Curvas Planas. Sumário COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES. Introdução. Introdução. Carlos Carreto

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1 Sumáro COMUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES Curvs lns Crlos Crreo Inroução Curvs prmérs Curv Bèzer Curv Herme Curv B-Splne Curv Cmull-Rom Curso e Engenhr Informá Ano levo /4 Esol Superor e Tenolog e Gesão Gur Inroução Hoje em, um s plções ms mpornes ompução gráf é sem uv o ompuer-e esgn (CAD). O CAD é uso exensvmene num grne número e áres s omo engenhr eroespl, engenhr uomóvel, engenhr náu, engenhr vl e engenhr elerón. O suesso plção ompução gráf à engenhr eve-se soreuo o progresso o hmo ompuer e geomer esgn (CAGD) que proporon se memá pr esrever e proessr form geomérs, nomemene (urvs, superfíes e sólos). Os méoos ms promssores pr esrever forms geomérs são s urvs e superfíes prmérs. Emor eses méoos sejm em onheos n eor, s sus plções em ssems CAD êm so ojeo e nvesgção nos úlmos 5 nos. Os mores vnços onseguos são sem uv s represenções Bèzer e B-splne e urvs e superfíes que são hoje em o snr nusr. Veremos segur memá por erás eses méoos que são e grne mporân pr moelção e superfíes e sólos. Inroução Forms e represenr urvs Form não prmérs Represenção por equções one um s oorens é eermn em função our: y F(x) Equções prmérs Represenção por equções one s oorens são os em função e um prâmero: y F() x F()

2 Inroução Form não prmér Exemplos e equções não prmérs n form expl y f(x) y mx z - (Ax By D) / C Levnm prolems n hor e represenr urvs om lços ou om ngenes vers (m n equção re).or esse movo êm um uso lmo n ompução gráf. Inroução Form não prmér Exemplos e equções não prmérs n form mplí f( x, y) Ax By C (x - x ) (y - y ) -r Resolvem lguns prolems represenção expl, ms não permem o lulo reo s oorens os ponos. São úes em ompução pr eermnr o exeror e o neror. f( x, y, z) > > Exeror f( x, y, z) < > Ineror Inroução rnps esvngens form não prmérs pr uso em CAGD É fíl efnr equção não prmér e um urv prr e um onjuno e ponos e onrolo (é fíl e mnpulr nervmene). Inroução Form prmér Curvs prmérs x f(u) y g(u) z h(u) Superfíes rmérs x f(u,v) y g(u,v) z h(u,v) Não perme represenção e urvs om lços. É fíl efnr equção não prmér e um urv que psse por um onjuno e ponos pré-efnos. Exemplos e equções prmérs Crunferên: x x r os θ y y r sn θ θ [, π] Segmeno e re: x (-). x. x y (-). y. y [, ]

3 Inroução rnps vngens form prmérs pr uso em CAGD Resolve os prolems form não prmér. A urv poe ser efn prr e um onjuno e ponos e onrolo (é fál e mnpulr nervmene). A urv poe ou não pssr por um onjuno e ponos pré-efnos. A urv é proxm por polnómos que efnem s sus várs pres. O ompormeno urv em relção um os exos é efno por equções nepenenes. Inroução A urv é efn rvés e um onjuno e ponos e onrolo que nfluenm form urv. Os nós são ponos e onrolo que perenem à urv. A urv poe ser nerpol, pssno nesse so por oos os ponos e onrolo, ou poe ser proxm, pssno pens em lguns ponos e onrolo ou mesmo em nenhum. Os ponos e onrolo efnem froner e um polígono esgno por onvex hull. As oorens são os em função e um prâmero. Inroução or vezes é neessáro represenr urv rvés e um onjuno e urvs menores lgs enre s. Nesse so queremos grnr onnue s urvs. Inroução Defnção e Splne Um Splne é um urv ompos por segmenos e urvs efnos por polnómos que ssfzem eermns onções e onnue ns exremes e segmeno. Um equção é lssf e oro om os ermos que onem. Se oos os ermos são elevos um eermn poên, equção é um polnómo. Se mor poên é um, equção é lner. Se mor poên é os, equção é qurá. E mor poên é rês, equção é ú. Connue e orem zero, s urvs enonrm-se num pono Connue e prmer orem, s ngenes são onenes Connue e segun orem, veloe nes e epos é gul

4 Inroução Curvs prmérs ús r grnr onnue e prmer orem, s urvs são proxms por polnómos e gru : x() x x x x y() y y y y [, ] Form mrl: Curvs Bèzer Creríss urv Bèzer É efn por 4 ponos e onrolo (,,, ). ss pelos ponos exremos. Os veores ngenes os ponos exremos são eermnos prr os segmenos e re (, ) e (, ). [ x y] [ ] x x x x y y y y Curvs Bèzer Curv Bèzer e ponos Conserem-se ponos, e efnno os segmenos e re (, ) e (, ). Vmos que equção re onsse num mé poner one (-) é o peso e e é o peso e : () (-).. É enão possível efnr um urv om os ponos, fzeno ponerção enre os os segmenos e re: Curvs Bèzer Curv Bèzer e 4 ponos Seguno o mesmo roíno e fzeno gor ponerção e us urvs: C () (-). R. R C () (-). R. R C () (-)... (-)... (-).. R () (-).. R () (-).. C C C() (-). R. R C() (-).. (-)...

5 Curvs Bèzer Curvs Bèzer Curv Bèzer e 4 ponos A form mrl f: Vngens É fál e onsrur. Os veores ngenes são efnos uommene pelos segmenos e re. [ x y] [ ] - 6 Desvngens Não grne, e form uomá, onnue enre os segmenos e urvs. r que hj onnue os úlmos os ponos o prmero segmeno e os os prmeros ponos o seguno segmeno êm que ser olneres. Não perme onrolo lol, so é, lerção e um pono e onrolo ler o urv. Curvs Herme Curvs Herme Creríss urv Herme É efn por os ponos e onrolo e, e os veores ngenes (ervs nos ponos), V e V. ss pelos os ponos e onrolo. Consrução urv Herme Semos que em form gerl ()..., om [, ]. Semos que psso nos ponos exremos e e s ervs nesses ponos são V e V. Enão: V ().... V (), (), () V, () V V V

6 Curvs Herme Consrução urv Herme () () () ' () ' Curvs Herme Consrução urv Herme As quro nógns,, e poem ser eermns resolveno o ssem e equções: Resolveno em orem os oefenes: () ' () ' () () () ' () ' () () Curvs Herme Consrução urv Herme Como F: () () ' () ' () () () Curvs Herme Vngens É fál e onsrur. É equ pr plções one sej úl efnr urv em função nlnção os veores ngenes. ss nos ponos e onrolo. Desvngens Não grne, e form uomá, onnue enre os segmenos e urvs. r que hj onnue, o veor e fm o prmero segmeno eve er mesm reção e seno o veor e no o seguno segmeno. Não perme onrolo lol, so é, lerção e um pono e onrolo ler o urv.

7 Curvs B-Splne Creríss urv B-Splne Curvs B-Splne Equção mrl urv B-Splne É efn por quro ponos e onrolo (,,, ). Não pss por nenhum os ponos e onrolo. É um po e urv ms suve o que s nerores, om onnue e segun orem enre segmenos. () [ ] Curvs B-Splne Vngens É fál e onsrur. Grne onnue uommene. erme onrolo lol. Desvngens Não pss nos ponos e onrolo. Curvs Cmull-Rom Creríss urv Cmull-Rom É efn por quro ponos e onrolo (,,, ). É form prr e um sequên e urvs Herme, ujs ngenes são luls uommene prr os ponos e onrolo. É rç um urv Herme pr e ponos. A urv pss pelos ponos e onrolo exepo pelo prmero e úlmo.

8 Curvs Cmull-Rom Consrução urv Cmull-Rom Do um onjuno e ponos e onrolo {,,, n }, queremos urv que pss por oos os ponos. A urv Cmull-Rom é onsruí om segmenos e urvs Herme pr (, ) e ponos e onrolo, ujos respevs ngenes são: ( - ) / e ( ) /. Conserno equção mrl urv Herme: ou () () - Curvs Cmull-Rom Consrução urv Cmull-Rom Mulplno s us mrzes e oefenes oemos equção mrl urv: () - Curvs Cmull-Rom Consrução urv Cmull-Rom ( - ) / ( ) / Curvs Cmull-Rom Vngens É fál e onsrur. Grne onnue uommene. erme onrolo lol. ss nos ponos e onrolo.