VII Congresso de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade de Évora 14 a 16 de Abril de 2003

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1 VII Congreo de ecânica Alicada e Comutacional Univeridade de Évora 4 a 6 de Aril de 003 ENCURVADURA LATERAL TORSIONAL DE VIGAS I COPARAÇÃO ENTRE EC3, BS 5950, AS 400, E ÉTODOS NUÉRICOS UTILIZANDO ELEENTOS FINITOS DE CASCA Piloto, P.A.G. ; equita, Luí ; Vila Real, P... 3 ; Vaz,.A.P. 4 RESUO Quando uma viga não oui rigidez lateral uficiente ou não e encontra contrangida lateralmente ara que ejam aegurado delocamento aena no lano, eta ode encurvar lateralmente. Ete fenómeno de intailidade ode ocorrer ara viga de diferente comrimento e ara diferente etado do material. Para uma viga ideal, em imerfeiçõe geométrica, não exitem deformaçõe fora do lano até que o valor do momento alicado iguala o momento reitente à encurvadura elático. Ete comortamento é normalmente atingido no cao de viga eelta, em contrangimento laterai, onde o colao é atingido devido à exitência de tenõe reultante do momento de encurvadura elático. No entanto, ara viga de eelteza intermédia o material ode ceder, ante de e atingir o momento de encurvadura elático. Eta ituação ode ocorrer com a exitência de flexão no lano e tenõe reiduai iniciai que rovocam encurvadura no domínio não elático. Para viga meno eelta, o momento de reitência à encurvadura ode er uerior ao momento reitente lático da ecção. Eta trê fae ditinta exlicam o comortamento do elemento etrutural umetido a tenõe de comreão, que devem er analiada tendo em conideração o etado limite, egundo o código de rojecto areentado. O ojectivo rincial dete artigo é a comaração entre o diferente código de rojecto areentado, tendo em conideração a encurvadura lateral de viga e introduzir uma comaração or elemento finito (ANSYS e SAFIR), utilizando elemento finito de caca aroriado ara uma análie não linear geométrica e material. Profeor Coordenador, Deartamento de ecânica Alicada, Intituto Politécnico de Bragança. Aitente º triénio, Deartamento de ecânica Alicada, Intituto Politécnico de Bragança. 3 Profeor Aociado c/ Agregação, Deartamento de Engenharia Civil, Univeridade de Aveiro. 4 Profeor Aociado, Deartamento de Engenharia ecânica, Fac. de Engenharia, Univeridade Porto.

2 VII Congreo de ecânica Alicada e Comutacional. INTRODUÇÃO O fenómeno de intailidade em viga ode ocorrer quando ete tio de elemento etrutural e deloca lateralmente com um delocamento u, acomanhado com uma rotação da ecção φ, devido à equena rigidez torional e à equena rigidez de flexão em relação ao eixo de menor reitência, conforme rereentado na figura. Eta deformaçõe etão interrelacionada. Uma rotação da ecção recta imlicará que o momento de flexão no lano da alma, faça aarecer uma comonente fora dee lano, que cauará origatoriamente uma deflexão lateral. Por outro lado, uma deflexão lateral que o momento de flexão no lano da alma faça aarecer uma comonente de momento de torção, cauando a rotação da ecção, Trahair, (993). Carga Carga u v φ Delocamento vertical no lano Delocamento lateral Fig. Flexão no lano da alma, eguida or movimento lateral torional. A reitência do elemento etrutural à encurvadura fora do lano de flexão deende da reitência à flexão lateral e à torção. A encurvadura lateral torional (E) deverá er um etado limite último a coniderar no rojecto de etrutura metálica, uma vez que oderá diminuir a caacidade de carga revita ara o elemento em caua. Ete fenómeno oderá er minimizado com a utilização de elemento de reforço tranveral e longitudinal, elemento auxiliare de aoio intermédio ou elemento etruturai de maiore dimenõe que ouam maior rigidez à flexão e torção, ermitindo aumentar a caacidade de carga ara ete etado limite, evitando o colao rematuro, Galamo (998), Kollár (999) e Bazant et al (99). Nete artigo erão areentado algun modelo de cálculo imlificado, rooto em algun código de rojecto, ara verificação da E, e reectiva comaração com o reultado numérico da análie não lineare geométrica e material, or elemento finito. O rincial ojectivo erá efectuar um etudo comarativo dete código e demotrar, com imulaçõe numérica, que algun dele ão mai conervativo que o outro, ara certo intervalo de eelteza adimenional e ineguro no cao de viga ouco eelta. A caacidade de reitência à flexão dete tio de elemento é condicionada ela caacidade de flexão em regime lático ou elo fenómeno de encurvadura lateral elática, conforme e rereenta na figura.

3 Seão Etrutura etálica e ita 3 Encurvadura Elática (cr) Limite Plático (l) Encurvadura Inelática Plático Inelático Elático Eelteza Fig. Efeito da eelteza do elemento na reitência à encurvadura lateral torional. Na maior arte da ituaçõe reai, o momento reitente é inferior devido à cedência do material e à imerfeiçõe iniciai (falta de rectilimo, tenõe reiduai e falta de uniformidade da ecção recta). O efeito da imerfeiçõe iniciai deende de vário factore, endo a eelteza da viga o mai ignificante. Para uma viga eelta, o colao é dominado ela encurvadura elática, endo o momento reitente à encurvadura lateral torional róximo do valor do momento crítico. O momento crítico ara viga em imerfeiçõe iniciai ode er determinado atravé da reolução de um rolema de valore rório. Bleich (95), Timohenko e Gere (96), Lindler (974) e Trahair (983), entre outro, areentam oluçõe ara diferente cao de carga e de condiçõe fronteira.. O ODELO NUÉRICO A análie numérica foi aeada em doi código de elemento finito diferente: ANSYS 6.0, An, Inc. (000), e SAFIR 00, Franen et al (00). Cada elemento em erfil IPE 00 foi modelado atravé de elemento finito de caca, adequado ara modelar uerfície etruturai lana, emenada, fina ou moderadamente eea. O elemento utilizado oui ei grau de lierdade or nó: trê tranlaçõe e trê rotaçõe, na trê direcçõe eaciai x, e z. A funçõe de interolação ão lineare na dua direcçõe da uerfície. A dimenõe da ecção recta foram modelada com uerfície fina e lana, como e rereenta na figura 3. O material utilizado recorre a um modelo ilinear lático aeado na exreõe do Eurocódigo 3, CEN ENV (99). Y X c) Deformada de uma viga ujeita à a) alha dicretizada. ) Poição do nó na ecção recta. E, com.5 [m]. Fig. 3 Dicretização or elemento finito.

4 VII Congreo de ecânica Alicada e Comutacional 4 O modelo numérico utilizado ara imlementar a imerfeição geométrica inicial foi aeada numa função harmónica inuóidal, conforme e areenta na equação (). l π z u( z) = in( ) () 000 l A exeriência otida de vário enaio à ecala real, demontra que eta equação e aroxima do reultado exerimentalmente otido, Piloto (000). O modelo numérico não aume qualquer ditriuição de tenão reidual inicial na ecção recta do erfi. Durante o roceo de farico, tenão reiduai de comreão ão normalmente gerada na extremidade do anzo e tenõe reiduai de tracção na zona de ligação alma / anzo. Ete facto faz diminuir a reitência à E, devido à reença de tenõe iniciai de comreão. A condiçõe de aoio, modelada numericamente, foram aeada no itema de aoio de forquilha, imedindo o delocamento lateral, a rotação da ecção e ermitindo o emenamento da mema. Numa análie de etailidade elato lática de etrutura metálica, ode-e aumir como uficiente, a alicação de carga atravé de um roceo incremental, até ao momento último quando a caacidade reitente é atingida, utilizando o reultado do cálculo do eforço interno ara verificar a reitência da ecção tranveral e a reitência à encurvadura dete elemento, CEN ENV (99). Doi tio de carregamento foram tetado, em função do fenómeno de cedência local. A utilização de força concentrada no nó de cada anzo roduz uma cedência local na roximidade do onto de alicação da carga, eecialmente no cao de viga ouco eelta. Com o egundo tio de carregamento, foram adicionada dua força concentrada, ara roduzir um inário adicional, localizada a meia altura de cada metade da alma, como e rereenta na figura 4. O egundo tio de carregamento foi utilizado ara viga com um comrimento de encurvadura inferior a.5 [m], com o ojectivo de eliminar ete efeito localizado. a) Cao de carga. ) Cao de carga. Fig. 4 Carregamento utilizado ara imulação de um etado de flexão uniforme. O delocamento lateral e vertical determinado a meio vão da viga, no nó correondente ao centróide da ecção recta, foram calculado atravé de uma análie elato lática, utilizando o memo arâmetro de olução no doi código de elemento finito. O reultado numérico otido elo diferente código areentam o tio de comortamento eerado. Na figura 5 etão rereentado o delocamento lateral e vertical ara o cao de uma viga com.5 [m] de comrimento.

5 Seão Etrutura etálica e ita 5 Delocamento Vertical [m] SAFIR An omento [Nm] Delocamento Lateral [m] SAFIR An omento [Nm] Fig. 5 Delocamento lateral e vertical do nó central, a meio vão de uma viga com.5 [m]. 3. ENCURVADURA LATERAL TORSIONAL No cao em que flexão uniforme for induzida numa viga imlemente aoiada, com ecção recta dulamente imétrica, atravé da alicação de momento na extremidade, ver figura 6, a viga ode encurvar de acordo com o itema de equaçõe diferenciai, Trahair (993). ( EI u ) + ( φ ) = 0 ( EI φ ) ( GJφ ) + ( u ) = 0 x x () A rimeira equação exrime a igualdade entre a reitência à flexão ( EI u ) e a acção de flexão lateral ( ) x φ cauado ela rotação da ecção. A egunda equação exrime a igualdade entre a oma da rigidez interna de emenamento e de torção ( ) ( ) EI φ GJφ e o valor do momento ditriuído, gerado elo emenamento e rotação do elemento, durante o roceo de intailidade. IPE 00 I=5.9 E-8 [m4] Wlx=3.94 E-5 [m3] J=. E-8 [m4] I=0.35 E-9 [m6] x L Fig. 6 Viga dulamente imétrica, em etado de flexão ura, com doi aoio de forquilha. Uma olução oível ara o itema de equaçõe ode er verificado or utituição da exreão (3), ou aroximadamente, utilizando uma função olinomial quadrática (4). z u φ π z = = in δ θ L u φ z z = = δ θ L L (3) (4)

6 VII Congreo de ecânica Alicada e Comutacional 6 Neta oluçõe oívei, δ e θ rereentam o valore de u e de φ a meio vão da viga, enquanto que z rereenta a coordenada do comrimento do elemento, tendo em conideração o valor do momento alicado na extremidade. No cao em etudo, o elemento etrutural deverá verificar a equaçõe de equilírio, em como a equação da energia (5), que rereenta a igualdade, durante o roceo de intailidade, entre a energia armazenada or flexão, emenamento e torção e o valor do traalho realizado elo momento de flexão. L L ( EI + + ) + u EI GJφ dz xφ u dz = 0 φ (5) 0 0 A utituição da exreõe roota ara a olução da forma de encurvadura e de toda a reectiva derivada na equação da energia, ermite determinar o valor do momento crítico em regime elático, determinado em função da roriedade do cr material ( E - módulo de elaticidade, G - módulo de elaticidade tranveral) e da caracterítica geométrica da ecção recta da viga (( I - momento de egunda ordem em relação ao eixo de menor reitência, I - contante de emenamento e J a contante de torção da ecção). π EI GJ = (6) EI I cr + L L I π 4. ÉTODO SIPLIFICADO DO EUROCÓDIGO O momento reitente à encurvadura lateral, ara o cao areentado, com uma ecção recta do tio ou doi, deverá er calculado a artir da exreão (7), de acordo com CEN ENV (99). = χ β W f γ (7), Rd l, / O factor β iguala a unidade ara ete tio de ecçõe, W l, rereenta o valor do módulo lático, f o valor da tenão de cedência e χ o factor de redução ara a intailidade areentada, calculado ela exreão (8). χ = (8) φ + [ φ λ ] 0. 5 O coeficiente φ deende do factor de imerfeição α e tem em conideração o valor de defaamento 0., de acordo com a exreão eguinte. A eelteza adimenional exreõe eguinte. [ + α ( λ 0.) λ ] φ = + (9) λ ode er determinado atravé de uma da oívei

7 Seão Etrutura etálica e ita 7 = β W λ l f cr, / = β (0) λ O coeficiente de eelteza geométrico, no cao de E, deverá er calculada de acordo com: λ = π EW / () l, cr A eelteza λ é função da roriedade do material, conforme e ode verificar na exreão (). = 93. 9ε = π E f = 35 f ε () O momento reitente da ecção recta, deende de módulo lático da ecção, da tenão de cedência e de um factor arcial de egurança γ. 0 = W f γ (3) c, Rd l, / 0 O momento reitente à encurvadura ode er adimenionalizado relativamente ao valor do momento reitente da ecção, em função do valor da eelteza adimenional da viga, roduzindo uma curva de rojecto rereentada na figura 7. De acordo com ete código de rojecto, não etá revito a ocorrência dete fenómeno de intailidade ara elemento que areentem eelteza adimenional inferior a ÉTODO DE CÁLCULO BRITÂNICO De acordo com a norma Britânica BS 5950 arte, o momento reitente à encurvadura ode er calculado atravé da exreão (4), Wang (00). = S (4) x S rereenta o módulo lático da ecção, enquanto que a reitência à encurvadura x ode er determinada de acordo com a exreão eguinte. = φ + B e B φ e (5) e rereenta a tenão crítica elática de encurvadura, a qual ode er determinada ela exreão (6). e π E = (6) λ rereenta a reitência de rojecto do aço. O coeficiente intermédio deverá er calculado de acordo com:

8 VII Congreo de ecânica Alicada e Comutacional 8 + ( η + ) e φ B = (7) O coeficiente de Perr-Roerton, η, tem em conideração a imerfeiçõe geométrica do erfi, que no cao de erfi laminado a quente, deverá er calculado or: η = α ( λ λ ) (8) LO O indice de everidade da imerfeição inicial, α, iguala 0.007, enquanto que o valor mínimo da eelteza, a artir do qual e conidera a ocorrência da E, e determinado or λ. LO E λlo = 0. 4π (9) O momento reitente à encurvadura, determinado atravé dete código encontra-e rereentado graficamente na figura ÉTODO DE CÁLCULO AUSTRALIANO O código de rojecto Autraliano ara erfi laminado a quente, AS400 (998), define o momento reitente à encurvadura lateral atravé de uma exreão emi-emírica, Trahair (998), Put (999). = α α (0) m O factor de redução da eelteza α deverá er determinado ela exreão (). 0.6 α = + 3 () o o rereenta o momento crítico elático o o =, enquanto que cr rereenta a reitência à encurvadura lateral e o valor do momento lático efectivo da ecção. O coeficiente α tem em conideração o efeito da ditriuição do momento na encurvadura m elática e inelática, Bazant (99). Para o tio de carregamento em etudo, α é igual à m unidade. A fórmula de cálculo Autraliana não aumem o fenómeno de intailidade, ara valore da eelteza modificada que reultem da inequação anterior. No âmito da fórmula imlificada do código areentado, eta metodologia arece er a mai fácil de utilizar, endo comarada graficamente com o retante código na figura 7.

9 Seão Etrutura etálica e ita 9 7. COPARAÇÃO DE RESUADOS A figura 6 areenta o reultado numérico otido com o rograma de análie não linear utilizado, ANSYS e SAFIR. A curva de encurvadura elática é rereentada elo reultado de Euler. O reultado numérico aroximam-e da curva de rojecto roota no Eurocódigo, ara valore intermédio e ueriore de eelteza de viga. Para ete valore de eeteza adimenional, a regra de rojecto Britânica e Autraliana ão mai conervativa, reectivamente.. EC3 An 6.0 BS 5950 AS 400 Euler SAFIR Rd / c.rd λ Fig. 7 Curva de rojecto do momento reitente à E, ara viga IPE 00 não retringida lateralmente. Para o cao de viga com eelteza inferior, o reultado numérico arecem demontrar que a regra de rojecto do vário código areentado ão inegura. O nível de egurança encontrado com um do rograma utilizado, relativamente ao trê código areentado, ode er rereentado na figura 8. O gráfico areentam, em cada ordenada, o valor do quociente entre o momento reitente à encurvadura lateral e o valor do momento reitente lático da ecção. 0.8 INSEGURO 0.8 INSEGURO 0.8 INSEGURO EC AS B SEGURO 0. SEGURO 0. SEGURO SAFIR SAFIR a) SAFIR veru EC3 ) SAFIR veru AS400 c) SAFIR veru BS 5950 Figure 8 Nível de egurança do código de rojecto em relação ao reultado numérico. SAFIR A comaração foi efectuada com o trê código de rojecto areentado, endo oível rereentar o onto coniderado ineguro na arte uerior da recta. A comaração teve or ae um do rograma de elemento finito, uma vez que e verifica uma concordância entre amo.

10 VII Congreo de ecânica Alicada e Comutacional 0 8. CONCLUSÕES O método de cálculo imlificado utilizado no Eurocódigo, norma Britânica e Autraliana ão areentado e comarado com um modelo não linear geométrico e material de elemento de caca. Uma atenção eecial foi coniderada na modelação do etado de flexão uniforme, utilizando doi tio diferente de cao de carga, eliminando o efeito localizado de uma oível cedência material. A imerfeição geométrica inicial foi coniderada no modelo numérico em rotação da ecção e em tenõe reiduai iniciai. A conideração deta tenõe tenderia a diminuir a caacidade de reitência à encurvadura lateral, devido à reença de tenõe de comreão na extremidade do anzo. O nível de egurança otido atravé da comaração do reultado numérico com o trê código analiado, demontra que o reultado determinado atravé da norma Britânica ão o mai conervativo, enquanto que o reultado rooto elo Eurocódigo 3 e aroximam mai do reultado numérico. No entanto, ara viga ouco eelta, todo o método de cálculo imlificado odem conduzir a reultado ineguro. 9. REFERÊNCIAS An, INC.; Theor reference, releae 5.6 ;CD-RO; USA; 000. Bazant, Zdenek P.; Luigi Dedolin; Stailit of tructure Elatic, Inelatic, Fracture, and Damage theorie ; 99. CEN ENV 993--; Eurocode 3, Deign of Steel Structure Part -: General rule and rule for uilding ; Aril 99. Franen, J-arc; Kodur, V.K.R.; anon, J.; «Uer manual for SAFIR 00 free A comuter rogram for anali of tructure umitted to the fire ; U. Liégè, N.R.C.C., S.K..; Aril 00. Galamo T.V.; Guide to Stailit Deign Criteria for etal Structure ; 5th edition; John Wile & Son; USA; 998. Kollár, Lajo; Structural Stailit in Engineering Practice ; E&FN SPON; Ne York; 999. Piloto, P.A.G.; Exerimental and numerical anali of metallic tructure under fire condition (in Portuguee); Thei umitted for Ph.D. degree in echanical Engineering of the Facult of Engineering at Oorto Univerit; Porto; Portugal; Setemer 000. Put, Bogdam.; Pi, Yong-Lin; Trahair, N.S.; Lateral uckling on cold-formed z-eam ; Journal of tructural Engineering, American Societ of Civil Engineer, vol 5, nº, Novemer 999. Timohenko, S. P.; Gere, J..; Theor of Elatic Stailit ; cgra Hill Int. Edition (echanical Engineering Serie), nd edition; Singaore; 96. Trahair N.S.; Flexural Torional Buckling of tructure ; E&FN SPON Chaman & Hall; London; 993. Trahair, N.S.; Bradford,.A.; The ehaviour and deign of teel tructure to AS 400 ; 3 rd edition; E & FN SPON; London; 998. Vila Real, P...; Franen, Jean - arc; Lateral uckling of teel I eam at room temerature - Comarion eteen the EUROCODE 3 and the SAFIR code conidering or not the reidual tree, internal reort No. 98/0, Intitute of Civil Engineering Service Pont et Charent of the Univerit of Liege Wang, Y. C.; Steel and comoite tructure ehaviour and deign for fire afet ; Son Pre; London; 00.