Exercícios Estatística Celma Ribeiro e Alberto Ramos

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1 PRO73 Estatística Exercícios Estatística Celma Ribeiro e Alberto Ramos ) Abaixo é apresetada uma pequea parte dos dados que uma empresa matém a respeito de seus fucioários: Nome Idade Sexo Raça Salário Ocupação Aa Costa 39 Femiio Braca.0,00 Gerete Jair Freitas 7 Masculio Negra.750,00 Técico Ruoh-Li Masculio Asiática.55,00 Técico a) Além dos omes dos empregados, há mais 5 variáveis descritas. Destas, diga quais são variáveis que represetam categorias. b) Quais variáveis são quatitativas? Baseado-se os dados da tabela, quais devem ser as uidades de medida de tais variáveis? ) Um paciete fez seis exames de sague em 6 meses cosecutivos para medir seu ível de fosfato por decilitro de sague. Os resultados obtidos foram: 5,6 5, 4,6 4,9 5,7 6,4 Calcule a média, mediaa e o desvio padrão. 3) Os salários de 0 fucioários de um baco, ordeados em ordem crescete são: $ 400, 400, 400, 400, 400, 400, 400, 400, 550, 550, 650, 650, 800, 800, 900, 000, 050, 50, 300, 400. Calcule média, mediaa e moda para estes dados. 4) Calcule média e o desvio padrão distribuição de freqüêcias dada abaixo: 5) Para o cojuto de úmeros a seguir pede-se: Classes Frequêcias a) Calcule a média e o desvio padrão; b) Ecotre os dois pricipais outliers, deixe-os de fora e calcule ovamete a média e o desvio padrão. Como os outliers afetam os valores da média e do desvio padrão? _ Sugestão: lembre-se que Σ (Xi - x ) = Σ (Xi ) - * x _. Σ Xi = 60 Σ (Xi ) = 3.57

2 PRO73 Estatística 6) A tabela abaixo apreseta 40 empréstimos pessoais de uma firma de crédito ao cosumidor: a) Costrua a distribuição de freqüêcias para estes dados fazedo o limite iferior da º classe igual a $300 e o itervalo de classe igual a $400. b) Utilizado a distribuição de freqüêcias costrua o histograma. c) Calcule média, mediaa e moda da distribuição de freqüêcias do item aterior. (Σxi=4.700) d) Determie os valores do: º quartil. e) Calcule o desvio padrão para os dados agrupados. [ Σ ( Xi - x _ ) = ] 7) Os dados a seguir represetam o tempo de sobrevivêcia (em dias) de ratos ifectados por uma determiada bactéria em um experimeto de laboratório Costrua o histograma e descreva suas pricipais características. Que formato ele apreseta? 8) Com base os dados do exercício aterior, costruir um boxplot (diagrama de jutas). Existe algum dado suspeito estes? Justificar. 9) Seja x, x,..., x 5 uma amostra retirada de uma população com média µ(x) = µ e desvio-padrão σ(x) = σ. São sugeridos os seguites estimadores de µ: θˆ = x θˆ = (x + x 5 ) θˆ 3 = (x + x 5 ) θˆ 4 = x = (x 5 + x + x 3 + x 4 + x 5 ) Qual destes estimadores propostos é melhor? Justificar.

3 PRO73 Estatística 0) Demostre que o estimador abaixo, defiido como: coduz a um estimador viciado de σ. ( x x) ˆ i θ = ) Deseja-se saber o úmero de trutas em um lago. Para tato, recolheu-se 00 trutas, marcaram-se estas e depois foram devolvidas ao lago. Após uma semaa, recolheu-se ovamete 00 trutas. a) Se foram ecotradas 0 trutas, qual a estimativa do úmero de trutas o lago? b) Se o úmero de trutas o lago (N) for 000, qual a probabilidade de se ecotrar 0 trutas marcadas? c) Qual a estimativa de máxima verossimilhaça do úmero de trutas que maximiza a probabilidade de ocorrer o resultado ecotrado (0 trutas)? ) Supoha que uma seqüêcia de tetativas idepedetes e idêticas de Beroulli, X sucessos foram observados. Ecotrar o estimador de máxima verossimilhaça de p, a probabilidade de sucesso em uma úica tetativa. Sugestão: usar o l da fução de máxima verossimilhaça a derivação para facilitar as coisas. 3) Se X é uma variável aleatória. com média µ e variâcia σ, determie a distribuição de probabilidade de x i= = x i 4) Para α igual a 90%, 95% e 99%, determie uma costate a tal que P( x -µ a ) = α 5) Cosidere uma população com média descohecida µ, porém com variâcia cohecida σ = 5. Em uma amostra de tamaho 36 ecotramos x = 8. a) Costrua um itervalo de 95% de cofiaça para µ b) Costrua um itervalo de 90% de cofiaça para µ c) Costrua um itervalo de 99% de cofiaça para µ 6) Para uma amostra aleatória com média amostral igual a 0, costrua itervalos de cofiaça com os íveis de cofiaça α, tamahos de amostras () e desvios padrões populacioais (σ) dados abaixo: Aalise os resultados obtidos. I II III IV V VI σ α 95% 95% 95% 95% 99% 95% 3

4 PRO73 Estatística a) Da experiêcia passada sabe-se que o desvio padrão de altura de criaças da 5 a série é 5cm. a) Colhedo uma amostra de 36 destas criaças observou-se média 50cm. Qual o itervalo de cofiaça de 95% para a média da população? b) Que tamaho deve ter uma amostra para que o itervalo 50± 0,98 teha 95% de cofiaça? 7) Qual o ível de cofiaça de cada um dos seguites itervalos para média? a) x ±,96 σ b) x ±,64 σ 8) O diretor do Baco Icerteza pretede aalisar o edividameto médio dos clietes que fizeram empréstimo juto ao baco. Para tato uma amostra de 0 clietes apresetou média $ 587,5. O setor bacário trabalha com um desvio padrão de $ 93,76, cosiderado aceitável para este baco. Costrua um itervalo de 95% de cofiaça assumido que a distribuição dos empréstimos é ormal. 9) No exercício aterior, quatos clietes deveriam ser cosultados para que, com 90% de cofiaça, o erro amostral seja reduzido a $ 5? 0) O tempo de execução de uma certa tarefa foi medida em duas equipes. A equipe A obteve um tempo médio de 0 mi, com o um grupo de 50 fucioários. a equipe B obteve um tempo médio de mi, com um grupo de 70 fucioários. Admitido-se que a variâcia do tempo seja igual a 00 mi para as equipes pede-se: a) Determie um itervalo de cofiaça para o tempo médio da equipe A, com 9% de cofiaça. b) Idem para a equipe B c) Determie um itervalo de cofiaça para a difereça etre os tempos médios das equipes A e B com 9% de cofiaça ) Para uma variável W com distribuição t de studet com ν graus de liberdade determie W α : a) P( W W α ) = 90% com ν=0 b) P( W W α ) = 90% com ν=5 c) P( W W α ) = 90% com ν=0 d) Refaça os ites ateriores cosiderado que W possui distribuição qui-quadrado com ν graus de liberdade ) A precipitação pluviométrica aual em uma certa região tem desvio padrão igual a 3,. Nos últimos 9 aos, observou-se 8,3 / 3,7 / 9,8 / 30,5 / 34, / 7,9 / 35,0 / 6,9 /30, a ) Costrua um itervalo para a precipitação média com 98% de cofiaça b) Os técicos têm iteresse em estudar precipitações superiores a 30. Determie I.C. para a probabilidade deste eveto com 98% de cofiaça. c) Utilizado aida estes dados, costrua um itervalo para a precipitação média com 98% de cofiaça caso o desvio padrão ão fosse cohecido. 3) Calcule um itervalo de cofiaça de 95% para a média dos dados do exercício (4). 4

5 PRO73 Estatística 4) Uma amostra de 0 mil ites de um lote de produção foi ispecioada e o úmero de defeitos por item foi registrado: Defeitos Quatidade a) Determie um itervalo para a proporção de ites defeitos com 98% de cofiaça b) Determie um itervalo para o úmero médio de defeitos os ites 5) Em um teste de sesitividade, uma amostra de 8 válvulas resultou um valor médio de 3, uv. Costrua um itervalo de cofiaça para a sesitividade média com 98% de cofiaça supodo variâcia de 4 uv. 6) Supoha um experimeto cosistido de provas de Beroulli. Seja X o úmero de sucessos e cosidere os estimadores: X a) p= ˆ se o primeiro for sucesso e o segudo fracasso b) pˆ = 0.5 se o primeiro forsucessoeossegudo fracasso 0 caso cotrario Determie a esperaça e a variâcia de cada estimador. Qual dos dois estimadores você escolheria? Justifique. 7) Uma empresa vai laçar um ovo produto. O gerete de marketig ecomeda uma pesquisa de mercado, etrevistado 500 pessoas a qual apeas 57 pessoas maifestam iteção de comprar o ovo produto. Costrua um I.C. com 9 % de cofiaça. Se soubermos que a rela proporção de compradores é iferior a 40%, qual seria o itervalo? E se soubéssemos que é iferior a 80%? 8) Foi feita uma pesquisa eleitoral o bairro A com 500 eleitores sedo que 00 deles maifestam iteção de votar o cadidato X. No bairro B, foram etrevistados 000 eleitores, e 300 deles maifestam iteresse em votar em X. Costrua I.C. para a probabilidade de votar o cadidato X, o bairro A. Repita para o Bairro B. Calcule um I.C. para difereça etre a probabilidade de votar o cadidato X os bairros A e B. 9) Um técico precisa determiar o tempo médio gasto para perfurar 3 orifícios em uma peça de metal. Qual deve ser o tamaho da amostra para que tehamos 95% de cofiaça em que sua média amostral esteja a mesmo de 5 segudos da verdadeira média. Sabe-se por experiêcia que o desvio padrão é de 40 segudos. 30) Uma amostra prelimiar de 500 famílias verificou que 340 delas possuem foro de micro odas. Para estimar a proporção de famílias com este utesílio, qual o tamaho de amostra ecessário para que tehamos 95% de cofiaça em que o erro de ova estimativa ão seja superior a ) Qual deve ser o tamaho da amostra para que a difereça etre a média amostral e a média da população em valor absoluto seja o máximo com cofiaça de 95%. Sabe-se que o desvio padrão é igual a 0. 5

6 PRO73 Estatística 3) Ates de uma eleição, um determiado partido está iteressado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu cadidato. Uma amostra piloto de 00 eleitores revelou que 60% deles eram favoráveis ao cadidato. Qual o tamaho da amostra tal que o erro cometido seja o máximo 0.0 com 80% de cofiaça. 33) A resistêcia à tração de 0 corpos de prova é: Costrua um itervalo de cofiaça de 95% para a variâcia. 34) Dois processos de coservação de alimetos estão sedo utilizados e a variável de iteresse é o tempo de duração. Duas amostras idepedetes A com 6 latas apresetou um tempo médio de 50 dias e amostra B com 5 latas apresetou 60 dias. Costrua um itervalo para a difereça das médias com 95 % de cofiaça e iterprete os resultados. Use como o desvio padrão do processo igual a ) Um estudo pretede idetificar se um grupo de idígeas pertece a uma determiada tribo. Sabe-se que os ídios da tribo A possuem altura média de 0 cm, equato que os da tribo B possuem altura média 45 cm. O desvio padrão os dois casos é 40. O critério de decisão é o seguite: se para uma amostra de 00 pessoas for observada média amostral superior a 30 cosidera-se que o grupo é da tribo B, caso cotrário é da tribo A Você descofia que os idivíduos são do grupo B. a) Qual o erro tipo I? b) Determie a probabilidade de erro tipo I (α). c) Qual deveria ser o critério de decisão para que α = 5%? 36) A carga média de ruptura especificada de um parafuso é de 50 kg, sedo o desvio-padrão dessas cargas igual a 4 kg, supoha que o comprador especifique que: a) Se o lote satisfaz à especificação, o comprador deseja limitar a 5% a probabilidade de cocluir que o lote é isatisfatório; b) Se o lote tiver uma resistêcia média ligeiramete meor que 50 kg, tal fato ão causa preocupação, porém deseja-se que, se a verdadeira média for iferior a 48 kg, tal fato seja idetificado com pelo meos 90% de probabilidade. Determie os limites de carga de ruptura para cada caso. 37) Fazedo o teste: Ho: µ = 50 (σ = 50) H: µ = 00 (σ = 00) Com = 00 obteve-se a seguite região crítica RC = [70, ] ( se x RC rejeito Ho) a) Qual a probabilidade α de rejeitar Ho quado verdadeira? b) Qual a probabilidade β de aceitar Ho quado H é verdadeira? c) Qual deve ser a RC para que α = β 6

7 PRO73 Estatística 38) Uma máquia eche sacos de meio quilo de pó de café. Sabe-se que o desvio padrão desta máquia é de 30 g. Descofia-se que a máquia esteja mal calibrada, porém o custo de iterromper o processo é por demais elevado. Uma amostra de 35 sacos foi retirada e obteve-se x = 506,4 g. Aalise os resultados quato à iterrupção do processo ao ível de 5% de sigificâcia os seguites casos a) O produtor preocupa-se apeas com o custo de iterrupção do processo. b) O produtor preocupa-se com a calibração adequada da máquia. 39) Na ausêcia de treiameto os escores de um exame de admissão em um MBA variam ormalmete com média 475 e desvio padrão 00. Supohamos, que o treiameto possa melhorar a média, mas ão altere o desvio padrão. Uma equipe treia 00 estudates. Suas otas acusam x = 478. a) Para um ível de sigificâcia de 5% é possível afirmar que as otas aumetaram? b) O que ocorreria se a amostra tivesse 000 e ão 00 aluos? 40) Um teste para aceitação de lotes de uma empresa automobilística cosiste em avaliar o diâmetro de peças. As peças são cosideradas detro da especificação se sua média for µ = 6u. Um lote de 80 peças é aalisado. a) Se o critério adotado o exercício aterior é: rejeite o lote quado x > 6,5 ou x < 59,5, qual a probabilidade de erro tipo I? Admita σ = 5. b) Qual seria a região crítica para um ível de sigificâcia de 5%? 4) Uma amostra de 5 elemetos extraída de um lote de 5000 peças foreceu: x = 500 mm e x = 0.05,67 mm Sabe-se aida que dos 5 elemetos, 4 são superiores a 9 mm, Com base estas amostras, ao ível de 5% de sigificâcia, pode-se afirmar que: a) A média do lote é superior a 9 mm? b) O desvio padrão do lote é superior a,5 mm? c) O úmero de elemetos o lote iteiro com medidas superiores a 9 é superior a 3000 elemetos? d) Pode-se utilizar somete esta amostra para estimar a média do lote com desvio máximo da estimativa em relação ao verdadeiro valor de 0,0mm e 90% de cofiaça? 4) O úmero de furos em chapas de alumíio obedece a uma distribuição de Poisso com λ=0,3 defeitos por cm. a) Queremos ispecioar uma chapa de comprimeto L (cm) de forma a caracterizar o percetual do comprimeto que ão apreseta furos. Ecotre L tal que com 90% de certeza haja o máximo 5 furos. b) Você pretede comprar um lote de chapas com 8 cm de comprimeto. O fabricate afirma que o úmero de defeitos tem distribuição de Poisso com λ=0,5 defeitos por cm. Você deve decidir se compra o lote ou ão. Para isto escolhe aleatoriamete 5 chapas do lote e se duas ou mais chapas apresetarem mais do que 7 furos (cada uma) você rejeita o lote todo. Defia quem são os erros tipo I e tipo para este problema e calcule a probabilidade de erro tipo I. 7

8 PRO73 Estatística 43) Um estado possui apeas 3 cidades. Uma amostra do salário de químicos foi retirada em cada uma das cidades. Uma maeira de estimar o salário médio do estado para estes profissioais é através do estimador X = w A X A + w B X B + w C X C ode X j é a média amostral a localidade j e w j é a proporção (de químicos) da cidade j em relação ao úmero de profissioais do estado (assuma cohecida). a) Calcule a média e a variâcia do estimador da média de salários estadual. b) Como você costruiria um itervalo de 95% de cofiaça para a média estadual? Como faria um teste de hipóteses? c) Quais as hipóteses que você assumiu em (b)? 44) Pretede-se testar a hoestidade de uma moeda com base o úmero de caras obtidas em 5 laçametos. (Ateção: este caso ão é possível utilizar a distribuição ormal. Deve-se recair em uma distribuição biomial!) a) Qual o teste de hipóteses mais adequado? b) Com um ível de sigificâcia de 5%, quatas caras deveriam ocorrer para rejeitarmos H 0? c) Qual o real ível de sigificâcia o item (b)? 45) Um certo fabricate de cartuchos de tita afirma que estes têm duração segudo uma distribuição ormal com média de folhas. Uma empresa adquiriu um lote deste produto, retirou uma amostra de 6 cartuchos que foreceu x = folhas e σ = Você rejeitaria o lote? Cosidere o ível de sigificâcia igual a 5%. 46) Descofiado-se de que uma moeda fosse viciada, realizou-se um experimeto que cosiste em laçar essa moeda cem vezes. Obtivemos 59 caras. Pode-se afirmar a existêcia de vício? Cosidere o ível de sigificâcia igual a 5%. 47) Uma amostra de 0 elemetos extraída de uma população ormal foreceu variâcia igual a,4. Este resultado é suficiete para se cocluir, ao ível de sigificâcia 5%, que a variâcia dessa população é iferior a 5? 48) Um processo produz cabos para uma compahia de telefoe. Quado o processo está operado corretamete, o diâmetro do cabo segue uma distribuição ormal com média,6 cm e desvio padrão 0,5. Uma amostra aleatória de 6 pedaços de cabo apresetou o diâmetro médio de.65 cm e desvio padrão amostral de 0,86 cm. a) Assumido que o desvio padrão amostral é 0,5 cm, teste ao ível de 0% se média populacioal é,6 cm cotra a alterativa de que é diferete de,6 cm. b) Teste ao ível de 0% a hipótese ula de o desvio padrão populacioal é 0,5 cotra a alterativa de que é maior. 49) Uma empresa de fertilizates afirma que em média seu produto aumeta a produção de milho em 8 toeladas por acre. Uma amostra aleatória de 6 observações mostra que em média a produção cresceu 6,8 toeladas por acre com desvio padrão amostral de,4. Assumido que o aumeto da produção é ormal, teste a afirmação da firma ao ível de 5% de sigificâcia. 50) Supoha que o salário iicial de recém formados seja uma variável aleatória com média descohecida, porém com desvio padrão de $ 00. Uma amostra de 36 recém formados foreceu x = $.050 Faça o teste de hipóteses a seguir, ao ível de 5%. 8

9 PRO73 Estatística H H 0 : : µ = 00 µ < 00 5) No problema aterior admita que a variâcia é descohecida e a amostra retirada foreceu s x = 00. Qual seria sua coclusão? 5) Uma compahia de cigarros aucia que 50 % dos cigarros que fabrica possuem ídice de icotia abaixo de 3 mg por cigarro. Sabe-se que o ídice de icotia se distribui ormalmete os cigarros. Um laboratório realiza 5 aálises desse ídice obtedo 4,, 5, 6,. Pode-se aceitar, ao ível de 0%, a afirmação do fabricate? 53) Você está iteressado em abrir um restaurate os jardis. O corretor imobiliário afirma que, em média, os moradores da região saem para comer fora 8 vezes por semaa ( almoço e jatar), que seria o úmero suficiete para que o ivestimeto seja realizado. Você coleta uma amostra de aleatória de 0 moradores obtedo o seguite resultado: 6, 5, 7, 4, 8, 6, 9,, 0, 8, 0, 7, 6, 4, 4,, 4, 7, 4, 0. Qual seria sua decisão? (α = 0,05) [ Σ Xi = Σ ( Xi - x _ ) = 09,8 ] 54) Uma amostra de dez empresas, cada uma com 00 fucioários, foreceu o úmero de empregados do sexo femiio coforme tabela abaixo. Ao ível de 0% teste a hipótese: Ho: p = 0,45 Ha: p > 0,45 Empresa A B C D E F G H I J Mulheres ) Quado realizam tarefas exteuates, a pulsação de 5 empregados aumeta em média 8,4 batimetos por miuto com desvio padrão de 4,9 batimetos por miuto. Teste a hipótese de que a variâcia σ = 30, cotra a hipótese alterativa σ < ) Você está covecido de que o salário médio de profissioais de uma dada área é alto, porém acredita que haja alta variabilidade etre eles, superior à média acioal σ = 56. a) Qual a hipótese alterativa que você utilizaria para verificar esta afirmação? b) Se os salários possuem distribuição ormal, qual a estatística adequada a este teste? c) Qual a região crítica apropriada se α = 0,05 e = 3? d) Você aceitaria ou rejeitaria H 0 se a amostra resultasse em s = 350? 57) Um pesquisador está aalisado a variâcia do preço de uma ação. A hipótese alterativa é que σ < 900 ($ ). Uma amostra de 5 dias foreceu s x = 870 ($ ). Assuma que o preço da ação possua distribuição ormal. O que se pode cocluir ao ível de sigificâcia de %? 58) A compahia telefôica está estudado a duração de chamadas telefôicas, bem como sua variabilidade. Admita que a variabilidade acioal seja σ = 4 miutos. A compahia pretede verificar se em uma certa cidade a variabilidade do tempo das chamadas difere do padrão acioal. A duração das chamadas possui distribuição ormal. 9

10 PRO73 Estatística a) Qual a hipótese ula e a hipótese alterativa? b) A partir de que valores da variâcia amostral você rejeitaria a hipótese H 0? ( = 5 e α = 0,05) c) Qual sua decisão se uma amostra de 5 chamadas forecesse s x =,5? 59) Os dados abaixo foram coletados em três empresas diferetes o dia 8/05 e referem-se ao tempo (miutos) que profissioais gastaram com pesquisas em iteret aquele dia. Empresa A, 3,5,6 0,5 8,4 9,7 8,,3 B, 3,,4 0,4, 9,3 7,5,,4 6,6 C 9, 9,9 8,7 8,4 8,6 8,3 9, a) Supoha que o desvio padrão da empresa A seja σ A =,3. Teste a hipótese de que o tempo médio a empresa A é superior a. b) Refaça o exercício aterior admitido variâcia descohecida. c) Teste a hipótese de que a variâcia do tempo gasto a empresa A é iferior a variâcia da empresa B. d) Supoha que o desvio padrão da empresa A seja σ A =,3 e a da empresa B seja σ B = 3. Teste a hipótese de que o tempo médio é maior a empresa B. e) Refaça o item aterior imagiado que as variâcias são iguais, porém descohecidas. f) Teste a hipótese de que a empresa A, a proporção dos fucioários que gastam mais do que 0 miutos com iteret é superior a 50%. g) Teste a hipótese de que o tempo médio gasto a empresa C é iferior a 9,5 miutos 60) Quado trabalhamos com duas amostras aleatórias proveietes de populações ormais cujas variâcias parecem ser distitas, utiliza-se a seguite estatística de teste: ( t ( X X ) = s s + cuja distribuição de probabilidade é aproximadamete t de Studet com graus de liberdade ν, estimados a partir dos valores observados das variâcias amostrais s e s como: ν = s s s + s + Utilize esta estatística para resolver o seguite problema: Para comparar a resistêcia de pára-choques, seis de cada tipo foram motados sobre um certo tipo de carro compacto. Em seguida cada carro é projetado cotra uma parede a 5 milhas por hora, e os seguites custos de reparo por tipo de para choque são apresetados abaixo: 0

11 PRO73 Estatística Tipo Tipo Use ível de sigificâcia α = 0,0 para testar a existêcia de difereça etre as médias. 6) Comparamos a receita bruta de 0 empresas do setor comercial o ao de 995 e 996 (em milhões). Teste a hipótese Ho: µ 95 = µ 96 cotra Ha: µ 95 µ 96 (α = 5% ) X (995), 57,4 8,4 9,6,7 8,4 40,4 30, 3,6 3,8 X (996) 8,9 54, 9,3 3,7,8 7,6 45,8 9,8 4,9 33,4 D = X -X -,3-3,3 0,9 3, 0, -0,8 5,4-0,3,3,6 Σ X i (995) = 93,6 Σ X i (996) = 99,3 difereça - Σ ( Di - d ) = 57,50 6) A abertura comercial e a valorização cambial aumetaram a cocorrêcia dos produtos acioais com os importados. Com isso muitas empresas acioais ecotram dificuldade para serem competitivas. Uma empresa de produção de autopeças pretede istalar um curso itesivo de treiameto para os seus fucioários com o ituito de melhorar a produtividade e recuperar o espaço perdido para os importados. Foi selecioada uma amostra de 5 fucioários e mediu-se o úmero de peças feitas por dia para cada um. Etão esses mesmos fucioários receberam o treiameto e mediu-se o desempeho de cada um após o treiameto. Ates do treiameto: Σ Xi = 5 Após o treiameto: Σ Xi = 578 Desvio-padrão da amostra das difereças = 7, Teste ao ível de 5% se o treiameto aumetou a produtividade dos empregados. 63) Para se estudar o desempeho de duas compahias corretoras de ações, selecioou-se de cada uma delas amostras aleatórias das ações egociadas. Para cada ação selecioada, computou-se a porcetagem do lucro apresetada durate um período fixado de tempo. Os dados estão a seguir: Corretora A: 45, 60, 54, 6, 55, 70, 38, 48, 64, 55, 56, 55, 54, 59, 48, 65, 55, 60 Corretora B: 57, 55, 58, 50, 5, 59, 59, 55, 56, 6, 5, 53, 57, 57, 50, 55, 58, 54, 59, 5, 56 a) Para verificar a homogeeidade das duas populações, um estatístico sugeriu que se usasse o quociete F = Var(lucro A)/Var(lucro B) e adotou a seguite regra de decisão: se F<. etão elas possuem a mesma variâcia. Aplicado este procedimeto o que se coclui? Corretora A: [ Σ Xi = 004 Σ ( X i- x _ ) = 00.4 ] Corretora B: [ Σ Xi = 64 Σ ( X i- x _ ) = 0.4 ] b) Para decidir se os desempehos das duas corretoras são iguais ou ão, adotou-se o seguite teste: sejam

12 PRO73 Estatística t = S * _ X. A X A _ B + B, S * AVar( lucro a) + BVar( lucro B) + A B caso t < os desempehos são semelhates, caso cotrário são diferetes. Qual a coclusão? 64) Pretede-se comparar a variâcia do preço de duas ações ( com distribuição de preços ormal) A hipótese alterativa é de que σ A > σ B. Amostras de tamaho e 5 foreceram variâcias s A = (67.33) e s B = (37.8). Teste com α = 0,0 se as duas variâcias são iguais. 65) Supoha que estejamos iteressados a relação etre a proporção de aposetados o sudeste em relação à proporção de aposetados a região ordeste. Uma amostra de 0 áreas do sudeste e 0 do ordeste foreceu: x NE = 0,56 x SE = 0,78. Teste com ível de sigificâcia de 95% a hipótese que a proporção de aposetados o sudeste é igual a do ordeste. 66) Uma amostra prelimiar com 500 famílias verificou que 340 delas possuem TV a cores. Qual seria o tamaho adequado da amostra para que tehamos 95% de cofiaça de que o erro da ossa estimativa ão seja superior a 0,0? 67) Uma máquia automática eche latas com base o peso líquido, com variabilidade praticamete costate e idepedete dos ajustes a média, dada por um desvio padrão de 5g. Duas amostras retiradas em dois períodos cosecutivos de 0 e 0 latas foreceram pesos médias líquidos, de respectivamete 84,6 g e 88,9 g. Descofia-se que a regulagem da máquia quato ao peso médio possa ter se alterado etre a coleta das amostras. Qual a coclusão o ível de sigificâcia 5%? 68) Duas técicas de veda são aplicadas por dois grupos de vededores: a técica A por vededores e a técica B por 5 vededores. Espera-se que a técica B produza melhores resultados. No fial do mês obteve-se: A B No. de vededores 5 x S Testar o ível de sigificâcia de 5%, se a expectativa quato à técica B se cofirmou. Supoha vedas com distribuição ormal, com variâcia comum e descohecida. 69) Cico operadores de um certo tipo de máquia são treiados em máquias de marcas diferetes, A e B. Mediu-se o tempo que cada um deles gastou a realização de uma mesma tarefa, obtedo-se: Operador Marca A Marca B

13 PRO73 Estatística No ível de 0% podemos afirmar que a tarefa realizada a máquia A demora mais que a máquia B? 70) Duas amostras, com 0 e 5 elemetos, extraídas de populações ormais possuem S igual a 6,34 e 8,7 respectivamete. Com α = 5% devemos aceitar que as variâcias são iguais? 7) Foram criados dois grupos de ove estudates de um curso de estatística. Duas técicas de esio foram adotadas, uma em cada grupo, e as otas fiais são apresetadas a seguir: A B a) É possível cocluir que as otas foram iferiores com a técica B ao ível de 5% de sigificâcia? (Faça hipóteses apropriadas sobre as variâcias) b) Supoha que as variâcias fossem cohecidas os dois casos e iguais a 5 e 8 para o grupo A e B respectivamete. Qual sua coclusão? 7) No mês de dezembro, 9 pessoas vão para um spa. Elas são pesadas o dia de chegada e o dia de saída, obtedo-se o seguite: Chegada Saída Você pode cocluir (5%) que passar o mês o spa reduz o peso de pacietes? 73) Seja X uma variável aleatória com distribuição F(a,b). Determie os valores F* tais que: a) P(X > F* ) = 5% a = 3 b = 0 b) P(X > F* ) = 5% a = 0 b = 3 c) P(X < F* ) = 5% a = 0 b = 3 74) Os salários horários médios de mecâicos de automóveis foram estudados por um grupo de cosumidores. A fialidade era determiar a evetual existêcia de difereças etre 4 localidades. Obteve-se: Observação Loc. A Loc. B Loc. C Loc. D No ível de sigificâcia 5% podemos afirmar que existe difereça? 75) Um cosumidor pretede verificar se existe difereça o preço de aspirias em diferetes cidades e em diferetes tipos de loja. Selecioou a seguite amostra: 3

14 PRO73 Estatística Cetro Leste Oeste Sul Drogaria,46,85,44,5 Farmácia,7,6,35,7 Supermercado,7,64,59,84 a) Utilizado aálise de variâcia de um fator é possível cocluir que há difereça etre regiões? (5%) b) Utilizado aálise de variâcia de um fator é possível cocluir que há difereça etre regiões? c) Qual sua resposta em (a) se for utilizada aálise de variâcia de dois fatores? (5%) 76) Teste de homogeeidade de variâcia. Para testar se σ = σ = Lσ pode-se utilizar a seguite estatística: k D = k i= s ( i ) log s ode: k o úmero de classes, i o tamaho da amostra i s i a variâcia amostral da i-ésima amostra s R a variâcia residual, s R i k i= R = k ( ) s i= i i i ( ) Sabedo que a variável D tem distribuição χ com k- graus de liberdade, verifique ao ível de 5%, a hipótese de equivariâcia para o cojuto de dados a seguir: I II III 6,3 5,6 5,5 6,7 3,5 7,4 6,9 8, 4, 3, 4,3,9 I, II e III referem-se a três diferetes marcas de tita e os dados represetam iformações quato à graulação (teste uilateral à direita) 77) Queremos verificar o efeito do tipo de impermeabilização a codutividade de tubos de TV. Qual a coclusão ao ível de 5%? I II III IV ) Queremos verificar se máquias produzem peças com a mesma homogeeidade quato à resistêcia à tração. Acredita-se que a variâcia o segudo caso é meor (5% de sigificâcia). Os dados são: 4

15 PRO73 Estatística A: B: ) Em uma pesquisa de redimeto por hora, etre assalariados segudo o grau de istrução, obtiveram-se os seguites resultados: Escolaridade xi x N o grau,50 59,93 50 o grau 7,00 58, o grau 84,30 77,94 0 a) Teste a hipótese de igualdade de variâcias para o primeiro e segudo graus. b) Existe difereça etre o redimeto médio das pessoas com o, o e 3 o graus? Caso haja, quais as médias diferetes? (5% de sigificâcia) Utilize s X k = X i= i ( X i ) 80) Quatro hotéis foram avaliados por seus hospedes e receberam as respectivas otas, uma escala de 0 a 0: Rio 7,9 6, 6,6 8,6 8,9 0,0 9,6 Excalibur 5,7 7,5 9,8 6, 8,4 MGM 6,8 7,5 5,0 7,4 5,3 6, Bellagio 6,4 7, 7,9 4,5 5,0 6,0 O que você diria do desempeho dos hotéis com relação à (α=5%): a) Média? b) Desvio-padrão? 8) Duas pessoas realizaram uma mesma tarefa, duas vezes, em dois dias diferetes a semaa. Os tempos (segudos) obtidos estão apresetados a seguir: ª feira 5ª feira Maria João a) Existe difereça de variabilidade etre pessoas e dias da semaa? (α = 5%) b) Existe difereça de médias etre pessoas e dias da semaa? (α = 5%) 8) Três marcas de molho (A, B e C) estão sedo avaliadas por 4 laboratórios quato ao seu teor de colesterol. Os resultados obtidos foram: Marca Lab Lab Lab3 Lab4 A 3,7,8 3, 3,4 B 3,,6,7 3,0 C 3,5 3,4 3,0 3,3 Existem difereças etre médias de laboratórios ou de marcas? Usar α = %. 5

16 PRO73 Estatística 83) As vedas de 3 vededoras que atedem uma certa região, durate 8 semaas, são forecidas a seguir. Existem evidêcias, ao ível de sigificâcia de 0%, de que as vedas médias semaais ão sejam iguais? Vededor Rosa Sueli Tâia ) Dão se, a seguir, os úmeros de peças defeituosas produzidas por quatro operadores trabalhado, em turos, em três diferetes máquias: O O O3 O4 M M M Existem evidêcias de que os operadores ou máquias ão estejam produzido com a mesma qualidade (α = 5%)? 85) Duas marcas de detergete estão sedo avaliadas quato à quatidade de sujidade removida em duas diferetes temperaturas: mora (30 o C) e quete (45 o C). Os resultados obtidos foram (em mg): Marca Mora Quete X Y Há evidêcias de que a marca de detergete ou a temperatura afete a quatidade média de sujidade removida (α = 5%). 86) Um supermercado deseja ivestigar a ifluêcia da localização de um produto a sua veda. Deseja avaliar se o corredor (frete ou fudo) ou a prateleira (alta ou baixa) ode o produto é colocado possuem ifluêcia. Os resultados obtidos, em R$, foram: 6

17 PRO73 Estatística Qual é a coclusão (α = %). Corredor Frete Fudo Prateleira Alta Baixa ) Cosidere os dados abaixo ode y represeta o úmero de produtos vedidos e x o valor (mil reais) aplicado em publicidade: x y xiyi xi yi a) Existe suspeita de correlação liear? b) Estime a reta. c) Com ível de sigificâcia 5% podemos falar que existe regressão? d) Podemos falar que as vedas aumetam devido à publicidade? (alfa 5%) e) Temos 65 mil para ivestir, qual a previsão média de vedas? 88) Os modelos lieares são bastate utilizados para aálise do comportameto de duas variáveis. Assim pode-se, sob hipóteses ão muito restritivas, ecotrar estimativas αˆ e βˆ, dos parâmetros da reta de regressão, Y = α + β X. Podemos realizar testes de hipóteses sobre estes parâmetros. Para o coeficiete agular β, é importate testar se a variável Y permaece ialterada quado X varia, ou seja, se β=0. Para tal emprega-se a seguite estatística t b t = ode S b se Sb = s e = ( resíduos) ( x x) que possui distribuição t com - graus de liberdade, ode é o úmero de pares de potos utilizado para costruir a reta de regressão. Cosidere o seguite cojuto de dados: X Y A reta de regressão obtida foi: Yˆ = X Calculado os resíduos: 7

18 PRO73 Estatística Xi Yi Yˆ = X i ( Y ˆ i Yi ) Para estes dados obteve-se: S e = e ( X ) i X = Teste a hipótese de que o coeficiete da regressão é ão ulo ao ível de 5% de sigificâcia. 89) Uma amostra do úmero de ações egociadas a bolsa de Nova York durate 0/ em dias selecioados aleatoriamete foreceu a seguite tabela: Data 7/0 3/ 6/06 6/0 09/05 0/03 7/0 05/ 30/06 0/ /08 3/0 Volume (milhões) 9,3 3,3 6,6 38,4 66,3 00,0 96,5 44,7 7,4 5,3 73,0 8,4 a) Determie um itervalo de 90% de cofiaça para a proporção dos dias em que o volume supera 60 milhões. Que hipóteses foram assumidas para desevolver o itervalo? Estas hipóteses são aceitáveis? b) Teste a hipótese de que variâcia do volume egociado o ao de 009 é superior a 0.000,00 c) Cosidere as variáveis X = meses (,,..., ) e Y = volume. Determie a reta de regressão etre estas duas variáveis. Podemos cocluir (5% de sigificâcia) que estas duas variáveis estão relacioadas? Justifique. 90) Dados foram coletados sobre o úmero de imóveis costruídos (Y) em fução das taxas de juros (X) de fiaciametos para o setor. Obteve-se a seguite tabela: 8

19 PRO73 Estatística Ao Taxa Juros (%) 8,95 9,68,5 3,95 6,5 5,79 3,43 3,80,8 0,07 Imóveis (000) a) Determie a reta de regressão (Y em fução de X) b) Ecotre um itervalo de cofiaça para a quatidade média de imóveis costruídos quado a taxa de juros é de 0,0. Como você iterpreta este itervalo? c) É possível cocluir, ao ível de 5%, que o úmero de imóveis costruídos decresce à medida que a taxa de juros aumeta? d) Supoha que o modelo empregado fosse do tipo y=αe βx φ, ode φ é um erro aleatório, e α e β são parâmetros. Quais seriam as hipóteses que deveriam ser feitas sobre φ para que pudéssemos empregar o ferrametal de regressão liear para costruir um itervalo de cofiaça para β? 9) Os dados abaixo se referem a medidas de raios cósmicos realizadas em diversas altitudes. Altitude (X) Dose (Y) 8; 7; 35 30; 36 3;34 35; ,4; 58; 56, 69,3; 7 a) Faça um diagrama de dispersão. b) Ajuste um modelo liear. c) É possível cocluir que os raios cósmicos são afetados pela altitude? d) Você acha que este modelo é o mais adequado para aalisar o problema proposto? Justifique. 9) O faturameto aual de uma empresa de cosultoria os últimos aos é apresetado a seguir: Ao R$ a) Qual a melhor equação da reta obtida pelo MMQ? b) Qual a melhor equação da parábola obtida pelo MMQ? c) Qual dos dois modelos é melhor, estatisticamete falado (α = 5%)? 9

20 PRO73 Estatística 93) Os dados a seguir se referem ao úmero de quartos (x ) e ao úmero de baheiros (x ) de oito casas e seu respectivo preço de veda recete. Ecotrar a equação de regressão que permita se estimar o preço de uma casa em fução destas variáveis: Casa Quartos Baheiros Preço ) Uma empresa de vedas por catálogo está avaliado seu processo de distribuição. Deseja saber o que afeta o custo de distribuição. Dados dos últimos 4 meses foram obtidos do custo de distribuição, vedas e o úmero de pedidos processados, coforme a seguir: Mês Custo Distribuição Vedas Pedidos Mês Custo Distribuição Vedas Pedidos 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Através da regressão liear múltipla, determie que fator ifluecia mais o custo de distribuição. 0