Suavização de Isolinhas por Meio de Spline de Catmull-Rom

Transcrição

1 Suvição e Isolinhs por Meio e Spline e Cull-Ro LAÉRCIO MASSARU NAMIKAWA INPE - Insiuo Nionl e Pesquiss Espiis Ci Posl São José os Cpos - SP, Brsil lerio@pi.inpe.r Asr This pper esries he use of Cull-Ro spline urve o sooh onour lines. Conour lines nee soohing when genere uoi proeures hus wih non-nurl shrp eges. Cull-Ro spline is usefull inepoling hrough he poins oppose o os oon splines. In orer o es he proeure, soohing is pplie o wo onour lines ses, one ere uoill fro rengulr gris wih eer resoluion, n oher fro rengulr gri wih 5 eer resoluion. Kewors: onour lines, inerpolion, urve fiing, Cull-Ro spline. Inroução Isolinhs e sio uilis ese o séulo 6 pr represenr relevos Ihof, 98. Uss iniilene pr represenr o relevo suerso e lgos, o uso e isolinhs pr superfíies for águ oeçou no séulo 8 e seu uso foi generlio no séulo 9. As isolinhs são por prinípio enies fiíis s possue vnge e regisrr e neir sisfóri inforções sore o erreno, is oo for geoéri o erreno, s elevções, s iferençs e elevção e os ângulos e ireções s verenes Ihof, 98. Isolinhs poe ser efinis oo seno linhs sore u p que ini posição geográfi e u seqüêni e ponos n superfíie o es elevção. O erreno poe ser fio e neir fiíi por plnos horionis e s linhs e inerseção enre eses plnos e superfíie for s isolinhs. Deve-se lerr que urvur Terr não é onsier, esno inorpor no sise e projeção rográfio uilio. erlene são presenos nos ps regiões e onorno, ou sej, não são presens isolinhs iniviuis, s si isolinhs one iferenç e elevção enre els é onsne e h e inervlo e onorno. A esolh o inervlo e onorno e u p epene elivie ái que se esej, esl e presenção e enor isâni que se onsegue isinguir enre us linhs. Consierno-se que u linh poe ser presen o espessur íni e u éio e ilíero e isâni neessári pr isernir us linhs é e quro éios e ilíero, o ior núero e isolinhs que se poe presenr por ilíero é ois. Ese o lev seguine fórul pr lulr o enor inervlo e onorno Ihof, 98: M nα A 000 one: A é o inervlo e onorno e eros, M é esl o p e, é elivie ái ser represen.

2 Os vlores e inervlo e onorno são n prái vlores o núeros siples, que poe ser soos e iviios filene e que é fore núeros siples quno grupos e quro e quro ou e ino e ino. E gerl e u p n esl :000, o inervlo é e ero, seno possível usr é 5 eníeros pr áres uio plns. Es relção é ni pr esls éis, é : A Figur eeplifi u p e isolinhs n esl :50000, o inervlo e onorno e 0 eros. Figur. Eeplo e p e isolinhs n esl : Isolinhs poe ser erís uilino u equipeno que us us foos irs sore o eso erreno. As foogrfis são ois por eio e foogreri ére, éni onhei oo erofoogreri, one s igens são os verilene por eio e ârs espeiis insls e eronves. Durne o vôo foogrfis que se sorepõe são purs e quno pres e foogrfis são posiions e oo reprouir posição e one for os, oservção e s foogrfis e esereosópio reprou o oelo o erreno. O oelo é liro uilino lvos onheios no erreno e one for ois s oorens XY e posição e Z e liue. O oelo poe ser vrrio uilino u ror fluune.quno o ror fluune é rvo e u posição veril, o liere e ovieno horionl, ps e isolinhs são oios.

3 O éoo esrio i e pulição o p e isolinhs erío lev gerção e isolinhs que e visulene propriee e sere suves, iso é, não oné ors rups quno oservos o lgu plição. A epeiv os usuários eses ps é não enonrr s ors rups, s quno ps e isolinhs são geros por eio e proeienos uoio, e foro igil, ess ors esão presenes. Suvição e Isolinhs As ors esris i são resulnes os proeienos e erção e isolinhs epregos sore s lhs regulres rengulres ou lhs irregulres ringulres uilis pr oelr o erreno. A suvie s linhs erís uoiene epene o nho s éluls que for o oelo. O nho s éluls não poe ser efinio pens e função suvie que se esej pr s isolinhs, s é e função pie e proesseno e e renge. A Figur osr u eeplo e p e isolinhs n esl :0000, o inervlo e onorno e 5 eros, erío e u gre rengulr o resolução e 5 eros. Figur. Eeplo e p e isolinhs n esl :0000 erí e gre rengulr. U éoo e suvição e isolinhs poe epregr lgorios uilios pr rir proições e urvs. O uso prinipl eses lgorios é e sises e esenho ssisio por opuor CAD Copuer Aie Design, one urvs suves são neessáris, o reneno efiiene, ou sej, se er que espeifir epliiene oos os ponos urv, s pens lguns ponos prir os quis urv suve poe ser reproui. A represenção is uili pr urvs é represenção préri, por Fole e l., 99:,,

4 A urv é proi por u urv polinoil por segenos pieewise, segeno Q urv é por funções, u pr, our pr e our pr. C função, é e gerl, u polinoil úi no prâero. As polinoiis úis são is uilis porque grus enores perie pou fleiilie no onrole for urv e grus iores poe inrouir osilções inesejs. A polinoil úi que efine o segeno [ ] Q é for: 0,,, O núero e oefiienes es equção é quro, porno o núero e equções neessário pr resolver polinoil é é quro, que são o pono iniil e o finl o segeno e s erivs neses ponos. As erivs no ereos o segeno são efinis e oo ner oninuie o os segenos viinhos. A equção polinoil Q poe ser re-esri n for riil Q T. C, one C é ri e oefiienes e T é o veor o vriável préri, os por: [ ] T C A ri e oefiienes C poe ser epni e ois eleenos, M e. M é u ri e 4 linhs por 4 oluns, h ri se, e é u veor e 4 oluns, ho veor e geoeri. O ojeivo es epnsão é seprr ri se, que é onsne pr u ipo e urv polinoil úi, pre e resrições geoéris, ou sej que efine u urv. A equção epni e Q T. M. é o por: [ ] [ ] Q Curvs B-splines são fors por segenos e urvs o oefiienes polinoil epeneno soene e lguns ponos e onrole. As vngens prinipis e se usr B-splines são o onrole lol e sipliie o álulo requerio. O veor e geoeri e u B-spline é opos pelos ponos e onrole, s eses não são inerpolos, ou sej, urv não pss sore eses ponos. Suvição por Curvs Spline A urv spline h Cull-Ro inerpol os ponos P P - prir seqüêni P 0 P Fole, 99. O segeno e urv Q i, enre os ponos P i- e P i- é efinio usno ri se M CR e ri e geoeri e o por:

5 i Q T M CR T Pr o prieiro segeno não eise o pono P i- e pr o úlio segeno não eise P i. U ipleenção poe uilir pr o segeno enre o prieiro e o seguno pono, P i- e P i- iguis o prieiro pono, e pr o segeno enre o penúlio e o úlio pono, P i- e P i poe ser iguis o úlio pono. A spline Cull-Ro foi seleion pr suvir s isolinhs evio s sus propriees e inerpolção os ponos e onrole e sipliie e álulo. A suvição foi efeu sore onjunos e isolinhs erís e gre regulr. O prieiro onjuno oné isolinhs n esl :5000 erís prir e gre regulr o resolução horionl e veril e ero. O inervlo e onorno nese o é e ero. A Figur presen s isolinhs nes e epois suvição. Pi Pi Pi Pi Figur. Isolinhs n esl :5000 nes suvição e epois suvição. O seguno onjuno oné isolinhs n esl :5000 erís prir e gre regulr o resolução horionl e veril e 0 eros, o inervlo e onorno e 0 eros. A Figur 4 presen s isolinhs nes e epois suvição.

6 Figur 4. Isolinhs n esl :5000 nes suvição e epois suvição. Sore o onjuno e isolinhs n esl :5000, no-se que plição suvição ger isolinhs o speo is próio o gero pelos proeienos riionis e gerção e pulição e isolinhs. Sore u plição, presen n Figur 5, poe ser esos lguns efeios inesejáveis, inios pels ses. Figur 5. Aplição e isolinhs n esl :5000 nes suvição e epois.

7 4 Conlusões e Coenários Os rifíios rios pel suvição ns áres ess pels ses n Figur 5 são epenenes geoeri isolinh ns regiões próis. Eise ours urvs spline oo s splines L Lver, 000, s são e ifíil plição pel opleie e efinição os oefiienes urv. E função iso, o uso spline Cull-Ro pr suvição e isolinhs poe ser onsier oo u s ieis. Ao suvir isolinhs, poe oorrer ruenos enre isolinhs. Os ruenos poe ser evios o o uso e riérios e fseno os ponos urv e relção o segeno originl. Des neir, se uiliros inforção e que us isolinhs esão fss enre si e pelo enos 0.4 ilíeros n esl o p, u riério e fseno áio e 0. ilíeros e relção o segeno originl previne oorrêni os ruenos. Melhoris no proeieno preseno sere ess inlue o ese e fseno eniono i. N ipleenção is siples poe-se siplesene eluir os ponos urv que se fs is e 0. ilíeros n esl o p, o esvnge e poer gerr segenos e re ness áres. Ipleenções is sofisis poe uilir ouros ipos e spline, oo s β-splines,que e os prâeros e pr juse for urv e áres próis os ereos e segeno Fole, 99, s se inerpolr os ponos originis. A plição spline Cull-Ro pr suvir isolinhs se osrou, nos os e ese, equ, pesr os rifíios rios, u ve que ior pre s linhs não presen os rifíios ios e são, visulene, uio próis s isolinhs que se oé prir os proeienos nlógios riionis. Referênis Fole, J.D., A. vn D, S.K. Feiner n J.F. Hughes. Copuer rphis: Priniples n Prie. n eiion. Aison-Wesle, Reing, MA, USA, 99. Ihof, E. Crogrphi relief presenion. Wler e ruer, New York, 98. Lver, L.E. Univrie ui Lp splines n shpe-preserving, ulisle inerpolion univrie ui L splines. Copuer Aie eoeri 7, 9-6, 000.