Análise de circuitos elétricos Prof. Eng Luiz Antonio Vargas Pinto 2008

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1 Análse de crcutos elétrcos Pro. Eng uz Antono argas Pnto 008 Geração de orrente alternada... 3 Fluxo magnétco... 3 Freqüênca de um snal senodal... 5 e de Ohm para crcutos de corrente alternada... 7 rcuto sére... 8 rcuto sére real... 9 rcuto Paralelo... 0 rcuto sére... rcuto paralelo... Potênca em orrente Alternada... 3 Fator de potênca... 4 Freqüênca de ressonânca em crcuto sére... 5 Freqüênca de ressonânca em crcuto paralelo... 7 Fator de qualdade e banda passante... 9 Geração de Trásco... 9 Deasagem... 0 gação estrela... gação estrela em trásco equlbrado... Dagrama de asores... gação Trângulo... 3 onversão estrela - trângulo... 3 Pro. Eng uz Antono argas Pnto

2 Pro. Eng uz Antono argas Pnto

3 Geração de orrente alternada F EM B e I F E M / Fluxo magnétco Para medrmos a ntensdade de luxo magnétca azemos: φ BA os α onde [φ] Wb/m α ângulo entre n e B Pro. Eng uz Antono argas Pnto 3

4 Fazendo varar o luxo de corrente elétrca na prmera espra varamos o luxo de campo magnétco o que orçosamente altera a corrente nduzda na segunda espra. E temos a le de enz: onsdere a espra com as seguntes dmensões: Sabendo que: φ BA os α dφ -BA Sen α dα dt que é o campo de uma espra. Mas como temos n espras então: ξ n B A ω Sen α Pro. Eng uz Antono argas Pnto 4

5 cujo máxmo ocorre quando α 90º e que como podemos ver claramente ocorre justamente quando a bobna esta paralela ao campo magnétco. E como o campo B é unorme, então: ξ k Sen α e assm: e como é constante podemos denr α π ω t Freqüênca de um snal senodal ejamos o segunte esquema onde temos um condutor perpendcular ao campo magnétco grando no sentdo ant-horáro. Se o condutor segur grando por t segundos, ao nal desse tempo terá realzado n revoluções por t segundos, ou anda, m cclos por segundo, que é uma notação muto mas comum. E como o movmento é crcular, então a velocdade será angular e medda em Pro. Eng uz Antono argas Pnto 5

6 radanos/segundo ou smplesmente ad/s, expresso por ω.π.. amos tomar um exemplo prátco de um gerador com 4 pólos conorme a gura abaxo: onsderando que este condutor percorra o espaço entre um norte e um sul, sto sgnca que este percorreu 360º elétrcos (ndo de a 5, por exemplo). ompleta-se um cclo desta natureza cada vez que o condutor percorre um par de pólos. Isto sgnca que a reqüênca em cclos/segundo eqüvale portanto ao número de pares de pólos atravessados por segundo, ou: PN 0 Onde P número de pólos N revoluções/mnuto reqüênca em Hz Exemplo : Um alternador de corrente, aconado por uma máquna a uma reqüênca de 60 cclos/segundo tem velocdade de 0 rpm. Quantos pólos tem este alternador? P (0 x 60) / 0 0 pólos Exemplo : Um alternador, a 600 rpm com 0 pólos, gra com qual reqüênca? (600 x 0) / 0 50 Hz Exemplo 3: Um alternador tem 6 pólos e gra a uma reqüênca de 5 Hz. Qual o número de revoluções/mnuto? (0 x 5) / rpm I MED I MA I I MA Sen ωt π I EF I MA Pro. Eng uz Antono argas Pnto 6

7 e de Ohm para crcutos de corrente alternada onsdere o caso de um ndutor cuja resstênca própra r e cuja ndutânca, conorme o esquema segunte: A passagem de uma corrente elétrca através dessa bobna, gera um campo magnétco dado pela equação B. Agora, se a corrente é varável então o luxo também o é. Por essa razão ormase no crcuto uma EM nduzda dada pela equação ao lado. d dt No caso de um crcuto com resstênca muto elevada e ndutânca desprezível a representação segundo a norma da ABNT, sera: O crcuto nessa condção é dto puramente resstvo. Na prátca quase todos os condutores percorrdos por uma corrente produzem campo magnétco e por essa razão, um crcuto puramente resstvo é apenas um caso teórco. No caso de um crcuto cuja ndutânca é muto superor a resstênca ôhmca, podemos consderar como puramente ndutvo, sendo representado por: Temos como prncpal exemplo deste caso, o enrolamento de transormador e das máqunas elétrcas em geral, que pelo ato de serem enroladas sobre erro, possuem eetos ndutvos muto ntensos e resstênca elétrca desprezível. Uma vez dada a expressão I(t) I max Sen ( ω t ) que colocada na expressão da em nduzda da bobna, resulta: di( t) d[ I maxsen( ω. t) ] ω. I max. os( ω. t) ω.. I max. Sen( ω. t 90º ) dt dt sto é, a queda de tensão exstente nos extremos do crcuto é alternada e senodal, com valor máxmo gual a E MA ω I MA deasada em relação a corrente de 90º (adantada). Para valores ecazes, podemos consderar que E EF ω I e ndcando o produto ω pode-se escrever E EF I o qual representa o comportamento do ndutor na le de Ohm para crcutos de corrente alternada. Denomnamos anda como eatânca Indutva, expressa em Ω, tal que: π Pro. Eng uz Antono argas Pnto 7

8 rcuto sére onsdere o crcuto de corrente alternada com um ndutor de resstênca desprezível em sére com um resstor : Pela le de Ohm, a tensão consumda pelo resstor pode ser denda com I e da mesma orma I pos o crcuto é sére e a corrente é a mesma para ambos. Gracamente representamos: De onde vemos claramente que (vetoralmente), o que corresponde dzer que: mas No tocante ao trângulo das mpedâncas podemos provar que: e anda: Tgα osα Senα Pro. Eng uz Antono argas Pnto 8

9 rcuto sére real No caso real, o ndutor é tratado com um ndutor assocado em sére com um resstor que representa a resstênca nterna da bobna. Pela le de Ohm, a tensão consumda pela resstênca própra da bobna pode ser denda como. e da mesma orma. I pos o crcuto é sére e a corrente é a mesma para ambos. Gracamente podemos representar: De onde vemos claramente que: r v r r ) ( ) ( r r ) ( ) ( r r ( r ) ) ( r 9 Pro. Eng uz Antono argas Pnto

10 rcuto Paralelo Dado segunte crcuto: Gracamente podemos representar: De onde podemos ver que: E portanto: ( ) π Mantendo-se as devdas proporções, teremos: 0 Pro. Eng uz Antono argas Pnto

11 E que resulta em: De onde: os ϕ Senϕ e Tanϕ rcuto sére O capactor é um elemento representado por duas placas separadas por uma dstânca d sendo que entre as placas exste um delétrco. A norma ABNT normalmente o representa: E a medda de capactânca é dada em Farad (F) ou seus submúltplos. Matematcamente, podemos denr a relação entre a tensão e a corrente aplcados a um capactor pela órmula: d dt e MA Senϖ t de onde: ( Sen( ϖ t )) d MA ϖmaos MA t dt ( ϖ t ) ϖ Sen( ϖ 90º ) e podemos observar que a corrente está 90º adantada em relação a tensão ou podemos dzer que a tensão esta 90º atrasada em relação a corrente. De qualquer orma, é aclmente vsível que Imax o- corre com Sen(ωt90º), o que sgnca que: MA MAx MA ω MA ω ω MA MA π Tratando-se de um crcuto real, exste a presença do resstor e o crcuto mas elementar sera o crcuto sére: Pro. Eng uz Antono argas Pnto

12 cujo trângulo de tensões é representado por: mas como o trângulo é retângulo, então: mas, e que substtundo resulta em: e mas anda: Tgϕ rcuto paralelo cujo trângulo de correntes é representado por: Pro. Eng uz Antono argas Pnto

13 De onde: anda ou ou e π E portanto: ( ) π Mantendo-se as devdas proporções, teremos: Tan Sen os ϕ ϕ ϕ e Potênca em orrente Alternada amos tomar como exemplo para estudo o crcuto paralelo, mas o que remos demonstrar serve para qualquer um dos crcutos apresentados anterormente: 3 Pro. Eng uz Antono argas Pnto

14 Daí vem que: De onde concluímos que: E daí a desgnação ator de potênca. Isto é, a relação entre as potêncas. Fator de potênca A energa elétrca é destnada a város ns, porém, a classcação de seu aprovetamento é eta em 3 grupos undamentas: a) uz; b)aquecmento; c)força. U: A lumnação doméstca é eta em geral por lâmpadas ncandescentes, as quas consttuem carga ôhmca e trabalham com ator de potênca. Hoje porém, o uso de lâmpadas luorescentes, muto dunddo em meos comercas, consttuem uma sstema de energa que opera com ator de potênca neror a, o que requer cudados maores para evtar um ator de potênca muto baxo. AQUEIMENTO: O aquecmento, excluídos alguns poucos casos de exceção, baseam-se em prncípo da ndução eletromagnétca e em geral também são consttuídos de cargas ôhmcas. FOÇA: omo já é de nosso conhecmento, todos os motores elétrcos de uso ndustral baseam-se em prncípos eletromagnétcos, assm é peretamente acetável que estes gerem ntensos campos magnétcos, consttundo-se em ndutores e portanto com ator de potênca neror a. Por esta mesma razão é compreensível que estes absorvam da lnhas aos quas estão conectados, elevadas potêncas reatvas, as quas não produzem trabalho útl e nclusve são danosas, pos sobrecarregam nutlmente as redes elétrcas, Pro. Eng uz Antono argas Pnto 4

15 reduzndo a capacdade destas e dmnundo seu tempo de vda útl. É claro que quanto menor or o ator de potênca, tanto mas ntenso é o eeto ndesejável comentado acma. As concessonáras de energa, que vendem exclusvamente energa EA, que é aquela mostrada no meddor de energa seram prejudcadas se os consumdores possuíssem equpamentos com característcas ndutvas, típcas de motores e que normalmente possuem baxo ator de potênca. Assm eles obrgam os consumdores melhorarem suas nstalações. Normalmente para esta naldade são utlzados bancos de capactores que possuem a propredade de e- levar o ator de potênca, comum em nstalações de motores. Estes são colocados em paralelo com as cargas. Freqüênca de ressonânca em crcuto sére Quando é estabelecda a gualdade entre a reatânca capactva e a reatânca ndutva, o que determna a gualdade entre as tensões e dzemos que o crcuto está em ressonânca. Esta condção, desejável em város crcutos eletrôncos, pode trazer conseqüêncas desastrosas, com danos para os componentes do crcuto quando não é prevsta, caso típco de redes elétrcas e lnhas de transmssão. É bastante nteressante o estudo da reqüênca de ressonânca pelo ato desta depender do comportamento da mpedânca em unção da varação da reqüênca. Para podermos azer um estudo completo deste enômeno, ncaremos com uma análse do comportamento de e de em unção da varação da reqüênca. A análse deste crcuto resulta em: Sabendo que : π e π Pro. Eng uz Antono argas Pnto 5

16 Podemos denr a mpedânca deste crcuto pela equação: ( ) π π que azendo varar a reqüênca a partr de um valor pequeno, próxmo de zero (0), (note que não é possível o valor zero para o estudo do comportamento de, pos este é ndetermnado) e conclundo quando este tende a nnto, vamos estudar o comportamento da mpedânca. O gráco segunte representa o comportamento de e com a varação de reqüênca. onsderando anda que () e (), pos: O que de ato ocorre com a reqüênca é representado pela composção das duas curvas: E, neste caso, a chamada "reqüênca de ressonânca" ocorre quando, ou: 4 4 π π π π 6 Pro. Eng uz Antono argas Pnto

17 De onde: π e é sucentemente claro que, como a mpedânca é elevada, em ambos os extremos, tanto a esquerda como a dreta da reqüênca de ressonânca, nessa stuação o gerador que almentar essa carga não será muto exgdo, mas o mesmo não podemos armar quando a reqüênca estver próxma de 0 porquê essa proxmdade causa a dmnução da mpedânca e conseqüente aumento da corrente elétrca, ou: Freqüênca de ressonânca em crcuto paralelo De manera análoga ao crcuto sére, temos da mesma orma que quando é estabelecda a gualdade entre a reatânca capactva e a reatânca ndutva, o que determna a gualdade entre as tensões e dzemos que o crcuto está em ressonânca. Este caso merece maor destaque devdo ao ato de que as nstalações em geral são etas com cargas em paralelo e não em sére. onorme o dto anterormente é nteressante o estudo da reqüênca de ressonânca pelo ato da mpedânca depender da varação da reqüênca. Para podermos azer um estudo completo deste enômeno, ncaremos com uma análse do comportamento de e de em unção da varação da reqüênca. eja o crcuto ao lado. Sabendo que e anda são váldos podemos denr a mpedânca deste crcuto partndo do trângulo das correntes (a tensão é a mesma em todas as cargas pos estas estão em paralelo): π π Pro. Eng uz Antono argas Pnto 7

18 e azendo varar a reqüênca a partr de um valor pequeno, próxmo de zero,(note que não é possível o valor zero para o estudo de, porquê este é ndetermnado) concluímos que este tende a nnto. Assm vamos estudar o comportamento da mpedânca de uma orma geral. E também neste caso a reqüênca de ressonânca ocorre quando, ou: π π 4 π 4 π E então: π Que, como podemos ver, é a mesma para o crcuto sére. E é sucentemente claro que, como a mpedânca é mínma em ambos os extremos, tanto a esquerda como a dreta da reqüênca de ressonânca, e nessa stuação o gerador que almentar essa carga é muto exgdo. Já não podemos armar o mesmo quando nos aproxmamos de 0 pos nesse caso teremos um aumento da mpedânca e conseqüente redução da corrente elétrca, ou: Pro. Eng uz Antono argas Pnto 8

19 Fator de qualdade e banda passante Em um crcuto real, é mpossível obtermos um valor exato de reqüênca de ressonânca devdo a varação própra dos elementos de crcuto (expresso em %). Assm tomamos como resultado prátco e útl, uma axa em torno da 0 lmtada por e que correspondem na curva á / que é consderado um valor ótmo para aplcações de crcutos sntonzadores de ádo, T e ltros. Na realdade, este valor corresponde a condção de Potênca méda. E podemos demonstrar que: 0 e que para o crcuto sére: Q π 0 e para o paralelo: 0 π Geração de Trásco Onde os snas gerados estão assm dstrbuídos: Pro. Eng uz Antono argas Pnto 9

20 Em unção da geração de trásco obedecer uma construção ísca das bobnas de 0º, devemos estabelecer uma reerênca para a geração das ases. laro que a tensão gerada tem mesma ntensdade mas é prncpalmente devdo ao ato da construção ísca a derença das deasagens. A denção de seqüênca de ase é a ordem na qual as tensões tem máxma ampltude. É evdente que alternadamente, cada uma das ases atnge o máxmo e somente uma de cada vez, assm, no gráco acma podemos tranqülamente dzer que a seqüênca de ase é AB, sendo A, BY e respectvamente as tensões que vão ao máxmo. Deasagem A deasagem de 0º é causada pela construção dos geradores que tem suas bobnas enroladas separadas por 0º elétrcos que são dependentes da geometra do aparelho. Pro. Eng uz Antono argas Pnto 0

21 gação estrela Observe que neste caso a corrente de lnha gual a corrente de ase. Na lgação estrela, podemos analsar o gerador trásco como sendo três monoáscos com o centro comum (N). gação estrela em trásco equlbrado Onde: A, B B e são chamadas de tensão de ase AB, B e A são chamadas de tensão de lnha E anda: AB A - BB B B B - A - A Genercamente: Pro. Eng uz Antono argas Pnto

22 que aplcando a le dos senos: INHA Sen FASE o o ( 0 ) Sen( 30 ) o o Sen( ) o Sen( 30 ) INHA FASE FASE Sen o o o o ( 60 ) os( 60 ) Sen( 60 ) os( 60 ) o Sen( 30 ) e portanto: INHA 3 FASE INHA o o ( 60 ) os( 60 ) o ( 30 ) 3 Sen FASE FASE FASE Sen 3 Dagrama de asores Pro. Eng uz Antono argas Pnto

23 gação Trângulo E aqu: Tensão de lnha Tensão de ase e: I A I -I 3 I B I -I I I 3 -I e da mesma orma que no caso de lgação estrela, INHA 3 FASE onversão estrela - trângulo Exemplo: Dado um sstema trásco em estrela equlbrado com 0 0ºΩ e um trângulo equlbrado com 4 30ºΩ em 3 os do secundáro de um transormador onde º. alcule as correntes de lnha. Exercíco: Dado um sstema trásco em trângulo equlbrado com 39-40ºΩ em 3 os com 4Ω de mpedânca cada um. Dada a tensão de lnha 480, calcule as correntes de lnha. Pro. Eng uz Antono argas Pnto 3