Formulário. Matemática A DIMENSÕES

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1 O Projeto Dimensões de Mtemátic A destindo o 12. o no de escolridde, do Ensino Secundário, é um obr coletiv, concebid e crid pelo Deprtmento de Investigções e Edições Eductivs d Sntilln, sob direção de Sílvi Vsconcelos. EQUIPA TÉCNICA Chefe de Equip Técnic: Ptríci Boleto Modelo Gráfico e Cp: Crl Julião Ilustrções: Pulo Oliveir Pginção: Leonor Ferreir Revisão: Ctrin Pereir EDITORA Pul Inácio Formulário DIMENSÕES Mtemátic A 2017 Ru Mário Cstelhno, 40 Queluz de Bixo Brcren, Portugl APOIO AO PROFESSOR Tel.: poiooprofessor@sntilln.com APOIO AO LIVREIRO Tel.: poioolivreiro@sntilln.com Internet:

2 Lógic e Teori de conjuntos Cálculo proposicionl Operções com proposições Dds dus proposições p e q, tem-se que: Equivlênci p q p + q V V V V F F F V F F F V Negção p +p V F F V Lei d dupl negção +(+p) + p Conjunção p q p / q V V V V F F F V F F F F Disjunção p q p 0 q V V V V F V F V V F F F 2 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

3 Lógic e Teori de conjuntos Implicção p q p & q V V V V F F F V V F F V Proprieddes ds operções lógics Dds três proposições p, q e r, tem-se que: Comuttiv p / q + q / p p 0 q + q 0 p Associtiv (p / q) / r + p / (q / r) (p 0 q) 0 r + p 0 (q 0 r) Existênci de elemento neutro p / V + V / p + p p 0 F + F 0 p + p Existênci de elemento bsorvente p / F + F / p + F p 0 V + V 0 p + V DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 3

4 Lógic e Teori de conjuntos Distributividde d conjunção em relção à disjunção p / (q 0 r) + (p / q) 0 (p / r) Distributividde d disjunção em relção à conjunção p 0 (q / r) + (p 0 q) / (p 0 r) Primeirs Leis de De Morgn +(p / q) + +p 0 +q +(p 0 q) + +p / +q Proprieddes d implicção Trnsitividde (p & q) / (q & r) & (p & r) Relção com disjunção e negção p & q + +p 0 q Negção +(p & q) + p / +q Implicção contrrrecíproc (p & q) + (+q & +p) 4 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

5 Lógic e Teori de conjuntos Condições e conjuntos Quntificdor universl 6x, p(x) + V se, e somente se, p(x) for universl. Quntificdor existencil 7x: p(x) + V se, e somente se, p(x) for possível. Segunds leis de De Morgn +(6x, p(x)) + 7x: +p(x) +(7x: p(x)) + 6x, +p(x) Operções com conjuntos Ddos os conjuntos A = {x: p(x)} e B = {x: q(x)} definidos por p(x) e q(x), tem-se: Interseção A + B = {x: p(x) / q(x)} Diferenç A\B = {x: p(x) / +q(x)} A\B = A + B União A, B = {x: p(x) 0 q(x)} Complementr A = {x: +p(x)} DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 5

6 Lógic e Teori de conjuntos Proprieddes ds operções com conjuntos Ddos A, B e C subconjuntos de U, tem-se: Comuttiv A + B = B + A A, B = B, A Associtiv (A + B) + C = A + (B + C) (A, B), C = A, (B, C) Existênci de elemento neutro A + U = A A, Q = A Existênci de elemento bsorvente A + Q = Q A, U = U Propriedde distributiv d interseção em relção à união A + (B, C) = (A + B), (A + C) Propriedde distributiv d união em relção à interseção A, (B + C) = (A, B) + (A, C) 6 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

7 Lógic e Teori de conjuntos Inclusão de conjuntos A 1 B + A + B = A + A, B = B Leis de De Morgn pr conjuntos A+ B= A, B A, B= A + B Produto crtesino Ddos conjuntos A e B, o produto crtesino de A por B é o conjunto definido por: A B = {(x, y): x! A / y! B} Proprieddes do produto crtesino Ddos conjuntos A, B e C, tem-se: Propriedde distributiv do produto crtesino em relção à união de conjuntos A (B, C) = (A B), (A C) (B, C) A = (B A), (C A) DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 7

8 Geometri nlític Geometri Anlític no plno Sejm A(x A, y A ) e B(x B, y B ) dois pontos de um plno: Coordends do ponto médio de [AB] xa+ xb ya+ yb d, n 2 2 Distânci entre dois pontos d(a, B) = ( x - x ) + ( y - y ) 2 2 B A B A Equção d meditriz do segmento de ret [AB] (x - x B ) 2 + (y - y B ) 2 = (x - x A ) 2 + (y - y A ) 2 Equção reduzid d circunferênci de centro A e rio r (x - x A ) 2 + (y - y A ) 2 = r 2 O y y A A r x A x 8 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

9 Geometri nlític Inequção reduzid do círculo de centro A e rio r (x - x A ) 2 + (y - y A ) 2 G r 2 y y A A r O x A x Equção reduzid d elipse centrd n origem: Focos no eixo Ox, F 1 (c, 0) e F 2 (-c, 0) e eixo mior 2 - y b b F c 2 O x F 1 x 2 2 -b 2 y + = 1, b = - c 2 b eixo mior; 2b eixo menor; 2c distânci focl. DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 9

10 Geometri nlític Focos no eixo Oy, F 1 (0, c) e F 2 (0, -c) e eixo mior 2 y 2 2 x y + = 1, 2 2 F b 1 c 2 2 b = - c O b 2 eixo mior; 2b eixo menor; F 2 2c distânci focl. Rets prlels os eixos Equção d ret prlel Ox que contém o ponto A(, b) : y = b Equção reduzid d ret prlel Oy que contém o ponto A(, b) : x = y y = b b A O x = x x 10 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

11 Geometri nlític Geometri Anlític no espço Sejm A(x A, y A, z A ) e B(x B, y B, z B ) dois pontos do espço: Coordends do ponto médio de [AB] xa+ xb ya+ yb za+ zb d,, n Distânci entre dois pontos d(a, B) = ( x - x ) + ( y - y ) + ( z - z ) B A B A B A Equção do plno medidor do segmento de ret [AB] (x - x B ) 2 + (y - y B ) 2 + (z - z B ) 2 = = (x - x A ) 2 + (y - y A ) 2 + (z - z A ) 2 Equção reduzid d superfície esféric de centro A e rio r (x - x A ) 2 + (y - y A ) 2 + (z - z A ) 2 = r 2 Inequção reduzid d esfer de centro A e rio r (x - x A ) 2 + (y - y A ) 2 + (z - z A ) 2 G r 2 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 11

12 Geometri nlític Plnos prlelos os plnos definidos pelos eixos coordendos Equção de um plno que contém o ponto A( 1, 2, 3 ) e é prlelo o plno: xoy: z = 3 xoz: y = 2 yoz: x = 1 z x= 1 y= 2 z= 3 O y x Rets prlels os eixos coordendos Sistem de equções de um ret que contém o ponto A( 1, 2, 3 ) e é prlel o eixo: Ox: y = 2 / z = 3 Oy: x = 1 / z = 3 Oz: x = 1 / y = 2 12 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

13 Geometri nlític Cálculo vetoril no plno Vetor como diferenç de dois pontos AB = B - A(x B - x A, y B - y A ) Condição de colineridde de dois vetores Os vetores u(u 1, u 2 ) e v(v 1, v 2 ), v! 0 são colineres se, e somente se, existe k! IR, tl que u 1 = kv 1 / u 2 = kv 2 ou, dito de outro modo, s coordends de u e v são diretmente proporcionis. Norm de um vetor u = u1 2 + u2 2 Equções d ret que contém o ponto A(x A, y A ) e direção do vetor u (u 1, u 2 ) Equção vetoril (x, y) = (x A, y A ) + k(u 1, u 2 ), k! IR DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 13

14 Geometri nlític Sistem de equções prmétrics x= xa + ku1 *, k! IR y= y + ku Equção reduzid u y = mx + b, m = u A e b = y A - mx A Produto esclr de dois vetores u $ v = u v cos_ ut vi Ddos u(u 1, u 2 ) e v(v 1, v 2 ) u $ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Condição de perpendiculridde de dois vetores Ddos vetores u(u 1, u 2 ) e v(v 1, v 2 ) u = v + u 1 v 1 + u 2 v 2 = 0 Declives de rets perpendiculres Dus rets r e s de declives m e ml, respetivmente, são perpendiculres se, e somente se, mml = DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

15 Geometri nlític Cálculo vetoril no espço Vetor como diferenç de dois pontos AB = B - A(x B - x A, y B - y A, z B - z A ) Condição de colineridde de dois vetores: Os vetores u(u 1, u 2, u 3 ) e v(v 1, v 2, v 3 ), v! 0 são colineres se, e somente se, existe k! IR, tl que u 1 = kv 1 / u 2 = kv 2 / u 3 = kv 3 ou, dito de outro modo, s coordends de u e v são diretmente proporcionis. Norm de um vetor u = u1 2 + u2 2 + u3 2 Equções d ret que contém o ponto A(x A, y A, z A ) e direção do vetor u (u 1, u 2, u 3 ) Equção vetoril (x, y, z) = (x A, y A, z A ) + k(u 1, u 2, u 3 ), k! IR DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 15

16 Geometri nlític Sistem de equções prmétrics x= xa + ku1 * y= ya + ku2, k! IR z= z + ku Produto esclr de dois vetores Ddos u(u 1, u 2, u 3 ) e v(v 1, v 2, v 3 ) : A u $ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Condição de perpendiculridde de dois vetores Ddos vetores u(u 1, u 2, u 3 ) e v(v 1, v 2, v 3 ) : u = v + u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = 0 Equções de plnos no espço Um equção crtesin do plno norml o vetor u(, b, c) que contém o ponto A(x A, y A, z A ) é x + by + cz + d = 0 em que d = - x A - by A - cz A DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

17 Geometri nlític Ddos um plno, o ponto A(x A, y A, z A ) de e dois vetores, u(u 1, u 2, u 3 ) e v(v 1, v 2, v 3 ), não colineres prlelos : Um equção vetoril do plno é (x, y, z) = (x A, y A, z A ) + s(u 1, u 2, u 3 ) + + t(v 1, v 2, v 3 ), s, t! IR Um sistem de equções prmétrics do plno é x= xa + su1+ tv1 * y= ya + su2 + tv2, s, t! IR z= z + su + tv A 3 3 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 17

18 Esttístic Somtórios Ddos p! IN e um sequênci de números reis (x 1, x 2,, x p ), tem-se que: p / x i = x 1 + x x p i =1 Proprieddes dos somtórios Ddos p! IN, m! IR, um número nturl n, tl que n < p e sequêncis de números reis (x i ) 1 G i G p e (y i ) 1 G i G p, tem-se que: Associtiv p n / x k = / x k + k = 1 k =1 Homogéne p p / (mx i ) = m/ x i i =1 i =1 p / x k k= n+1 Aditiv p p p / (x i + y i ) = / x i + / y i i =1 i =1 i =1 18 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

19 Esttístic Amostrs de ddos univridos Sejm n! IN e um mostr x + = (x 1, x 2,, x n ). Médi Ddos não grupdos n / x i i =1 Ddos grupdos nx j K j j =1 x = n x = n xk 1, xk 2,, xk m são os m elementos de xk e n 1, n 2,, n m s respetivs frequêncis m bsoluts e/ n j = n o. j =1 m / Proprieddes d médi A mostr y + = (x 1 + h, x 2 + h,, x n + h) tem médi: y = x + h (, h! IR). Desvios em relção à médi d i = x i - x, i! {1, 2,, n} DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 19

20 Esttístic Proprieddes dos desvios em relção à médi Ddos não grupdos n / (x i - x) = 0 i =1 Ddos grupdos m / n j (xk j - x) = 0 j =1 Som dos qudrdos dos desvios n SS x = / (x i - x) 2 i =1 Ddos não grupdos Ddos grupdos n m SS x = / x 2 i - nx 2 SS x = / n j (xk j - x) 2 i =1 j =1 Proprieddes d som dos qudrdos dos desvios Se y = x + h (resp. y = x ), então, SS y = SS x (resp. SS y = 2 SS x ) (, h! IR) Vriânci SS S 2 x x = n -1 Desvio-pdrão SSx S x = n -1 Proprieddes do desvio-pdrão S x = 0 se, e somente se, x 1 = x 2 = = x n. y = x + h (respetivmente y = x ), então, S x = S y (respetivmente, S y = S x ) (, h! IR) 20 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

21 Esttístic Percentis Percentil de ordem k, P k, é o vlor máximo d mostr se k = 100, médi dos elementos kn de ordem 100 e kn + 1 n mostr ordend 100 kn se k! 100 e for inteiro, e, nos restntes 100 kn csos, o elemento de ordem < F n mostr ordend. Percentis pr ddos grupdos em clsses Ddos números nturis m, n e k, k G 100, um sequênci crescente de números reis ( 1, 2,, m ) e um conjunto de ddos quntittivos orgnizdos nos intervlos de clsse [ i, i + 1 [, que se supõem de igul mplitude h > 0, tem-se P k, o número rel x, tl que L -1 / ( i i )n i + (x - L )n L = k m /( i = i i )n i L -1 i =1 isto é, tl que / n i + (x - L )n L = khn i = 1 100, em que n i é frequênci bsolut do intervlo de clsse [ i, i + 1 [ e L é o mior número nturl, tl que L -1 / n i G kn 100. i = 1 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 21

22 Esttístic Amostrs de ddos bivridos Sej (, x y) mostr bivrid ds vriáveis + esttístics x e y dd por ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x n, y n )). Regressão liner Desvio verticl do ponto P i (x i, y i ), 1 G i G n e i = y i - x i - b (, b! IR) Ret dos mínimos qudrdos y = x + b, com = e b = y - x. n / i = 1 xy - nxy i i SS Propriedde n / e i = 0 + y - x - b = 0 i =1 Coeficiente de correlção liner r = n / i = 1 ( x -x)( y -y) i SS SS x i y x SS ou r = SS x y 22 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

23 Cálculo combintório Fctos elementres d combintóri Ddos dois conjuntos A e B, Se A + B = Q, então, #(A, B) = #A + #B Se #A! IN e #B! IN, então, #(A B) = = #A #B Ddo um conjunto A finito com n! IN elementos, existem: n Al p = n p rrnjos com repetições (sequêncis ordends de p elementos de A, repetindo elementos ou não extrções com reposição); n! n A p = rrnjos sem repetição ( n- p )! (sequêncis ordends de p elementos de A, sem repetição de elementos extrções sem reposição); P n = n! permutções de n (forms distints de ordenr os n elementos de A ) n A p n! n C p = = combinções distints p! p!( n- p)! de p elementos de A (número de subconjuntos de A com p! IN, p G n, elementos); # P(A) = 2 n subconjuntos de A P(A) conjunto ds prtes de A. DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 23

24 Cálculo combintório Triângulo de Pscl Proprieddes Ddos n, p! IN, n H p : n C p = n C n - p n / n C k = 2 n k = 0 n + 1 C p + 1 = n C p n C p n C 0 n C 1 n C 2 n C n -2 n C n -1 n C n Binómio de Newton ( + b) n = n + n C 1 n - 1 b n C n - 1 b n b n 24 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

25 Probbiliddes Probbiliddes Ddos um conjunto finito E e um probbilidde no conjunto P(E) e dois subconjuntos A e B de E, tem-se: P(E) = 1 0 G P(A) G P(B) P(A) = 1 - P(A) P(Q) = 0 P(A\B) = P(A + B) = P(A) - P(A + B) P(A, B) = P(A) + P(B) - P(A + B) Regr de Lplce Dd um experiênci letóri cujos csos possíveis sejm equiprováveis e finitos, define-se probbilidde de um contecimento A o quociente entre o número de csos fvoráveis A (#A) e o número de csos possíveis (#E) : # A P(A) = # E DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 25

26 Probbiliddes Probbilidde condiciond Ddos um probbilidde P e dois contecimentos A e B, com P(B)! 0, tem-se: P(A B) = PA ( + B) P( B) Regr do produto P(A + B) = P(A)P(B A) e P(A + B) = = P(B)P(A B) Acontecimentos independentes Dois contecimentos A e B são independentes se, e somente se, P(A + B) = P(A)P(B). Teorem d probbilidde totl Sej E um conjunto finito, tl que: E = B 1, B 2,, B n, em que B i + B j = Q, A 1 E e P um probbilidde: n P(A) = / P(B i )P(A B i ) i =1 26 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

27 Álgebr Potêncis Potêncis de expoente inteiro n = # # # > (n! IN) ; 0 = 1 (! IR\{0}) n ftores Potêncis de expoente rcionl m n n = m (m! IN 0, n! IN 2,! IR + ) Proprieddes ds potêncis Ddos x, y! IR,, b > 0, tem-se: x y = x + y ( x ) y = xy (b) x = x b x x x x c m = b b x y = x - y -x = 1x Rdicis Proprieddes dos rdicis Sejm, b! IR 0 +, m! IN e n! IN pr (resp., b! IR, m! IN e n! IN ímpr), tem-se: n n b n n b n = b n = b n n _ i = m n DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 27 m n = b n b (b! 0)

28 Sucessões Sucessões monótons (u n ) é crescente + 6n! IN, u n + 1 > u n (u n ) é decrescente + 6n! IN, u n + 1 < u n (u n ) é crescente em sentido lto + 6n! IN, u n + 1 H u n (u n ) é decrescente em sentido lto + 6n! IN, u n + 1 G u n (u n ) é constnte + 6n! IN, u n + 1 = u n Progressões ritmétics (u n ) é progressão ritmétic de rzão r e primeiro termo : u 1 = / u n + 1 = = u n + r, 6n! IN Termo gerl: u n = u 1 + (n - 1)r Som dos N primeiros termos: N u1 un / ui = + N 2 i = 1 Progressões geométrics (u n ) é progressão geométric de rzão r e primeiro termo : u 1 = / u n + 1 = = u n r, 6n! IN Termo gerl: u n = u 1 r n - 1 Som dos N primeiros termos: N / i = 1 N 1- r ui = u1 1 - r 28 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

29 Sucessões Sucessão convergente lim u n = l se, pr todo o número rel d > 0, existir um ordem p! IN, tl que 6n! IN, n H p & u n - l < d Limites infinitos Um sucessão (u n ) : tem limite +3, qundo, pr todo o L > 0, existe um ordem p! IN, tl que 6n! IN, n H p & u n > L tem limite -3, qundo, pr todo o L > 0, existe um ordem p! IN, tl que 6n! IN, n H p & u n < -L Álgebr de limites (u n ) e (v n ) convergentes l i m(u n + v n ) = lim u n + lim v n l i m(u n v n ) = lim u n lim v n l i m(ku n ) = k lim u n (k! IR) un lim un l i mc m v =, se 6n! IN, v n lim v n! 0 n e lim v n! 0 lim(u n ) r = (lim u n ) r se r! IN, ou se 6n! IN, u n H 0 e r! IQ +, ou ind se 6n! IN, u n > 0. DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 29

30 Sucessões Álgebr de limites infinitos/nulos +3 + (+3) = (-3) = (+3) = +3-3 (-3) = (-3) = = 0 ; - 13 = 0 l (-3) = -3 se l > 0 l (-3) = +3 se l < 0 l (+3) = +3 se l > 0 l (+3) = -3 se l < = +3 ; = -3 0 Indeterminções Propriedde Dds dus sucessões (u n ) e (v n ), se (u n ) é limitd e lim v n = 0, então, lim(u n v n ) = DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

31 Sucessões Teorems de comprção Dds sucessões (u n ) e (v n ), se existe um ordem prtir d qul u n G v n e: lim u n = +3, então, lim v n = +3 ; lim v n = -3, então, lim u n = -3. Teorem ds sucessões enqudrds Dds sucessões (u n ), (v n ) e (w n ), se (u n ) e (v n ) são convergentes, lim u n = lim v n = l e existe p! IN, tl que, pr todo o n > p, u n G w n G v n, então, (w n ) é convergente e lim w n = l. Limites notáveis Sej! IR + \{1} > 1 & lim n = +3 < 1 & lim n = 0 Sej! IR + n lim = 1 Sej x! IR n x lim b1+ l n = e x DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 31

32 Funções reis de vriável rel Generliddes cerc de funções Um função f denomin-se injetiv se, e somente se, pr quisquer x 1, x 2! D f, f(x 1 ) = f(x 2 ) & x 1 = x 2. Um função f: D f " B denomin-se sobrejetiv se, e somente se, pr todo o y! B existe x! A, tl que y = f(x) Um função f denomin-se bijetiv se, e somente se, for injetiv e sobrejetiv. Função compost D g % f = {x: x! D f / f(x)! D g }, g % f(x) = g( f(x)) Função invers f -1 (y) = x + f(x) = y, 6(x, y)! D f Dl f Pridde Função pr 6x! D f, -x! D f / / f(-x) = f(x) Função ímpr 6x! D f, -x! D f / / f(-x) = -f(x) 32 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

33 Funções reis de vriável rel Proprieddes geométrics dos gráficos Trnslções g(x) = f(x - ) + b trnslção de vetor u(, b) Contrções/Diltções h(x) = f(x) contrção verticl se 0 < < 1, diltção verticl se > 1. Coeficiente t(x) = f(x) contrção horizontl se > 1, diltção horizontl se 0 < < 1. Coeficiente 1 Reflexões g(x) = f(-x) reflexão de eixo Oy g(x) = -f(x) reflexão de eixo Ox Função periódic A função f é p-periódic se, e somente se: 6x! D f, x + p! D f / f(x + p) = f(x) DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 33

34 Funções reis de vriável rel Monotoni A função f é crescente em A 1 D f se, e somente se, 6x 1, x 2! IR, x 1 > x 2 & f(x 1 ) > f(x 2 ) A função f é decrescente em A 1 D f se, e somente se, 6x 1, x 2! IR, x 1 > x 2 & f(x 1 ) < f(x 2 ) Operções com funções Dds funções f e g de domínios D f e D g, respetivmente: As funções f + g, f - g e f g têm domínio D f + D g e são definids, respetivmente, por: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f - g)(x) = f(x) - g(x) e (fg)(x) = f(x)g(x) A função g f tem domínio D f + D g \{x: g(x) = 0} A função definid por h(x) = fx () tem domínio D h = {x! D f : f(x) H 0}, se b pr e D h = D f, se b ímpr. b 34 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

35 Funções reis de vriável rel Equções com rdicis qudráticos fx () = g(x) & f(x) = [g(x)] 2 Not: Apens são solução d equção fx () = g(x) s soluções de f(x) = [g(x)] 2 que trnsformm condição fx () = g(x) num proposição verddeir. Limite de um função (Heine) Sej ponto derente D f e b! IR lim f(x) = b se, e somente se, pr qulquer x" sucessão (x n ), tl que 6n! IN, x n! D f se x n ", então, f(x n ) " b. Álgebr de limites de funções lim (f! g)(x) = lim f(x)! lim g(x) x" x" x" lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x" x" x" f lim fx () x" lim e x" g o(x) = lim g() x x" lim [f(x)] r = lim fx () x" 8 B, r! IQ x" r DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 35

36 Funções reis de vriável rel Teorem sobre funções limitds Se lim f(x) = 0 e g é limitd, então: x" lim [f(x)g(x)] = 0 x" Teorem ds funções enqudrds Se lim g(x) = lim h(x) = l e g(x) G f(x) G h(x), x" x" então, lim f(x) = l. x" Função contínu num ponto A função f é contínu em! D f se, e somente se, existe lim f(x). x" Proprieddes Se f e g são funções contínus, então, f + g, f f - g, f g, g e f r, r! IQ são tmbém contínus nos respetivos domínios. As funções polinomiis e s funções rcionis são contínus. 36 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

37 Funções reis de vriável rel Teorem de Bolzno-Cuchy Se um função f é contínu num intervlo [, b] e k! IR pertence o intervlo de extremos f() e f(b), então, existe c! [, b], tl que f(c) = k. Teorem de Weierstrss Um função f r. v. r. contínu num intervlo [, b] dmite um máximo e um mínimo bsolutos. Assíntots o gráfico de um função Assíntots verticis A ret de equção x = é ssíntot o gráfico de f, se lim f(x) = +3, ou lim f(x) = -3, x" + x" + ou lim f(x) = +3 ou lim f(x) = -3. x" - x" - Assíntots não verticis fx () fx () Se lim x " + 3 x = m! IR c lim x "-3 x e lim [f(x) - mx] = b! IR x " + 3 = m! IRm c lim [f(x) - mx] = b! IR), ret de equção x "- 3 y = mx + b é ssíntot o gráfico de f em +3 (-3). DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 37

38 Funções reis de vriável rel Tx médi de vrição de f entre e b,, b! D f fb ()-f b- Derivd de f em! D f f() x - f() fl() = lim x" x - ; f( + h) - f() fl() = lim h " 0 h Equção reduzid d ret tngente o gráfico de f em A(, f()) y = m(x - ) + f(), m = fl() Regrs de derivção (u + v)l = ul + vl (uv)l = ulv + vlu u l uv l - vu l b l v = 2 v (u p )l = pu p - 1 ul, p! IR (f % g)l(x) = fl(g(x)) gl(x) 38 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

39 Funções reis de vriável rel Derivds e monotoni Sej f um função diferenciável num intervlo I 1 D f Se 6x! I, fl(x) H 0, então, f é crescente em I. Se 6x! I, fl(x) G 0, então, f é decrescente em I. Derivd de segund ordem fm() = (fl)l() Teste d segund derivd pr extremos reltivos Se fl() = 0 e fm() > 0, então, f dmite um mínimo em. Se fl() = 0 e fm() < 0, então, f dmite um máximo em. Pontos de inflexão e sentido ds concviddes Sej f dus vezes diferenciável num intervlo I Se, pr todo o x! I, fm(x) > 0 (fm(x) < 0), o gráfico de f tem concvidde voltd pr cim (pr bixo) em I. Se o gráfico de f tem um ponto de inflexão no ponto de bciss c! I, então, fm(c) = 0. DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 39

40 Funções exponenciis e logrítmics Funções exponenciis Ddo um número! IR +, função definid em IR por f(x) = x design-se por função exponencil de bse. Proprieddes D f = IR e Dl f = IR + É contínu; 6x 0! IR, lim f(x) = f(x x " x 0) 0 > 1 0 < < 1 f é crescente lim f(x) = +3 x " + 3 lim f(x) = 0 x "-3 f é decrescente lim f(x) = 0 x " + 3 lim f(x) = +3 x "-3 Limites notáveis e h - 1 e lim = 1 lim h " 0 h x " + 3 x (e x )l = e x Derivds x p = +3, p! IR (e u(x) )l = ul(x) e u(x) ( x )l = ln x ( u(x) )l = ln ul(x) u(x) 40 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

41 Funções exponenciis e logrítmics Funções logrítmics Ddo um número! IR + \{1}, função f : IR + " IR definid por f(x) = log x design-se por «logritmo de bse» e tem-se que y = log x + y = x, logo, 6x! IR +, logx = x e 6x! IR, log ( x ) = x Proprieddes D f = IR + e Dl f = IR. É contínu: 6x 0! IR +, lim log x " x (x) = log (x 0 ). 0 log x = 0 + x = 0 + x = 1 A ret de equção x = 0 é únic ssíntot verticl o gráfico de f. > 1 0 < < 1 log x < x! ]0, 1[ log x > x! ]1, +3[ f é crescente lim log x = +3 x " + 3 lim log x = -3 x " 0 log x < x! ]1, +3[ log x > x! ]0, 1[ f é decrescente lim log x = +3 x " 0 lim log x = -3 x " + 3 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 41

42 Funções exponenciis e logrítmics Proprieddes lgébrics Ddos! IR + \{1} e x, y! IR +, log (xy)=log x + log y log x 1 c m = -log x log x c m = log y x - log y log (x k ) = k log x logb x log (x) = (Mudnç de bse) log Limite notável lim x " + 3 ln x b x = 0 Derivds 1 logl x = ln x 1 lnlx = x ul() x logl (u(x)) = ln u() x ul() x lnl(u(x)) = ux () Modelos exponenciis Ddo k! IR, s funções definids por f(x) = ce kx, em que c! IR, são soluções em IR de fl(x) = kf(x) e tods s soluções d equção são dest form. 42 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

43 trigonometri Rzões trigonométrics de um ângulo gudo Ddo um triângulo [ABC] retângulo em C, tem-se: BC sin = AB B AC cos = AB tn = A BC C A C Tbel trigonométric x r r r 30 c m 45 c m 60 c m sin x cos x tn x DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 43

44 trigonometri Seno e cosseno de um ângulo convexo Pr qulquer triângulo [ABC], tem-se: Lei dos senos sin = sin b b = sin c Teorem de Crnot 2 = b 2 + c 2-2bc cos c A c b B b c C Rzões trigonométrics do ângulo orientdo y sin x P T(1, tn x) O x cos x 1 x 44 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

45 trigonometri Fórmuls trigonométrics Fórmul fundmentl d trigonometri 6x! IR, sin 2 x + cos 2 x = 1 e r 6x! IR\{x: x = + kr, k! Z}, 2 1 tn 2 x + 1 = cos 2 x Fórmuls de redução o primeiro qudrnte Pr todo o x! IR, tem-se: sin(-x) = -sin x ; cos(-x) = cos x sin(x + r) = -sin x ; cos(x + r) = -cos x sin(x - r) = -sin x ; cos(x - r) = -cos x r r sincx + m = cos x ; coscx + m = -sin x 2 2 r r sinc x - m = -cos x ; cosc x - m = sin x 2 2 Fórmuls d som e diferenç Pr todos os x, y! IR, cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 45

46 trigonometri Fórmuls d duplicção Pr todo o x! IR, cos(2x) = cos 2 x - sin 2 x sin(2x) = 2 sin x cos x Funções trigonométrics Função seno D IR IR Dl [-1, 1] [-1, 1] Período fundmentl 2r Função cosseno 2r Zeros kr, k! Z Máximo 1 ; pr r x = + 2kr, 2 Extremos k! Z reltivos Mínimo -1 ; pr 3r x = + 2kr, 2 k! Z Pridde Ímpr Pr r + kr, k! Z 2 Máximo 1 ; pr x = 2kr, k! Z Mínimo -1 ; pr x = r + 2kr, k! Z 46 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

47 trigonometri D Função tngente IR\&x: x = 2 r + kr, k! Z0 Dl IR Período fundmentl r Zeros kr, k! Z Extremos reltivos Não tem extremos Pridde Ímpr Funções trigonométrics inverss Função rco-seno r r Domínio: [-1, 1] ; Contrdomínio: ;-, E 2 2 rcsin x = y + sin y = x r r pr y! ;-, E e x! [-1, 1]. 2 2 Função rco-cosseno Domínio: [-1, 1] ; Contrdomínio: [0, r] rccos x = y + cos y = x pr y! [0, r] e x! [-1, 1]. DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 47

48 trigonometri Função rco-tngente r r Domínio: IR ; Contrdomínio: E-, ; 2 2 rctn x = y + tn y = x r r pr y! E -, ; e x! IR. 2 2 Equções trigonométrics sin x = sin + x = + 2kr 0 0 x = r - + 2kr, k! Z cos x = cos + x =! + 2kr, k! Z tn x = tn + x = + kr, k! Z Limite notável sin x lim x " 0 x = 1 Derivd ds funções trigonométrics (sin(u))l = ul cos u (cos(u))l = -ul sin u ul (tn(u))l = = ul(1 + cos 2 tn(u)) u 48 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

49 trigonometri Movimentos hrmónicos Oscildor hrmónico Sistem constituído por um ponto que se desloc sobre um ret numéric em ddo intervlo de tempo I, de tl form que respetiv bciss é dd em função do tempo t! I, por x(t) = A cos(~t + {), A > 0, ~ > 0 e {! [0, 2r] As constntes A, ~ e { denominm-se mplitude, pulsção e fse, respetivmente. A função x é periódic de período T = 2 r ~ 1 e o inverso numérico do período f = T denomin-se frequênci do oscildor hrmónico. DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 49

50 Primitivs e cálculo integrl Primitivs Dd um função f, rel de vriável rel, definid em I, F diz-se um função primitiv de f em I se 6x! I, Fl(x) = f(x) Funções de referênci pr primitivção (Primitivs imedits) Sejm c! IR e! IR\{-1, 0}, tem-se que: (x)l = 1 P 1 = x + c (x )l = x P x = c (e x )l = e x P e x = e x + c 1 (ln x)l = x 1 Pc m x = ln x + c (em IR + ) (sin x)l = cos x (cos x)l = -sin x P cos x = sin x + c P sin x = -cos x + c 50 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

51 Primitivs e cálculo integrl Lineridde d primitivção Sejm f e g funções reis de vriável rel e k! IR, tem-se que: P(f + g) = P f + P g P kf = kp f Integris Ddos um referencil y crtesino xoy e um função f contínu num intervlo fechdo [, b], design-se O por integrl de f entre e b b e represent-se por y f(x)dx : A=8 f(x) dx b x A áre d região do plno delimitd pels rets de equção x = e x = b, o eixo ds bcisss e o gráfico de f, se f é não negtivo no intervlo [, b] ; f b DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 51

52 Primitivs e cálculo integrl O simétrico d medid d áre d região do plno delimitd pels rets de equção x = e x = b, o eixo ds bcisss e o gráfico de f, se f é não positiv no intervlo [, b], ou sej, b b y f(x)dx = -y -f(x)dx A som c y 1 c2 b f(x)dx + y f(x)dx + + c y f(x)dx, c 1 se f é tl que existe k! IN 0 e c 0, c 1,, c k + 1, com = c 0 < c 1 < < c k + 1 = b, tl que f é não negtiv ou não positiv em cd intervlo [c j, c j + 1 ] (0 G j G k), ou sej, b y f(x)dx = c2 b y f(x)dx + y f(x)dx + + c y f(x) c = c 1 1 k k 52 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

53 Primitivs e cálculo integrl Proprieddes Dds dus funções f e g contínus num intervlo [, b], c! [, b] e k! IR, tem-se: Fórmul de Brrow b y f(x)dx = [F(x)] b = F(b) - F() ( F é um primitiv qulquer de f no intervlo [, b] ) Simetri b y f(x)dx = - b y f(x)dx Relção de Chsles b c b y f(x)dx = y f(x)dx + y f(x)dx c Lineridde b b b y (f(x) + g(x))dx = y f(x)dx + y g(x)dx ; b b y kf(x)dx = k y f(x)dx DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 53

54 Números complexos Conjugdo de z = + bi com, b! IR z = - bi Operções n form + bi com, b! IR Sejm z 1 = + bi e z 2 = c + di z 1 + z 2 = + c + (b + d)i z 1 z 2 = c - bd + (d + bc)i z 2 zz 2 z = 1 c + bd d - bc = 2 1 z 2 b b 2 i + 1 Módulo de um número complexo bi = + b Form trigonométric de um número complexo z = z (cos i + i sin i) = z e ii em que i é tl que Re( z) cos i = e sin i = Im() z z z 54 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA

55 Números complexos Produto e quociente n form trigonométric Sejm z 1 = z 1 e i e z 2 = z 2 e ib i( + b) z 1 z 2 = z 1 z 2 e z z 1 = 2 z z 1 2 i( - b) e Potênci de expoente nturl Sej z = z e ii e n! IN z n = z n e ini Rízes índice n! IN de um número complexo As n rízes índice n de um complexo w são z k = n 2r n k ib we n + l, k = 0, 1,, n - 1 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA 55

56 Números complexos Conjuntos definidos por condições Sejm z 0 = + bi, z 1 = c + di, r! IR + e i! ]-r, r] Circunferênci de centro em (, b) e rio r z - z 0 = r Círculo de centro em (, b) e rio r z - z 0 G r Exterior d circunferênci de centro em (, b) e rio r z - z 0 > r Meditriz do segmento de ret de extremos em (, b) e (c, d) z - z 0 = z - z 1 Semiplno delimitdo pel meditriz do segmento de ret de extremos em (, b) e (c, d) que contém o ponto (, b) z - z 0 < z - z 1 Ldo extremidde do ângulo orientdo de vértice em (, b) e ldo origem diretmente prlelo o semieixo rel positivo Arg(z - z 0 ) = i 56 DIMENSÕES MATEMÁTICA A SANTILLANA