SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
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- Osvaldo Marco Godoi Benevides
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1 SISTEMA ANAÓGICO O ite contínuo pode er iuldo trvé de coputdore nlógico e pode er repreentdo e digr de bloco Exite uito progr que proce e coputdore digiti e iul ite nlógico Entre ete etá o ódulo SIMUINK do MATAB O ite diferencii, repreentdo no tepo ou n freqüênci, pode er fcilente ecrito e digr de bloco, que pode er procedo e coputdore nlógico ou procedo e coputdore digiti trvé de iuldore nlógico Entre vntgen oferecid pelo iuldore nlógico etão: Não é neceário ecl de tepo; Não é neceário ecl de tenão; 3 Não é neceário jute elétrico; 4 Proce diver iulçõe no eo coputdor; 5 A preprção de u iulção é eno trblho
2 Exeplo: Tepo Freqüênci y (t) = -,5y(t) 0, y(0) = -0 Y() 0 = -,5Y() 0/ Solução y(t) = (40 70e -,5t )/3 Y() = (0 0)/((,5)) Digr de bloco do ite 0 Contnte,5y(t) y'(t) Integrdor y(t) Ocilocópio Gnho Reultdo finl
3 Exeplo: 3
4 DIAGRAMA DE BOCOS Principi bloco pr repreentção no tepo Contnte S(t) = So E (t) E (t) E n (t) S n () t = E i () t i= Gnho E (t) E (t) E n (t) S () t = E i () t n i= Integrção E (t) E (t) E n (t) S 0 S () t S E () t n = dt 0 i= i Função Prâetro S(t) = f(t) 4
5 DIAGRAMA DE BOCOS Principi bloco pr repreentção co trnford de plce E () So E () ± ± S() = ± E () ± E () Função de trnferênci E() S() = FT()E() FT() Bifurcção E() S = E() S = E() S 3 = E() 5
6 EXERCÍCIO Fzer o digr de bloco que repreente eguinte equção diferencil: y" 4y' 3y = e(t), y(0) = 3, y'(0) = Deix no prieiro ebro u tero de ior derivd e no egundo ebro todo o outro tero Et regr plic-e tbé cd equção de ite de equçõe diferencii ite er etuddo -4-3 y" = e(t) - 4y' - 3y e(t) entrd -4y' -3y e(t) y' 3 y S(t) íd 6
7 SIMPIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE BOCOS E() G () G () S() E() G () G () S() E() ± G() S() F() E() G() ± G() S() F() E() G() S() S() E() G() G() S() S() E() G() ± S() F() E() ± G() S() /G() F() 7
8 SIMPIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE BOCOS E() G() S() E() E() G() /G() S() E() E() ± G() H() S() E() G()/( G()H()) ± S() E() ± G() S() E() G()/( G()) ± S() E() P() ± ± S() E() ± P() ± S() E() P() ± S() ± F() F() F() 8
9 SIMPIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE BOCOS E() ± j i G() H() S() E() G()/( G ()H()) ± S() Deontrção i = E() ± j j = H()S() i = E() ± H()S() Derivd E() - S() = G()i G() = H() = / S()? S()= G()(E() ± H()S()) S()/E() = G()/( G()H()) E() ± G() = S() E() G()/( G ()H()) S() E() /( /) S() E() /( ) >> S() E() / S() E() S() 9
10 3 EXERCÍCIO Siplifique o digr de bloco 4Y() 4 3Y() ite er etuddo 3 4Y() 4 3 E() S() - Y() / - Y() / entrd íd 3 condiçõe inicii 3 3Y() 3Y() 3 E() - /(( 4)) E() 3 - entrd Y() - / Y() S() 3 /( 4) Y() ite er etuddo Y() / /( 4) 3Y() E() - /(( 4)) Y() E() /( 4 3) Y()
11 4 EXERCÍCIO ) Fzer o digr bixo undo oente integrdore e gnho b) Encontrr função de trnferênci Site de controle típico pr indútri de etl e ppel, onde o controle é crítico, poi u ftor eencil de qulidde do produto é extente precião do controle d velocidde do otor V () α ( T ) - ( T β ) (A ) (A ) α ( T ) - ( T β ) tiritor V () R fce - ( ) I () v θ () N θ' () J M J ( ) T() T
12 4 ) EXERCÍCIO E() (A ) ( T ) ( T β ) α S() S() T β S() = α E() T E() (α E() - S())/ = T (β S() - E()) E() α - T - β S() A A A E() ( ) R I () R I () I () = E() (E() - R I ())/ = I () E() - I () R
13 4 b) EXERCÍCIO V () - α ( T ) ( T β ) V () v - α ( ) T ( T β ) (A ) θ () (A ) N - α ( T ) ( T β ) v (A ) (A ) θ () N I () V () - α ( T ) ( T β ) - ( ) ( J J ) M T V () fce fce R ( J J ) M - ( R )( J J ) T M T 3
14 4 SIMUAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS 4 b) EXERCÍCIO V () V () - ( ) ( ) β α T T - ( ) ( ) β α T T (A ) (A ) ( )( ) ( )( ) M T M J J R J J R ( ) T M J J N θ () v - ( ) ( ) β α T T (A ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) M T T M T T J J R T R T J J R β α β N θ () v V ()
15 5 SIMUAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS 4 b) EXERCÍCIO V () ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) α β β β α α β T T J J R T T J J R T R T T J J R M T v M T T M T N θ () V () θ () ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) N T T J J R T T J J R T R T T J J R M T v M T T M T α β β β α α β
16 PRINCIPAIS BOCOS CONTÍNUOS Continuou MATEMÁTICA Mth u u u Re(u) I(u) Integrtor Meory Ab Coplex to Mgnitude-Angle Coplex to Rel-Ig Gin Trnfer Fcn FUNÇÕES E TABEAS Function & Tble e u Mth Function Mgnitude-Angle to Coplex Product Re I Rel-Ig to Coplex f(u) <= in Fcn Reltionl Opertor Sign Su Trigonoetric Function 6
17 PRINCIPAIS BOCOS NÃO INEAR SINAIS E SISTEMAS DISSIPADORES Nonliner Singnl & Syte Sin 0 Ded Zone Sturtion Switch Deux Mux Diply Scope :34 STOP Step Chirp SignlContntDigitl ClocSine Wve Stop Siultion XY Grph FONTES Source Rp Cloc Repeting Sequence Rndo Nuber Pule Genertor Unifor Rndo Nuber Dicrete Pule Genertor 7
18 PRINCIPAIS BOCOS FONTES SiPowerSyte Extr ibrry Dicrete Control Bloc Tier 8
19 5 EXERCÍCIO U fluxo de olução, co lb de l por glão, entr e u tnque cheio co 00 gl d olução, u tx de 5 gl/in, e deix o tnque co à e tx d entrd A concentrção d olução de entrd é ubitente lterd pr lb de l por glão e é iturd uniforeente por gitção, no tnque Ache qunti de l no tnque e função do tepo t, e deterine qunto tepo levrá pr que quntidde de l lcnce de 50 lb A equção diferencil d concentrção de íd e função d concentrção de entrd e dd por: C (t) 0,05C (t) = 0,05C e (t) Fluxo de entrd f e (t) = 5 gl/in,t 0 C e () t lb/gl < =,t 0 Tnque 8 f (t) = 5 gl/in C (t) =? Fluxo de íd V(t) = 00 gl C (t 0 ) = lb/gl Pede-e: M(t) = V(t)C (t) = 00C (t) =? lb e M(?) = 50 lb 9
20 5 EXERCÍCIO C (t) 0,05C (t) = 0,05C e (t) Condição inicil C (t 0 ) = C(t 0 ) = lb/gl Função de entrd Ce() t = lb / gl t < 0 lb / gl t 0 Pede-e: V(t)C (t) = 00C (t) =? lb e V(t n )C (t n ) = 00C (t n ) = 50 lb t n =? Meóri C (t) = 5(Ce(t) - C(t))/ Q(t) M = 50, t =? t, e MQ(t) < 50 Chve t Integrdor Contnte 999 Q(t) M finl Ce(t) Concetrção de entrd C'(t) 05 Vzão Integrdor C(t), C(t0) = 00 Volue do tnque Q(t) M = 00C(t) Q(t) M 0
21 5 EXERCÍCIO
22 5 EXERCÍCIO C (t) 0,05C (t) = 0,05C e (t) lb / gl t < 0 Condição inicil C (t 0 ) = C(t 0 ) = lb/gl Função de entrd Ce() t = lb / gl t 0 Pede-e: M(t) = V(t)C (t) = 00C (t) =? lb e V(?)C (?) = 00C (?) = 50 lb 00 C ln dc ( t) () t C () t ( t) () t dc '() t 0,005 C () t = 0,05 Ce() t = 0,05 dt = 0,05 dt C C e 0,05 t ( C () t ) = 0,05 t ln( c) ( ln( C ( t) ) ln( c) ) = 0,05 t C ( t) = c e t / 0 τ = /0,05 = 0 C () t = c e Cálculo de c: t 0 = 0, C (0) = = ce -0/0 c = M ( ) ( ) ( t / 0 t = 00 C t = 00 e ) / 0 50 ( e t ) = 50 t = ln ( 0) 3, t = 3,9 in
23 6 EXERCÍCIO U tnque eférico de rio R encontr-e, inicilente, co etde de eu volue cheio de águ No fundo do tnque te u furo circulr de rio r, trvé do qul, águ eco ob influênci d grvidde Achr o fluxo de ecoento d águ e função do tepo e deterine e qunto tepo o tnque ficrá vzio A equção diferencil d cot do nível do tnque e dd por y' fe () ( t) f ( t) t = e o fluxo de π ( y() t R y() t ) f ( t) = π r g y( t) ecoento d águ é ddo por Pede-e: f e (t) =?, e y(t n ) = 0 t n =? Coniderr: π = 3,46, R = 5, r = 3%R e g = 9,8/ y(t) φ = r f (t) φ = R (0,R) y x f e (t) dy x(t) x = (R y)y 3
24 6 EXERCÍCIO Coniderr: π = 3,46, R = 5, r = 3%R e g = 9,8/ f e (t) = 0 y(t 0 ) = 5 y' () t = y r gy() t () t y()r t t 0 = 0 f (t) =? y(t n ) = 0 t n =? ( t) = π r g y( t) f 4
25 6 EXERCÍCIO 5
26 6 EXERCÍCIO f e (t) f (t) = dv(t)/dt f e (t) = 0 f (t) = S r v(t) f (t) = πr v(t) ei de Torricelli v = g h t 0 = 0 g é celerção d grvidde h é ltur intntâne y 5 5 () t = 0 0 = r g t R y(t 0 ) = R f () t = π r g y( t) ( y() t R y() t ) dy() t = r g y() t dt y() t R y() t 4 3 y () t R y() t = r g t c 4 y 5 5 f (t) =? dv(t) = πx(t) dy(t) () t R y() t = r g t R y(t n ) = 0 t n =? r = x(t) = y(t)r y(t) dv(t) = π(y(t)r y(t) )dy(t) 3 ( ) dy() t = r t = 4 5 g dt 4 y = 5 5 ( 0) = R c R r R 5 g 6
27 7 EXERCÍCIO Clculr riz qudrd de, undo o étodo de Newton Sbe-e que: x n = x n f ( xn f ' ( x n ) ) 7
28 7 EXERCÍCIO Sbe-e que: x n = x n f ( xn f ' ( x n ) ) A riz d função f(x) = x é riz qudrd de, então f (x) = x, ou ej, ubtituindo funçõe n equção inicil obté-e fcilente: x n = 0,5 xn xn 8
29 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co integrdor ti ( Δ ) = ( ) t t t S t E ( t) i i Δ t S i E(t) dt ou ( t) S E( t) dt = C E ( t) S i = i dt E(t) E(t) S(t) Integrdor E gerl, pr encontrr o vlor de C i, (i = 0) conider-e função de entrd n integrl igul zero, (etdo e equilíbrio) E(t t 0 ) = 0, iplicndo n iguldde, E(t t 0 ) = E(t t 0 ), logo, C 0 = S 0 = S(t t 0 ) 9
30 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co integrdor Exeplo E(t0) = 0 E(t0) S(t0) = S0 E(t0) Integrdor 5 Gnho E(t t0) = 5S(t t0) = 5S0 E(t t 0 ) = 0 = E(t t 0 ) - E(t t 0 ) = 0-5S 0 S 0 = 4 C 0 = S 0 30
31 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co integrdor Derivd Derivd de u função S(t) f(t) f(t t 0 ) = 0 I(t) Gnho do derivdor f'(t) Integrdor I(t t0) = C0, S(t t0) = 0 = f(t t0) - I(t t0) = 0 - C0 C0 = 0 f (t t0) = S(t t0) = 0 é o vlor áxio que não produz ruído inceitávei e f (t) 3
32 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co áxio f(t) f(t) f3(t) f4(t) f5(t) x h(t) = Máx(f(t), f(t),f3(t), f4(t), f5(t)) MínMáx h(t) é o vlor áxio entre todo o vlore d funçõe de entrd, e cd intnte do tepo t 3
33 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co áxio Função do vlore áxio Função do vlore áxio f(t) M(t) x MínMáx M0 f(t) f(t) = Máx(f(t), M(t) Meóri f(t t 0 ) = f(t t 0 ) f(t t 0 ) M(t t 0 ), então: M(t t 0 ) = M 0 f(t t 0 ) f(t) é u função crecente f (t t 0 ) 0 33
34 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co ínio f(t) f(t) f3(t) f4(t) f5(t) in h(t) = Mín(f(t), f(t),f3(t), f4(t), f5(t)) MínMáx h(t) é o vlor ínio entre todo o vlore d funçõe de entrd, e cd intnte do tepo t 34
35 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co ínio Função do vlore ínio Função do vlore ínio f(t) M(t) in MínMáx M0 fi(t) fi(t) = Mín(f(t), M(t) Meóri fi(t t 0 ) = f(t t 0 ) fi(t t 0 ) M(t t 0 ), então: M(t t 0 ) = M 0 f (t t 0 ) fi(t) é u função decrecente fi (t t 0 ) 0 35
36 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co chve u(t) u(t) u3(t) S(t) Chve S () t u = u3 ( t), e u( t) () t, e u() t < P P 36
37 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co chve Máxio de u função crecente liitd Vlor áxio P = 0,5 Mx () t = Mín Máx t, f(t) f'(t) ( t ) ( f, t ( ) ( e ( ), f' t P, t f Tepo finl f Mín t, t f Chve M0 Meóri Mx(t) A função f (t) é decrecente e f (t) 0 O vlor de t, f (t ) P, erá últi ocorrênci verddeir e M0 pode uir qulquer vlor 37
38 VAOR INICIA DOS MÓDUOS Módulo co chve Mínio de u função decrecente liitd A função fi (t) é crecente e fi (t) 0 O vlor de t, fi (t ) P, erá últi ocorrênci verddeir e M0 pode uir qulquer vlor fi'(t) Vlor ínio M0 Meóri P = -0,5 Chve Min(t) t, f(t) Min () t = Mín Mín ( t ) ( f, t ( ) ( e ( ), fi' t P, t f Tepo finl f Mín t, t f 38
39 VAOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO Digr de bloco Cloc t f(t) t, f(t) f'(t) Mx(t) Máxio Tepo Entrd Tepo no áxio Vlor áxio Seno f(t) f(t) Função do vlore áxio f(t) f'(t) Derivd d(máx(f(t)))/dt Máx(f(t)) Vlor finl Vlor áxio 95 Derivd Máxio 39
40 VAOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO Tepo e entrd Função de vlore áxio Derivd d função de vlore áxio t Prâetro d chve Influênci do gnho do derivdor 40
41 VAOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO Derivd e áxio Função de vlore áxio t Tepo do vlor áxio 4
42 VAOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO Digr de bloco Tepo Entrd Cloc t f(t) fi'(t) Min(t) t, f(t) Mínio Tepo no ínio Vlor ínio f(t) fi(t) fi(t) fi'(t) Seno Função do vlore ínio Derivd d(mín(f(t)))/dt Mín(f(t)) Derivd Mínio Vlor finl Vlor ínio 4
43 VAOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO Tepo e entrd Prâetro d chve Influênci do gnho do derivdor Derivd d função de vlore ínio Função de vlore ínio t 43
44 VAOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO Derivd e ínio Tepo do vlor ínio t Função de vlore ínio 44
45 8 EXERCÍCIO Site e cct Siulr o ite de equçõe diferencii, definido bixo, bendo-e, que o eo, etá, inicilente, e etdo etcionário y "(y) d y '(t) c y (t) = E(t) = 0,, d = 0, e c = 4 y "(y) d y '(t) c y (t) = 3y (t) = 0,4, d = 0,3 e c = 9 6, t < t0 E( t) = 0, t0 t < t0, t0 8, t t0 = 3 Vlore inicii: y (t t 0 ) =,5 y (t t 0 ) = 0,5 45
46 8 EXERCÍCIO Site e cct E(t) = 6, t < 3 E(t) = 0, 3 <= t < 5 E(t) = 8, t => 5 Tier E(t) Subyte yi(t) y(t) Diply 46
47 8 EXERCÍCIO Site e cct y "(y) d y '(t) c y (t) = E(t) = 0,, d = 0, e c = 4 y "(y) d y '(t) c y (t) = 3y (t) = 0,4, d = 0,3 e c = 9 6, t < t0 E( t) = 0, t0 t < t0, t0 8, t t0 = 3 Vlore inicii: [*0/ *3/4] y (t t 0 ) =,5 y (t t 0 ) = 0,5 d/ E(t) [/^ /4^] /() Integrdor y'(t) Integrdor y(t) yi(t) y(t) (4 9) [y(t) y(t)] [y(t) y(t)] (3 ) 47
48 8 EXERCÍCIO Site e cct 48
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