3 Análise numérica do fluxo superficial e subterrâneo

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1 Aále uméca do fluo upefcal e ubeâeo Soluçõe aalíca gealmee ão vaaoa do poo de va da facldade e apdez de eu cálculo o eao azem uma ée de mplfcaçõe e lmaçõe do feômeo abodado. Dea foma paa o poblema em dcuão ulzou-e uma eaéga uméca de olução da equaçõe goveae de modo a aumea a gama de cao poíve a eem eudado odava ada lmado e ueo a eo uméco. adcoalmee a acoplagem ee o domío upefcal e ubeâeo é fudameada va oca de fluo que apaecem como emo de omada/foe a equaçõe goveae Kolle e al. 5. O modelo ugedo coe em acopla do ema vo calmee como depedee fazedo eceáa a compabldade ee o modelo adoado paa que eam elgado aavé de ua codçõe de cooo. Paa o o modelo deevolvdo po Smuek e al.em 995 deomado po SWMSD fo ulzado como pogama bae. aa-e de um modelo em Elemeo Fo dmeoal que eolve a equação de Rcad ulzado elemeo eaédco fomado uma mala de elemeo agulae o cooo. A compabldade ugeda ocoe da cação de um pogama ambém em elemeo fo que ulze a mala upefcal eaída da mala D. A olução da equaçõe dfeeca é fudameada o méodo de podeação de eíduo que coe em aplca uma olução apomada a equação goveae. A olução apomada ão afaz a olução eaa geado um eíduo que deve e mmzado. O eíduo é mulplcado po uma fução peo e a egal do poduo ee ele o domío deve e ula. uado a fuçõe empegada paa a apomação da olução ão gua à fuçõe paa a mmzação do edual ee méodo é deomado como fomulação de Galek Segeld 984.

2 4.. Modelo uméco da oda cemáca Decodeado o emo de gadee de peão de aceleação covecva e de aceleação local a equação da quadade de movmeo mplfca-e paa uma mple gualdade ee o declve opogáfco e a la de eega oal acaeado que a foça ogáa do peo do fludo ou foça gavacoa ão balaceada pela foça eva ou de ao do leo. ee modelo o fludo oma apea a deção de decda em codea efeo de uae. oado ua mplfcaçõe e lmaçõe ee modelo afee bo eulado quado a declvdade é ma aceuada e a lâma da água é baa fazedo com que a odem de gadeza do emo de peão e aceleação oem-e depezíve. Ee modelo fo adoado baeado-e a úlma codeaçõe do paágafo aeo e poblado o deevolvmeo de um modelo mplfcado e de ápda olução. O modelo acoplado evolve ao feômeo de fluo o edo upefíce olo como olo upefíce. o cao de fluo olo upefíce ee ocoe a deomada upefíce de pecolação emo muo ulzado em baage eulado em pequea lâma de água a upefíce. o cao de fluo upefíce olo ee advém do ecoameo ocaoado pelo défc de flação em elação à pecpação geado pequea lâma de água que e dbuem pela baca coceado-e em ava e ulco paa água aa. O modelo da oda cemáca fo deevolvdo pmeamee da foma udmeoal codeado uma flação coae em ea acoplado a eum modelo de fluo ubeâeo. Em eguda eedeu-e paa a foma bdmeoal codeado fluo a deçõe e e flação dada pelo modelo de fluo ubeâeo paa o modelo acoplado ou coae paa o modelo ucamee upefcal.... Modelo uméco udmeoal da oda cemáca O eudo de fluo upefcal egloba ecoameo de upefíce lve como uoff devdo a eveo de pecpação fluo em caa abeo popagação de oda de cea em o ou devdo a ompmeo de baage Dea 979. O modelo dbuído ma mple paa epeea a eveo é o modelo udmeoal da oda cemáca. Dada ua mplfcaçõe ee

3 44 modelo pode e ulzado paa eolve ecoameo lve udecoa em caa ou plao. O ecoameo em uma baca dogáfca ocoe obe a upefíce do eeo omado a deção de mao declvdade. Dea foma dveo auoe adoaam o modelo udmeoal paa deceve ecoameo em baca como em Laça que dvdu a baca em célula quadada com oo deçõe de ecoameo e elgada ee ou em Ro 978 que mulou uma baca dogáfca aavé de plao de ecoameo e caa abeo epeeado a ecoa e o fudo de vale epecvamee. ee abalo o modelo D da oda cemáca fo mplemeado apea como bae paa eqüêca do deevolvmeo do modelo D e do modelo D e D de dfuão edo deevolvdo apea paa ecoameo em plao de lagua uáa em ea acoplado a eum modelo de fluo em meo pooo. Ee modelo é fomado pela equação da coudade udmeoal e pela equação mplfcada de quadade de movmeo edo ea: ode q S o S f q Equao Cape Seco. A vazão é eca pela equação de Mag defda po udade de lagua do plao de ecoameo caacezado o po de ecoameo adoado. A equação ogal é eca em emo do ao dáulco e do declve da la de eega oal. O ao dáulco dado pela epeão R A/P ode A é a áea de eção aveal do ecoameo e P é o peímeo molado mplfca-e paa o valo da alua da lâma de água obe um plao de lagua fa. o modelo cemáco a equação de Mag pode e eca em fução da declvdade do fudo Bede e al.. Dea foma o modelo codea que o ecoameo em cada poo do domío epeea um ecoameo em plao fo. Dada à codeaçõe o fluo é dealzado de acodo com a Fgua. ode epeea à flação L/] a velocdade de pecpação L/] a vazão de ecoameo geado pela pecpação ecedee à flabldade do

4 45 olo L //L] S a declvdade do plao -] e epeea a alua de lama de água L] Dea 979. A declvdade S é defda pela vaação da coa alméca em elação a uma dâca pecoda. Fgua. fluo obe plao de lagua uáa. A olução uméca é fea aavé da fomulação de Galek adoado elemeo udmeoa leae como apeeado a Fgua.. Fgua. Elemeo udmeoal. Ode L é o compmeo do elemeo e ão a coodeada globa do ó e. Refeecado o elemeo o ema de coodeada loca ` obém-e dua fuçõe de epolação deo do domío local. A alua e a vazão obe o plao ão aumda decoecda edo apomada aavé de fuçõe leae dada po:

5 46 ]{ ˆ. e ]{ ˆ. ode { ĥ ] é o veo da caga de peão oda e { ˆ ] é o veo da vazõe oda. O valo da vazõe eá calculado pela equação de Mag paa cada pao de empo eulado a alua da lâma de água como a úca vaável depedee do empo. Ecevedo a equação da coudade em emo de ua oluçõe apomada e codeado a fução de podeação de mmzação do eíduo gual à fuçõe de epolação obêm-e: ˆ ˆ d..4 Subudo a equaçõe. e. em.4 o emo de devada epacal pode e eeco como: ]{ ]{ ˆ B L..5 o eao a fuçõe de epolação ão coae o empo edo eeco da foma: ] ]{ { ˆ & &..6

6 47 Subudo a equaçõe.5 e.6 em.4 e afomado o epaço de egação de global paa local obem-e: ] { ] ] { ] ] d L d B L d L &..7 Ode o acobao é dado po d/d L Reolvedo a ega da equação.7 o eulado é um ema de dua equaçõe dada po: 6 L L ou em foma macal: { { ]{ R K &.8 O emo aee pode e apomado ulzado um equema de dfeeça fa acedee dado pela equação: { { { d d & & &.9 Ode d é o evalo de empo. Subudo a equação.9 a equação.8 { d K d R K d ]{ { ]{.. Ode: 6 ] L K ; { ; { L R

7 48 A foma do elemeo é feqüeemee a mema paa um dado poblema e a fuçõe de apomação. e. ão empegada de maea epeva ao logo de odo o domío dea foma pode-e abala a fomulação paa um úco elemeo Ω e e eedê-la po odo o domío Ω. al popedade coe a pcpal caaceíca do méodo de elemeo fo Ela. A olução do ema geal fo dada aavé do méodo pvoal de Gau- oda.... Codção cal e de cooo A olução da equação. eque a defção da codção cal paa a caga de peão. O veo de vazõe paa o empo eá calculado em fução da caga de peão cal. Po eemplo: f... ode é o úmeo oal de ó. a equação. o veo {R defdo o íco de cada eação do empo é a eulae ee a pecpação e a flação defda como dado de eada paa o modelo. A codção de cooo deve e abuída a moae do domío podedo e em emo de caga de peão Dcle ou de vazão mpoa euma. Eemplfcado paa uma codção de cooo em fluo pode-e e: ou. À uae do plao de ecoameo ão deve ocoe euma eção ao fluo dada à caaceíca coceua do modelo. Coudo o cálculo de vazão de aída do domío pocede da mema foma que em odo o domío ulzado a equação de Mag gfcado fluo de aída com gadee ulo.

8 49... Modelo uméco bdmeoal da oda cemáca Paa um modelo dbuído de uma baca dogáfca o modelo udmeoal da oda cemáca lma ua epeação po meo de ede de caa elgado ou aavé de plao de ecoameo ou po ambo acoplado. A ulzação do méodo de elemeo fo a fomulação bdmeoal da equação cemáca mplca uma boa dcezação do domío aavé de ua mala. Am a declvdade ou a deçõe de ecoameo eão eplíca a mala geada. O modelo cemáco D é compoo pela equaçõe e pela elação uívoca ee a caga de peão e vazão dada pela equação. eulae da mplfcaçõe do modelo coceual. Sua olução uméca é dada pela fomulação de Galek edo a meodologa cal a mema deca paa o modelo udmeoal ode e obém a mmzação edual da olução apomada da foma: Ω q dω. edo o úmeo oal de ó o domío global. Ea equação pode e eeca a foma: Ω Ω ] ] dω{ & ] dω { q Ω ] dω{ Ω ] dω{. O fomao do elemeo ulzado é ecoee do uo do SWMSD como pogama bae ocaoado a mplemeação de elemeo agulae de ê ó opaaméco com fuçõe de foma leae como apeeado a Fgua..

9 5 Fgua. Elemeo agula de ê ó opaaméco. Segudo Segeld 984 a áea de um âgulo mapeado do domío D paa um coadomío E de acodo com a Fgua. é dada po: A dd g da f ode a fução g clu o emo do deemae da maz acobaa ] de peecedo ao coadomío E ou domío local. Dea foma a equação. pode e mapeada paa o domío local pela epeão: { ] { ] { ] { ] ] q dd dd dd dd &. O mapeameo do elemeo global ocoe ulzado fuçõe de foma pado da coodeada caeaa globa paa a coodeada loca do elemeo mee. o ema local em-e um elemeo a foma de um âgulo eâgulo com caeo de compmeo uáo. Em um elemeo opaaméco a fuçõe de foma ão gua à fuçõe de epolação Segeld 984 e ee cao defada pela equaçõe:

10 5 A fomulação da maze do elemeo eque que a fuçõe de epolação eam devada em elação à coodeada caeaa Ela dea foma aplcado a ega da cadea podem-e eceve a devada da fuçõe de epolação com elação ao ema local: ode. Ecevedo a equaçõe acma a foma macal obém-e a maz acobaa apoa que epea uma elação de ecala ee o ema de coodeada. ] O acobao ee a coodeada caeaa em elação à coodeada loca deoado po é dado po Swokowk 96: Pecoedo o domío D da Fgua. o edo a-oáo deve-e pecoe o coadomío E o memo edo dcado que o acobao ão deve muda de al fcado empe povo. o méodo do elemeo fo a veão de al do acobao em um elemeo agula dca a veão da coecvdade o é a veão do edo de mapeameo.

11 5 A devada da fuçõe de epolação em elação ao ema caeao ão obda veedo a maz acobaa fomado o ema: ].4 A maz acobaa vea é defda po: ]. Ode é o deemae da maz acobaa dado pela equação: Defdo a poçõe deo um elemeo o ema global como fução da poçõe oda pode-e eceve: o coadomío coecedo a poçõe oda e e ua fuçõe de epolação mapeamo a coodeada e em fução da coodeada do ema mee da foma:.5.6 Ulzado a equaçõe.5 e.6 a elação dada pelo ema de equaçõe.4 obem-e a devada da fuçõe de epolação epea po:

12 5 A A A A ; ; A A ; ; Sedo e coodeada globa do elemeo e - da mema foma paa. Defda a maze da equação. eolvedo a ega e mplemeado o memo equema de dfeeça fa acedee do modelo udmeoal da oda cemáca eula-e o ema de equaçõe o domío local dado po: d d K ]{ d R ]{ R ]{ q R ] K ]{ Ode e em: K ; 4 ] R ; R edo. Cabe oa que o emo do acobao peee em odo o emo da equação. pôde e cacelado apaecedo ucamee a maz R e R devdo o emo de devada paca. Ee fao ão eá oado paa o modelo de dfuão. A olução do ema geal é dea quado adoado o céo de Lumpg de maa coceado a maz de maa K] a dagoal pcpal decaae a ecedade de méodo de olução de ema como elmação de Gau ou méodo omzado como gadee cougado ou bcougado. Com o a maz K] pode e eeca como:

13 54 K ] 6 O gao compuacoal ulzado o Lumpg de maa ocoe ao a edução do empo de poceameo quao a edução do coumo de epaço a memóa RAM e umecamee a edução da oclaçõe do eulado... Modelo uméco de dfuão Ee modelo codea o gadee de peão a equação da quadade de movmeo aumeado ua gama de aplcaçõe de foma a copoa o modelo cemáco e amplá-lo paa ecoameo em egõe de baa declvdade além de pobla fluêca de uae Cow e al Iluado ea vaage com eemplo podemo mula eudo de cao evolvedo egõe alagadça como pâao ou cao ode á fluêca de uae como efeo de maé ou poíve faua obe a upefíce com epeva omada de água. O modelo dfuvo codea ecoameo a dmeõe e edo a dmeão z epoável pela caga de elevação um do agee epoáve pela cação de fluo. Ee modelo pobla o cálculo da geomea do ecoameo aavé da emava da caga oa vaáve da equação de dfuão. aado-e de uma equação ão lea que aavé da aplcação da fomulação de Galek obém-e um ovo ema ão lea eolvdo pelo méodo eavo de Pcad. Ee modelo é eco em fução da caga oa codeado a caga de elevação coae ao logo do empo vaado apea a caga de peão ou colua da água em odo o domío eudado e em qualque empo de mulação pemdo fluo de uae paa moae e dbução de caga em elevo plao de modo a aula o gadee de peão. A póee de caga de elevação coae mplca em coa opogáfca coae em codeação de efeo eovo ou de depoção de edmeo. A mplemeação do méodo de elemeo fo pobla uma boa apomação do elevo eal da baca ou ecoa a e eudada além de abução da vaabldade epacal da popedade elevae de acodo com o gau de efameo da mala geada.

14 55 A apeeação do modelo eá de foma mla ao de oda cemáca cado pelo cao ma mple o modelo udmeoal egudo pelo modelo bdmeoal.... Modelo uméco udmeoal de Dfuão Ee modelo aboda a foma udmeoal da equação.7 que eca a deção cega-e a equação abao: D q Adoado o memo elemeo ulzado o modelo udmeoal cemáco e aplcado a fomulação de Galek paa um domío Ω cega-e em: D q d.7 A fuçõe de epolação leae adoada ão decoua ee um elemeo e ouo fazedo com que ea eceáo afoma o egudo emo do lado equedo da equação.7 em um emo de pmea odem. Dea foma pode-e eecevê-lo aplcado a ega do poduo do cálculo dfeecal egudo do eoema de Gee obedo-e: D d D Γ coω dγ D d.8 A ulzação do eoema de Gee mplca a obeção de um emo efeee ao domío do elemeo com devada de pmea odem e um emo que ega o fluo o cooo do domío. Ee emo eá epoável pela abução de fluo de eada ou de aída do ema. Apomado a vaável de caga oal po uma fução lea da foma:

15 56 ]{.9 Subudo a equaçõe.8 e.9 em.7 obêm-e: co Γ Γ q d d D d D d ϖ. Em oação macal e o domío do elemeo a equação. é deca po: ] ] { ] ] { ] co Γ Γ d q d D d D d ϖ & Sedo o acobao dado po L. Reolvedo a ega obem-e: 6 q L DL L ou ]{ { { ]{ R B K & A vaável ode epea a mpoção de fluo o cooo podedo ee e um valo mpoo ou calculado. Paa f de cálculo da vazão de aída ulzou-e a equação de Mag de modo a obe fluo popocoal a

16 57 alua da colua d`água e da popedade elevae como o coefcee de Mag e declvdade mulado fluo com gadee de peão ulo. A dcezação o empo é dada aavé de um equema de dfeeça fa decedee codcoalmee eável. B ]{ { { R K ]. A ão leadade que apaece a equação. é eolvda pelo méodo eavo de Pcad devado pelo ucameo da epaão po ée de alo da equação. eeca da foma: k m k m U U. Ode é a vaação de caga ee a eaçõe defda po k m k m k m. O veoe U foma: ão defdo da k m e U m m k m m m U K] B ]{ m { { R. U k m k m K B ] ee méodo a pmea eação é uma emava o empo a pa do valoe ca do poblema. Com ee valoe ão moada a maze B] e K] o veoe { e {R e eolve-e o ema de equaçõe.. Em eguda calcula-e a caga oa m a pa do cemeo eulae. A covegêca do méodo é avalada aavé de um céo de oleâca odal que vefca e o módulo da dfeeça da caga oa oda m m ol é meo que uma oleâca míma defda pevamee. Cao ão aa covegêca a maz B] e o veo { ão ecalculado e vola-e ao ema. equao o céo de covegêca ão ea afeo.

17 58... Modelo uméco bdmeoal de Dfuão A equação.7 ege o modelo dfuvo bdmeoal e ua olução apomada ambém fo obda ulzado o méodo do eíduo podeado ou méodo de Galek. O coceo e a meodologa do modelo bdmeoal é uma eeão do modelo udmeoal edo ua pcpal dfeeça a mudaça da fuçõe de foma ou de epolação ocaoada pela mudaça do elemeo ulzado. Dea foma adoou-e o elemeo agula lea de ê ó edo o memo ulzado o modelo bdmeoal da oda cemáca moado a Fgua.. Dea foma a equação egal o domío elemea obda é dada po: ] ] ] ] { ] ] { ] ] ] { co dd D dd D dd D d D e d dd q ϖ ϖ Γ Γ Γ Γ Ode a devada da fuçõe de epolação ão a mema da defda o modelo cemáco bdmeoal. Reolvedo a ega acma obém-e: ]{ ]{ { { R B K & A Maz K] e o veo {R eão defdo o em... A maz B] é defda po: ] D B

18 59 O veo { epeea a vazão de aída odal edo abuída ou calculada pela equação de Mag ulzado a declvdade odal omal ao cooo mulplcado pela oma da meade do compmeo de cada aea o cooo L e L em coao com ó de acodo com a Fgua.4 da foma: Fgua.4 - Elemeo o cooo de domío. 5 / L S L A dcezação empoal do modelo bdmeoal ulza o equema decedee de dfeeça fa e o méodo eavo de Pcad paa olução da ão leadade da mema foma como apeeado paa o modelo udmeoal... Aále uméca do fluo em meo pooo O méodo ulzado pelo SWMSD paa olução uméca da equação de fluo em meo pooo é o méodo de Galek com fuçõe de epolação leae ueo a codçõe ca e de cooo. A decção dealada do méodo pode e ecoada a efeêca do abalo de Smuek e al O pogama ogalmee adoa elemeo eaédco e ão codea o emo de amazeameo epecífco do olo. odava o modelo acoplado ee paâmeo fo copoado adcoado ma um emo a equação ogal. A olução uméca paa a equação modfcada equação.4 baea-e o méodo calmee ugedo que peme a aleação em pede eu edo fíco.

19 6 A egão de fluo é dvdda em uma ede de elemeo eaédco cuo véce coem o poo oda. A vaável depedee ou a caga de peão é apomada pela fução: l l l z z ˆ φ.4 ode z l φ ão um couo de fuçõe de epolação e é o úmeo oal de ó a mala. Aplcado o méodo de Galek obem-e a egue equação: ˆ ˆ Ω Ω d S K K K S A z A φ ξ θ θ. Subudo a equação.4 a equação acma: Ω Γ Ω Ω Γ Ω e e l v l A z e c e A z l A e e c l A c l l d S KK d K K K d KK S φ φ φ φ φ φ φ φ ξ θ φ θ ˆ ˆ ˆ Fazedo a egação o domío local ou elemea ecoa-e o egue ema dfeecal odáo depedee o empo com coefcee ão leae eco a foma macal: ] { ] { ]{ { { { D B A d d F d d F θ..5 A dcezação o empo do emo aee da equação.5 é fea aavé de um equema decedee de dfeeça fa da foma: ] { { ] { { ] { { { { D B A d F d F θ θ.6

20 6 A peee veão do SWMSD az a fomulação modfcada do méodo eavo de Pcad popoo po Cela e al. 99. Ee méodo apeea meloe eulado com elação à coevação de maa o qual coe em epad o pmeo emo à dea da equação.6 em do emo da foma: ] { { ] { k { k ] { k θ { θ θ θ θ θ F F F d d d.7 ode k e k epeeam o íve de eação aual e aeo epecvamee; e epeeam o íve de empo aual e aeo epecvamee. O egudo emo do lado deo da equação.7 é coecdo a po o íco de cada eação e o pmeo emo pode e epeo em emo de caga de peão eecevedo a equação.7: θ ] { { F F] C] k { { k θ d d ] { k θ { θ F d.8 ode C] epeea o valoe oda de capacdade de eeção epecífca. O pmeo emo do lado deo da equação.8 deve deapaece ao fal da eação e a olução uméca coveg Adade. O emo epoável pelo amazeameo epecífco pode e dcezado deo do poceo eavo da foma: ] { { ] { k { F F d d.9 Icopoado a equação.9 e.8 a equação.6 em-e: F] C] k { { d k A ] { { { B { D ] { k { ] { k θ { θ F F d d. O emo de caga de peão da equação. avalado o empo e eação k podem e aocado. o eao cabe oa que o ouo do emo de caga de peão a equação. o pmeo ogado do méodo

21 6 de Cela e al. 99 é avalado o empo e eação k odava o egudo povém da dcezação empoal da equação.9 fcado fo o poceo eavo e com valo avalado o empo. Dea foma a equação. pode e eeca como: ] ] ] { { F C F F] C] θ k { ] { F ] { { F A ] { { { B { D d θ k d k d k d. Iolado o emo de acodo com a moagem do ema de equaçõe leae caaceíco do méodo de elemeo fo obém-e: ] ] ] { { F C F A ] { { { { ] { B D F F ] C] k d k d { d k ] { k θ { θ F d.. O ema eulae é eolvdo pelo modelo SWMSD modfcado deevolvdo paa a mulação do fluo em meo pooo o qual fo acoplado ao modelo upefcal.... Codção de cooo amoféca A codção de cooo amoféca peee o SWMSD ogal peme que a codção de cooo a upefíce do olo mude de fluo peco paa caga mpoa e vce-vea. A abução da codção de cooo é dada pela egue codçõe: e K K A K A z A E..4

22 6 Ode E é o mámo poecal de flação ou evapoação é a caga de peão a upefíce do olo e A e ão epecvamee míma e máma caga de peão pemda o olo. O valo de A é deemado como a codção de equlíbo ee a umdade o olo e a umdade amoféca e é uualmee abuído zeo. O SWMSD ogal aume que qualque eceo de água a upefíce é medaamee emovdo. A oa de codção amoféca baea-e o egue algomo geéco em fução da equaçõe. e.4: Se a equação.4 ão é afea abu-e a codção de cooo de Dcle. Se em qualque empo de mulação o fluo calculado ecede o fluo poecal epecfcado E ee é abuído ao epecvo ó. O emo ulzado pelo SWMSD ogal de fluo poecal efee-e ao fluo mpoo que o cao dee abalo eá a pecpação. De acodo com a Fgua 4.7 quado a capacdade de flação fo mao que a pecpação ea é oalmee abovda pelo olo. A abuçõe da codçõe de cooo ocoem em cada eação da olução da ão leadade podedo faze com que ao logo da covegêca uméca aa a oca de codção de cooo. o modelo acoplado o edo da eação upefíce-olo é feo de foma que a codçõe de euma e Dcle eam abuída paa o ema ubeâeo pela oa de acoplameo baeada a oa de codção amoféca do SWMSD ogal deca acma. Em la gea a caga pova geada ou peee a upefíce ão abuída o cooo do SWMSD modfcado eado o poceo eavo e edo como epoa o cálculo da flação que é paado ao pogama upefcal o íco do evalo de empo coepodee como apeeado a Fgua 4.. A pecpação é abuída ao ema ubeâeo o ó ode ão á caga de peão pova edo paada paa o ema de ecoameo upefcal aavé do cálculo da pecpação líquda quado a capacdade de flação é feo à pecpação.