regr dos vetores onseutivos ou regr do prlelogrmo pr oter grfimente o vetor som S. S S ] S 2 5 9 1 16 5 25 ] S 5 5 serve que, pr o álulo do módulo de um vetor, onsidermos pens solução positiv d equção. Respost: 5 eeríios propostos P. 133 dos os vetores e, ujos módulos vlem, respetivmente, 6 e 8, determine grfimente o vetor som e lule o seu módulo. P. 134 dos os vetores, e, represente grfimente os seguintes vetores: 1 ; 1 ; 1 1. pítulo 7 etores 121
P. 135 etermine o módulo dos vetores 1 e 1. ldo de d qudrdinho mede um unidde. P. 136 onsidere os vetores,, e d d figur io. etermine grfimente o vetor som ( 1 1 1 1 d) e lule o seu módulo. Se-se que o ldo de d qudrdinho mede um unidde. d 2 etor oposto hm-se vetor oposto de um vetor o vetor 2 que possui o mesmo módulo, mesm direção e sentido oposto o de (fig. 12). Figur 12. Unidde etores e grndezs vetoriis: inemáti vetoril servção vetor som S de um vetor om seu oposto 2 é o vetor nulo: 3 Sutrção vetoril onsidere os vetores e e operção 5 2 5 1 (2 ). vetor é diferenç entre os vetores e, ness ordem. Portnto, pr sutrir de, deve-se diionr o oposto de (fig. 13). Figur 13. = 1 = + ( 1) vetor diferenç 5 2 pode ser otido diretmente, ligndo-se s etremiddes dos segmentos orientdos que representm e no sentido de pr (fig. 14). S 5 (2 ) 5 0 = = + ( ) = Reprodução proiid. rt.184 do ódigo Penl e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 122 Figur 14.
eeríio resolvido R. 52 dos os vetores e, ujos módulos vlem, respetivmente, 6 e 8, determine grfimente o vetor diferenç 5 2 e lule o seu módulo. Solução: operção 5 2 é equivlente 5 1 (2). ntão, o vetor devemos somr o vetor oposto de, isto é, 2: Sendo os módulos 5 6 e 5 8, podemos lulr o módulo do vetor diferenç plindo o teorem de Pitágors o triângulo retângulo formdo pelos vetores, 2 e : 5 2 1 2 ] 5 6 2 1 8 2 ] 5 36 1 64 ] ] 2 5 100 ] 5 10 Respost: 10 eeríios propostos P. 137 São ddos os vetores e de módulos 5 3 e 5 4. etermine grfimente o vetor diferenç 5 2 e lule o seu módulo. P. 138 dos os vetores e, determine grfimente o vetor diferenç 2. P. 139 etermine os módulos dos vetores 2 e 2 d. Se-se que o ldo de d qudrdinho mede um unidde. d pítulo 7 etores 123
P. 140 Represente grfimente os vetores diferenç 2 e 3 2. 3 4 Produto de um número rel por um vetor hm-se produto de um número rel n pelo vetor o vetor: p 5 n tl que: módulo: p 5 n 3 (produto dos módulos) direção: mesm de (é prlelo ), se n % 0 sentido: de se n é positivo; ontrário se n é negtivo (fig. 15) Unidde etores e grndezs vetoriis: inemáti vetoril Se n 5 0, result p 5 0 (vetor nulo). n = 2; p = 2 Figur 15. eeríios resolvidos R. 53 dos os vetores e, represente grfimente o ve tor 2 1 3 e lule seu módulo. Se-se que o ldo de d qudrdinho mede um unidde. p = 2 Solução: vetor 2 tem mesm direção e o mesmo sentido do vetor e módulo dus vezes mior, isto é, seu módulo é 4. vetor 3 tem mesm direção e o mesmo sentido do vetor e módulo três vezes mior, isto é, seu módulo é 3. N figur o ldo, representmos os vetores 2, 3 e 2 1 3. módulo desse último vetor é igul 5, de ordo om o teorem de Pitágors: 2 1 3 5 dlllllll 4 2 1 3 2 5 dlll 25 5 5 n = 1,5; p = 1,5 p = 1,5 3 2 2 + 3 Reprodução proiid. rt.184 do ódigo Penl e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Respost: 5 124
R. 54 No gráfio estão representdos os vetores,, i e j. etermine s epressões de e em função de i e j. j Solução: vetor tem mesm direção e o mesmo sentido do vetor i e módulo três vezes mior. Portnto: 5 3i vetor tem mesm direção e sentido oposto o vetor j e módulo dus vezes mior. Portnto: 5 22j Respost: 5 3i; 5 22j servção: N esl dd, os módulos dos vetores i e j são iguis um unidde. Todo vetor de módulo 1 (vetor unitário) reee o nome de versor. i eeríios propostos P. 141 dos os vetores e, represente grfimente os vetores: 2; 3; 2 ; 1 3; 2. P. 142 No digrm estão representdos os vetores,,, d, i e j. etermine s epressões de,, e d, em função de i e j. d j i pítulo 7 etores 125
Seção 7.4 omponentes de um vetor jetivos efinir s omponentes ou projeções dos vetores nos eios e. Identifir o módulo, direção e o sentido dos vetores omponentes de um vetor nos eios e do plno rtesino. Termos e oneitos vetor omponente projeção do vetor onsidere o vetor representdo pelo segmento orientdo e o eio (fig. 16). Sejm e e e s projeções ortogonis de e sore o eio. ' Figur 16. ' vetor representdo pelo segmento orientdo ee é denomindo vetor omponente do vetor no eio. ' ' hmemos de medid lgéri do segmento orientdo ee. sinl de será: se o sentido de ee for o mesmo do eio (fig. 16); X se o sentido de ee for ontrário o sentido do eio (fig. 16). é denomindo omponente do vetor no eio, ou projeção de em. É frequente o uso de trigonometri (vej qudro n págin seguinte) qundo se utilizm vetores. N figur 17, o ângulo J é djente o teto ujo omprimento é e o módulo de é medid d hipotenus; d definição do osseno otemos. Reprodução proiid. rt.184 do ódigo Penl e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Unidde etores e grndezs vetoriis: inemáti vetoril ' Figur 17. = + os ' ' = os ' projeção d somr d hste indi o horário no relógio de sol. 126
lementos de trigonometri sen J 5 ] 5 3 sen J medid de um teto é igul à medid d hipotenus multiplid pelo seno do ângulo oposto esse teto. os J 5 ] 5 3 os J medid de um teto é igul à medid d hipotenus multiplid pelo osseno do ângulo djente esse teto. N figur 18 indimos os vetores omponentes e do vetor nos eios e de um plno rtesino. esse modo, esrevemos: 5 1. serve nesse so que s omponentes serão: 5 3 os J e 5 3 sen J 0 Figur 18. e : vetores omponentes do vetor e : omponentes do vetor onteúdo digitl Modern PLUS http://www.modernplus.om.r Simuldor: etores eeríios resolvidos R. 55 Um vião soe om veloidde de 200 m/s e om 30w de inlinção em relção à horizontl, onforme figur. etermine s omponentes d veloidde n horizontl (eio ) e n vertil (eio ). São ddos: sen 30w 5 0,500 e os 30w 5 0,866. v 30 o Solução: N figur temos os vetores omponentes v e v. omponente horizontl: v 5 v 3 os 30w ] v 5 200 3 0,866 ] v 5 173,2 m/s omponente vertil: v 5 v 3 sen 30w ] v 5 200 3 0,500 ] v 5 100 m/s Respost: 173,2 m/s; 100 m/s v = v sen 30 v v = 200 m/s 30 v = v os 30 v v R. 56 etermine s omponentes do vetor segundo os eios e. ldo de d qudrdinho mede um unidde. Solução: N figur o ldo representmos os vetores omponentes e do vetor. omo o sentido de é ontrário o sentido do eio, onluímos que omponente é igul 22. omponente é igul 1 3. Note que tem o mesmo sentido que o eio. Resposts: 5 22; 5 13 0 0 pítulo 7 etores 127
eeríios propostos P. 143 Um lnh se deslo num direção que fz um ângulo de 60w om direção leste-oeste, om veloidde de 50 m/s, onforme figur. etermine s omponentes d veloidde d lnh ns direções norte-sul (eio ) e leste-oeste (eio ). São ddos: sen 60w 5 0,866 e os 60w 5 0,500. N v P. 144 etermine s omponentes dos vetores,, e 1, segundo os eios e. Se-se que o ldo de d qudrdinho mede um unidde. 60 L S Unidde etores e grndezs vetoriis: inemáti vetoril eeríios propostos de repitulção P. 145 Represente o vetor som dos seguintes vetores: ) ) ) d) e) f) g) X N T N X Y Y F Z T U P M K Z i) P. 146 Represente o vetor diferenç em d so. ) 5 2 ) 5 2 P. 147 (PU-MG) dos dois vetores e de som S e diferenç 5 2, esoe, num só digrm, s qutro grndezs vetoriis itds. P. 148 do o onjunto de vetores representdo n figur, esrev um relção entre eles n form vetoril. Reprodução proiid. rt.184 do ódigo Penl e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. h) 128
testes propostos Reprodução proiid. rt.184 do ódigo Penl e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. T. 120 São grndezs vetoriis: ) tempo, deslomento e forç. ) forç, veloidde e elerção. ) tempo, tempertur e volume. d) tempertur, veloidde e volume. T. 121 (Unitu-SP) Um grndez vetoril fi perfeitmente definid qundo del se onheem: ) vlor numério, desvio e unidde. ) vlor numério, desvio, unidde e direção. ) vlor numério, desvio, unidde e sentido. d) vlor numério, unidde, direção e sentido. e) desvio, direção, sentido e unidde. T. 122 (PU-MG) Pr o digrm vetoril io, úni iguldde orret é: ) 1 5 ) 2 5 ) 2 5 d) 1 5 2 e) 2 5 T. 123 (UF-) nlisndo disposição dos vetores,,,, e, onforme figur io, ssinle lterntiv que ontém relção vetoril orret. ) 1 1 5 1 ) 1 1 5 1 ) 2 1 5 1 d) 2 1 5 2 e) 2 2 5 1 T. 124 (Mkenzie-SP) om seis vetores de módulos iguis 8u, onstruiu-se o heágono regulr o ldo. módulo do vetor resultnte desses seis vetores é: ) 40u d) 16u ) 32u e) zero ) 24u T. 125 (Unifesp) N figur, são ddos os vetores, e. u Sendo u unidde de medid do módulo desses vetores, pode-se firmr que o vetor d 5 2 1 tem módulo: ) 2u, e su orientção é vertil, pr im. ) 2u, e su orientção é vertil, pr io. ) 4u, e su orientção é horizontl, pr direit. d) dll 2 u e su orientção form 45w om horizontl, no sentido horário. e) dll 2 u e su orientção form 45w om horizontl, no sentido nti-horário. T. 126 (FMTM-MG) figur present um árvore vetoril uj resultnte d som de todos os vetores representdos tem módulo, em m, igul : ) 8 1 m ) 26 ) 34 1 m d) 40 e) 52 T. 127 (Fte-SP) No gráfio estão representdos os vetores, e. s vetores i e j são unitários. nlise s epressões: I. 5 2i 1 3j II. 5 2j III. 1 5 1 1i j i Podemos firmr que: ) são orrets pens I e II. ) são orrets pens II e III. ) são orrets pens I e III. d) são tods orrets. e) há pens um orret. T. 128 (UFMS) onsidere o vetor F, que form um ângulo J om o eio, onforme figur o ldo. ssinle fimtiv que present notção orret pr omponente de F no eio. ) F 5 F 3 os J d) F 5 F 3 os J ) F 5 F 3 os J e) F 5 F 3 os J ) F 5 F 3 os J F pítulo 7 etores 129