14. Correntes Alternadas (baseado no Halliday, 4 a edição)

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1 14. orrentes Alternadas (baseado no Hallday, 4 a edção) Por que estudar orrentes Alternadas?.: a maora das casas, comérco, etc., são provdas de fação elétrca que conduz corrente alternada (A ou A em nglês): 1) corrente que vara senodalmente com o tempo trocando de sentdo mutas vezes (ou cclos) por segundo (no caso do Brasl 10/s). ) vmos que a velocdade escalar de derva dos elétrons de condução é cerca de m/s, já o tempo para nverter a corrente e de 1/10 s, o que dá x v t 410 m / s s 3,310 m ou x 310 m (na metade de um cclo) 10 3) no caso do cobre esta dstânca não é maor do que 10 átomos da rede crstalna. omo, então, o elétron podera vr a alcançar qualquer parte do fo?.: os elétrons de condução não têm que alcançar qualquer parte do fo 1) quando dzemos que a corrente é gual a 1 A, sgnfca que os portadores de carga atravessam qualquer plano ortogonal ao fo a uma taxa de 1 por segundo. ) a velocdade escalar com que os portadores de carga atravessam esse plano não entra dretamente no cálculo 1 A pode corresponder a mutos portadores de carga movendo lentamente ou a poucos movendo rapdamente. [rstóvão M ncosk] p. 001

2 3) o snal, que obrga os elétrons a nverterem seus sentdos de movmento (fem alternada fornecda pelo gerador) propaga-se no fo a uma velocdade próxma à da luz (ou seja, na velocdade da luz para o materal fo) 4) todos os elétrons recebem o snal da fem que os obrga a mudar de sentdo, pratcamente ao mesmo tempo. 5) para mutos dspostvos (lâmpadas, torraderas, etc.) não mporta o sentdo do movmento dos elétrons e sm que estejam em movmento e transferndo energa ao dspostvo. a medda que a corrente se alterna, o campo magnétco que crcunda o condutor também se alterna. Este fato torna possível a utlzação da e da ndução de Faraday Ex.: transformadores, etc. A corrente alternada é mas adequada para o uso em máqunas rotatvas (geradores e motores) do que a corrente contínua ( ou D em nglês) Ex.: grando uma bobna num campo magnétco externo, a fem nduzda na bobna é alternada. 6) as fems alternadas e as correntes alternadas geradas por elas são fundamentas, não só para a geração e dstrbução de energa, mas para o rádo, televsão, comuncação por satélte, computadores, etc. [rstóvão M ncosk] p. 00

3 Plano de Estudo para Este apítulo mos m sen t aplcada no crcuto ~ fazendo surgr sen ( t ). Notação: as letras mnúsculas (, v, etc.) representam valores nstantâneos de grandezas varáves no tempo e as letras maúsculas (,, etc.) representam as ampltudes correspondentes. Nota: exatamente como nos crcutos de corrente contínua, a corrente alternada,, num dado nstante, tem o mesmo valor em todas as partes do crcuto (de malha únca). E a frequênca angular da corrente e do gerador são necessaramente as mesmas. As característcas báscas da fem alternada: m ampltude da fem frequênca angular da fem [rstóvão M ncosk] p. 003

4 As característcas báscas do crcuto: esstênca apactânca ndutânca As característcas báscas da corrente alternada: ampltude da corrente constante de fase Objetvo Dados Para o gerador m e Para o crcuto, e Determnar e Obs.: em vez de determnarmos e resolvendo a equação dferencal, usaremos um método geométrco: o método dos fasores Três rcutos Smples Tratando com crcutos smples onde cada um contém um gerador de corrente alternada e somente um dos elementos ou ou. [rstóvão M ncosk] p. 004

5 Um rcuto esstvo () Usando o crcuto da p ~ v um únco elemento resstvo um gerador de corrente com a fem alternada v ampltude da d. d. p. através do resstor (rcuto 1) De acordo com a e das Malhas (egra das Malhas de Krchhoff) - v = 0 então v = = m sen t como = m (chamada usualmente de voltagem ) v sen t Usando a defnção de resstênca v sent sent [rstóvão M ncosk] p. 005

6 v Então temos v e (crcuto com carga puramente resstva) em fase (constante de fase = 0 0 ). emos também que as ampltudes e estão relaconadas (para resstor crcuto resstvo) Nota: embora esta relação tenha sdo obtda para o (crcuto 1), ela se aplca a qualquer resstor em qualquer crcuto de corrente alternada, não mporta se o resstor está presente fscamente ou se é um efeto global resstvo, ou o quão complexo seja este crcuto. 0 v t v e estão em fase para todo tempo t. nstantes representados no dagrama de fasores Método dos Fasores: método geométrco para análse de crcutos. Fasor: são vetores grantes, que se movmentam com a frequênca angular no sentdo ant-horáro. 1) O comprmento do fasor é proporconal à ampltude da grandeza alternada envolvda ( ou ). ) A projeção de um fasor sobre o exo vertcal é proporconal ao valor nstantâneo da grandeza alternada (v e ). [rstóvão M ncosk] p. 006

7 rotação dos fasores na taxa v t da representação fasoral, temos: v = sen t = sen t Os fasores (na representação fasoral) e concdem em fase Um rcuto apactvo () Usando o crcuto da p ~ v um únco elemento capactvo um gerador de corrente com a fem alternada v ampltude da d. d. p. através do resstor (rcuto ) De acordo com a e das Malhas (egra das Malhas de Krchhoff) - v = 0 [rstóvão M ncosk] p. 007

8 então v = = m sen t como = m v sen t Da defnção de capactânca q = v então q = sen t como não estamos nteressados na carga e sm na corrente elétrca d q cos t dt Se defnmos Undade ( ): def. 1 (reatânca capactva) a) [ ] = 1 / [] [] apactânca: podemos usar = e [] = [ ] / [] s/ Freq. Angular: [] 1/s [ ] no S.. ohm() mesma undade de resstênca [rstóvão M ncosk] p. 008

9 Fazendo cos t = sen (t ), e voltando em sen ( t 90 0 ) sen ( t 90 0 ) Quando comparamos com: = sen(t - ), temos = (capactor crcuto capactvo) Nota: embora tenhamos obtdo para o crcuto capactvo, ela se aplca a qualquer capactor, estando este presente ou não, em qualquer crcuto de corrente alternada. v 0 nstantes representados no dagrama de fasores v t v e estão defasados de 90 0 (um quarto de cclo) para todo tempo t. está avançado com relação a v (os máxmos de ocorrem antes de v ) [rstóvão M ncosk] p. 009

10 rotação dos fasores na taxa v t Nesta representação geométrca vemos que está sempre adantado de por um ângulo de 90 0 v = sen t = sen(t ) Um rcuto ndutvo () Usando o crcuto da p ~ v um gerador de corrente com a fem alternada crcuto contendo um elemento ndutvo v ampltude da d. d. p. através do resstor De acordo com a e das Malhas (egra das Malhas de Krchhoff) - v = 0 [rstóvão M ncosk] p. 010

11 então v = = m sen t como = m v sen t Da defnção de ndutânca d v dt d então sen t dt e d sen t dt fnalmente Se defnmos t cos def. (reatânca ndutva) Fazendo cos t = sen (t 90 0 ), e voltando em sen ( t 90 0 ) sen ( t 90 0 ) [rstóvão M ncosk] p. 011

12 Quando comparamos com: = sen(t - ), temos = (ndutor crcuto ndutvo) A reatânca ndutva: 1) depende da frequênca angular de operação; ) a undade S.. de é o ohm () a mesma que e ; 3) a constante de fase para este caso é = Nota: embora tenhamos obtdo as equações para o crcuto ndutvo, ela se aplca a um ndutor em qualquer crcuto de corrente alternada, estando o ndutor presente ou não, não mportando quão complexo seja. v 0 v t seja por comparação das equações ou no gráfco, vemos que v e estão defasados de 90 0 (um quarto de cclo) para todo tempo t. nstantes representados no dagrama de fasores está atrasada com relação a v (os máxmos de v ocorrem antes de ) [rstóvão M ncosk] p. 01

13 rotação dos fasores na taxa v t O dagrama fasoral também deve conter a nformação do atraso de está em relação a por um ângulo de 90 0 v = sen t = sen(t 90 0 ) Tabela de Fases e Ampltudes Elemento de crcuto esstor apactor ndutor Símbolo mpedânca Fase da orrente Ângulo de fase em fase com v avançada para v atrasada para v elação das ampltudes = = = O rcuto em Sére Podemos agora resolver o problema ncal do crcuto (p. 003) 1) a fem alternada aplcada é m sen t (fem aplcada) (1) [rstóvão M ncosk] p. 013

14 e a corrente alternada resultante é sen ( t ) (corrente alternada) () ) para determnarmos e (problema ncal), fazemos a) e das Malhas v v v (vale para todo tempo t) (3) b) dagrama de fasores t orrente alternada, num nstante arbtráro t. O valor máxmo e a fase (t ). alor nstantâneo de. Todos mostrados no mesmo dagrama de fasor. Nota: apesar de as d. d. p. estarem varando no tempo com fases dferentes, a corrente é comum a todos os elementos num crcuto em sére, exste uma únca corrente elétrca. [rstóvão M ncosk] p. 014

15 v De acordo com a Tabela de Fases e Ampltudes: v v desenhamos os três fasores representando as três d. d. p. através dos três elementos do crcuto no nstante consderado. Nota: a soma algébrca das projeções dos fasores, e sobre o exo vertcal é exatamente gual ao lado dreto da equação (3). Esta soma de projeções deve ser gual ao lado esquerdo desta equação projeção do fasor m (ou seja, ) sobre a vertcal. c) nas operações vetoras, a soma algébrca das projeções, é gual à projeção, sobre este exo, da soma vetoral destes vetores m dferença de fase entre a fem e a corrente elétrca. t ângulo (sentdo ant-horáro) com que a corrente vara. t t como os fasores e fazem 90 0 com o fasor corrente, o fasor também faz 90 0 com o fasor corrente elétrca. [rstóvão M ncosk] p. 015

16 [rstóvão M ncosk] p orrentes Alternadas apítulo 14 Determnando Do gráfco de fasores ( ) m Usando as ampltudes e ) ( ) ( m ( ) m mpedânca o denomnador desta equação (Z), para uma dada frequênca. ( ) Z e portanto Z m Usando os valores de reatânca e. 1

17 m ( 1 ) (Ampltude da corrente) O valor máxmo de ocorre para 1 1 (ressonânca) já vsta no apítulo anteror O valor de na ressonânca é gual a quando dmnu). m (o máxmo da ressonânca aumenta A onstante de Fase Agora, nos falta encontrar do gráfco de fasores (p. 015) temos tan tan (constante de fase) [rstóvão M ncosk] p. 017

18 ou, como 1 e tan 1 (depende de mas não de m ) Nota: 1) desenhamos o dagrama fasoral supondo > (crcuto mas ndutvo do que capactvo); ) na equação para mpedânca vemos que sto é totalmente equvalente a <, pos ( ), não alterando o cálculo da ampltude; 3) sto já não é verdade para o cálculo de fase, pos ( ) 1. Dos asos mtes m 1 0 ) = = 0, nos dá e tan (o crcuto é puramente capactvo e = 90 0 ). 0 ) = = 0, nos dá m e tan (o crcuto é puramente ndutvo e = 90 0 ). Nota: 1) assm que lgamos o crcuto, surge uma corrente transente, cuja duração depende das constantes de tempo (capactva e ndutva) e [rstóvão M ncosk] p. 018

19 depos deste tempo a corrente entra no estado estaconáro dada por sen ( t ) ) a corrente transente pode danfcar qualquer equpamento se não a consderarmos na elaboração do projeto de um crcuto. Potênca em rcuto de orrente Alternada No crcuto, a energa fornecda pelo gerador de corrente alternada, fca armazenada no campo elétrco do capactor, no campo magnétco do ndutor e parte é dsspada no resstor (energa térmca Efeto Joule) No estado estaconáro, a energa méda armazenada no capactor e no ndutor permanece constante. Fluxo de energa no crcuto. G [rstóvão M ncosk] p. 019

20 1) Taxa, nstantânea, em que a energa é transformada no resstor P [ sen( t )] sen ( t ) sen 0 como nosso nteresse está na taxa méda que a energa é transferda para o resstor valor médo sobre um período 3 usando a méda sobre um período +1 1/ 0 sen alor Médo Quadrátco: o termo corrente. 0 1 P méd. P méd. 3 (sen ) 1/ é denomnado de valor médo quadrátco da rms (Potênca méda) [rstóvão M ncosk] p. 00

21 O termo rms é aproprado pos: 1 0 ) pegamos o quadrado da corrente nstantânea 0 ) calculamos o seu valor médo 3 0 ) extraímos a sua raz quadrada sen ( t ) rms Nota: 1) como a Pméd. rms é semelhante a P para o caso de corrente contínua, temos que a taxa de dsspação méda (usando os valores médos quadrátcos para as grandezas alternadas) para crcutos de corrente alternada é a mesma que para crcutos de corrente contínua. ) os nstrumentos para correntes alternadas (voltímetros, amperímetros, etc.) são usualmente calbrados para lerem rms, rms e rms. Ex.: se usamos um voltímetro para medr a tensão (d. d. p.) numa tomada doméstca e ele ndcar 10 este será o valor médo quadrátco. O valor máxmo da d. d. p. é [rstóvão M ncosk] p. 01

22 omo 3) a razão para o uso de valores médos quadrátcos em crcutos de corrente alternada é que nos permte aplcar as relações famlares de potênca para crcutos de.. m rms, rms e rms. m Z e a constante de proporconaldade é rms rms Z rms ( ) Da mesma forma, podemos modfcar a potênca, para rms Pméd rms rms rmsrms Z Z como cos Z Z m P cos (Potênca Méda) méd rms rms Fator de Potênca: cos é chamado de fator de potênca. omo Z cos = cos(), o fator de potênca ndepende da fase ser postva ou negatva. 1 [rstóvão M ncosk] p. 0

23 Para que a taxa de energa, num crcuto, seja máxma, devemos manter o fator de potênca (cos ) próxmo de um (cos 1) sto equvale a manter 0 0 (constante de fase 0 0 ). Ex.: se o crcuto é altamente ndutvo, podemos torná-lo menos ndutvo adconando uma capactânca no crcuto reduzndo a constante de fase e aumentando o fator de potênca (empresas dstrbudoras de energa elétrca colocam capactores por toda a lnha de transmssão). Potênca Méda Transmtda por um Gerador em Três asos Especas Elemento de crcuto mpedânca Z onstante de fase Fator de Potênca cos Potênca Méda P méd. Zero Zero Zero rms rms Zero Zero O Transformador Exgêncas para a Transmssão de Energa [rstóvão M ncosk] p. 03

24 Para crcutos de corrente alternada a taxa méda de dsspação da energa numa carga resstva ( P cos ). méd rms rms Nota: abandonaremos o subscrto rms que dentfca o valor médo quadrátco de uma grandeza. Na prátca, nós admtmos que as correntes e voltagens, varáves no tempo, sejam descrtas pelos seus valores médos quadrátcos que são os valores ldos pelos nstrumentos P méd. Obs.: 1) para uma dada exgênca de potênca temos uma faxa de escolha (corrente relatvamente elevada,, e uma d. d. p. relatvamente baxa,, ou vceversa) desde que o produto seja. ) para sstemas de dstrbução de energa elétrca é desejável por questões de segurança e de efcênca, ldarmos com voltagens relatvamente baxas tanto na extremdade geradora (usna de energa elétrca) como na extremdade receptora (casa ou fábrca) Ex.: nnguém projetara um trenznho de crança ou uma torradera para operar a 10 k. Entretanto, na transmssão de energa elétrca desde a geradora até o consumdor, deseja-se ter a corrente mas baxa possível (maor d. d. p. possível), para reduzr ao mínmo as perdas (chama-se de perdas ôhmcas). [rstóvão M ncosk] p. 04

25 Ex.: uma lnha de 735 k é usada para transmtr a energa elétrca de uma usna até uma cdade a 1000 km de dstânca. Suponhamos que a corrente seja de 500 A e o fator de potênca próxmo a undade (1) 1) P méd = = (7, )(500 A) = 367,5 MW P méd 368MW a lnha tem resstênca por qulômetro 0,0 /m, com resstênca total de 0 P méd = = (500 A) (0 ) P méd 55, 0MW que corresponde a 15% (14,9660%) da taxa fornecda. ) O que acontecera se dobrássemos a corrente e reduzíssemos a voltagem à metade? 735 k a potênca méda produzda não mudara P méd ( 500A) 368 MW a potênca méda dsspada fcara P méd = = (1000 A) (0 ) P méd 0 MW que é quase 60% (59,8639%) da taxa fornecda. [rstóvão M ncosk] p. 05

26 egra Geral para Transmssão de Energa: transmtr na mas alta voltagem possível e na corrente mas baxa possível. O Transformador deal A regra acma, conduz a uma ncompatbldade a exgênca da transmssão efcente em alta voltagem e a necessdade de produção e consumo em baxa voltagem (por motvos de segurança). Então, precsamos de um dspostvo aumentar a d. d. p. para transmssão e dmnur a d. d. p. para o uso, mantendo o produto corrente voltagem constante. Tal dspostvo é chamado de Transformador. B S Transformador deal ~ p s Opera de acordo com a e da ndução de Faraday. N p N s Não possu um correspondente, smples, de corrente contínua. Prmáro Secundáro [rstóvão M ncosk] p. 06

27 Transformador deal: consste de duas bobnas, com número dferente de espras, enroladas em torno de um núcleo de ferro (as bobnas estão soladas do núcleo). Onde a resstênca dos enrolamentos prmáro e secundáro, bem como as perdas por hsterese no núcleo de ferro, sejam desprezíves. O enrolamento prmáro (N p espras) está lgado a um gerador de corrente alternada onde m sent O enrolamento secundáro (N s espras) está lgado a uma carga resstva é um crcuto aberto para a chave S deslgada. have S Deslgada amos supor: transformador deal. Ex.: transformadores de alta capacdade (bem projetados) podem ter perdas de energa de apenas 1%. Para as condções dadas o enrolamento prmáro é uma ndutânca pura e o crcuto é um crcuto ndutvo puro: 1) a corrente prmára (muto pequena) chamada de orrente de Magnetzação, mag., está atrasada em 90 0 em relação à d. d. p. prmára ( p ); o fator de potênca (= cos ) é nulo e portanto, nenhuma potênca é transferda do gerador para o transformador. [rstóvão M ncosk] p. 07

28 ) De acordo com a e da ndução de Faraday a fem nduzda por espra ( esp ) é a mesma nos enrolamento prmáro e secundáro A voltagem em cada crcuto é gual à fem nduzda no crcuto. 3) Supondo que os símbolos representem valores médos quadrátcos d B p s N s espra s p (Transformação de oltagem) dt N N N p 4) Para N s > N p transformador elevador ( s > p ) Para N s < N p transformador abaxador ( s < p ) s Nota: como o crcuto secundáro está aberto (S aberta) nenhuma potênca será transmtda através do transformador. p have S Fechada Enrolamento secundáro lgado à carga resstva. Obs.: num caso mas geral a carga () também contera elementos ndutvos e capactvos vamos nos restrngr somente a elementos resstvos (). [rstóvão M ncosk] p. 08

29 Quando fechamos S: 1) uma corrente alternada s aparece no crcuto secundáro, com uma taxa de s dsspação de s ( ) na carga resstva (). ) Esta corrente nduz seu própro fluxo magnétco alternado no núcleo de ferro (de acordo com a e da ndução de Faraday) este fluxo nduz uma fem em oposção no enrolamento prmáro. 3) A voltagem p do prmáro não pode mudar em resposta a essa fem em oposção (temos que ter sempre a fem suprda pelo gerador) o fechamento da chave S não pode mudar este fato. 4) Para manter p (o gerador produz, agora, uma corrente p no crcuto prmáro, de ntensdade e constante de fase exatamente guas e necessáras para cancelar a fem em oposção, gerada no enrolamento prmáro devdo a s ). Obs.: em vez de contnuarmos com a análse (complcada) acma, é mas convenente verfcarmos o que ocorre globalmente (medante o prncípo da conservação da energa). Para um transformador deal com cos 1 e fazendo = p em: 1 0 ) Pméd p cos p p (taxa que o transformador transfere energa à bobna prmára). [rstóvão M ncosk] p. 09

30 P 0 ) (taxa em que a energa é transferda da bobna prmára para a secundára). Ns Usando o prncípo da conservação da energa p p s s, e com s p N p N p s p (Transformação da orrente) N méd s s 3 0 s Ns ) omo s e s p, então N comparando com p p eq p eq N N p s s p s ( N p N s ) (Transformação da esstênca) Nota: a transformação da resstênca nos dz que, do ponto de vsta do crcuto prmáro, a resstênca equvalente da carga não é smplesmente. asamento de mpedâncas A equação acma (Transformação da esstênca) sugere outra função para o transformador. [rstóvão M ncosk] p. 030

31 Sabemos que: Da conservação da energa W W ou ( ) ( ) batera resstor batera para haver transferênca máxma de energa de um dspostvo de fem para carga resstva, a resstênca do dspostvo e a resstênca da carga devem ser guas. eq resstor uma A mesma regra é válda para crcutos de corrente alternada exceto que a mpedânca (em vez da resstênca) do gerador deve ser gual à carga. Ex.: 1) quando lgamos um alto-falante a um amplfcador, esta condção fca longe de ser obtda amplfcador com alta mpedânca e o alto-falante com baxa mpedânca. ) Podemos tornar guas as mpedâncas dos dos dspostvos (ctados acma), acoplando-os por meo de um transformador com uma adequada razão N p /N s. [rstóvão M ncosk] p. 031