Distância alcançada pela granada de um obuseiro 155 mm Jonathan Tejeda Quartuccio Instituto de Pesquisas Científicas

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1 Páina1 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan Tejeda Quartuccio Instituto de Pesquisas Científicas Introdução Quando nos deparamos com exercícios envolvendo o lançamento olíquo de ojetos, facilmente otemos as equações de alcance e de trajetória por álera simples. Entretanto, isso é feito sem levar em consideração a resistência do ar. Em aplicações reais, tanto no meio militar quando civil, não podemos desconsiderar o efeito da força de arrasto sore os ojetos. Sendo assim, devemos olhar para o prolema do lançamento olíquo com um pouco mais de cuidado, uscando soluções que envolvam equações diferenciais. O tratamento, como veremos, não é muito complicado, de modo que deveremos recorrer à alumas expansões em série, necessárias para que possamos inorar termos cuja contriuição é mínima ao movimento do projétil em questão. Começaremos nossa análise a partir da força de arrasto, construindo, a partir da seunda lei de Newton, as equações que descrevem o movimento real do projétil no ar. 1. A força de arrasto Aqui irei analisar o movimento de um projétil num meio material, de modo que o arrasto deva ser considerado. A força de arrasto depende da velocidade do projétil, de modo que podemos escrever: F v n (1.1) Vemos, por (1.1), que a força pode ser entendida como uma função da velocidade, F(v), o que permite escrever a lei de Newton como: m dv dt = F(v) dv F(v) = 1 m dt (1.) O expoente n de (1.1) está relacionado com a viscosidade do meio. Se o meio é muito viscoso, então a velocidade do projétil é menor, o que acarreta uma aproximação de n = 1. Se o meio é menos viscoso, então a velocidade do projétil é maior, de modo que podemos usar n =. Para n = 1 dizemos que o reime é viscoso, e para n = temos que o reime é turulento. Consideremos um projétil que é disparado de modo a formar um ânulo θ com a horizontal. A velocidade inicial do projétil é v 0.

2 Páina Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio Fiura 1.1 Um projétil é disparado com velocidade v 0 formando um ânulo θ com a horizontal. Na direita, temos a curva característica do movimento realizado pelo projétil. A força de arrasto sore o projétil é dada por: F arr = r (1.) em que é um parâmetro de arrasto e r dr/dt v, sendo r uma coordenada espacial eneralizada. O sinal neativo de (1.) mostra que a força de arrasto é sempre oposta ao movimento. O movimento do projétil pode ser melhor analisado se separarmos o prolema em duas partes, em que uma analisa as forças aindo sore o projétil somente na direção x, horizontal, e a outra analisa as forças aindo sore y, vertical. Temos então: mx = x (1.4) { my = m y (1.5) Atente que em y existem duas forças aindo, sendo que uma é a força peso do projétil (cujo sinal neativo depende do sistema adotado, de modo que aqui estou considerando y sendo positivo para cima e x sendo positivo para a direita. Como estou analisando o momento em que o projétil é disparado, estou me preocupando somente com o caso em que aponta no sentido oposto ao movimento. A força de arrasto sempre é neativa, independente da direção do movimento). Aora, o melhor a fazer é analisar separadamente as equações (1.4) e (1.5). Comecemos pelo movimento na horizontal.. Equações do movimento horizontal Vamos olhar para a equação (1.4) e escreve-la como: m dv x dt = v 0 x Essa é uma equação diferencial simples de ser resolvida. Dividindo amos lados por m e por v x e multiplicando por dt, otemos: dv x = m dt

3 Páina Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio Na verdade, o que fiz foi arrumar a primeira equação, pois ela é do tipo separável. Interando amos lados da equação acima, teremos: v x v 0 x dv x = t m dt t 0 como e m são constantes, esses termos não entram na interal à direita. Otemos: ln ( v x ) = m (t t 0) Tirando o exponencial de amos os lados e isolando v x : v x = e m (t t 0 ) (.1) Assim, encontramos a equação que descreve o comportamento da velocidade em x. O exponencial neativo mostra como essa velocidade decresce com o tempo (o que é esperado). Podemos partir diretamente de (.1) e escrever v x = dx/dt: dx dt = v 0 x e Isolando o termo dx a aplicando a interação: x dx x 0 t = e t 0 m (t t 0 ) m (t t 0 ) e como é constante, ele não entra na interação. Para oter a solução, o melhor a fazer é usar uma sustituição, de modo que: u = t t 0 (.) du = dt (.) de modo que a derivação de (.) anulou o termo t 0 por se tratar de uma constate. Assim: dt t t 0 x x 0 = e m u du Como fiz uma mudança de variável, t u, os limites de interação à direita tamém tiveram de ser alterados. Assim, para t = t 0 temos u = t 0 t 0 = 0, e para t = t, temos u = t t 0. Como a interal de e m u du é m e m u, temos: x x 0 = v 0 x m 0 [e m (t t 0 ) e m (0) ] onde já apliquei os limites de interação. Como e m (0) = 1, e rearupando os termos, otemos: m x = x 0 + (1 e m (t t 0 ) ) que é a equação que descreve o comportamento do projétil em x. (.4). Equações do movimento vertical Vou rescrever a equação (1.5) como:

4 Páina4 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio Dividindo amos lados por m: m dv y dt = m v y dv y dt = m v y e tomando o sinal neativo à direita da iualdade em evidência: dv y dt = ( + m v y) essa é uma equação separável, de modo que posso rearranjar os termos: dv y + m v y = dt (.1) Para resolver essa equação diferencial, irei sustituir o termo do denominador fazendo: u = + m v y derivando essa equação, e lemrando que é constante: Usando (.) e (.) em (.1): Aora, irei interar amos lados: ou (.) du = m dv y dv y = m du (.) mdu u = dt u m du t u = dt u 0 t 0 m ln ( u u 0 ) = (t t 0 ) ln ( u u 0 ) = m (t t 0) Tomando o exponencial em amos lados e isolando u: u = u 0 e m (t t 0 ) Aora, posso voltar aos valores oriinais de u e u 0 dados por (.): + m v y = ( + m v ) e m (t t 0 ) Fazendo uma álera simples para isolar v y : v y = ( m + v ) e m (t t 0 ) m (.4) e essa é a equação da velocidade em y. Note que para t, o exponencial cai a zero, de modo que otemos: v yt m (.5)

5 Páina5 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio A equação (.5) fornece para nós a velocidade terminal do projétil, que sure quando a força de arrasto se iual, em módulo, à força da ravidade. Vamos olhar para a velocidade vertical de modo mais cuidadoso, recorrendo à série de Taylor. Lemremos que uma função f(x) pode ser expandida em série da seuinte maneira: f(x) = f(x 0) (x x 0! 0 ) 0 + f (x 0 ) (x x 1! 0 ) 1 + f (x 0 ) (x x! 0 ) (.6) + onde f é a primeira derivada, f é a seunda derivada e assim sucessivamente. Assumindo que a função tenha a forma f(x) = e ax, a expansão será: f(x) = 1 ax + a x a 6 x + Assumindo que t 0 = 0, e tomando x = t e a = /m, otemos para (.4): v y = ( m + v ) [1 t + m m t 6m t + ] m (.8) Para facilitar o cálculo, vou considerar que v 0y seja zero. Fazendo a distriutiva em (.8): (.7) v y = m t + 1 m t 1 6 m t + m Cancelando o primeiro termo com o ultimo à direita da iualdade: v y t + 1 m t 1 6 m t + Se não houver arrasto, = 0, a equação (.9) se torna o caso mais simples: Retomemos à equação (.4) fazendo v y = dy/dt. dy dt = (m Separando as variáveis e aplicando a interação: Resolvendo: y dy y 0 y y 0 = ( m = ( m y y 0 = ( m y y 0 = ( m (.9) v y = t (.10) + v ) e m (t t 0 ) m t + v 0y) e m (t t 0 ) dt m t dt t 0 + v 0y ) ( m e m (t t 0 ) + m e m (0) ) m (t t 0) + v ) ( m m e m (t t 0 ) ) m (t t 0) + m v ) (1 e m (t t 0 ) ) m (t t 0) em que tomei os termos com m/ em evidência no seundo parêntesis e multipliquei pelos termos do primeiro parêntesis da seunda para a terceira linha (se tiver dúvidas, faça a distriutiva entre os dois parênteses e tire em evidência os termos com m/). Isolando y: y = y 0 + ( m + m v ) (1 e m (t t 0 ) ) m (t t 0) t 0 (.11)

6 Páina6 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio 4. A Equação da Trajetória Para oter a equação da trajetória irei considerar t 0 = 0, x 0 = 0 e y 0 = 0. Eu posso fazer os cálculos para quaisquer valores de t 0, x 0 e y 0, mas optei por zero para não ter que escrevelos nas equações. A equação (.4) se torna: m x = (1 e m t ) Vou isolar o tempo t nessa equação: ou 1 e m t = x m e m t = e m t = 1 x m 1 x mv 0 x (4.1) Tirando o loaritmo natural em amos lados e isolando t: t = m ln (1 x (4.) ) mv 0 x O termo dentro dos parêntesis de (4.1) sure tanto em (.4) quanto em (.11). Acima, vimos que isolando esse termo para x otivemos: 1 e m t = x m Usando esse valor em (.11), e lemrando de tomar y 0 e t 0 iuais a zero: Usando (4.) na equação acima: y = ( m + m v ) ( x ) m mv 0 t x y = ( m + v ) x m t y = ( m + v ) x m [ m ln (1 x mv 0 x Fazendo a distriutiva, encontramos, finalmente, a equação da trajetória: y = ( m + v ) x + m x ln (1 ) m Vamos tomar o termo do loaritmo e sustitui-lo: β = x m )] (4.) o que nos fornecerá ln(1 β). A razão disso é que podemos expandir esse termo em série, de modo que:

7 Páina7 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio Assim, reescrevemos (4.) como: ln(1 β) = β β β y = ( m + v ) x + m x ( 1 x m m v 1 x 0x m v ) 0x y mx + v x mx x v 0 v x 0x v 0x v x 0x mv 0x y = v x x v x 0x mv (4.4) 0x A equação (4.4) nos fornece a trajetória do projétil de modo mais completo. Se = 0, então (4.4) se resume à equação de uma paráola: y = v x x (4.5) Fiura 4.1 A trajetória de um projétil para vários valores de. Para = 0, podemos oter o alcance, x, do projétil fazendo y = 0 em (4.5): 0 = v x x x = v (4.6) Entretanto, a equação (4.6) descreve o movimento ideal do projétil, e não o caso real. Para o caso real, não podemos desconsiderar a resistência do ar.

8 Páina8 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio 5. Alcance de um projétil com resistência do ar Tomemos a equação (.4) para x 0 = 0, t 0 = 0 e usando /m = k. Assim: x = v 0 x k (1 e kt ) Para o eixo y, tomando tamém t 0 = 0 e y 0 = 0 reescrevemos: y = t k + kv + k (1 e kt ) Como queremos o alcance, vamos tomar y = 0 em (5.) e isolar t: t = kv + (1 e kt ) k Essa é uma equação transcendental, de modo que sua resolução é feita de modo numérico ou então recorrendo-se ao método das perturações. Vamos usar esse método. Podemos reescrever (.6) para uma função e x como: Em nosso caso, e x = e kt, ou: e x = xn n! n=0 = 1 + x + x! + x! + e kt = 1 kt + k t k t 6 + k4 t 4 (5.1) (5.) (5.) (5.4) 4 (5.5) No caso prático, k 1, de modo que todo termo acima de k 4 será muito pequeno. Assim, (5.) se torna, já desconsiderando k k 4 : t = kv + (1 1 kt + k t k k t 6 ) t = kv + ( kt + k t k k t 6 ) kt = k v 0y t kt + k v 0y t 0 = k v 0y t k v 0y t k v 0y t = k v 0y t Multiplicando amos lados de (5.6) por /k t: + k4 v 0y t 6 k t k4 v 0y t 6 k t + k4 v 0y t 6 v 0y = kv t t + k v 0y t + k t + k t 6 + k t 6 + kt v 0y = (kv 0y + ) t + k (kv + ) t k t 6 (5.6) v 0y = (kv 0y + ) [ t + kt ]

9 Páina9 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio v kv 0y + t = = t + kt v kv 0y + + kt (5.7) Devemos resolver essa equação e faremos isso tomando em evidência no denominador do primeiro termo à direita: t = v 0y ( kv + 1) + kt t = v (1 + kv 1 ) + kt O termo entre parêntesis pode ser expandido em série de Taylor da seuinte forma: o que fornece: (1 + x) n = 1 + nx + n(n 1) x +! (1 + kv 1 ) = 1 kv n(n 1)(n ) x +! + kv 0y usando esse resultado em (5.8), e inorando termos acima de k : t = v (1 kv + k v 0y ) + kt (5.8) t = v t = v kv + (t v + k v 0y + kt Como k é pequeno, vamos desconsiderar todos os valores para k k : t = v Note que se k = 0, a equação (5.10) fornece o caso ideal: ) k + v k (5.9) + (t v ) k (5.10) t v (5.11) que fornece o tempo em que o projétil leva a alcançar a altura máxima. Usando esse valor aproximado do lado direito de (5.10), otemos: t v + (4v 0y v ) k t v 0y + 4kv 0y kv

10 Páina10 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio t v t v [1 + kv kv ] A equação (5.1) fornece o tempo de voo da partícula (ou projétil). Aora, usaremos (5.5) em (5.1): e desconsiderando os valores para k k : Usando t dado por (5.1): [1 kv ] (5.1) x = v 0 x k ( kt + k t k t 6 + k4 t 4 4 ) x = (t + kt ) (5.1) x = v 0 x v 0y (1 4kv ) (5.14) Note que o termo fora dos parêntesis do lado direito de (5.14) é o mesmo de (4.6). Assim, a equação (5.14) representa a distância x multiplicada por um fator constante. Por conta disso, vamos chamar o x de (5.14) de x : e usando o valor de (4.6): x = v 0 x v 0y (1 4kv ) x = x (1 4kv ) (5.14) E essa é a equação que fornece a distância real alcançada pelo projétil. 6. Exemplo: Ouseiro 155 mm Comecei a me peruntar sore o alcance de um projétil quando estava no exército rasileiro. Servi no 1 G.A.C, na cidade de Jundiaí-SP, onde fui do setor de toporafia. Meu traalho era determinar, através de trionometria, a distância até o inimio. Os valores otidos pelos meus companheiros e por mim eram passados ao setor de ajuste, ou central de tiro. Com a distância e a direção do inimio conhecida, a linha de foo poderia realizar os disparos com o ouseiro, um canhão com cerca de newtons de peso. Lemro-me do dia em que tomei ciência da distância alcançada pelo projétil do ouseiro. O projétil consiste de uma ranada que pesa cerca de 4,9 K e, quando disparada por um ânulo de 45, com uma velocidade 564 m/s, atine uma distância de quase 15 quilômetros. O ânulo de 45 é o valor necessário para que o alcance seja máximo, e isso pode ser constatado diretamente da equação do alcance.

11 Páina11 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio Fiura 6.1 O ouseiro 155 mm, usado pelos Grupos de Artilharia de Campanha (G.A.C) Durante uma confraternização no quartel, vi um anner em frente à um ouseiro fornecendo os dados sore esse. Além da massa da ranada, o que me chamou a atenção foi a distância. Na época eu ainda me preparava para entrar na universidade, e meu conhecimento de física era muito mais rarefeito do que é hoje. Eu conhecia a equação (4.6) dos tempos de coléio, e decidi utilizá-la para me certificar de que as informações contidas no anner estavam corretas. Para meu desespero, ao calcular a distância do projétil encontrei um valor iual a 1 quilômetros, mais que o doro do valor real! De fato, eu não havia considerado a resistência do ar e desconhecia o método para calcular a distância de modo correto. A taela a seuir mostra resultados da distância ideal x, dada por (4.6), e os resultados da distância real x, dada por (5.14), onde foi usado k = 0,007: Taela 1 aluns valores para distâncias considerando o caso ideal e caso real para vários ânulos diferentes. ânulo ( ) distância x (km) distância x' (km) 10 10, ,4 9,4 0 7,5 1,6 45 1,8 14,6 55 9,9 1,7 70 0,4 9,4 88, 1,01 Conclusão Vemos que quando não levamos em conta a resistência do ar otemos valores para a distância que estão fora da realidade. A taela 1 mostra claramente que, no caso ideal a distância é um pouco mais que o doro do valor real. O valor de k pode ser otido diretamente da experiência, de modo que depende da massa do projétil. Uma vez determinada o valor de k, podemos predizer o alcance para qualquer ânulo. Emora eu tenha feito um tratamento levando em conta somente a resistência do ar, poderíamos oter resultados mais exatos ao inserir

12 Páina1 Distância alcançada pela ranada de um ouseiro 155 mm Jonathan T. Quartuccio a velocidade do vento nas equações iniciais (1.4) e (1.5). Esse método é um pouco mais complicado, pois necessita levar em consideração a mudança exponencial da atmosfera com a altura. Além disso, o cano por onde a ranada escapa do ouseiro contém raias. Isso permite com que a ranada ire no ar, auxiliando em seu deslocamento. Como existe um iro, para tornar o cálculo ainda mais preciso, deveríamos levar em conta o efeito Manus. Entretanto, esses valores não desviam muito daqueles da taela 1, de modo que podemos usá-los como uma oa aproximação.