AUTORES: Margarida Carvalho, Hermínia Carvalho e Teresa Ferreira

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1 Cálculo Matricial

2 EDIÇÃO, DISTRIBUIÇÃO E VENDAS SÍLABAS & DESAFIOS - UNIPESSOAL LDA. NIF: info@silabas-e-desafios.pt Sede: Rua Dorília Carmona, n o 4, 4 o Dto Faro Telefone/Fax: Encomendas: encomendar@silabas-e-desafios.pt TÍTULO: Cálculo Matricial AUTORES: Margarida Carvalho, Hermínia Carvalho e Teresa Ferreira 1. a edição, 00 Exemplares Copyright c Outubro 014 Sílabas & Desafios, Unipessoal Lda. ISBN: Depósito Legal: Edição: Sílabas & Desafios, Unipessoal Lda. Pré-impressão, impressão e acabamentos: Gráfica Comercial, Loulé. Capa: Pedro Carvalho Reservados todos os direitos. Reprodução proibida. A utilização de todo, ou partes, do texto, figuras, quadros, ilustrações e gráficos deverá ter a autorização expressa do autor.

3 Cálculo Matricial Margarida Carvalho e Teresa Ferreira são docentes, com a categoria de Professor Adjunto, do Instituto Superior de Contabilidade e Administração de Lisboa (ISCAL) do Instituto Politécnico de Lisboa (IPL). Hermínia Carvalho, recentemente aposentada, foi durante mais de 0 anos docente do ISCAL-IPL.

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5 Aos alunos, Não importa que vás devagar, desde que não pares. Confúcio (551 a.c a.c.)

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7 PREFÁCIO A teoria das matrizes é um dos temas abordados nas unidades curriculares de Álgebra Linear ou Matemática, dependendo da instituição, no primeiro ano dos cursos de Engenharias, Ciências Empresariais e, naturalmente, Matemática. A finalidade deste livro é a de apresentar uma revisão dos conceitos elementares sobre matrizes, numa linguagem matricial que écomumà maioria das instituições de ensino superior, e fornecer aos alunos um conjunto considerável de exercícios resolvidos que lhes permita uma boa consolidação das técnicas de cálculo matricial para as aplicações inerentes a este tema. Nos capítulos 1 e 3, é apresentado um resumo da teoria subjacente ao tema das matrizes, bem como exemplos associados. Nos capítulos e 4, a teoria é concretizada através dos exercícios, detalhadamente resolvidos, para ajudar os alunos na transição entre a teoria e a prática. M. Carvalho, H. Carvalho e T. Ferreira Outubro 014

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9 CONTEÚDO 1 Matrizes e Determinantes Definição e RepresentaçãodeumaMatriz Tipos de Matrizes Operações AlgébricascomMatrizes Transposição e TraçodeumaMatriz Formas de Escada e Condensada Método de EliminaçãodeGauss Método de Gauss-Jordan Dependência Linear / IndependênciaLinear Característica de uma Matriz Inversa de uma Matriz Quadrada Determinante de uma Matriz Quadrada Matriz Adjunta A Decomposição LU Exercícios Resolvidos: Parte Operações com Matrizes Formas de Escada e Condensada Cálculo de Determinantes

10 x CONTEÚDO.4 Dependência/Independência Linear Matriz Inversa Decomposição LU Valores e Vetores Próprios Valores e Vetores Próprios Diagonalização Matrizes Definidas e Semidefinidas Exercícios Resolvidos: Parte Valores e Vetores Próprios Diagonalização Matrizes Definidas e Semidefinidas Bibliografia 195 Índice 197

11 Páginas intencionalmente omitidas.

12 18 Capítulo 1. Matrizes e Determinantes NOTA: Colocaremos sempre as operações a efetuar junto da linha que vai ser substituída. [ ] [ ] 1 1 A = 4 3 l +4l B = l l l 3 3 l l 3 l C = l +l l 3 4 l 1 0 l 3 l D = l l l 3 3 l É importante referir que a forma de escada não éúnica. Podemos obter matrizes em escada diferentes, dependendo das operações efetuadas, tendo estas, no entanto, igual número de pivots (não necessariamente os mesmos pivots). Definição 1.15 (Equivalência de matrizes) Duas matrizes, A e B, dizem-se equivalentes por linhas, se seobtém uma, através da outra, por aplicação de um número finito de operações elementares às linhas. Escreve-se A B.

13 1.5. Formas de Escada e Condensada 19 Trata-se de uma relação de equivalência no conjunto M m n (R), por ser reflexiva (A A), simétrica (B A) e transitiva (A B e B C, então A C). Para reduzir qualquer matriz à sua forma condensada, utiliza-se um método quesebaseianométodo de eliminação de Gauss, introduzindo mais uma fase, chamada ascendente, em que se eliminam também os elementos acima dos pivots. MÉTODO DE GAUSS - JORDAN Depois de colocar a matriz na forma de escada, inicia-se a fase ascendente, fixando o último pivot, que poderá serdaúltima linha ou não, dependendo da existência de linhas nulas na forma de escada. À custa deste, anulamos todos os elementos acima. Prosseguimos para o pivot da linha anterior, anulando os elementos acima e assim sucessivamente até ao pivot da primeira linha. Em seguida dividimos cada linha pelo respetivo pivot, ficando todos iguais a 1. A matriz final obtida, na forma condensada, éúnica, independentemente das operações envolvidas no processo. Exemplo 1.13 Determinemos a forma condensada das matrizes A, B, C e D. 3 1 [ ] A = 0 B = C = D = A = l l l 3 l 0 0 3

14 0 Capítulo 1. Matrizes e Determinantes Fase ascendente 3 l 1 l 3 3 l + l l 1 +3l l l 1 3 l B = [ ] [ l l ] l 1 l [ ] 1 4 l 1 1 l [ ] C = l 4 l l 3 l l 3 + l 3 l 4 + l l l 4 + l l 1 + l 4 l 3 l 4 l 3 l l 1 + l 3 l l l 1 + l

16 1.8. Inversa de uma Matriz Quadrada B = 1 0 l +l l 3 l l 3 +l r(b) =3,queéigual ao número de linhas e também ao número de colunas, pelo que, quer o conjunto das linhas, quer o conjunto das colunas de B, são linearmente independentes. Matriz C: Como a matriz C tem dimensão 3 4, teremos r(c) 3, queé inferior ao número de colunas, o conjunto das colunas é linearmente dependente. Quanto às linhas, vai depender se a característica atinge, ou não, o valor 3. C = l + l l 3 l r(c) =3esendo igual ao número de linhas, concluimos que o conjunto das linhas é linearmente independente. 1.8 Inversa de uma Matriz Quadrada Definição 1.19 (Inversa) Uma matriz A n diz-se invertível ou não singular, se existir uma matriz, que se representa por A 1, da mesma ordem de A etalqueaa 1 = A 1 A = I n. Se não existir tal matriz, A diz-se singular ou não invertível.

17 8 Capítulo 1. Matrizes e Determinantes Exemplo 1.19 AB = [ 1 1/ 1 0 ] [ 0 1 ] [ = ] = I e BA = [ 0 1 ] [ 1 1/ 1 0 ] [ = ] = I então, as matrizes A e B são inversas entre si. PROPRIEDADES Se A e B são matrizes de ordem n, invertíveis, então A 1 éinvertível e (A 1 ) 1 = A; AB éinvertível e (AB) 1 = B 1 A 1 ; ka éinvertível e (ka) 1 = k 1 A 1 = 1 k A 1, k R \{0}; A éinvertível e (A ) 1 =(A 1 ) ; A n éinvertível e (A n ) 1 =(A 1 ) n, n N. Teorema 1.1 Uma dada matriz A n é invertível se, e só se,r(a) =n. Significa que se uma dada matriz A é invertível, esta é equivalente por linhas à matriz identidade da mesma ordem. Existindo duas matrizes tais que BA = I e AC = I, temos (BA)C = IC= C e B(AC) =BI = B, pelo que B = C. Então, basta determinar uma inversa lateral, ou seja, determinar A 1 que satisfaz AA 1 = I. Teorema 1. A inversa de uma matriz quadrada, se existir, é única.

19 1.9. Determinante de uma Matriz Quadrada 39 Exemplo 1.3 Calculemos o determinante de cada uma das matrizes A e B, usando o teorema de Laplace. 3 0 A = B = Cálculo do determinante de A Quer a linha 3, queracoluna3, têm um elemento nulo. Assim, é indiferente escolhermos uma ou a outra. Aplicando o teorema de Laplace, por exemplo, à linha 3: 3 0 A = = ( 1) ( 1) = ( 0)+ (3 ) = 4+ =. Cálculo do determinante de B Alinha tem dois zeros, pelo que é a melhor escolha para o desenvolvimento. 1 1 B = = 1 ( 1) =( 1) 1 1 = 3 }{{} =1 Embora importante, o teorema de Laplace éummétodo que se revela pouco eficiente para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior a 3, pois obriga a um esforço de cálculos muito grande. Por exemplo, para uma matriz de ordem 5, se não existirem elementos nulos, há que determinar 5 determinantes 4 4. Quando as matrizes são de ordem elevada, apenas no caso de matrizes esparsas (matrizes que contêm um número elevado de elementos nulos), poderemos

20 40 Capítulo 1. Matrizes e Determinantes considerar a aplicação do teorema de Laplace, ou então combiná-lo com outro processo, como veremos mais adiante. Uma alternativa eficiente para o cálculo de determinantes, é utilizar as suas próprias propriedades (pág. 35). Por exemplo, podemos transformar a matriz numa matriz triangular por meio das operações elementares, cujo determinante sabemos ser o produto dos seus elementos principais. No entanto, é necessária alguma precaução devido à aplicação de operações que alteram o determinante. A troca de filas entre si; neste caso, multiplicamos o determinante da matriz obtida por 1. A multiplicação da linha que se vai substituir, por k R \{0}; neste caso, multiplicamos o determinante da matriz obtida por 1 k. Realçamos que, de acordo com as propriedades enunciadas, o determinante só se altera, se a multiplicação pela constante k ocorrer na linha que vamos substituir enão se for à outra que vamos adicionar. Exemplo 1.4 Calculemos o determinante de cada uma das matrizes A, B e C, usando as propriedades dos determinantes A = B = C = Cálculo do determinante de A: A = = c c = 1 l l = 1 l 3 +l = 1 ( 1) ( ) = (M. triangular)

22 50 Capítulo 1. Matrizes e Determinantes B = l 5 l l 3 l l 3 5 l = U l 5 l 1 = l +( 5 ) l 1 m 1 = ( 5 )= 5 l 3 l 1 = l 3 +( 1) l 1 m 31 = ( 1) =1 l 3 5 l = l 3 +( 5) l m 3 = ( 5) =5 AmatrizL é dada por L = m m 31 m 3 1 = LU = = = B Exemplo 1.3 Determinemos, se existir, a decomposição LU da matriz C. 1 1 C = C = l +4l l 3 l Não épossível determinar uma forma de escada da matriz C sem se efetuar trocas nas linhas, pelo que C não é fatorizável, isto é, não existem L e U tais que LU = C.

23 CAPÍTULO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: PARTE 1.1 Operações com Matrizes 1. Considerando as seguintes matrizes, efetue as operações 1.1 a A = B = C = D = I A 1. A CD Resolução: 1.1 A = A A = ,

24 5 Capítulo. Exercícios Resolvidos: Parte 1 então, 0 0 I A = = [ CD = ] 4 15 = , então, 1 4 A CD = = DB + I. 1.4 AC + B D Resolução: [ ] DB = 0 = 10 4, logo, 1 DB = = , 1 DB + I = =

26 .. Formas de Escada e Condensada 63 Como tr(b)=0+3+=5,temos 1 tr(b) (BC D + E )= 1 5 (BCD + E )= = Formas de Escada e Condensada 6. Reduza cada uma das matrizes, 6.1 a 6.0, a uma forma de escada, indicando a respetiva característica. 6.1 A = [ ] 6. B = [ ] Resolução: 6.1 A = l 3 l l 3 +6l A matriz em forma de escada tem 3 pivots e é equivalente por linhas a A, logo, r(a) =3. 6. B = l 4 l l 3 l l 3 l A matriz em forma de escada tem 3 pivots e é equivalente por linhas a B, logo, r(b) =3.

27 64 Capítulo. Exercícios Resolvidos: Parte 1 [ 6.3 C = ] 6.4 D = [ ] Resolução: 6.3 C = [ ] [ l 3 l ] A matriz em forma de escada tem pivots e é equivalente por linhas a C, logo, r(c) =. 6.4 D = l +l A matriz em forma de escada tem 3 pivots e é equivalente por linhas a D, logo, r(d) = E = Resolução: F = E = l l l 3 +6l 1 l 4 + l