DINÂMICA DE PROCESSOS BIOLÓGICOS E FISIOLÓGICOS CAPÍTULO 4 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS

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1 DINÂMICA DE PROCESSOS BIOLÓGICOS E FISIOLÓGICOS CAPÍTULO 4 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS 41 Espaço de esados e variáveis de esado Conrariamene à função de ransferência, definida no domínio complexo, a represenação no espaço de esados desenvolve-se no domínio emporal Exemplo 1 No modelo de inspiração-expiração pulmonar, definindo a variável de esado x 1 como o valor da prssão V L, a enrada u como P() e a saída do sisema como o que queremos observaro volume pulmonar, V L() av () bp() L x V u P( ) 1 x ax bu 1 1 obém-se uma equação diferencial de 1ª ordem, linear, de coeficienes consane (por isso invariane), complea por haver uma enrada exerna, u() Deve ser escolhida como esado uma variável que seja capaz de exprimir a memória do sisema, em geral, como vimos no Capíulo, associada à quanidade de energia ou de massa armazenada Nese caso essa variável é o volume pulmonar (associado à quanidade de ar) Exemplo No modelo de Loka-Volerra que ambém vimos no Capíulo, ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 1

2 dx() ax() bx() y() d dy() cy() px() y() d definindo as variáveis de esado x 1 e x como o número de elemenos de cada população (acumulação de massa), subsiuindo, simplificando a noação, x x (presas) x y 1 (predadores) dx1 () ax1( ) bx1( ) x( ) x ax1bx1x d 1 dx() cx ( ) px ( ) x ( ) x cx px x d obêm-se duas equações de esado, invarianes (porque os seus coeficienes são consanes com o empo) Não há enrada exerna, nese caso, e por isso as equações são homogéneas Com há produos de variáveis de esado, as equações são não-lineares Se nos ineressar observar a evolução das duas populações, diz-se que elas são as saídas do sisema (o que se vê do lado de fora), e assim saída 1: y saída : y x 1 1 x Example 3 Meabolismo da glucose O meabolismo da glucose no sangue pode ser aproximado pelo modelo simplificado seguinre (Ackerman e al (1969) (em Linkens) ) ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005

3 dg d mgmhj() 1 dh mh 3 mg 4 K() d g : desvio do nível da glucose do seu valor recomendado h : desvio do nível da insulina do seu valor recomendado J : axa experimenal de infusão de glucose K : axa experimenal de infusão de insulina m, m, m, m, consanes caracerísicas de cada indivíduo Podemos fazer o mesmo desenvolvimeno para odos os exemplos que vimos Por isso podemos generalizar, dizendo que a esruura geral de um modelo de um sisema conínuo, independenemene da sua naureza, é consiuído por um conjuno de equações diferenciais de primeira ordem, com m enradas exernas Usando um anoação genérica, vem, para n variáveis de esado, dx i d f ( x ( ),, x ( ), u ( ),, u ( ), ) i 1,, n i 1 n 1 m em que fi são funções conínuas dos seus argumenos As condições iniciais, necessárias para definir o esado inicial do sisema (a sua memória), serão, xi ( 0 ) = x i0, i = 1,, n Teremos ambém um conjuno de r equações de saída (r saídas) y ( ) g ( x ( ),, x ( ), u ( ),, u ( ), ) i i 1 n 1 m i=1,, r em que as variáveis de saída medidas se exprimem em funções das n variáveis de esado do sisema e das m variáveis de enrada Não há nenhuma relação geral obrigaória enre as dimensões dos vecores de esado, de enrada e de saída, mas na maior pare dos casos n >> máx (m,r) Se fi ou gi dependem expliciamene de, para algum i, como por exemplo em x xe 3u 1 1 ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 3

4 ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 4 diz-se um sisema variane Quando al não aconece, chama-se sisema invariane As funções f i êm como argumenos apenas x i, quando não exise qualquer enrada exerna u() Chamam-se nese caso sisemas auónomos (dependem apenas de si-próprios) Nas funções g i é pouco frequene exisirem enradas como argumenos: as enradas influenciam as saídas aravés dos esados, e não direcamene As saídas são por isso em geral funções apenas dos esados As saídas são no fundo o que queremos observar, medir, calcular, no sisema Em noação maricial poderemos escrever x = 1 n x x y = 1 r y y u = 1 m u x x0 = 10 0 n x x (vecor de esado) (vecor de saída) (vecor de enrada) (vecor de esado inicial) e os vecores de funções f(x,u) = 1 n f f g(x,u) = 1 r g g O modelo no espaço de esados é enão definido por uma equação de esado (com condições iniciais) e uma equação de saída 0 (, ), ( ) 0 (, ) x f xu x x y g x u Se as funções fi e gi são lineares e invarianes, eremos (, ), 1,, (, ), 1,, i i i in n i im m i i i in n i im m f x u a x a x a x b u b u i n g x U c x c x c x d u d u i r

5 em que a ij, b ij, c ij e d ij são coeficienes consanes Ou seja, a equação de esado oma a forma maricial x Ax Bu x( 0) x0 y Cx Du que se pode represenar pelo diagrama de blocos seguine D Condições iniciais (memória) u x x + y B + Inegrador C + A Diagrama de blocos da represenação no espaço de esados Normalmene D é nula As marizes chamam-se A = n x n mariz de esado B = n x m mariz de conrolo, ou de enrada ou de comando C = r x n mariz de saída (ou de observação) D = r x m mariz de avanço ("feedforward") u = vecor de conrolo, ou de enrada, de dimensão m y = vecor de saída de dimensão r No caso SISO (Single Iupu, Single Oupu) B é um vecor coluna, que se pode anoar por b, e C é um vecor linha, anoada por c T, D é um escalar d Assim vem ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 5

6 x Ax b u x( 0) x0 T y c x du mas nese caso SISO ambém se pode uilizar a noação mais geral (A,B,C,D) Se as marizes A, B, C, ou D conêm elemenos que variam com o empo, diz-se um sisema variane (nese caso algum dos coeficienes a ij, b ij, c ij ou d ij variam com o empo) e anoam-se por A(), B(), C(), e D() A mariz D exprime a influência insanânea das enradas sobre as saídas, ou seja, aquela influência que acua imediaamene e anes da devida à variação dos esados Por isso se chama mariz de avanço Na generalidade dos sisemas físiscos, providos de inércia, esa influência insanânea é nula e porano a mariz D é a mariz nula Lembremo-nos, por exemplo, do efeio da posiçnao do acelerador de um auomóvel sobre a velocidade por ele aingida - o empo de reacção é sempre finio não nulo ( a não ser que o auomóvel possua um número infinio de cavalos) não exisindo por isso acção de avanço Definição 1 Esado O esado de um sisema é uma esruura maemáica consiuida por um conjuno de n variáveis x 1 (), x (),, x n (), chamadas variáveis de esado, em que os valores iniciais xi(0) desse conjuno (i=1,, n) e as enradas u j () (j=1,, m) para > 0 são suficienes para descrever univocamene a resposa fuura do sisema Exise um conjuno mínimo das variáveis de esado requerido para represenar o sisema O insane inicial 0 oma-se usualmene como a origem do empo, 0 =0, mas pode er um valor qualquer Definição Vecor de esado (ou simplesmene esado) O conjuno das variáveis de esado xi(), i = 1,, n, represena os elemenos ou componenes do vecor de esado x() de dimensão n, x() = x () 1 x () n = x1 x n = x ambém chamado simplesmene esado ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 6

7 Quando odas as enradas uj(), j = 1,, m, são especificadas para 0, o vecor de esado resulane descreve univocamene o comporameno do sisema para > 0, dados os valores de x( 0 ) Definição 3 Espaço de esados O espaço de esados é o espaço Xn de dimensão n, subespaço de IRn em cujos eixos de coordenadas se definem os componenes do vecor de esado O esado x(), em qualquer insane, é um pono de IRn Definição 4 Trajecória de esado Quando o esado varia com o empo, chama-se rajecória de esado ao percurso (curva) por ele produzido no espaço de esados Alguns auores chamam plano de fase ao espaço de esados bidimensional e rajecória de fase à rajecória de esado nesse caso (mais arde veremos porquê) A primeira eapa na aplicação desas definições a um sisema qualquer consise na escolha das variáveis (do processo) que devem ser variáveis de esado Deve noar-se que não exise um modo único de fazer essa escolha Na práica exisem várias escolhas possíveis, e eoricamene uma infinidade Algumas escolhas êm ineresse paricular Quando as variáveis de esado represenam grandezas físicamene mensuráveis e observáveis chamam-se variáveis físicas A escolha das variáveis de esado físicas (al como se fez nos exemplos aneriores) baseia-se em geral nos elemenos do sisema armazenadores de energia ou de massa A abela 41, já esudada no Cap 1, indica alguns elemenos armazenadores de energia (mais comuns) exisenes em sisemas físicos e as correspondenes equações energéicas A variável física da equação de energia de cada elemeno armazenador pode ser escolhida como variável de esado do sisema Em alguns sisemas pode ser necessário escolher ouras variáveis para além das dos elemenos armazenadores de energia Os elemenos armazenadores de energia e de massa sineizam oda a hisória passada do processo De faco, sendo odos os fenómenos físicos ransformações de energia e de massa, o esado acual da massa e de energia de um dado processo, é o resulado de odo o que ele passou Daí a perinência desa forma de escolha das variáveis de esado ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 7

8 Tabela 41 Elemenos armazenadores de energia Sisemas Elemenos Energia Variável Condensador C Cv ensão v Elécrico Induância L i Massa m m w velocidade de ranslação Mecânico Momeno de J w velocidade de inércia J i roação w Mola k k x deslocameno x gás Compressibilidade V P pressão P K B Fluido líquido de um fluidov/kb KB, consane de Bolzman Capacidade de um C h alura (nível) h fluido C Térmico Capacidade C emperaura Térmica Definição 5 Equação de esado A equação de esado de um sisema é um conjuno de n equações diferenciais de primeira ordem, em que n é o número de variáveis de esado ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 8

9 34 Resolução da equação de esado linear Para a variável de esado x i eremos, Aplicando o eorema da derivação da Transformada de Laplace Fazendo o mesmo para odas as variáveis de esado, e escrevendo em forma maricial, vem, para a equação de esado e para a equação de saída, ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 9

10 Manipulando para o caso da equação de esado, obém-se a solução no domínio complexo Subsiuindo X(s) na equação de saída, ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 10

11 reenconramos aqui as duas pares da saída: a devida às condições iniciais e a devida à enrada Resposa copm condições iniciais nulas: Exemplo: Calculando, ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 11

12 ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 1

13 Aplicando uma enrada em degrau uniário, obém-se uma saída diferene da anerior Tal seria de esperar, dado que G(s) produz a saída para condições iniciais nulas e no caso anerior iínhamos condições iniciais iguais a [ -1] T 36 Solução no domínio emporal Solução da equação de esado homogénea Consideremos a equação de esado de um sisema linear, variane x Ax Bu A equação homogénea obém-se fazendo u=0, de que resula um sisema dio não forçado (ambém chamado auónomo), x () Ax () x() Ax() dx 0 0 ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 13

14 Mas o inegral é recorrene em x(), x() Ax() d x A( Ax() d x ) d x A( A( Ax( ) d x ) d x ) d x x Ax d AAx d AAAx d x Ax d A x da x d 3 k 3 k x0 Ax0 A x0 A x0 A x0! 3! k! 3 k 3 k [1 A A A A ] x0! 3! k! Se compararmos esa úlima expressão com ea = 1 + a 1! + (a)! + + (a) k k! + Poderemos escrever, x() e A x(0) e por iss0 e A chama-se a exponencial de marix Noe-se que a exponencial da mariz A não é composa pelas exponenciais dos elemenos da mariz A! A exponencial de mariz chama-se mariz de ransição de esado, (), podendo escrever-se x() () x(0) ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 14

15 Conhecida a condição inicial, para calcular o esado em qualquer insane fuuro basa muliplicar o esado inicial pela mariz de ransição de esado nesse insane; iso é, esa mariz ransia o esado inicial para o insane, e daí o seu nome Como calcular e A? Compuacionalmene poderemos calcular parcela a parcela, 3 k A 3 k e I A A A A! 3! k! aé que a parcela seguine seja praicamene nula (se a série convergir ) Mas seria ineressane procurar oura solução, menos rabalhosa e (ouro sobre azul!) que pelo caminho nos permiisse ambém exrair algumas propriedades do sisema Essa solução exise, e baseia-se na esruura própria da mariz Como se sabe a esruura própria da mariz é composa por - valores próprios, - vecores próprios à esquerda, - vecores próprios à direia Considere-se novamene a equação homogénea x() Ax() Uma solução possível para ese sisema é aquela em que x e x em a mesma direcção no espaço de esados, diferindo apenas na sua ampliude por um facor de proporcionalidade A solução será enão de forma x x ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 15

16 Subsiuindo acima, obém-se x = A x <=> [ I - A] x=0 necessariamene Se um valor de x 0 saisfaz esa equação, é uma solução não rivial, e eremos Q( ) de [I - A] =0 I - A = 0 Sendo A de ordem n, Q( ) é o polinómio caracerísico de A e a equação polinomial resulane de chama-se a equação caracerísica de A e erá a forma n Q( ) a a a 0 n-1 n As raízes i da equação caracerísica chamam-se os valores próprios da mariz A Uma raiz pode ser simples (disina), ou repeida com uma muliplicidade p Uma raíz pode ainda ser real ou complexa, aparecendo nese úlimo caso sempre em pares conjugados (dado que os coeficienes da equação carcaerísica são reais) Quando as raízes são disinas, o polinómio Q() pode escrever-se Q( ) = ( - 1 ) (- ) ( - n ) O produo dos valores próprios de uma mariz A é igual ao seu de erminane A sua soma é igual ao raço da mariz (soma dos elemenos da diagonal principal) Aos vecores x não nulos ais que Ax =x chamam-se vecores próprios à direia de A ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 16

17 Se os valores próprios são disinos, a cada um corresponde um vecor próprio, e os n vecores próprios assim obidos linearmene independenes Se exise um valor próprio de muliplicidade p, o número de vecores próprios a ele associados linearmene independenes varia enre 1 e p, dependendo das propriedades da mariz A Noe-se que se x é vecor próprio, x, IR, é-o ambém Prova-se pela definição Chamam-se vecores próprios à esquerda (ou recíprocos) da mariz A os vecores wi, (associados aos valores próprios i, i = 1,, n) ais que w i T A = i w i T ou w i T [ i I - A] ] = 0 Se wi é um vecor próprio recíproco, ambém o é w i, IR Pode provar-se que a solução da equação de esado homogénea, usando a esruura própria é dada por, no caso em que os vaores próprios são odos disinos, n j T x () e vj wj x(0) j1 1 T c T n T e v w x(0) e v w x(0) e v w x(0) 1 1 n n Ese resulado é cheio de significado: ele diz-nos que a rajecória emporal do esado, para uma dada condição inicial, é uma soma ponderada de exponenciais dos valores próprios da mariz A ( os ermos e ) São os vecores próprios que esabelecem os coeficienes de ponderação Quer dizer que a esruura própria da mariz é como que o código genéico da dinâmica do sisema (auónomo) ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 17

18 O que aconece se um dos valores próprios da mariz de esado é posiivo? A sua exponencial ende para infinio com e porano a parcela respeciva ambém! Logo a soma é infinia! Iso é, o esado ende para infinio (pelo menos num dos seus componenes) e por isso o sisema é insável Reenconramos aqui a quesão da esabilidade às condições iniciais, al como no Capíulo 3Os valores próprios de A são ambém chamados os modos do sisema A esa solução da equação de esado chama-se solução modal por expliciar os modos Qual a relação enre eses modos e os que esudámos no Capíulo 3? Pode-se demonsrar que são exacamene os mesmos! Iso é, o polinómio caracerísico do Cap 3 é o mesmo que o polinómio caracerísico da mariz de esado As raízes do polinómio caracerísico são os valores próprios da mariz de esado Tudo o que se disse no Capíulo 3 sobre os modos se pode repeir aqui Solução da equação de esado complea Agora emos x Ax Bu e enconrar a solução não é ão simples Para isso considere-se a propriedade da derivação de marizes varianes d M() N() d MN () () MN () () em que a derivada de uma mariz é a mariz consiuida pelas derivadas dos elemenos da mariz inicial, M mij d e A x A A A () e x () Ae x () e x () Ax () d mas como x() Ax() Bu() ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 18

19 inegrando ambos os membros da equação d e A x A () e Bu () d A A e x() e Bu( ) d K 0 Sendo k uma (mariz) consane de inegração Se subsiuirmos = 0 na expressão 0 A0 A e x(0) e Bu( ) d K x(0) K 0 Muliplicando ambos os lados por e A e agrupando os ermos, oberemos, A A A A A e e x() e e Bu( ) d e x(0) 0 A A( ) ( ) (0) ( ) x ( ) x x zi Ix e x e Bu d zc 0 Pode consaar-se que x() é igual à soma de duas conribuições, x() = xzi () + xzs () uma devida às condições iniciais (zi-zero inpu) e oura devida à enrada (zs-zero inicial sae) 44 Esados de equilibrio e linearização Muios sisemas naurais, em paricular os biológicos e fisiológicos, são de faco descrios por equações diferenciais não lineares Coloca-se enão a quesão de aproximar as equações não lineares por equações lineares, se se preender aplicar a eoria dos sisemas lineares Chama-se linearização a essa operação e faz-se em orno dos esados de equilibrio 441 Esado de equilíbrio ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 19

20 Em muias aplicações práicas as condições ideais de operação são caracerizadas por enradas, esados e saídas consanes no empo Suponhamos que o sisema é descrio pelo modelo não linear x f( x, u) A represenação maemáica de uma operação de linearização faz-se passando pela noção de pono de equilibrio ou esado permanene Definição 6 Esado de equilibrio O vecor x s (nx1) é um pono de equilibrio, esado de equilibrio, ou esado permanene correspondendo à enrada consane u() = u s, se e só se, f(xs, us) = 0 f( x, u ) 0 A correspondene saída de equilibrio ou saída de regime permanene é o vecor y s (rx1) al que y g( x, u ) s s s s s Exemplo 1 Seja o sisema definido pelas equações de esado e de saída x x x - u 1 1 x x - x 1 y x 1/ x 1 Para calcular o esado de equilibrio,aquele em que o esado não varia, faz-se x1 0, x 0 ou, equivalenemene, iguala-se a zero a pare direia x 1 + x - u = 0 x 1 - x = 0 y = x 1 + 1/ x ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 0

21 e resolve-se em ordem a x1 e x x 1 + x - u = 0 x 1 = us x 1 = us 1 xs = us 1 x 1 = x x = us ys = us (1 + 1/ us) Noe-se que a cada valor de enrada u = u s, corresponde apenas um valor de esado de equilibrio; por exemplo para us =, x 1s =, x s =, y s =6 Exemplo Considere-se o caso seguine e o cálculo dos seus esados de equilibrio, 1 1 x x x1 x x x x - u ( - ) x1 0 x1 x - u =0 x 0 x1 u ( 1 - ) = x 0 x x x x x x x x u verifica-se que em dois esados de equilibrio para cada valor us x1 s = 1 us, x s = us 1 0 Dado um us, qual o esado de equilibrio que se obém, x1 s ou x s? Depende das condições iniciais x1(0) e x(0) Podemos simular no Malab o que aconece O programa PPLANE6 faz o seguine: dado o valor de u, para cada valor de x 1 (0) e x (0) inegra as duas equações de esado, calculando assim as rajecórias x 1 () e x () Fazendo isso para um grande número de valores das condições iniciais, obém-se a figura, no caso de u=1, chamada curvas de fase (Phase-Plane, PPlane) O programa aceia duas variáveis de esado, x e y ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 1

22 Exemplo Curvas de faseas seas indicam o senido de progressão da rajecória A noação é x = x 1, y=x ; noe-se que aqui y não é necessariamene a saída do sisema Exemplo 3 Seja x1 x1 u x x1 u x x u x u x x1 x x1 x 0 x1x 0 ( -1) 0 0 ou -10 Agora emos duas siuações, conforme o valor de u, 0 i) u 1, x = x 1 = 0, x s = 0 1 u = 1, x qualquer e x 1 = - x x s =, R -1 Assim para u=1 exise uma infinidade de ponos de equilibrio As condições iniciais deerminam qual o obido ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005

23 u = u=1 Exemplo 3 Exemplo 4 Para o caso seguine x1 x1 - x x1 x x 1 ( x - x ) u x 1 0 u x 0 x j (imaginário) Se o sisema for real a solução obida corresponde à inexisência de esados de equilibrio Exemplo 5 No caso geral linear, x AxBu x 0 Ax Bu 0 Axs Bus e dois casos se podem dar: a) A é não singular, solução única x s = - A -1 Bu s b) A é singular: não exise solução ou exise um número infinio de soluções Por exemplo, no caso seguine, ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 3

24 x x u de esado de equilíbrio, para um dado us será x s u s=0 ou x s = u s se us = 1, x1 x = 1-1 não exise solução possível 1/ Se us =, x1 1-1 x = 1/ 1/ exise um número infinio de esados de equilíbrio definidas por x 1s - x s = 1/ Noe-se que quando exise uma solução x s, a singularidade de A quer dizer que em um (pelo menos) valor próprio nulo e porano um vecor não nulo saisfazendo Aw = 0 Enão A ( xs + w) = Axs + Aw = Axs = - Bus Quer dizer que e R, xs + w é ambém um regime permanene e porano o número de esados de equilibrio é infinio 4 4 Méodos de linearização: aproximação pela Série de Taylor O processo de linearização (de um modelo) de equações não lineares na vizinhança de um esado de equilibrio definido pelo ripleo xs, us, ys, consise na aproximação dos vecores de funções f e g por funções lineares, na vizinhança desse pono de equilíbrio, Linearização pela Série de Taylor ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 4

25 A linearização analíica baseia-se na aproximação das funções fi e gi por uma série de Taylor (na vizinhança dos ponos de equilibrio), sendo x i e u i os desvios em relação ao esado de equilíbrio f ( x x, x x, x x, u x, u u,, u u ) i 1s 1 s ns n 1s 1 s ms m f f f x x x u u u x u n m i i i( 1s, s, ns, 1s, s,, ms) k k k1 xk k1 uk + ermos de ordem superior Para as funções de saída, de igual modo g ( x x, x x, x x, u x, u u,, u u ) i 1s 1 s ns n 1s 1 s ms m n m i i i x1s xs xns u1s us ums xk uk k1xk k1 uk g (,,,,,, ) + ermos de ordem superior g g Desprezando os ermos de ordem superior e considerando, A = f x1 fn x 1 f x n fn x n 1 1 = Fx T B = calculada em x s, u s f u1 fn u1 f u 1 1 f u m n m = F u T calculada em x s, u s C = g x1 gp x1 g x 1 1 g n x p n g u1 = Gx T D = gp calculada em x s, u s u1 g u 1 1 g u m p m = Gu T calculada em x s, u s As marizes das primeira derivadas das funções em ordem a cada um dos seus argumenos chamam-se Jacobianos Subsiuindo na série de Taylor runcada na 1ª ordem bém-se um modelo linear x f( x, u ) y g( x, u ) s s s s s s ( x x) f( x x, u u) y y g( x x, u u) s s s s s s x x f( x, u ) AxBu y yg( x, u ) CxDu s s s s s s ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 5

26 Donde a equação de esado e de saída na forma padrão x A x B u y Cx Du cuja validade só pode ser afirmada quando são desprezáveis os ermos de ordem superior a 1 da série de Taylor, i e, quando são pequenos os desvios do regime permanene Para simplificar a noação, poderemos represenar o sisema linearizado eliminando os, e endo sempre presene que as variáveis (de esado, de enrada, de saída) represenam desvios do regime permanene As marizes A, B, C, e D são os Jacobianos de f e g (em ordem a x e a u) Exemplo Pode verificar-se por subsiuição que o sisema dado por x 1 = - (x 1-1) + x + x 3 - u1 x = x 1 - (x - 1) + x1x - u 1 - u x = x + x - x - u y = x (1 + x ) + u y = x + x - u 3 para u s 1 1 em um pono de equilibrio em xs = Linearizando em orno desse pono obém-se A = B= C = D = 0-1 Será esse esado de equilíbrio esável? Calculando os valores próprios de A, no Malab >> A=[0 1 1;3 1 0;1 1-1] A = >> v=eig(a) v = i i ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 6

27 conclui-se que é insável, dado que um dos valores próprios em pare real posiiva O que aconece quando um arajecória se aproxima dele? Veremos no Cap5 Conclusão Nese capíulo esudámos alguns elemenos sobre o espaço de esados, uma represenação emporal de um sisema Aplica-se de igual modo aos sisemas lineres e não lineares, varianes ou invarianes No caso linear obém-se uma represneação maricial As propriedades dinâmicas do sisema são dependenes dos valores próprios da mariz de esado, al como são dependenes dos pólos da função de ransferência na represenação no domínio complexo Os sisemas não-lineres podem er zero, um ou vários esados de equilíbrio para a a mesma enrada Alcançam um ou ouro conforme as condições iniciais Aproximando as funções de esado e de saída pela série de Taylor, desprezando os ermos de ordem superior à primeira, obém-se um sisema linear Bibliografia Baura G D, Sysem Theory and Pracical Applicaions of Biomedical Signals, (Biomedical Engineering S), John Wiley and Sons, 00 Carvalho, J L M, Sisemas de Conrolo Auomáico LTC- Livros Técnicos e Cieníficos Ediora, 000 Chen, CT Sysems and Signals Analysis, nd Ed, Saunders College Bupl, 1994 Franlkin, GF, JD Powell and Niemi, Dynamical Sysems, Addison-Wesley, 1980 Khoo, Michael, Physiological Conrol Sysems: Analysis, Simulaion, and Esimaion by; John Wiley and Sons, 000 Ribeiro, M Isabel, Análise de Sisemas Lineares,, IST Press 00 ADC/FCTUC/DPBF/Cap4/005 7