GILBERTO ORENGO 1 O LANÇAMENTO OBLÍQUO COM RESISTÊNCIA DO AR

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Natália Borja Caires
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1 Publicação Interna: série MESTRADO EM ENSINO DE FÍSICA, Vol. ), pp. 5, Setembro/007 UNIFRA Centro Universitário Franciscano Fone: 55)0-00 FAX: 55)-484 Rua dos Andradas, 4 CEP: Santa Maria/RS/Brasil Área de Ciências Naturais e Tecnolóicas Curso de Mestrado em Ensino de Física c 00 VG Publicações - GNU License ASSUNTO: ) 007 LANÇAMENTO OBLÍQUO COM RESISTÊNCIA DO AR GILBERTO ORENGO oreno@unifra.br O movimento de uma partícula em duas dimensões pode ser observado, como descrito no diarama abaixo, por intermédio de um lançamento oblíquo. Fiura Trajetórias obtidas com as equações 7) e 8). Os componentes do movimento são: cuja solução para a posição é: eixo x : F = ma x = 0, ) eixo y : F = ma y = m, ) eixo x : x = Ut, ) eixo y : y = t + V t, 4) em que, U = v 0x cos θ e V = v 0y sin θ são as velocidades iniciais, respectivamente, na direção x e y, e θ é o ânulo entre a velocidade inicial v 0 e o eixo horizontal. O LANÇAMENTO OBLÍQUO COM RESISTÊNCIA DO AR Para resolvermos o problema de um lançamento oblíquo com resistência do ar, adotaremos as seuintes equações, já estudadas em aula, respectivamente, para movimento horizontal e vertical: eixo x : F = ma = kmv x, 5) eixo y : F = ma = kmv y m, ) em que k representa o coeficiente de resistência ou constante de retardamento. As soluções para as posições são: eixo x : x = U k e kt ), 7) eixo y : y = t k + kv + k e kt ). 8)

Ensino de Física c 00 VG Publicações - GNU License ASSUNTO: ) 007 LANÇAMENTO OBLÍQUO COM RESISTÊNCIA DO AR GILBERTO ORENGO oreno@unifra.

2 UNIFRA Publicação Interna: série MESTRADO EM ENSINO DE FÍSICA, Vol. ), pp. 5, Setembro Na última equação, 8), em acordo com as notas de aula, foi utilizado h = 0 porque a partícula parte do solo. Estas duas equações fornecem um par ordenado x, y), que descreverá a trajetória da partícula, conforme mostra a Fiura, para v 0 = 00, 0 m/s e ânulo 0. Observe que as trajetórias com aluma resistência do ar k = s e k = 0.0 s ) não descrevem uma parábola, como ocorre no lançamento sem resistência do ar. A unidade de k é obtido da expressão e kt. O expoente é adimensional por natureza, portanto, a unidade de k será unidade de tempo. Adotando o Sistema Internacional de unidades SI), o tempo é dado em seundos, então a unidade de k será s. 5,0,0 0,0 8,0 5,0 k k k,0 0,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 Fiura Trajetórias obtidas com as equações 7) e 8), para k = s e k = 0.0 s, e com ) e 4), para k = 0. Para obtermos o alcance, que chamaremos de R, faremos y = 0 e assim teremos o tempo necessário T ) para a partícula retornar ao solo. Assim, da equação 8), obtemos: yt = T ) = 0 = T k + kv + k e kt ), T = kv + e kt ), 9) k que é uma equação transcendental, e a sua solução analítica não pode ser obtida diretamente. Existem aluns métodos para solucionar este problema. Entre eles temos a solução numérica e método das perturbações. Abordaremos o último. O MÉTODO DAS PERTURBAÇÕES Para utilizarmos o método das perturbações, devemos encontrar um parâmetro de expansão ou uma constante de acoplamento, que normalmente é muito pequena. Neste problema, este parâmetro é a constante de retardamento k, para valores pequenos. Desta forma, podemos expandir em séries de Taylor o termo

Observe que as trajetórias com aluma resistência do ar k = 0.005 s e k = 0.0 s ) não descrevem uma parábola, como ocorre no lançamento sem resistência do ar. A unidade de k é obtido da expressão e kt.

3 Lançamento oblíquo com resistência do ar Gilberto Oreno que contém a exponencial, isto é: Aplicada ao nosso caso fornece: e x = n=0 e kt = kt + x n n! = + x + x! + x! + 0) kt )! = kt + k T + k T kt )! + kt )4 4! + + k4 T 4 4 ) Se considerarmos que k <, ou que k 0, então k 0 4, k 0 e k Assim podemos desprezar os termos a partir da ordem k 4, inclusive. A equação 9), para o tempo T, terá a forma: T = kv + k = kv + k kt + k T k T ) kt + k T k T ) kt = k V T + kt k V T 0 = k V T k V T k V T = k V T k V T E multiplicando a Eq. ) por /k T ), teremos: k V T + k4 V T + k T k V T + k4 V T V = kv T T + k V T + k4 V T + k T + kt V = kv + )T + k kv + )T V = kv + ) [ T + kt ] + k T ) V kt = T + kv + T = V kv + + k T ) O primeiro termo, após a iualdade, da equação acima pode ser manipulada como seue. T = V k ) + kv + T, no denominador, foi posto em evidência, V T = ) + k + kv T T = V + kv O termo + kv + k T 4) pode ser expandido em séries de Taylor ou conhecido como expansão binomial), da seuinte forma: + x) n = + nx + nn ) x +! nn )n ) x +!

A equação 9), para o tempo T, terá a forma: T = kv + k = kv + k kt + k T k T ) kt + k T k T ) kt = k V T + kt k V T 0 = k V T k V T k V T = k V T k V T E multiplicando a Eq.

4 4 UNIFRA Publicação Interna: série MESTRADO EM ENSINO DE FÍSICA, Vol. ), pp. 5, Setembro ou + kv = kv + k V que truncada nos termos ao quadrado e substituída na equação 4), fornece: T = V kv + k V ) + k T T = V kv + k V + k T T = V + [ T V ] k + Ok ), 5) em que Ok ) sinifica ordem de k, e abria todos os termos de ordem e superiores, que serão desprezados, resultando em T = V [ T + V ] k. ) Aqui faremos uma pausa na nossa solução, para verificarmos com um simples teste se até o momento avançamos corretamente. Isto é, esta solução até aqui proposta para o tempo de vôo da partícula, deve conter a solução para o caso de k 0, ou seja: T k = 0) = T 0 = V = v 0 sin θ. 7) Assim, se o valor de k for muito pequeno, ou se possível nulo, o resultado reproduz o caso sem resistência do ar. Isto dá um bom indicativo que as aproximações até o momento propostas estão nos levando para uma solução do caso de movimento oblíquo com resistência do ar. Então se usarmos o valor aproximado da equação 7) no lado direito da ), teremos: [ V T = V ) ] V k T = V + 4 V k kv T = V [ + V k kv ] T = V [ kv ], 8) que fornece a expressão para o tempo de vôo da partícula. A seuir, fazendo a mesma aproximação da exponencial, eq. ), na expressão para x, isto é, em ) x = U k e kt ) obtemos para t = T : xt = T ) = R = U T ) kt, 9) e utilizando a eq. 8), temos: sendo UV R = UV = v 0 sin θv 0 cos θ 4kV ), 0) = v 0 sin θ cos θ ) alumas das etapas seuintes fazem parte da lista de avaliação número. = v 0 sinθ) = R,

ordem de k, e abria todos os termos de ordem e superiores, que serão desprezados, resultando em T = V [ T + V ] k.

5 Lançamento oblíquo com resistência do ar Gilberto Oreno 5 que é o alcance sem resistência do ar. Assim temos, finalmente, o alcance R = R 4kV ). ) DÚVIDA: em que intervalos para k este método funciona? A resposta é obtida verificando a expansão realizada na expressão Esta série convere se + kv = + kv = kv + k V kv <, fornecendo o intervalo de valores de k em que o método terá validade, isto é, com: k < V = v 0 sin θ. Nos resta testar a nossa solução para o alcance dada por ). EXERCÍCIO TESTE Na primeira uerra mundial, a Alemanha utilizou canhões de lono alcance, chamados de Bi Bertha, para bombardear Paris. A velocidade inicial dos projéteis era.450 m/s com um ânulo de 55. a) Encontre o alcance sem resistência do ar e, também, b) com resistência cujo coeficiente é k = 0, 00 s. c) Para este valor de coeficiente, o método das perturbações) utilizado funciona? Explique. d) Qual a altura atinida pelo projétil em ambos os casos, com e sem resistência? A solução via ráfico está indicada na Fiura. 8 0,0 0,0 4 0,0 0,0 k k 0,0 0,0 4 0,0 8 0,0 0,0 0,0 0 0,0 4 0,0 Fiura Trajetórias obtidas para k = 0.00 s e k = 0.

A resposta é obtida verificando a expansão realizada na expressão Esta série convere se + kv = + kv = kv + k V kv <, fornecendo o intervalo de valores de k em que o método terá validade, isto é, com:

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