A MATEMÁTICA NO ITA. (19) DICAS PARA A PROVA DO ITA

Transcrição

1 (9) 5- wwwelitecminscombr A MATEMÁTICA NO ITA O vestibulr de Mtemátic do ITA é, rovvelmente, um dos mis justos do ís Isso se deve o fto dess rov ser reconhecidmente mis brngente ossível: rrmente lgum tóico do Ensino Médio não é cobrdo Isso, r o cndidto, trz vntgens e desvntgens Vntgens no sentido de que eistem váris questões de ssuntos conhecidos e desvntgens no sentido de que odem eistir tems que o luno não domine Porém, té nisso se fz justiç: não é ossível contr ens com sorte, um vez que rov é bem vrid e brngente E, lém de um rov bem diversificd, um mrc interessnte é resenç de vários tems num únic questão (cossenos com logritmos, rogressões com circunferêncis, etc), semre com o intuito de umentr o nível de dificuldde, fvorecendo o cndidto que tem o domínio de diversos tems Ms não é só o conhecimento que é fundmentl A rov não mede ens o qunto o cndidto sbe, ms sim como o cndidto lid com o que sbe Ao longo dos nos, váris questões são tis que licção de fórmuls é rticmente inviável, o que forç o cndidto ter lgo mis Não dint ens conhecer milhres de fórmuls Um bom rciocínio é eç fundmentl nesse vestibulr Assim, o que se eser dos cndidtos é conhecimento rzoável lido com bom rciocínio Neste mteril temos um nálise do vestibulr de Mtemátic do ITA Procurremos judá-lo melhorr o seu desemenho com lgums dics que serão de grnde vli n hor d rov Bons estudos! O eercício seguir, retirdo do vestibulr de 5, ilustr um fto interessnte d rov do ITA: normlmente, eistem dois ou mis modos r se resolver um eercício estes, um é rzovelmente ráido, enqunto o outro é mis trblhoso Eemlo: (ITA 5) Sobre o número 7 + é correto firmr: ) ];[ d) é irrcionl b) é rcionl e) ];[ c) é irrcionl UMA QUESTÃO INTERESSANTE (Alterntiv B) Num rimeiro instnte, é fácil chutr que rovvelmente é irrcionl Ms, isso não nos serve de muit cois, finl não conseguimos encontrr nenhum resost que nos stisfç ens chutndo Um rimeir tenttiv de resolução oderi ser seguinte: + 7 ( ) Ess tenttiv nos lev um equção do segundo gru não muito grdável, que eigirá um temo rzoável só r terminr s conts Este cminho com certez nos levrá um resost corret, ms questão não é ess Será que não eiste outro modo, menos trblhoso, r se resolver esse eercício? A resost é sim Observe que 7 + ( ) ( ) Assim: 7 + MISTURANO TEMAS IFERENTES A rov de Mtemátic do ITA tmbém é fmos or su grnde ccidde de misturr conceitos distintos Como eemlo, temos seguinte questão, retird do vestibulr de 6 (se você sentir dificulddes, revise os tóicos, que borddos n questão): Eemlo: (ITA 6) etermine r quis vlores de (-π/,π/) vle desiguldde log cos (sen - ) - log cos ( - sec ) > Temos qui resenç de trigonometri e logritmos Tnto um qunto o outro são fundmentis r resolução desse eercício A rtir d condição de eistênci d bse, temos: π π π π cos > ecos e ; < < ou < < Cd logritmo deve eistir serdmente, o que imlic em dus situções: π π sen< < < 6 sen > π π sen> < < 6 > < < como cos >, temos ens que sec sec π π < sec < cos > < < Alicndo finlmente s rorieddes dos logritmos, temos: sen log cos (sen ) log cos ( sec ) logcos > sec Lembrndo que no domínio considerdo temos r bse do logritmo: < cos < Logo, o licrmos definição de logritmo, temos que inverter desiguldde (ois bse é menor que ) Assim: sen sen logcos cos > < sec sec sen sen cos ( sec ) cos < < sec sec Considerndo ens o numerdor d frção, temos: sen cos ( sec ) sen cos + cos cos (cos sen ) + cos Assim, desiguldde fic: cos cos < > sec sec Por um ds condições de eistênci ( < sec < ), é obrigtório que sec > (denomindor ositivo) Logo, r resolvermos inequção, bst que tenhmos r o numerdor π π cos > < < π π Considerndo todos os intervlos, chegmos em < < ou 6 π π < < 6 A seguir, forneceremos lgums ferrments que odem judá-lo n rov, reseito destes dois ssuntos sen + cos FORMULÁRIO E TRIGONOMETRIA sec cos cosec sen Fórmuls básics tg + sec cotg + cosec sen tg cos cos cotg sen tg Som e subtrção de rcos sen( + b) sen cos b+ sen bcos tg+ tgb tg( + b) sen( b) sen cosb sen bcos tg tgb cos( + b) cos cosb sen senb cos( b) cos cosb+ sen senb cos cos sen cos cos cos sen sen sen sen cos sen ± Arco dulo Arco trilo Arco metde + cos cos ± tg tgb tg( b) + tg tgb sen sen cos tg tg tg cos cos cos cos tg ± + cos 9

2 (9) 5- wwwelitecminscombr Trnsformção de som em roduto sen( + q) + sen( q) sencosq + q q sen + senq sen cos q + q sen senq sen cos + q q cos + cosq cos cos + q q cos cosq sen sen sen( + q) tg+ tgq cos cosq sen( q) tg tgq cos cosq FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS As funções trigonométrics inverss são um tem muito incidente nos vestibulres do ITA Só nos últimos nos, tivemos questões desse tio ns rovs de, 5, 8 e A seguir temos um tbel com s rinciis funções inverss: Função: omínio: Imgem: ( ) rcsen( ) [ ; ] f π π ; ( ) rccos( ) [ ; ] [ ; π ] f π π ; f ( ) rctg( ) ] ; [ Obs: f ( ) rcsen( ) e f ( ) rctg( ) enqunto f ( ) rccos( ) são estritmente crescentes é estritmente decrescente Perceb que r eistir invers, função originl tinh que ser bijetor, ortnto imgem ds funções inverss são restrits o domínio d função originl O luno deve ser tento r não cometer erros nisso, ois, or eemlo: 7π π 7π rccos cos Ms restrição n comosição invers não eiste, ois temos: cos( rccos( ) ) Bstndo ens que sej do domínio d função invers Ao se resolver um roblem de Funções Trigonométrics Inverss, o mis indicdo é ssr um função trigonométric norml, o eemlo seguir ilustr bem isso: Eemlo: (ITA 8) π π Sendo ; contrdomínio d função rcocosseno, ssinle o vlor de: cos rcsen + rccos 5 5 Sej rcsen 5 α sen α+ cos α cosα± 5 π π O contrdomínio d função rcsen é, Como o contrdomínio d função rcoseno e [ ; π ] o senα >, temos que 5 π α, cosα 5 Sej rccos β Temos que o contrdomínio d função rccos é 5 [,π ] π Como cosβ > β, 5 Os dois ângulos estão no mesmo qudrnte e, ortnto são iguis ( αβ ) Assim: cos( α+β ) cosα cos α sen α LOGARITMOS efinição de logritmo: log bse, onde bse e bse bse > > Resumo ds rorieddes: ) log b( ) logb + logb ) log b( / ) logb logb n n ) log m log b b m logc ) logb (mudnç de bse) log b c esigulddes envolvendo logritmos Bse > logbse > logbse > (crescente) < Bse < log > log < (decrescente) bse bse PROPRIEAES OS ETERMINANTES Um tóico bstnte frequente n rov de Mtemátic do ITA é eterminntes Vmos relembrr sus rorieddes, rtir de lgums definições: Menor comlementr: chmmos de menor comlementr reltivo um elemento ij de um mtriz M, qudrd e de ordem n>, o determinnte ij, de ordem n -, ssocido à mtriz obtid de M qundo surimimos linh i e colun j que ssm or ij Coftor ou comlemento lgébrico: número relciondo com cd elemento ij de um mtriz qudrd de ordem n ddo or Aij (-) i+j ij Teorem de Llce: O determinnte de um mtriz M, de ordem n, é som dos rodutos de todos os termos de um fil qulquer (linh ou colun) elos resectivos coftores Cálculo do determinnte r ordens e A ( ) det( A) c A det( A) d bc b d Prorieddes ) Somente s mtrizes qudrds ossuem determinntes ) det(a) det(a t ) ) O determinnte de um mtriz que tem todos os elementos de um fil iguis zero, é nulo ) Se trocrmos de osição dus fils rlels de um determinnte, ele mud de sinl 5) O determinnte que tem dus fils rlels iguis ou roorcionis é nulo 6) det(a - ) /det A 7) (Teorem de Binet) det(ab) det Adet B 8) Se um fil d mtriz for multilicd or um constnte k, então o determinnte d nov mtriz será igul o d mtriz originl multilicdo or k 9) Se A é um mtriz qudrd de ordem n e k é rel então det(ka) k n det A ) (Teorem de Jcobi) Se somrmos à um fil um combinção liner de outr fil rlel, o vlor do determinnte ermnece inlterdo Eistênci d mtriz invers: um mtriz A só ossui invers se, e somente se, tem determinnte não-nulo Eiste outr roriedde dos determinntes, que será trblhd n seguinte questão, tmbém retird do vestibulr do ITA de 6 Eemlo: (ITA 6): b c b c Se det q r - então o vlor do det q r z z z é igul ) b) c) 8 d) e) 6

3 (9) 5- wwwelitecminscombr (Alterntiv ) Inicilmente, como - multilic rimeir linh e multilic segund, odemos retirr esses números do determinnte: b c b c det q r z 6det q r z z z Aqui, utilizremos seguinte roriedde: d g d g d g A b+ e+ h+ z det A det b e h + det z c f i c f i c f i Alicndo roriedde: b c b c b c det q r z det q r det z z z z O último determinnte tem dus linhs iguis, enqunto o rimeiro tem segund linh multilicd or Assim: b c b c det q r z det q r z z Substituindo, temos: b c det q r z ( ) z ETERMINANTE E VANERMONE O eterminnte de Vndermonde é um conhecido método de clculr determinntes onde se tem em tods s linhs ou tods s coluns d mtriz um Progressão Geométric Seu vlor é ddo or: n n n n n n n ( i j) i< j ( )( )( )( ) n Eemlo: (ITA ) Sejm, b, c e d números reis não-nulos Erim o vlor do determinnte d mtriz: bcd cd b b bd c c bc d d N form de um roduto de números reis Multilicndo rimeir linh or, segund or b, terceir or c e qurt or d (e então dividindo o determinnte or bcd r não lterr seu vlor): bcd bcd cd b b bcd b b b bcd b b b bd c c bcd bcd c c c bcd c c c bc d d bdc d d d d d d E o determinnte cim é o eterminnte de Vndermonde, então: bcd cd b b b b b bd c c c c c bc d d d d d ( b)( c)( d)( b c)( b d)( c d) n VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Em lguns roblems geométricos, é interessnte rtir r novs bordgens A resolução de roblems de Geometri com o uílio de vetores fornece, em lgums situções, soluções etremmente elegntes e, em lguns csos, muito ráids Vmos gor comentr dus ds rorieddes mis imortntes reseito dos vetores, que são o roduto esclr e o roduto vetoril Produto Esclr: dos dois vetores u (,, z) em, o roduto esclr entre eles é definido or: u v + + z z e v z (,, ) Vmos deduzir um relção muito útil entre o roduto esclr e o ângulo entre os dois vetores Considerndo que dois vetores não colineres semre determinm um lno, odemos fzer ess nálise rtir de um bordgem geométric em, embor el sej válid r vetores em : O Alicndo lei dos cossenos no triângulo OPQ: QP OP + OQ OP OQ cos ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) u v cos + u v cos u v u v cos Em rticulr, se u e v são vetores não nulos erendiculres entre si, temos que 9 cos u v Produto vetoril: dos dois vetores u (,, z) e v (,, z) em, o roduto vetoril entre eles é ddo elo determinnte: i j k z z u v z i + j + k z z z O roduto vetoril result, r cd r de vetores u e v, num outro vetor u v, que é erendiculr o lno determindo or esses dois vetores Seu módulo é ddo or: u v u v sen Esse módulo reresent, geometricmente, áre do rlelogrmo determindo elos vetores u e v : v v Q (, ) u h v sen P (, ) u Observe que, se um dos vetores u ou v for nulo, ou se eles forem colineres, o roduto vetoril será o vetor nulo Com bse nesses rodutos, conseguimos outro eemlo de licção d teori de vetores, que é o roduto misto, no qul utilizmos simultnemente o roduto esclr e o roduto vetoril

4 (9) 5- wwwelitecminscombr Produto Misto: Sejm u (,, z), v (,, z) e w (,, z) três vetores em, tomdos ness ordem O roduto misto desses vetores é ddo or: uvw,, u ( v w ) [ ] A rtir dos rodutos nteriores, temos: z z [ uvw,, ] u ( v w ) + + z z z C + B Segue que: z uvw z z [,, ] Vmos determinr um significdo geométrico r o roduto misto dos vetores u, v e w Considere figur seguir: h A ' O v w u A w A rtir do roduto esclr, temos: uvw,, u ( v w ) u v w cos [ ] C v Pel figur, note que ltur h do rleleíedo, reltiv à bse formd elos vetores v e w, é h u cos Como v w reresent áre do rlelogrmo de ldos OB e OC, segue que o módulo do roduto misto [ uvw,, ] reresent o volume do rleleíedo determindo elos vetores u, v e w Como consequênci imedit, tmbém odemos clculr o volume do tetredro OABC Pr tnto, observe que áre do triângulo OBC é metde d áre do rlelogrmo de ldos OB e OC Como ess áre é dd elo módulo do roduto vetoril v w, temos: SOBC v w Além disso, ltur do tetredro, reltiv ess bse OBC, será mesm ltur h considerd r o rleleíedo Assim: VOABC SOBC h v w u cos VOABC [ u, v, w] 6 Eemlo: (ITA 5) Em relção um sistem de eios crtesino ortogonl no lno, três vértices de um tetredro regulr são ddos or A (,), B (,) e C (,+ ) O volume do tetredro é ) 8 b) c) d) 5 e) 8 ª (Alterntiv A) esenhndo figur no lno crtesino de cordo com os ontos ddos, temos: B Observe que é incoerente resentr os vértices do tetredro, um figur tridimensionl, trvés de ens dus coordends Vmos ssumir um identificção do lno crtesino (esboçdo cim) com o lno z de um sistem de coordends tridimensionl, de eios, e z Assim, os três vértices resentdos serim dequdmente descritos or A (,,), B (,,) e C (,+,) A rest do tetredro é dd or: AB ( ) + ( ) + ( ) A A ltur do triângulo equilátero ABC será: CM M G Sendo G o bricentro do triângulo ABC, corresondente à rojeção do vértice V no lno d bse ABC, temos: CG CM 6 Alicndo o Teorem de Pitágors no triângulo retângulo GC, determinmos ltur G reltiv à bse ABC: 6 B 6 C ( ) ( G) + ( CG) ( C) ( G) + G O volume do tetredro será ddo or: ( ) VABC SABC G A V ABC Vmos gor nlisr o mesmo roblem or um onto de vist vetoril: ª Seguindo o mesmo desenho d ª resolução, sej (,, z) o vértice do tetredro for do lno determindo elo triângulo ABC, com ltur (cot) z > (escolhemos or simlicidde o onto de ltur ositiv, embor eist um segund solução com z <, totlmente nálog est) Como su rojeção sobre o lno do triângulo ABC é etmente o bricentro G, su bsciss e su ordend são dds or: 8

5 (9) 5- wwwelitecminscombr A + B + C + + ( ) G A + B + C + + (+ ) G + Pr determinr su ltur z, lembrndo que o tetredro é regulr: AB A z ( ) + ( ) + ( ) ( ) z z (lembrndo que tommos z > ) Colocndo o onto A (,,) como origem de três vetores u, v e w, que reresentm s três rests do tetredro, sus comonentes serão iguis : u AB B A (,,) v AC C A (, +,) w A A, +, esse modo, segue que o volume do tetredro é ddo or: VABC [ u, v, w] ( ) ( ) VABC + 6 V ABC O róimo eemlo ilustr como introdução dos vetores ode simlificr resolução de um eercício que, se resolvido ens com ferrments de Geometri Escil ur, oderi se tornr muito trblhoso Eemlo: (IME ) A áre d suerfície lterl de um irâmide qudrngulr regulr SABC é dus vezes mior do que áre de su bse ABC Ns fces SA e SC trçm-se s medins AQ e P Clcule o ângulo entre ests medins Estbelecendo um sistem de coordends tridimensionis, como indicdo n figur seguir, e chmndo o ldo do qudrdo d bse d irâmide de w, temos: S z 8 e cordo com o enuncido, áre d suerfície lterl é o dobro d áre d bse: w SM w SM w Sendo h ltur d irâmide, no triângulo licmos o teorem de Pitágors: w w h + w h Δ SOM, retângulo em O, w Assim, temos s coordends de S (,, h),,, de modo que s coordens de P e Q, ontos médios dos segmentos SC e S, resectivmente, são dds or: S + C w, w, w P e S + w, w, w Q Os vetores P e AQ, or su vez, serão ddos or: w w w w w w w w P P,,,,,, w w w w w w w w AQ Q A,,,,,, Finlmente, lembrmos que o roduto interno u v entre dois vetores u e v se relcion com o ângulo entre esses vetores or: u v u v u v cos cos u v Assim, clculndo cd termo serdmente: w w w w w w w P AQ w w w w P + + w w w w AQ + + Substituindo: w P AQ 6 cos rccos P AQ w w CÔNICAS P B O Q M A ELIPSE dos dois ontos F e F distntes c Um elise de focos em F e F é o conjunto dos ontos P(,) cuj som ds distâncis F e F é constnte e igul, com > c A (, ) F ( c, ) O F ( c,) A (,) B( b,) b + c c e < C As coordends dos vértices d bse qudrd são: w w A,,, w, w B,, w, w C, e w, w, O: centro F, F : focos A, A, B, B : vértices A A : eio mior () ( ) B b, B B : eio menor (b) F F : distânci focl (c) e: ecentricidde

6 (9) 5- wwwelitecminscombr Equções reduzids centro em (, ) + A A // O: ( ) ( ) A A // Ou: ( ) ( ) b + b HIPÉRBOLE dos dois ontos F e F distntes c Um hiérbole de focos em F e F é o conjunto dos ontos P(,) cujo módulo d diferenç ds distâncis F e F é constnte e igul, com < c A (, ) O A (,) F ( c, ) F ( c,) O: centro F, F : focos A, A : vértices e: ecentricidde c c + b B ( b,) c e > ( ) B b, Equções reduzids centro em (, ) A A // O: ( ) ( ) A A : eio rel () B B : eio imginário ou conjugdo (b) F F : distânci focl (c) A A // Ou: ( ) ( ) b PARÁBOLA dos um onto F e um ret d (F d) Um rábol é o conjunto dos ontos P(,) equidistntes de F e d d V'V VF e d V' (,) V b F, ( ) e Interretção de um equção do o gru d eq Gerl do o gru: A + B + C + + E + F é semre ossível eliminr o seu termo retângulo (B) trvés de um rotção de eios de um ângulo tl que A C π / A C tg B/(A C) é ossível tmbém identificr cônic trvés de su equção elo determinnte: (i) Se, então equção reresent um rábol (ii) Se, então equção reresent um elise (iii) Se, então equção reresent um hiérbole Obs: A identificção não indic se cônic é degenerd ou não, r isso é necessári rotção de eios Em 6 tivemos questões de cônics, um dels discursiv Confir! Eemlo (ITA 6): Sbendo que é equção de um hiérbole, clcule su distânci focl Comletndo os qudrdos n equção cim, temos: 9( 6 + 6) 576 6( + 9) ( 8) ( 7) 9( 8) 6( 7) 6 9 Logo, equção reduzid d hiérbole é: ( 8) ( 7) b A rtir ds relções notáveis d hiérbole, temos: c + b c 5 Assim, distânci focl é c NÚMEROS COMPLEXOS E GEOMETRIA ANALÍTICA Um ds licções mis interessntes dess mistur de tems que ode ocorrer em um questão do vestibulr do ITA é usr conceitos de Geometri Anlític r resolver um questão de Números Comleos Sbendo que todo número comleo ode ser reresentdo or um onto do lno crtesino (Plno de Argnd- Guss), desenvolvemos lgums ideis F: foco V: vértice V F: râmetro e: eio de simetri Equções reduzids centro em (, ) e // O: ( ) ( ) e // Ou: ( ) ( ) k k RECONHECIMENTO E UMA CÔNICA d um equção do o gru redutível à form ( -) ( -) + k k k >, k > e k >k k >, k > e k <k k > e k < k < e k > Circunferênci Elise de eio mior horizontl Elise de eio mior verticl Hiérbole de eio rel horizontl Hiérbole de eio rel verticl Rotção de eios As coordends de um onto P(,) ós rotção de eios de um ângulo são dds or (, ) tis que cos - sen sen + cos A rtir d form lgébric z + i do número comleo, temos: (I) identificção de cd número comleo z + i com o onto P (, ) do lno crtesino, dito fio de z; (II) Sendo O origem do lno crtesino, definimos como o módulo z do número comleo z + i ; OP + (III) Se z + i, z e z + b i é um número comleo qulquer, temos: z z ( + i ) ( + b i) ( ) + ( b), que é distânci entre dois ontos d Geometri Anlític; (IV) e (III), temos que: z z R é um circunferênci de centro z e rio R; z z + z z k é um elise de focos z e z, e eio mior de comrimento k, r k > ; z z z z k é um hiérbole de focos z e z, e eio trnsverso de comrimento k, r k > (V) Com relção o rgumento de z, temos que rg( z ) é um semirret inicid n origem, e rg( z z ) é um semirret com início em z

7 (9) 5- wwwelitecminscombr (VI) No Plno de Argnd-Guss, cd comleo ode ser ssocido (ou reresentr) um vetor, ou sej, z + i (, ) Ao se multilicr um vetor nos comleos or um comleo de módulo unitário e rgumento α, estmos rotcionndo nosso vetor em α rdinos no sentido nti-horário, ois ρ cos+ isen cosα+ isenα ρ cos +α + isen +α ( ) ( ) ( ( ) ( )) Eemlo: (ITA ) Sej z o número comleo + i Sendo S o conjunto solução no lno comleo de z z z+ z, então o roduto dos elementos de S é igul ) ( i) b) ( + i) c) ( i ) d) i e) i (Alterntiv E) Identificndo no lno comleo o fio de z + i como o onto (,), e o fio de z i como (, ), temos s circunferêncis λ : z z, de centro (,) e rio, e λ : z ( z ), de centro (, ) e rio A reresentção no lno crtesino seri: (, ) λ Q O Pelo desenho, clrmente os ontos em comum às dus circunferêncis são P (, ) e Q (,), de modo que o conjunto S S i, + i Assim, o roduto de seus elementos é: é ddo or { } λ (,) P ( i) ( + i) i A IENTIAE E EULER Você sbe qul é origem d identidde de Euler? A resost está em Tlor! Em Mtemátic, um série de Tlor é um série de otêncis utilizd r roimr funções Els recebem esse nome em homengem o mtemático inglês Brook Tlor Váris funções odem ser roimds or esse método, que, or envolver derivds de funções, só é ensindo ns discilins de Cálculo Entre s funções que estudmos, eistem três que merecem destque: e !! 6 cos + +!! 6! 5 7 sen + +! 5! 7! A rtir dests fórmuls, odemos clculr o vlor ds funções seno, cosseno e eonencil em ontos não só reis, como tmbém comleos! e fto, como o ldo direito de cd ensão deende ens do vlor, nd imede que utilizemos vlores comleos Or, isso motivou vários mtemáticos fzerem seguinte substituição: i, onde i é unidde imginári Substituindo n rimeir fórmul, temos: i i i i i i e + i !!! 5! 6! 5 6 i e + i i + + i!!! 5! 6! Observe que cd termo de otênci ímr está multilicdo or i, de modo que odemos colocr unidde imginári em evidênci: 6 5 i e i +!! 6!! 5! cos sen i Assim, temos então que e cos + i sen, conhecid identidde de Euler A rtir dí, conseguimos determinr form eonencil de um número comleo: i z ρ(cos + i sen ) z ρ e ( ρ módulo) A form eonencil de um número comleo consegue simlificr mior rte ds fórmuls que envolvem números comleos, lém de sus resectivs demonstrções Como eemlo, considere rimeir fórmul de e Moivre: n n z ρ[cos( ) + i sen( )] z ρ [cos( n ) + i sen( n )] Est fórmul ossui, normlmente, dus demonstrções A rimeir utiliz o Princíio e Indução Finit, e é um ouco demord (sugerimos, como eercício, que cd cndidto tente demonstrr tl fórmul) A segund demonstrção é bsed n form eonencil, e é rticmente imedit: i n i n n in z ρ(cos + isen ) ρ e z ( ρ e ) ρ e n n z ρ [cos( n ) + isen( n )] ois lems úteis tmbém odem ser retirdos fcilmente d identidde de Euler: i i e i sen e i i + e cos e A demonstrção d rimeir é: i i i i i i i i e e e e ( e e ) i e i sen e i i i Pois e e cos + isen cos isen i sen A demonstrção do segundo lem é nálog e fic como eercício Observe questão seguir, retird do vestibulr ITA-97 Ess questão é um bo licção d form eonencil, o invés d utilizção diret d fórmul de e Moivre Eemlo: (ITA 997) Considere os números comleos z + i 6 w + z + i e w + i Se m, então m vle: z + w i ) b) 6 c) 6 d) e) (Alterntiv A) Utilizndo form eonencil, temos: z e w e i π e i π ess form, temos então que o numerdor é ddo or: 6 6 i i w z i e π π e + i 6 + i Fzendo o mesmo r o denomindor: i π iπ z + w + 6 i e + 8 e + 6 i + i 6 + i 7 ess form temos m + i 8 5

8 (9) 5- wwwelitecminscombr TEOREMAS E PAPPUS-GULIN ois teorems imortntes o se trblhr com suerficies (ou sólidos) de revolução, são os teorems de Pus Guldin Tis teorems ermitem clculr o volume ou áre gerd el rotção de um curv em torno de um eio fio (I) ÁREAS: PAPPUS-GULIN Sej L o comrimento d linh, EE o eio de rotção e d distânci do centro de mss d linh o eio de rotção EE Sendo S áre gerd el rotção d linh em torno do eio, temos: S π L d E Ess eressão ode ser escrit n notção somtório: n n n n k k ( + b ) ( ) ( b ) k k A rtir disso, odemos destcr o termo gerl do binômio: n n k k Tk + ( ) ( b) k E fzendo, temos som dos coeficientes do binômio: n n Som b ( + b ) ( + b ) k k n k k n n CM d Eemlo: (ITA ) O termo indeendente de no desenvolvimento 5 do binômio é: 5 ) 79 5 b) 97 5 c) 89 d) 76 5 e) (II) VOLUMES: PAPPUS-GULIN Sej S áre d figur e d distânci do centro de mss o eio de rotção EE O volume V do sólido obtido el rotção d figur em torno do eio EE é ddo or: V π S d Eemlo: (IME ) Sejm ABC um triângulo equilátero de ldo cm e r um ret situd no seu lno distnte cm do seu bricentro Clcule áre d suerfície gerd el rotção desse triângulo em torno d ret r ) 8 π cm b) 9 π cm c) π cm d) 6 π cm e) 6 π cm (Alterntiv E) Como distânci do centro de mss do triângulo à ret r é cm, temos, elo teorem de Pus-Guldin, que áre d suerfície gerd é dd or A π, onde é o erímetro do triângulo equilátero Logo: A π π 6 A 6 π cm E ' S d E E (Alterntiv E) o binômio de Newton, temos: k k 6 5k 6 k ( ) k k 5 5 k k 5 k k 6 k k 6 E o termo gerl de tl binômio é: Tk + ( ) k 5 Assim, r que tenhmos o termo indeendente de, o eoente de deve ser zero Logo, k k 8 Portnto, o termo 6 indeendente de é obtido se k 8, e tl termo é: T ( ) T Se odemos desenvolver o binômio de Newton, tmbém odemos desenvolver o olinômio de Newton, que é conhecido como olinômio de Leibniz Tl olinômio é obtido do desenvolvimento de ( ) n Pensndo nlogmente o binômio de Newton, odemos desenvolver o olinômio de Leibniz como um generlizção do binômio Assim: n! ( ) α α α α, n α α!!! onde α +α + +α n BINÔMIO E NEWTON Chmmos de Binômio de Newton eressão d form ( + b) n, onde, b, e são números reis (ou comleos) e n é um número nturl Tl eressão é desenvolvid el fórmul: n n n n n n n ( + b ) ( ) ( b) + ( ) ( b ) + ( ) ( b ) + n n n n + + ( ) ( b ) + ( ) ( b) n n Eemlo: (ITA 6) etermine o coeficiente de 9 desenvolvimento de ( + + ) A rtir do desenvolvimento do olinômio de Leibniz, temos: 9 9! i j k 9! j+ k ( + + ), onde i + j + k 9 i! j! k! i! j! k! no 6

9 (9) 5- wwwelitecminscombr i + j + k 9 Assim, devemos resolver o seguinte sistem:, com i, j, k j + k inteiros não-negtivos Com isso, odemos montr um tbel: Logo, o coeficiente de em i j k ( ) é: 9! 9! 9! !!! 6!!! 5!!! TEORIA OS CONJUNTOS No vestibulr de 6, o tóico de Teori dos Conjuntos rendeu um totl de três questões, ou sej, % d rov Pode recer ouco, ms n verdde esse foi um dos tóicos mis cobrdos, justmente or ser um tem que eige bo ccidde de bstrção or rte dos cndidtos Conjunto: é um coleção de elementos ) vzio: não ossui elementos b) unitário: ossui um único elemento c) universo: conjunto que ossui todos os elementos Relção de ertinênci: se é um elemento do conjunto A A Cso contrário, A Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A ertencem um conjunto B então A é subconjunto de B, ou sej, A B Oerções com conjuntos: ) união: A B { / Aou B} b) intersecção: A B { / Ae B} c) diferenç: A B { / Ae B} Comlementr: se A B então o comlementr de A com relção à B B é o conjunto CA B A União de dois conjuntos: na ( B) na ( ) + nb ( ) na ( B) Conjunto ds rtes: ddo um conjunto A, o conjunto ds rtes de A, P(A), é o conjunto de todos os ossíveis subconjuntos de A Se A ossui n elementos, então o conjunto P(A) ossui n elementos Prtições de um conjunto: sej A um conjunto não-vzio e finito izemos que P { A, A,, A n } é um rtição de A se cd conjunto em P é não-vzio, se união de todos os elementos em P é igul o conjunto A e se intersecção desses conjuntos, tomdos dois dois, semre é vzi Eemlo: A {,,,, 5} Fzendo A {,, } e A {, 5}, temos que A A {} e A A A { A, A } é um rtição de A Agor, um questão muito interessnte do vestibulr de 6: Eemlo: (ITA 6) Sej U um conjunto não vzio com n elementos, n Sej S um subconjunto de P(U) com seguinte roriedde: Se A, B S então A B ou B A Então, o número máimo de elementos que S ode ter é: ) n- b) n/, se n for r, e (n + )/ se n for ímr; c) n+ d) n - e) n- + (Alterntiv C) Se A e B são conjuntos em S, temos que eles ossuem, no máimo, n elementos Considere A n um conjunto em S com n elementos Assim, 7 se B está em S, B é subconjunto de A n, e, ortnto, deve ossuir n elementos (se B tem n elementos então B A n ) Afirmmos que B é o único subconjunto com n elementos e fto, se eistir um conjunto C com n - elementos com C B então terímos que B C e C B, o que contrri noss hiótese Logo, B é único Sej então B A n- Prosseguindo com o rciocínio, montmos seguinte cdei de inclusões: {} A A An An Ess sequênci é mior ossível, e reseit s condições imosts or S Logo, o número máimo de elementos que S ode ter é n + Como comentário, ess foi um questão que eigiu um bo dose de rciocínio or rte dos cndidtos, e ilustr bem um vestibulr que não quer ens fórmuls decords EQUAÇÕES POLINOMIAIS RECÍPROCAS Equções lgébrics que são imortntes no vestibulr do ITA, sendo um ssunto recorrente nesse vestibulr, são s equções olinomiis recírocs Vmos desenvolver dois ontos: como reconhecer tis equções e como trblhr com els (I) Reconhecimento n n Um equção d form n + n é dit recíroc se e somente se k ± n k, com k n Isto fornece um conjunto de equções simétrics, or eemlo: ) + + ; b) + ; 6 5 c) b + c c + b, com ; 5 d) + b + c + c + b +, com (II) Clssificção e Resolução Se k n k, como em () e (d), equção é clssificd como equção recíroc de rimeir esécie; Se k n k, como em (b) e (c), equção é clssificd como equção recíroc de segund esécie Eemlo: (ITA 8 dtd) É dd equção olinomil ( + c + ) + ( b+ c + ) + ( c ) + ( + b+ ), com, b, c reis e + c Sbendo-se que ess equção é recíroc de rimeir esécie e que é um riz, então o roduto b c é igul : ) b) c) 6 d) 9 e) (Alterntiv E) o fto de ser recíroc de rimeir esécie, temos: + c + + b+ b c b+ c + c c Usndo o fto de que é riz, temos: ( + c + ) + ( b+ c + ) + ( c ) + ( + b+ ) + b+ 5c 7 Resolvendo o sistem de três equções três incógnits: b c c b b 5c c Assim, o roduto edido vle: b c ( ) ( ) b c A rtir d clssificção, odemos deduzir que: ) é riz de um equção recíroc de segund esécie; b) é riz de um equção recíroc de rimeir esécie e gru ímr Resolvendo um equção recíroc de segund esécie com, címos em um equção recíroc de rimeir esécie de gru r ou gru ímr Se o gru for imr, é riz; se o gru for r,

10 (9) 5- wwwelitecminscombr técnic de resolução é dividir equção or, onde é o gru do olinômio resultnte, e usr s identiddes seguir: + α, + α, + α α, Eemlo: (ITA 997) Sej S o conjunto de tods s rízes d 6 5 equção + Sobre os elementos de S odemos firmr que: ) todos são números reis b) são números reis ositivos c) não são números reis d) são números reis ositivos e não são reis e) são números reis negtivos (Alterntiv ) A equção é recíroc de segund esécie, de modo que é 6 5 riz ividindo ( ) + or, temos: ( ) + ( ) ( + ) A equção 5 +, or su vez, é recíroc de rimeir esécie e gru ímr, de modo que é riz, e odemos dividir or + : ( ) ( ) ( + ) ( + + ) A equção + + é recíroc de rimeir esécie e gru r Como não é riz, dividindo os dois membros or, vem que: Fzendo troc de vriáveis + α, temos + α, de modo que címos n equção em α : α α α ± + ± Temos: + ± + + (+ ) + E ind: ( ) Δ ( ) < Portnto, ds seis rízes (comles) d equção 6 5 +, temos qutro rízes reis, ds quis três ositivs ( e + ± ) e um negtiv ( ), lém de dus comles não-reis EQUAÇÕES COM PARÂMETROS iscutir um equção, ou um inequção, em função de um ou mis râmetros, consiste em determinr, r cd vlor ssumido elos râmetros, o conjunto verdde ds mesms Considere, or eemlo, equção seguir, n vriável : ( ) Vmos nlisr o conjunto verdde, em, dess equção, em função do râmetro rel Observe que odemos ftorr o coeficiente de no rimeiro membro d equção: ( + ) ( ) Muito cuiddo r não cncelr diretmente o ftor ( ), ois ele ode ser zero Se, ficmos com equção, que é stisfeit r todo Nesse cso, temos conjunto verdde V Se, ficmos com equção, que não é stisfeit r nenhum vlor rel de Assim, temos conjunto verdde V Se e, temos conjunto verdde V + é unitário e, nesse cso, o ( + ) ( ) + Vi de regr, nesse tio de eercício, o luno deve ficr muito tento r s condições de eistênci sobre vriável, rincilmente com relção vlores do râmetro que zerm lgum denomindor, rízes de índice r (que só eistem em r rdicndos nãonegtivos), etc Um cuiddo etr é necessário ind r resolver inequções envolvendo râmetro, ois nesse cso, deve-se tentr r s condições em que o sinl d inequção se mntém ou se inverte Considere, or eemlo, inequção, n vriável : ( ) Começmos, novmente, ftorndo eressão no rimeiro membro: ( + ) ( ) Se, ficmos com inequção, que é stisfeit r todo Nesse cso, temos conjunto verdde V Se, ficmos com inequção, que tmbém é stisfeit r todo Assim, qui tmbém temos conjunto verdde V Se e, devemos gor nlisr o sinl do coeficiente Considerndo função f ( ), temos grficmente: + Assim, se < ou >, tem-se >, de modo que: ( + ) ( ) V, Por outro ldo, se < <, tem-se < e, ortnto: ( + ) ( ) V, + + O eemlo seguir foi, originlmente, um ds questões, roost el então Tchecoslováqui, resentes n rov d quint Olimíd Interncionl de Mtemátic (IMO), relizd em 96 Eemlo: (ITA 7) Considere equção: + + ) Pr que vlores do râmetro rel equção dmite rízes reis? b) etermine tods esss rízes reis condição de eistênci em sobre s rízes de índice r, temos: 8

11 (9) 5- wwwelitecminscombr (I) (II) Além disso, desde que esss condições sejm stisfeits, tem-se or consequênci: + (III) Levndo em considerção s restrições (I), (II) e (III), elevmos mbos os membros d equção irrcionl o qudrdo, observndo, orém, que odemos introduzir novs rízes n equção obtid rtir desse onto, que não stisfzem equção originl í necessidde de verificr s três condições obtids té então ( ) ( ) Sendo condição: + ( + ) ( ) + (IV), temos mis um Nesse cso, elevmos novmente os dois membros d equção irrcionl o qudrdo: ( ) ( ) ( + ) (6 8 ) ( ) ( ) Se, temos equção incomtível: Se, temos:, o que não stisfz condição (II) Se <, o denomindor é ositivo, de modo que odemos multilicr os dois membros d inequção or 8 ( ), mntendo o sinl d inequção: ( ) Sendo o rimeiro membro d últim inequção um qudrdo erfeito, desiguldde semre será stisfeit (r < ) ( ) Pr condição (II), temos: 8 ( ) Novmente levndo em considerção que o denomindor é ositivo r <, como no cso nterior, segue que: ( ) 8 ( ) Ess desiguldde tmbém é semre stisfeit Finlmente, r condição (IV), fzemos: ( ) ( + ) ( ) Mis um vez, r <, isso equivle : ( ) ( ) ( + ) Assim, condição sobre o râmetro rel r que se tenh como riz d equção resentd é: ( ) < Se > e, temos: imossível em < ( ) < ( ) > 8 ( ), tmbém Resumimos tod ess nálise resondendo formlmente os dois itens do eercício: ) A equção dmite rízes reis ens r > ( ) Pr <, temos ossíveis rízes são: ± ( ) > ( ) > 8 ( ), de modo que s Entretnto, descrtmos ossibilidde <, ois ( ) clrmente el não stisfz condição (III), que eige Assim, nos rest nlisr ossibilidde, r ( ) < evemos descobrir r quis vlores do râmetro < el verific simultnemente s condições (I), (II), (III) e (IV) Inicilmente, observe que, se <, então <, de modo que Assim, odemos reescrever ( ) A condição (III) é clrmente stisfeit r <, já que, nesse cso, tem-se > ( ) b) A únic riz rel, r, é ( ) SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA A substituição trigonométric é um método muito utilizdo r resolver integris em Cálculo Tmbém odemos lnçr mão desse rocedimento em lgums equções, cuj resolução or métodos urmente lgébricos seri muito trblhos, ou rticmente imossível Considere o seguinte eemlo, retirdo d ª OBM (Olimíd Brsileir de Mtemátic), nível universitário Eemlo: (OBM) etermine tods s soluções reis d equção: + + Observe que o rocedimento de ir elevndo o qudrdo os dois membros d equção nos conduziri um equção olinomil de 8º gru, lém de introduzir diverss condições de eistênci r cd vez que elevássemos os dois membros o qudrdo Entretnto, o invés disso, odemos observr de início que, ds condições de eistênci sobre s rízes de índice r: + + Pr condição (I), temos: ( ) 8 ( ) Nesse cso, ssocimos, r cd, com, um único [, π ] tl que cos cos Além disso, grntid 9

12 (9) 5- wwwelitecminscombr eistênci ds rízes, tem-se + +, de modo que π cos Assim, odemos restringir, Fzendo então substituição: cos + + cos cos + (+ cos ) A rtir dqui é que Trigonometri começ simlificr resolução d equção Observe que, d identidde de rco dulo: cos cos cos cos cos + Assim, voltndo à equção: cos + cos cos + cos Como π,, temos cos cos cos, e equção se reduz cos + cos Novmente or rco dulo: cos cos sen cos sen Assim, voltndo à equção: + + cos sen cos sen Tmbém r π,, temos sen sen sen, e equção se reduz cos + sen Pr odermos utilizr mis um vez identidde de rco dulo, π π fzemos: + sen cos cos + 8 Logo: Pr π π 8 8 cos cos cos cos π,, temos cos π cos π cos π 8 8 8, π e equção se reduz : cos cos 8 π Como e são dois rcos do rimeiro qudrnte com o 8 mesmo cosseno, únic ossibilidde é que eles sejm iguis: π π 8 9 π Finlmente, únic riz rel d equção é cos 9 O róimo eemlo rece no livro Mthemticl Olmid Chllenges, dos utores romenos Titu Andreescu e Rzvn Gelc Eemlo: (ITA ) etermine os vlores reis do râmetro r os quis eiste um número rel stisfzendo ª Pel condição de eistênci sobre riz qudrd, temos: Assim, r cd [,], odemos ssocir um e somente um [, π ] tl que cos Nesse cso, equção se trnsform em: cos cos sen cos sen cos 5 Como tommos [, ] π, temos, nesse intervlo, necessrimente sen, de modo que sen sen, e equção se reduz : sen cos sen+ cos Multilicndo e dividindo o rimeiro membro or, temos: π sen+ cos sen + π Pel limitção d função seno, temos sen + e, ortnto: π sen + Poderímos tmbém resolver esse eercício grficmente, o que inclusive jud entender, geometricmente, o sentido d substituição trigonométric feit cim ª Considere, r tnto, função f :[,], definid or f( ), e função g :, definid or g ( ) + Por um ldo, devemos observr que condição de eistênci sobre o domínio d função f limit resolução d inequção tmbém o intervlo fechdo [,], ou sej, não recisrímos considerr função g definid r todo rel A função g, n verdde, reresent um fmíli de funções do º gru, um r cd vlor rel do râmetro Entretnto, indeendente do vlor de, necessrimente seu gráfico será um ret decrescente, de coeficiente ngulr, que intercet o eio ds bscisss no onto (,), como esboçdo n figur seguir: < > Por outro ldo, fzendo f( ), temos: + Assim, o gráfico de f corresonde um semicircunferênci de centro (, ) e rio, r Observe que, sendo um semicircunferênci de rio, cd onto de coordends (, ) ode ser descrito or (cos,sen ), sendo isso que justific, geometricmente, substituição trigonométric feit n ª resolução: sen cos Queremos descobrir r quis vlores do râmetro obtemos um conjunto verdde não vzio r inequção f( ) g( ), isto é, r os quis eiste elo menos um [,] tl que f( ) g( ) Geometricmente, isso signific que únic osição reltiv entre ret (função g) e semicircunferênci (função f) que não ode ocorrer

13 (9) 5- wwwelitecminscombr é ret ficr totlmente cim d semicircunferênci Assim, o mior vlor do râmetro que ind dá certo é quele que torn ret tngente à semicircunferênci, como ilustr figur: COMENTÁRIOS FINAIS E MATEMÁTICA É imortnte ficr clro que, embor o vestibulr do ITA sej um rov de grnde inteligênci, n qul muits vezes eistem dois ou mis métodos de resolução r um dd questão (um normlmente mis ráido e outro um ouco mis trblhoso), o mis imortnte é RESOLVER O EXERCÍCIO e fto, não imort o cminho, e sim o resultdo Embor sej muito imortnte mnter o esírito crítico e refletir cd questão, não vle à en erder muito temo rocurndo um cminho curto qundo se sbe um mneir de resolver questão, ois temo é um bem recioso nesse vestibulr Bo rov! 5 5 Nesse cso, temos cos5 Portnto, de cordo com os gráficos, inequção tem solução se e somente se FÓRMULA E PROBABILIAE TOTAL E TEOREMA E BAYES Sej um esço mostrl Ω, r quisquer dois eventos AB Ω, temos Formul de Probbilidde Totl: C C P B P B A P A + P B A P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pr o cso gerl, sej { } A, A, A,, An um rtição de Ω, ou sej, A A An Ω e A i A j r qulquer i j Assim form gerl d Formul de Probbilidde Totl é dd or: P( B) P( B A) P( A) + P( B A) P( A) + + P( B An) P( An) Ess formul é equivlente o nosso intuitivo serr em csos, ois condicionmos cd evento um cso ossível Sejm eventos AB Ω, com P( A) e P( B) Teorem de Bes diz que: P A B P A ( ) ( ) P( B A) P( B), então o A questão do ITA- (Que foi nuld) mostr bem utilidde desses teorems, rincilmente juntos Eemlo: Num ci com moeds, 5 resentm dus crs, são normis (cr e coro) e s demis resentm dus coros Um moed é retird o cso e fce observd mostr um coro A robbilidde de outr fce dest moed tmbém resentr um coro é ) 7 8 b) 5 7 c) 5 8 d) 5 e) 7 Primeirmente definimos os eventos: A{ A moed seleciond tem crs } B{ A moed seleciond é norml (cr e coro) } C{ A moed seleciond tem coros } { A fce observd é um coro } Agor, comutemos ( ) trvés do Teorem d Probbilidde Totl (já que A, B e C são disjuntos e A B C Ω, onde Ω é o esço mostrl): ( ) ( A) ( A) + ( B) ( B) + ( C) ( C) 5 5 ( ) + + Agor comutemos noss robbilidde desejd ( C ) trvés do Teorem de Bes: 5 C ( ) C ( ) ( C) 5 C ( ) ( ) ( ) 6 est form, nenhum lterntiv está corret 5