A. Circuitos. Desenvolvimento de técnicas para análise de Circuitos eléctricos/electrónicos lineares.

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1 A. Circuitos Desenvolvimento de técnicas para análise de Circuitos eléctricos/electrónicos lineares. 1

2 Programa 1. Introdução aos circuitos eléctricos 2. Grafos e circuitos resistivos lineares 3. Circuitos dinâmicos lineares 4. Regime forçado sinusoidal 5. Análise no domínio da frequência complexa 6. Circuitos resistivos não-lineares 2

3 Circuito Eléctrico: Interligação entre componentes Componentes com 2 terminais a b Caracterizado Pela corrente que o atravessa e pela tensão Aos terminais NODE NODE L R 1 Circuito linear típico vs - R 2 v O C Low Distortion Power Amplifier 3

4 Um AMPERE DE CORRENTE transporta um COULOMB DE CARGA em cada segundo. 1 A = 1C / 1s 1 COULOMB = (e) (e) = CARGA DO ELECTRÃO 18 i = dq dt OLT é uma medida da energia por unidade de carga. dois pontos têm uma tensão de 1 volt se 1 coulomb de carga ganha um joule de energia quando se desloca de um ponto para o outro. 1 1J = 1C 1N 1m = 1C dw dq OHM é uma medida de resistência à passagem da corrente. Existe um ohm de resist. se for necessário um volt de tensão para fazer fluir um ampere de corrente. v = 1 Ω = 1 1A R = I É necessário um WATT de potência para fazer fluir um ampere de corrente com uma tensão de um volt. 1 W = 1 1A dw dq p = v. i = = dq dt dw dt 4

5 A carga é quantidade elementar num circuito. A corrente decorre do movimento da carga. Podemos também encarar a corrente como a quantidade básica e calcular a carga. Uma analogia física, é a identificação da corrente com o fluxo de água E a carga com as partículas (moléculas) Qual o significado de um valor negativo para q(t)? q(t) Se a carga à esquerda da secção S é conhecida ao longo do tempo então a corrente em S pode ser calculada por diferenciação. Se a corrente que passa em S é conhecida ao longo do tempo então a carga pode ser calculada por integração. 5

6 Objectivo: determinar a corrente Carga q(t) à esquerda de S ao longo do tempo Charge(pC) m = q(t) recta implica corrente = declive C 9 = ( C / s) s Time(ms) Current(nA) Time(ms) 6

7 CONENÇÃO PARA CORRENTES É absolutamente necessário indicar a direcção do movimento das cargas. A CONENÇÃO UNIERSALMENTE ACEITE, É DE QUE A CORRRENTE REPRESENTA O FLUXO DE CARGAS POSITIAS, PELO QUE SE DEFINE A DIRECÇÃO DO FLUXO COMO -DIRECÇÃO DE REFERÊNCIAum valor positivo para a corrente indica fluxo no sentido da seta valor negativo indica fluxo no sentido contrário. 7

8 CONENÇÃO PARA TENSÃO ELÉCTRICA UMA DEFINIÇÃO PARA OLT 2 pontos têm uma diferença de tensão de um volt se um coulomb de carga ganha (ou perde) um joule de energia quando se movimenta de um ponto para outro b Se a carga ganha energia ao ir de a para b então b tem maior tensão (potencial) do que a. Se perde, então b tem menor tensão do que a. a 1C Dimensionalmente o volt deriva de outras grandezas OLT = W q = JOULE COULOMB N m = A s Tensão eléctrica é uma grandeza (relativa) entre 2 pontos. Para salientar este aspecto alguns autores usam a terminologia diferença de potencial. É fundamental que a notação esclareça qual dos pontos tem maior tensão eléctrica. 8

9 NOTAÇÃO DE DOIS INDÍCES O primeiro índice indica a tensão positiva. AB = 2 Qual a energia necessária para mover 120c de b para a (circuit_1)? W = W = Q = 240J Q cargas movem-se para um ponto de maior tensão logo ganham energia. AB = 5 BA = 5 = AB BA 9

10 ENERGIA E POTÊNCIA 2[C/s] passam pelo elemento cada coulomb de carga perde 3[J] ou seja fornece 3[J] de energia ao elemento Logo, o elemento recebe energia à taxa de 6[J/s] Portanto, a potência absorvida pelo elemento é de 6[W] IN GENERAL P =I w( t2, t1) t = 2 t 1 p( x) dx dw dq dw vi = = = dq dt dt p COMO SE RECONHECE SE UM ELEMENTO ABSORE OU FORNECE ENERGIA? 10

11 Convenção passiva Potência recebida é positiva, potência fornecida é negativa. então esta é a referência para a polaridade a ab I ab b P = ab I ab Se tensão e corrente são ambas positivas a carga move-se da tensão mais alta para a mais baixa e o elemento recebe energia. éum elementopassivo UMA CONSEQUÊNCIA DA CONENÇÃO É A DE QUE A DIREÇÇÃO DA TENSÃO E CORRENTE NÃO SÃO INDEPENDENTES (assumindo elementos passivos) Assim, dada a referência da polaridade a ab determina-se a direcção da corrente. b a I ab Se a referência para a corrente é dada EXAMPLE ab b a I ab b ab = 10 The element receives 20w of power. what is the current? Select reference direction based on passive sign convention 20[ W ] = abiab = ( 10 ) Iab I ab = 2[ A] 2A 11

12 ELEMENTOS DE CIRCUITO 1. ELEMENTOS PASSIOS: Resistência, condensador e bobine 2. FONTES INDEPENDENTES: Tensão e corrente R C L 3. FONTES DEPENDENTES DE TENSÃO 4. FONTES DEPENDENTES DE CORRENTE 12

13 Potência absorvida ou recebida por cada elemento USE O EQUILIBRIO ENERG. PARA CALC. Io 12W 6)( I ) ( 12)( 9) ( O ( 10)( 3) ( 4)( 8) ( 8 2)(11) P 1 = (12 )(4A) = 48[ W ] P 2 = (24 )(2A) = 48[ W ] P 3 = (28 )(2A) = 56[ W ] P DS P = ( 1I )( 2A) = (4 )( 2A) = 8[ W ] x 36 = (36 )( 4A) = 144[ W ] ERIFIQUE O EQUILIBRIO ENERGÉTICO EQUILIBRIO (POTÊNCIA) I O =1[ A] 13

14 CIRCUITOS RESISTIOS Leis fundamentais para análise de cirtuitos: Ohm KCL KL Tópicos seguintes: Lei de Ohm define o elemento passivo mais simples, a resistência. Topologia (grafos, árvores, ramos, galhos, ligações), Circuitos Leis de KIRCHHOFF leis fundamentais de conservação- Kirchhoff Current (KCL) E Kirchhoff oltage (KL) Aprender a analisar circuitos simples Circuito com 1 malha- Divisor de tensão Circuito com 1 nó Divisor de corrente Combinaçôes serie/parallelo técnica de redução de complexidade em circuitos. WYE - DELTA TRANSFORMATION Técnica de redução de circuitos que nao são nem série nem paralelos Circuitos com fontes dependentes - ligações adicionais nas equações 14

15 Exemplos de resistências 15

16 Uma resistência linear obede à lei de OHM v i R Circuit Represent ation v ( t) = Ri( t) Reparar na convenção passiva i Dois casos especiais Zona linear v v = 0 Short Circuit R = 0 G = i = 0 Open Circuit R = G = 0 rel v-i verdadeira 16

17 Programa 1. Introdução aos circuitos eléctricos 2. Grafos e circuitos resistivos lineares Grafos, árvores, ramos, galhos e ligações Leis de Kirchhoff. Métodos nodal e das malhas. Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton 3. Circuitos dinâmicos lineares 4. Regime forçado sinusoidal 5. Análise no domínio da frequência complexa 6. Circuitos resistivos não-lineares 17

18 Nós, Ramos, Malhas UM NÓ LIGA ÁRIOS COMPONENTES MAS NÃO CONCENTRA NENHUMA CARGA. A CORRENTE TOTAL QUE ENTRA NO NÓ É IGUAL À CORRENTE TOTAL QUE SAI. (UM PRINCÍPIO DE CONSERAÇÃO DE CARGA) NÓ:junção entre 2 ou mais elementos (e.g., big nó 1) MALHA:um caminho fechado que nunca passa 2 vezes pelo mesmo nó. NÓ O caminho a vermelho NÃO é uma malha BRANCH: Component connected between two nodes (e.g., component R4) 18

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21 LEI DAS CORRENTES KIRCHHOFF (KCL) One of the fundamental conservation principles in electrical engineering charge cannot be created nor destroyed 21

22 LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (KCL) SOMA DAS CORRENTES QUE ENTRAM NUM NÓ É IGUAL À SOMA DAS CORRENTES QUE SAEM DO NÓ NÓ GENERALIZADO É QUALQUER PARTE DO CIRCUITO ONDE NÃO HÁ CONCENTRAÇÃO DE CARGA. KCL É ALIDA EM ÁREAS.... TAMBÉM CONHECIDO POR SUPERNÓ SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES QUE FLUEM DE UM NÓ É ZERO. SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES QUE FLUEM PARA UM NÓ É ZERO. Sai Sai de 2 : i 1 de 3 : i somando 2 & 3: i i2 i5 i6 i7 2 i 6 i 4 i 4 i = 5 0 i 7 = 0 1 = interpretação:soma das correntes que Saiem de 2&3 é nula. 0 visualização: Nós 2&3 são englobados Dentro de uma superfície, vista como um nó generalizado (OU SUPERNÓ) 22

23 KCL PERMITE CALCULAR AS CORRENTES DESCONHECIDAS EQ REDUNTANTE SOMA DAS 4 ANTERIORES 23

24 QUAL ALOR DAS CORRENTES DESCONHECIDAS? KCL DEPENDE APENAS DAS LIGAÇÕES. O TIPO DE COMPONENTE É IRRELEANTE, ISTO É KCL DEPENDE APENAS DA TOPOLOGIA DO CIRCUITO 24

25 QUAIS AS EQUAÇÕES KCL DO CIRCUITO? 25

26 LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (KL) KL É UM PRINCIPIO DE CONS. DE ENERGIA ΔW = q( ) B A B B IMAGINEM. ΔW = q AB q A AB CA B B ΔW = q CA BC C ΔW = q BC q A SE A CARGA OLTA AO PONTO DE PARTIDA, O GANHO DE ENERGIA DEERÁ SER NULO (rede conservativa) CASO CONTRÁRIO PODERIA ABSORER OU FORNERCER ENERGIA INFINITA. q q a c ab cd b d PERDE ΔW = q ab GANHA ΔW =q cd q( ) = 0 AB BC CD KL: A SOMA ALGÉBRICA DAS QUEDAS DE TENSÃO NUMA MALHA SÃO ZERO. A B A OLTAGE A NEGATIE A ( ) B RISE IS DROP 26

27 PROBLEM SOLING TIP: KL IS USEFUL TO DETERMINE A OLTAGE - FIND A LOOP INCLUDING THE UNKNOWN OLTAGE THE LOOP DOES NOT HAE TO BE PHYSICAL be R = 18 1 R = 12 2 EXAMPLE :, DETERMINE R 1 30[ ] = 0 be R1 R R3 THE OLTAGE 3 ARE KNOWN be LOOP abcdefa 27

28 NEM TODAS AS EQUAÇÕES KL SÃO INDEPENDENTES (TAL COMO KCL). NUMERO DE EQUAÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES IN THE CIRCUIT DEFINE N NUMBER OF NODES B NUMBER OF BRANCHES N 1 EQUAÇÕES KCL LINEARMENTE INDEPENDENTES B ( N 1) EQUAÇÕES KL LINEARMENTE INDEPENDENTES EXAMPLE: PARA ESTE CIRCUITO: N = 6, B = 7. SÓ HA 2 EQUACOES KL INDEPENDENTES A TERCEIRA EQUAÇÃO É A SOMA DAS OUTRAS DUAS!! 28

29 There are no loops with only one unknown!!! - 10kΩ 5kΩ x x 29

30 Combinações serie paralelo 9k AN EXAMPLE WITHOUT REDRAWING 12k 6k (4k 2k) 12 k 12k = 6k 3 k 6k = 2k 18 k 9k = 6k RESISTORS ARE IN SERIES IF THEY CARRY EXACTLY THE SAME CURRENT 6 k 6k 10k RESISTORS ARE IN PARALLEL IF THEY ARE CONNECTED EXACTLY BETWEEN THE SAME TWO NODES 30

31 Divisores de tensão e de corrente São exemplos de circuitos com 2 nós ou com 2 malhas divisor corrente: uma eq. KCL Ohm -> I x =f(i s ) divisor tensão: uma eq. KL Ohm -> x =f( s ) 31

32 Programa 1. Introdução aos circuitos eléctricos 2. Grafos e circuitos resistivos lineares Leis de Kirchhoff. Métodos nodal e das malhas. Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton 3. Circuitos dinâmicos lineares 4. Regime forçado sinusoidal 5. Análise no domínio da frequência complexa 6. Circuitos resistivos não-lineares 32

33 Método dos nós e das malhas objectivos Análise nodal Análise nas malhas Desenvolver técnicas sistemáticas de determinação das Tensões e correntes no circuito. ANÁLISE NODAL As variáveis utilizadas para descrever o circuito são As Tensões Nodais. -- A tensão de cada nó do circuito relativamente a um nó de referência. 33

34 12k 2 - BACKTRACK USANDO KL, KCL OHM S 6k I Reduzir o circuito a uma só malha. I 1 = 12 12k a 3 = (12) 3 9 a OHM' S : I2 = KCL : I1 I2 I3 = 0 6k OHM' S : b = 3k * I3 OTHER OPTIONS I4 = I b = 4k * I4 KCL : I5 I4 I3 = 0 OHM'S : C = 3k * I5 34

35 35 A PERSPECTIA DA ANÁLISE NODAL: exprimir tensões nas resist. função das tensões nodais 5 NÓS: 1 de ref. logo sobram 4 tensões nodais por determinar. Nota: se as tensões dos nós relativamente a um nó referência são conhecidas pode saber-se tudo sobre o circuito = = a S a S = = b a b a REFERENCE = = b c c b Diferenças de tensões nodais indicam as correntes pela lei de Ohm R v N m R v v v =

36 DEFINIR O NÓ DE REFERÊNCIA É ITAL 4 2 Dizer que 1=4 é ambíguo.... até que se defina o ponto de referência Por convenção o símbolo de massa indica o ponto de referência (nó) Todas as tensões nodais são relativas ao ponto de referência 36

37 ESTRATÉGIA PARA ANÁLISE NODAL S a b c 1. identificar todos os nós e escolher o de referência. 2. identificar tensões conhecidas REFERENCE 3. em cada nó c/ desconhecido escrever eq KCL (e.g.,soma correntes saem a : I I I 2 3 a s a a b 9k 6k 3k 1 b : I I I 4 5 b a b b c 3k 4k c : I I 6 c b c = 0 9k 3k 3 = 5 = 0 0 = 0 0 = 0 4. substituir correntes por tensões dos nós através lei de Ohm. obtém-se conjunto de equações algébricas nas tensões dos nós... resolver usando qq. método! shortcut: estas eqs. só precisam de existir no pensamento... Treinar a escrever estas directamente. 37

38 CIRCUITOS APENAS COM FONTES DE CORRENTE NODE 1 CONSELHO: A NOTAÇÃO FICA MAIS CLARA SE UTILIZARMOS CONDUTÂNCIAS EM EZ DE RESISTÊNCIAS. REORDERING NODE 2 REORDERING TERMS O MODELO PARA O CIRCUITO É UM CONJUNTO DE EQ. ALGÉBRICAS. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS SÃO EFICIENTEMENTE TRATADAS UTILIZANDO ÁLGEBRA DE MATRIZES 38

39 MANEIRA EXPEDITA DE ESCREER EQ. CIRCUITOS APENAS COM FONTES INDEPENDENTES A MATRIZ É SIMÉTRICA ELEMENTOS DA DIAGONAL SÃO POSITIOS ELEMENTOS FORADA DIAGONAL SÃO NEGATIS Conductances connected to node 1 Conductances between 1 and 2 Conductances between 1 and 3 Conductances between 2 and 3 ÁLIDO PARA CIRCUITOS SEM FONTES DEPENDENTES 39

40 CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES Circuitos com fontes dependentes não se pode usar o método expedito a simetria é perdida. Procedimento escrever as equações dos nós tratando as fontes dependentes como se fossem independentes. por cada fonte dependentes, escrever uma eq. extra com a equação de controlo da fonte em função das tensões nodais 40

41 CIRCUITOS COM FONTES INDEPENDENTES DE TENSÃO SÓ É NECESSÁRIO 1 KCL A TÉCNICA DO SUPERNÓ 41

42 WRITE THE NODE 1 42

43 CIRCUITS WITH DEPENDENT SOURCES PRESENT NO SIGNIFICANT ADDITIONAL COMPLEXITY. THE DEPENDENT SOURCES ARE TREATED AS REGULAR SOURCES WE MUST ADD ONE EQUATION FOR EACH CONTROLLING ARIABLE 43

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45 MÉTODO DAS MALHAS A segunda técnica sistemática de determinação de s e I s... - também a que permite criatividade DUAL DA ANÁLISE NODAL PRIMEIRO DETERMINA AS CORRENTES E DEPOIS USANDO LEI DE OHM DETERMINA AS TENSÕES HÁ SITUAÇÕES EM QUE O MÉTODO DOS NÓS NÃO É EFICIENTE E O NÚMERO DE EQUAÇÕES GERADAS PELO MÉTODO DAS MALHAS É SIGNIFICATIAMENTE MENOR 45

46 PELO MÉTODO DOS NÓS... 5 NÓS R 1 2 R R 1 2 R 3 R3 R SUPERNÓ 1 fonte de tensão ligada a massa 1 fonte de tensão não ligada à massa MÉTODO DOS NÓS = 4 EQUAÇÕES mas só ha uma única corrente que flui por todos os componentes. se ficar determinada sabemos todas as tensões aplicar KL 46

47 a 1 2 b 3 I 7 I 1 2 c 4 MALHA: CAMINHO FECHADO QUE NÃO PASSA 2 EZES PELO MESMO NÓ. MALHAS INTERIORES SÃO CIRCULAÇÕES SEM ELEMENTOS NO SEU INTERIOR CORRENTE DE MALHA: CORRENTE FICTÍCIA QUE FLUI (À OLTA) NUMA MALHA. f 6 e 5 A BASIC CIRCUIT I 3 d I, I 2, 3 1 I SÃO CORRENTES DE MALHA AFIRMAÇÃO! NUM CIRCUITO AS CORRENTES PODEM SER EXPRESSAS ATRAÉS DAS CORRENTES DE MALHA. - A SUA DIRECÇÃO É RELEANTE - 47

48 B N NÚMERO DE RAMOS NÚMERO DE NÓS NÚMERO MÍNIMO DE CORRENTES DE MALHA NECESSÁRIAS É: L = B ( N 1) CORRENTES DAS MALHAS INTERIORES SÃO SEMPRE INDEPENDENTES. EXEMPLO MÉTODO DAS MALHAS: ESCOLHER MALHAS INTERIORES E SENTIDO DAS CORRENTES DAS MALHAS todas c/mesmo sentido. KL NAS MALHAS 1 EQ P/MALHA LEI DE OHM SUBST. P/ I MALHA RESOLER SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALG. EXPLICAR MÉTODO EXPEDITO. B = 7 N = 6 L = 7 (6 1) = 2 SÃO NECESSÁRIAS 2 CORRENTES DE MALHA. 48

49 B N NÚMERO DE RAMOS NÚMERO DE NÓS DETERMINAÇÃO DAS CORRENTES DE MALHA KL NA MALHA 1 NÚMERO MÍNIMO DE CORRENTES DE MALHA NECESSÁRIAS É: L = B ( N 1) KL NA MALHA 2 CORRENTES DAS MALHAS INTERIORES SÃO SEMPRE INDEPENDENTES. EXEMPLO SUBSTITUINDO E REARRANJANDO. B = 7 N = 6 L = 7 (6 1) = 2 SÃO NECESSÁRIAS 2 CORRENTES DE MALHA. EQUAÇÕES DAS MALHAS PARA O CIRCUITO 49

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51 CIRCUITOS COM FONTES INDEPENDENTES DE CORRENTE MALHA 1 MALHA 2 FONTES DE CORRENTE QUE NÃO SÃO PARTILHADAS POR OUTRAS MALHAS DEFINEM IMEDIATAMENTE O ALOR DA CORRENTE NA MALHA. 51

52 CIRCUITOS COM FONTES INDEPENDENTES DE CORRENTE MESH 1 EQUATION MESH 2 I1 = 2mA BY INSPECTION 2kI1 8kI2 = 2 2k (2mA) 2 3 I = = ma O = 6kI2 = 8k 4 9 [ 2 2 FONTES DE CORRENTE QUE NÃO SÃO PARTILHADAS POR OUTRAS MALHAS DEFINEM IMEDIATAMENTE O ALOR DA CORRENTE NA MALHA. ] TO OBTAIN 1 APPLY KL TO ANY CLOSED PATH THAT INCLUDES 1 52

53 FONTES DE CORRENTE PARTILHADA P/2 MALHAS A SUPERMALHA! 2. ESCREER A EQUAÇÃO DE PARTILHA DA FONTE PELAS DUAS CORRENTES. I I 4mA 2 3 = 3. ESCREER AS EQUAÇÕES DAS OUTRAS MALHAS I1 = 2mA 1. ESCOLHER CORRENTES NAS MALHAS SUPERMESH 4. DEFINE A SUPERMALHA REMOENDO (MENTALMENTE) A FONTE DE CORRENTE. 5. ESCREER KL NA SUPERMALHA 6 1 1kI3 2kI2 2k( I2 I1) 1k ( I3 I ) = 0 3 EQUAÇÕES A 3 INCÓGNITAS MODELO COMPLETO 53

54 FONTES DE CORRENTE PARTILHADAS POR MALHAS CIRCULAÇÃO ESPECIAL I 3 ESTRATÉGIA DEFINIR MALHAS QUE NÃO PARTILHAM FONTES DE CORRENTE. MESMO QUE ISSO SIGNIFIQUE UTILIZAR MALHAS NÃO-INTERIORES. EQUAÇÕES SÃO: MALHA 1 - MALHA 2 - I I 1 2 = 2mA = 4mA EQUAÇÃO PARA A MALHA EXTERIOR. 6 1 [ ] 1kI 3 2k( I3 I2) 2k( I3 I2 I1) 1k ( I3 I ) = 0 54

55 CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES Trata-se a fonte dependente como se fosse independente. Junta-se mais uma equação (eq. da fonte) que relaciona o parâmetro de controlo com correntes das malhas. I I 1 2 = 4mA X = 2k MESH 3: MESH 4 : 1kI x 4 2k( I3 I1) 1k ( I3 I ) = k( I4 I3) 1k ( I4 I ) 12 = 0 ARIÁEIS DE CONTROLO I x = I4 I 2 x = 2k( I3 I 1 ) 55

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57 Programa 1. Introdução aos circuitos eléctricos 2. Grafos e circuitos resistivos lineares Leis de Kirchhoff. Métodos nodal e das malhas. Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton. 3. Circuitos dinâmicos lineares 4. Regime forçado sinusoidal 5. Análise no domínio da frequência complexa 6. Circuitos resistivos não-lineares 57

58 OUTRAS TÉCNICAS DE ANÁLISE (as mais importantes p/ pequenos circuitos) OBJECTIOS Propriedade da Linearidade Aplicar sobreposição Utilizar este princípio para resolver circuitos- TEOREMAS DE THEENIN E NORTON Importantes teoremas que ajudam a esconder a complexidade e a Focar na parte do circtuito em que estamos interessados. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 58

59 Exemplos de circuitos Equivalentes. 59

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61 LINEARIDADE OS MODELOS UTILIZADOS. MATEMATICAMENTE SIGNIFICA QUE OBEDECEM AO PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO UM MODELO y = Tu É LINEAR SSE T( α u α u ) = α Tu α Tu e todos os escalares possíveisα, α 1 para todos os pares de entrada possíveis u, u 1 2 Recorrendo ao método dos nós obtém-se uma Equação do tipo. Av = f v É UM ECTOR COM AS TENSÕES DOS NÓS E f É UM ECTOR DEPENDENTED APENAS DAS FONTES INDEPENDENTES. OU... ALTERNATIAMENTE O MODELO y = Tu É LINEAR SSE 1. T( u 1 u 2 ) = Tu 1 Tu 2, u aditividade 2. T( αu) = αtu, α, u homogeneidade, u

62 USANDO A HOMOGENEIDADE Assume that the answer is known. Can we Compute the input in a very easy way?!! 1 If o is given then 1 can be computed using an inverse voltage divider. R R = 0 R2 And s using a second voltage divider S = R 4 R R EQ R EQ EQ 1 = R4 R R EQ EQ Solve now for the variable o R1 R R The procedure can be made entirely algorithmic 1. Give to o any arbitrary value (e.g., o =1 ) 2. Compute the resulting source value and call it _s ' ' ' 3. Use linearity. S ks k ' 0 0, k 4. The given value of the source (_s) corresponds to k = Hence the desired output value is S ' S ' S ' 0 = k0 = ' 0 S This is a nice little tool for special problems. Normally when there is only one source and when in our judgement solving the problem backwards is actually easier 62

63 UTILIZEMOS A HOMOGENEIDADE ASSUME out = 2 = 1[ ] I 1 O NOW USE HOMOGENEITY O O = 6[ ] out = 12[ ] out = 1[ ] = 2[ ] 63

64 SOBREPOSIÇÃO DE FONTES É uma aplicação directa da linearidade. É util quando o circuito tem poucas fontes. 64

65 Exemplo c/ 2 fontes - S I L Pela linearidade = a a I L 1 S 2 S circuit L _ CONTRIBUTION BY S 1 L CONTRIBUTION BY I S 2 L I S 1 L Pode ser calculada anulando a fonte de corrente 2 Pode ser calculada anulando a fonte de tensão L 65

66 SOBREPOSIÇÃO DE FONTES ANULAR FONTE DE TENSÃO (CURTO CIRCUITO) 1 I L 2 I L = 1 L 2 L ANULAR FONTE DE CORRENTE (CIRCUITO ABERTO) PELA LINEARIDADE DO CIRCUITO DEEMOS TER I L = I L I L L = L L Princípio da sobreposição 66

67 i 1 EXEMPLO PRETENDE-SE CALCULAR A CORRENTE = EQUAÇÕES DAS MALHAS R eq = [ k] R i " 2 eq = = 6 v R 2 eq (3 3) [ k] CONTRIBUIÇÃO DE v1 CONHECIDOS OS CIRCUITOS PARCIAIS DEERÃO SER RESOLIDOS COM EFICIÊNCIA, OUSEJA: SABER MUITO BEM ASSOCIAR RESISTÊNCIAS. CONTRIBUIÇÃO DE 2 67

68 EXEMPLO CALCULE 0 USANDO SOBREPOSIÇÃO DE FONTES ANULAR FONTE DE TENSÃO Divisor de corrte Lei Ohm Anular fonte de corrente Divisor de tensão 6k 0 " = 2[ ] ' " 3 6[ ] - 0 = 0 0 = 3k 68

69 SUMÁRIO 1. Num circuito com múltiplas fontes independentes, cada fonte é aplicada independentemente anulando as outras fontes 2. Para anular uma fonte independente de tensão substituimo-la por um curto circuito e para anular uma de corrente por um circuito aberto. 3. Aplicar todas as técnicas e leis aprendidas (kvl,kcl,divisores ei, nós, malhas) para calcular a variável de interesse. 4. Somar ALGEBRICAMENTE as contribuições de cada fonte para obter a solução final. 69

70 TEOREMAS DE THEENIN E NORTON UM DOS RESULTADOS MAIS IMPORTANTE NA ANÁLISE DE CIRCUITOS. Permite esconder a complexidade recorrendo a uma sintese de um circuito. 70

71 Low distortion audio power amplifier Para calcular o melhor altifalante É necessário resolver o circuito. From PreAmp (voltage ) To speakers Courtesy of M.J. Renardson Para ajustar os speakers ao amplificador É muito mais simples se utilizar o modelo simplificado! TH - R TH Substituir o amplif. Por um circuito equiv. 71

72 TEOREMA DE EQUIALÊNCIA DE THEENIN PARTE A CIRCUITO LINEAR Pode ter fontes independentes e dependentes englobando as variáveis de controlo i v O _ a b PARTE B CIRCUITO LINEAR Pode ter fontes independentes e dependentes englobando as variáveis de controlo R TH v TH i v O _ a b LINEAR CIRCUIT PART B PART A v R TH TH Circuito equivalente de Thevenin Para a PARTE A Fonte equivalente de Thevenin Resistencia equivalente de Thevenin 72

73 TEOREMA DA EQUIALÊNCIA NORTON PARTE A CIRCUITO LINEAR Pode ter fontes independentes e dependentes englobando as variáveis de controlo i v O _ a b PARTE B CIRCUITO LINEAR Pode ter fontes independentes e dependentes englobando as variáveis de controlo i N R N i v O _ a b LINEAR CIRCUIT PART B PART A i N R N Circuito Equivalente de Norton Para a PARTE A Fonte equivalente de Norton Resistencia Equivalente de Norton 73

74 Examples de Partições álidas e Inválidas 74

75 COMO???? - version 1 Se o circuito A não é alterado a corrente é a mesma qualquer que seja o TEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO i O = ANULAR FONTES INDEPENDENTES EM A DEFINE-SE i v O = v OC R v 0 = R TH OC TH v = i i SC O O i v O = isc; RTH CASO ESPECIAL : CIRCUITO ABERTO ( i = 0) v R v R TH = i OC SC v O v i SC = R = O isc vo = voc RTHi COMO SE INTERPRETA O RESULTADO? TH OC TH i SC i = i O i SC 75

76 OUTLINE OF PROOF - version 2 PARTE A CIRCUITO LINEAR Pode ter fontes independentes e dependentes englobando as variáveis de controlo i v O _ a b PARTE Ab CIRCUITO LINEAR Pode ter fontes independentes e dependentes englobando as variáveis de controlo 1. POR SEREM CIRCUITOS LINEARES, QUALQUER QUE SEJA A FORMA DO CIRCTUI B, 0 E I RELACIONAM-SE POR: v O = m* i n 2. O resultado é verdadeiro para qualquer circ. B que se imagine n = v 3. SE B for um circuito aberto, então i=0, e OC 4. Se B for um curto-circuito, 0=0. Então OC 0= m * i SC v OC m = = RTH isc v = R i O TH v v OC 76

77 EQUIALENTE DE THEENIN PARTE A CIRCUITO LINEAR Pode ter fontes independentes e dependentes englobando as variáveis de controlo i v O _ a b Qualquer PARTE B v O = RTHi v Qualquer que seja o circuito B OC v OC _ R TH i v O _ EQUIALENTE DE THEENIN PARA A PARTE A DO CIRCTUITO A fonte de tensão chama-se FONTE EQUIALENTE DE THEENIN A resistência chama-se a RESISTÊNCIA EQUIALENTE DE THEENIN 77

78 Equivalente Nortonv O = v OC R TH i i = v R OC TH v R O TH v R OC TH = i SC PARTE A CIRCUITO LINEAR Pode ter fontes independentes e dependentes englobando as variáveis de controlo i v O _ a b QUALQUER PARTE B i SC R TH Norton i a b v O Equivalente de Norton Representação para o circ. A i SC Fonte equivalente de Norton 78

79 OUTRO PONTO DE ISTA SOBRE OS TEOREMAS THEENIN E NORTON v OC _ Thevenin R TH i v O _ i = SC v R i SC OC TH R TH Norton A equivalência pode ser vista como um modo de transformar fontes: Uma fonte de tensão em série com uma resistência, numa fonte de corrente com uma resistência em paralelo i a b v O Equivalentes são ferramentas importantes para reduzir complexidade 79

80 EXEMPLO: RESOLUÇÃO UTILIZANDO TRANSF. FONTES 80

81 RESUMO: TRANSF. DE FONTES - R S a b R I I S a b OS MODELOS R S = R I = RI = R S SÃO EQUIALENTESQUANDO : 81

82 PROCEDIMENTO GERAL PARA DETERMINAR EQUI. THEENIN v i SC R TH TH Tensão de circuito - aberto tensão em Corrente de curto - circuito corrente em por um curto - circuito vth = Resistência equivalente de Thevenin UM CIRC. A RESOLER i SC 1. Determinar a Tensão de THEENIN a - b retirando a parte B a - b quando se substitui B Retirar a parte B e calcular a tensão CIRC. ABERTO ab LINEAR CIRCUIT May contain independent and dependent sources with their controlling variables PART A _ i = 0 v OC a b ab _ 2. Determinar a CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO v = v, R = TH OC TH Retirar o circ B e calcular A CORRENTE DE CURTO CIRCUITO I v i OC SC ab OUTRO CIRC. A RESOLER LINEAR CIRCUIT May contain independent and dependent sources with their controlling variables PART A i SC v = 0 _ a b I ab 82

83 EQUIALENTE DE THEENIN, SÓ COM FONTES INDEPENDENTES th = CIRCUITO ABERTO RESISTÊNCIA DE THEENIN É A RESISTÊNCIA EM a-b ANULANDO TODAS AS FONTES. R 1 a a S - I S R 2 To Part B R 1 R 2 R TH b b Part B R TH = 3kΩ R TH = 4kΩ Part B 83

84 LEARNING BY DOING 5kΩ PART B 6 1k O = (6 ) = 1[ ] 1k 5k 84

85 DETERMINAR o R TH = 4kΩ 6 TH = 12[ ] = 8[ ] TH 1 R TH = 4kΩ OC UTILIZA-SE KL 1 TH = 4k *2mA 8 = = 16[ ] =

86 CIRCUITOS SÓ COM FONTES DEPENDENTES Só tem resistência equivalente!!! Só que i sc =0, v oc =0 => R t hé indeterminado. 86

87 CIRC. SÓ COM FONTES DEPENDENTES UTILIZA-SE TENSÃO DE TESTE... E CALCULA-SE A CORRENTE FORNECIDA AO CIRCUITO I P = I X P ai R 1 X I X = P R 2 ( P ) I = 1 1 a P P R2 R1 R1 R2 ( P ) R TH P R TH = I P = 1 1 R2 R1 P a R R 1 2 P O valor da fonte de teste é irrelevante. Por exemplo 1. 87

88 USANDO FONTE AUXILIAR DE CORRENTE ( I P ) ( I P ) É NECESSÁRIO CALC. TENSÃO NÓ _p KCL P R 2 1 R ai P X I P R1 2 1 R 1 a R R 1 R TH = I P P 2 = 0 I X = P = I P P R 2 O valor da corrente de teste também é irrelevante 88

89 CIRC. SÓ COM FONTES DEPENDENTES UTILIZAR FONTE DE TESTE Exemplo 1 a a a) Obter o equivalente de Thévenin em função do parâmetro α. b) Comentar o valor obtido para a resistência equivalente quando α=-2r. 89

90 Exemplo 2 1 P Pomos uma fonte de corrente ou de tensão? Usando o método dos nós, o nó de 1 pode ser resolvido rapidamente I P P 14 P R TH = = kω I 15 P 90

91 Equivalente de Thevenin circuitos com fontes dependentes e independentes LINEAR CIRCUIT May contain independent and dependent sources with their controlling variables PART A i v O _ a Há que calcular a corrente de c.c. e tensão c. a. b Para cada equivalente há que resolver 2 circuitos!!! - R TH TH a R TH = I b Utiliza-se a artilharia toda : KL, KCL, NÓS, MALHAS, ASS. RES. SOBREPOSIÇÃO, HOMOGENEIDADE ETC OC SC TH = OC 91

92 EXAMPLE Use Thevenin to determine o Part B TENSÃO EM ABERTO 1 CORRENTE C. C. A I " X A = 2 k = 0 SOLUÇÃO R TH ( a = 2k) OC 0 = 1k 1k 1k R TH TH 92

93 MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA Courtesy of M.J. Renardson From PreAmp (voltage ) To speakers The simplest model for a speaker is a resistance... R TH R TH TH - SPEAKER MODEL TH - BASIC MODEL FOR THE ANALYSIS OF POWER TRANSFER 93

94 MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA The simplest model for a speaker is a resistance... TH - R TH SPEAKER MODEL BASIC MODEL FOR THE ANALYSIS OF POWER TRANSFER Qual a potência na carga (altifalante) quando: -resistência da carga é nula? -resistência na carga é infinita? 94

95 TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA TH - R TH L SOURCE R L P L (LOAD) 2 L = ; RL dp dr L L L = = 2 TH R TH RL R L TH P L = ( R R ) TH R 2 ( R R ) 2R ( R R ) TH L L TH L 4 3 ( R R ) TH L L L 2 2 TH = 0 R TH R R = 0 L 2 L * R L = R TH A CARGA QUE MAXIMIZA A TRANSF. DE POTÊNCIA É IGUAL À RESIST. EQUIALENTE DE THEENIN. P L (max) = 4R 2 TH TH 95

96 Teorema de Tellegen [in notas teo. Tellegen por João Costa Freire] 96

97 [in notas teo. Tellegen por João Costa Freire] 97

98 Programa 1. Introdução aos circuitos eléctricos 2. Grafos e circuitos resistivos lineares Leis de Kirchhoff Métodos nodal e das malhas. Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton. Circuitos lineares com AMPOPs 3. Circuitos dinâmicos lineares 4. Regime forçado sinusoidal 5. Análise no domínio da frequência complexa 6. Circuitos resistivos não-lineares 98

99 CIRCUITOS COM AMPOPS (Amp. Operacional) 1. AmPops são elementos muito úteis! 2. Já conhecemos todas as ferramentas necessárias para Fazer a análise de circuitos com AmPops 3. O modelo do ampop inclui fontes dependentes 99

100 LMC 6294 DIP OP-AMP ASSEMBLED ON PRINTED CIRCUIT BOARD DIMENSIONAL DIAGRAM LM 324 PIN OUT FOR LM

101 SÍMBOLO DO AMPOP MODELO LINEAR RESISTÊNCIA DE SAÍDA RESIST. ENTRADA ALORES TÍPICOS R R i O : A : : 1Ω Ω Ω 7 12 Ω GANHO 101

102 CIRCUITO COM UM AMPOP AMP-OP CARGA CIRCUITO FONTE AMPOPS COMERCIAIS E ALGUNS ALORES DAS ARIÁEIS MANUFACTURER PART No A Ri[MOhm] Ro[Ohm] National LM , National LMC , Maxim MAX ,

103 SEGUIDOR DE TENSÃO: CIRCUITO E MODELO PORQUÊ O SEGUIDOR? KL : s KL : - R I i out R O I A O in = 0 RO I AO in = 0 PERFORMANCE OF REAL OP-AMPS Op-Amp BUFFER GAIN LM LMC MAX GANHO out s ARIÁEL DE CONTROLO : RESOLENDO = 1 R O 1 Ri A O R i A O in = R I i out S 1 103

104 O AMPOP IDEAL IDEAL RO = 0, Ri =, A = i i R R i O = 0 v O = A ( v v ) = A = 104

105 SEGUIDOR DE TENSÃO (UNITY GAIN BUFFER) v = v s v O = v S v = v v O = v SEGUIDOR DE TENSÃO ISOLA OS DOIS CIRCUITOS. MUITO ÚTIL PARA FONTES DE MUITO BAIXA POTÊNCIA. SEM SEGUIDOR COM SEGUIDOR A FONTE FORNECE POTÊNCIA v O = v S NÃO HÁ FORNECIMENTO DE POT. 105

106 EXEMPLO:USANDO AMPOP IDEAL CALCULAR O GANHO G = out s v = 0 i = 0 v = 0 106

107 EXEMPLO:USANDO AMPOP IDEAL v- s 0 0 out R R 1 2 = 0 CALCULAR O GANHO v i = 0 = 0 G = out s v = 0 A o R i = i = i = v = v v = 0 = 0 G = out s = R R

108 MODELO LINEAR DO AMPOP MODELO REAL LIGANDO OS OUTROS COMPONENTES. MODELO LINEAR : FAZENDO REFRESH AO DESENHO!!!!!! R 2 108

109 AMPLIFICADOR INERSOR: ANÁLISE C/ MODELO REAL RECORRENDO À ALGEBRA MÉTODO DOS NÓS ARIÁEL DE CONTROLO FUNÇÃO DAS TENSÕES NOS NÓS: A = R i = 10 Ω, R O, = 10Ω vo vo R1 = 1kΩ, R2 = 5kΩ = A = = v v S S 109

110 EM RESUMO: O AMPLIFICADOR INERSOR USANDO AMPOP IDEAL ERSUS O LINEAR v = 0 i = 0 v = 0 AMPOP IDEAL R i = i = i A = v v = = 0 TERMINAL INERSOR 0 v R 1 S 0 v R 2 O = 0 v v O s = R R 2 1 O AMPOP IDEAL É UMA EXCELENTE APROXIMAÇÃO. EXCEPTO QUANDO INDICADO UTILIZAREMOS SEMPRE O MODELO IDEAL 110

111 EXEMPLO USANDO AMPOP IDEAL v 1 v a v 2 CIRCUITO EQUIALENTE 111

112 EXAMPLO USANDO AMPOP IDEAL DETERM. v O TENSÕES CONHECIDAS? Ganho infinito v = 1 = v1, v 2 v2 Resist. Ent. infinita i = 0 v 1 KCL@v1 v 2 v 1 KCL@v2 v a v 2 v 2 RESOLENDO P/ vo HÁ CORRENTE A SAIR DOS AMPOPS CIRCUITO EQUIALENTE 112

113 RESUMO (MUITO IMPORTANTE): AMPOP IDEAL 1 GANHO INFINITO => - - = 0 2 RESISTÊNCIA DE ENTRADA INFINITA => i - =0 e i =0 i i

114 MAIS EXEMPLOS AMPLIFICADOR NÃO INERSOR v 0 R 2 i = 0 v = v i R 1 TENSÕES CONHECIDAS v = = v1 v v 1 GANHO INFINITO v = v 1 v DIISOR DE TENSÃO INERSO R1 R1 R2 i = v0 v0 = v i R1 R2 R1 RESIST. ENTRADA INF. 114

115 AINDA MAIS CALULE I O. ASSUMINDO AMPOP IDEAL v = 12 A O v = 12 = R i = i = 0 v = 12 KCL@ v 12 o 12 : = 0 12k 2k o = 84 o IO = 4mA 10 k =

116 AMPLIFICADOR NÃO INERSOR CALCULAR GANHO E O v = S v _ = S i = 0 S = DIISOR DE TENSÃO INERSO O 100 k 1k = 1k O G = =101 O S S = 1 m O = S S R 2 R 1 116

117 CIRCUITOS COMPARADORES ALGUNS AMPOPS REAIS NECESSITAM UM pull up resistor. DETECTOR DE ZERO-CROSSING 117

118 APLICAÇÃO: AMPERÍMETRO APLIFICADOR NÃO INERSOR R G = 1 2 R 1 I = R I I O G 1 R R = I = 2 1 R I I 118

119 NÃO CARREGA PHONOGRAPH DETERMINE R 2, R1 DE MODO A APMLIFICAR POR UM FACTOR DE 1000 R O = (1)(1 2 1 R1 ) 119

120 TERMÓMETRO COM LUZINHAS!!!! R T = 57.45e T UNITY GAIN BUFFER COMPARADORES ONLY ONE LED IS ON AT ANY GIEN TIME 120

121 RESUMO (MUITO IMPORTANTE): AMPOP IDEAL 1 GANHO INFINITO => - - = 0 2 RESISTÊNCIA DE ENTRADA INFINITA => i - = 0 e i = 0 3 RESOLER O RESTO DO CIRCTUITO USANDO KL, KCL ETC i i