Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos V LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO DE PONTOS TEMÁTICOS

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1 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos V LEVNTMENTO PLNMÉTRCO DE PONTOS TEMÁTCOS pós conhecer instrumentos e métodos para medição de ângulos e distâncias horizontais, serão estudados métodos de levantamento e de processamento, que possibilitam a transformação desses dados em coordenadas - uma forma mais compacta de armazená-los e relacioná-los - referidas a um sistema de referência topográfico devidamente materializado. pós classificar os levantamentos topográficos [1.1] e estabelecer as etapas de um levantamento planimétrico [1.], será definido sistema topográfico de referência [], verificado como calcular azimutes a partir de coordenadas [3], estudados os diferentes métodos de levantamento de pontos temáticos [4] e as diferentes formas de se determinar azimutes a partir de ângulos horizontais [5], uma preparação para o capítulo seguinte. 1- NTRODUÇÃO À atividade de coletar dados no campo, no mundo real, para representá-los em forma de tabelas ou descrições gráficas, dá-se o nome de levantamento ; já a atividade de etrair dados de uma descrição gráfica ou numérica e representá-los no espaço real, denomina-se por locação. Figura 5.1 busca realçar as diferenças entre estas atividades. pós o levantamento, as distâncias e ângulos medidos, no terreno, são transformados em coordenadas, e num trabalho de locação as coordenadas, etraídas de uma planta ou mapa, são transformadas em ângulos e distâncias para definir o local de materialização de um projeto no campo. X Levantamen to : Y = = f ( ângulos, f ( ângulos, distâncias ) distâncias ) TERRENO MP Locação : Ângulo = Distância = f (X, Y) f (X, Y) Figura 5.1 Levantamento e locação: diferentes atividades da topografia. O procedimento clássico básico para levantar uma determinada área é: instalar o teodolito ou estação total em um determinado ponto - devidamente materializado, cravando no local um piquete de madeira ou de concreto - e proceder à medição dos ângulos e/ou distâncias. Este ponto materializado é chamado de ponto de apoio ou estação. Os pontos mapeados em torno dele são chamados de pontos de interesse, pontos de detalhe ou pontos temáticos. Nestes tetos será empregado, preferencialmente, o adjetivo temático e adotada a seguinte convenção: Ponto de apoio com coordenadas conhecidas, Ponto de apoio a ser determinado, Ponto temático com coordenadas conhecidas e Ponto temático a ser determinado. 77

2 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos O levantamento de dados e informações pode ser classificado de acordo com a informação espacial requerida, com as informações temáticas a serem transmitidas e com a posição, em relação à superfície terrestre, em que é realizado CLSSFCÇÃO DOS LEVNTMENTOS a) Quanto à informação espacial levantada: planimétrico, altimétrico e planialtimétrico. É conveniente ressaltar que os levantamentos planimétricos e/ou altimétricos são definidos e eecutados em função das especificações dos projetos de mapeamento. ssim, um projeto poderá eigir somente levantamentos planimétricos, ou somente altimétricos, ou ainda, ambos os levantamentos, planialtimétricos. Levantamento planimétrico compreende o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno que serão projetados sobre um plano horizontal de referência através de suas coordenadas X e Y (representação bidimensional). b) Quanto à informação temática o mapeamento pode ser: do relevo, florestal, de uso do solo, hidrográfico, pedológico, de limites de imóveis urbanos ou rurais, de obras de engenharia, de recursos naturais, etc. É comum o levantamento multifinalitário, onde diversas informações são levantadas, tornando a planta útil a diversos fins. c) Quanto à posição, em relação à superfície terrestre, em que é feito o levantamento: superficial, subterrâneo, batimétrico - se o levantamento é de informações da superfície terrestre, de túneis ou minas ou de fundos de lagos e rios, respectivamente. È notável hoje a demanda por levantamentos batimétricos; uma forma de equacionar o assoreamento de nossos lagos e rios. 1.- ETPS DE UM LEVNTMENTO PLNMÉTRCO. Planejamento: no planejamento deve-se definir, principalmente, a finalidade, a escala máima, os equipamentos e os métodos. Relacionar a finalidade com os instrumentos e os métodos a serem usados e determinar, a priori, a escala máima, é conhecimento que se adquire, na integralidade, com a prática. Reconhecimento da área e elaboração de croqui: consiste em vistoriar a área in loco, através de um mapa em escala pequena (1:50.000, por eemplo), de uma foto aérea ou de imagens orbitais e fazer um esboço da área a ser levantada, mostrando os temas que deverão ser mapeados e definindo a posição dos pontos de apoio. Materialização e levantamento dos pontos de apoio: empregando método adequado (poligonação, triangulação, trilateração, triangulateração ou levantamento por satélites de 78

3 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos posicionamento) levantar os dados e informações dos pontos de apoio. Desses métodos, somente poligonação será enfatizado nestes tetos. Levantamento dos pontos temáticos (pontos de interesse ou detalhes): empregando os diferentes métodos (método do alinhamento, das ordenadas, irradiação, interseção angular, etc), estudados no item 3 desse capítulo, mapear os diferentes temas. Processamento dos pontos de apoio: processar os dados levantados para os pontos de apoio corrigindo os erros, determinando as coordenadas, suas covariâncias e avaliando a qualidade das observações realizadas. estimativa de variâncias e covariâncias de pontos de apoio não serão realizadas neste teto para não torná-lo demasiadamente etenso. Processamento dos pontos temáticos: processar os dados dos pontos temáticos levantados, corrigindo-os dos erros e gerando o Modelo Numérico do Terreno com qualidade - das observações e das coordenadas resultantes - devidamente avaliada. Neste teto serão realizadas apenas propagação de variâncias. Desenho da Planta: transformar a descrição numérica do terreno em descrição gráfica, uma forma de visualizar a área mapeada e possibilitar a concepção de projetos. Redação do memorial descritivo: redigir o Memorial Descritivo, um teto que descreve os limites do lote urbano ou rural levantado. É o documento legal que possibilita a confecção da escritura do terreno. Redação do relatório técnico: redigir o relatório técnico descrevendo a finalidade do levantamento bem como os métodos e instrumentos empregados. - SSTEM TOPOGRÁFCO DE REFERÊNC Obviamente que, para transformar coordenadas polares (ângulos e distâncias) em coordenadas cartesianas é necessário materializar o sistema de referência a ser empregado. Um sistema de referência pode ser definido (fiação teórica), arbitrado ou realizado (materializado); e sendo dado um sistema de referência cartesiano fio, qualquer ponto do espaço é determinado de maneira única por suas coordenadas. definição de um sistema é feita estabelecendo a origem e as direções e sentidos positivos dos eios de coordenadas. definição de um sistema topográfico ideal depende principalmente da etensão da área a ser levantada. O sistema pode ser para um município inteiro ou apenas para um lote urbano visando a locação e realização de projetos arquitetônicos ou monitoramento de estruturas. De forma geral, um sistema topográfico pode ser definido como, Figura 5.: Origem: Um ponto qualquer (ou no centro da área a ser mapeada, a fim de reduzir o efeito da curvatura da terra) sobre a superfície física (ou na superfície do nível médio da região ou ainda, do nível médio dos mares, a fim de homogeneizar as distâncias, corrigindo-as do efeito a altitude). Uma prática comum em levantamentos de lotes pequenos é posicionar o sistema de forma que toda área a ser levantada fique no primeiro quadrante e não haja assim coordenadas negativas. 79

4 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos Eio z: Tem a direção definida pelos pontos nadir e zênite do ponto de origem e o sentido positivo é o dirigido para o zênite. direção nadir-zênite é a direção da vertical, materializada pelo fio de prumo. Eio y: Tem a direção definida pela tangente ao meridiano que passa pela origem e o sentido positivo é o dirigido para o norte. Eio : direção do eio é a da perpendicular aos eios z e y que passa pela origem e o sentido positivo é o que torna o sistema topográfico detrógiro ou sistema da mão direita lembrando que o eio é representado pelo polegar, o y pelo indicador e o z pelo dedo médio. z y Norte Centro da área a ser mapeada O z y Norte O Nível médio da região Vertical de O z O y Norte Nível médio dos mares (NMM) Figura 5.- Definição do sistema topográfico de referência Em ciências eperimentais como a topografia, um sistema de referência deve ser, além de definido, materializado ou realizado. Se o levantamento a ser eecutado é planimétrico e são medidas distâncias horizontais, o sistema topográfico é materializado conhecendo-se, no mínimo, um ponto planimétrico - ponto com coordenadas e y conhecidas - e o azimute de um alinhamento. Se forem medidos somente ângulos horizontais há necessidade de se conhecer também uma distância horizontal. Naturalmente o sistema pode ser materializado conhecendo-se dois ou mais pontos planimétricos. Caso sejam conhecidas as coordenadas de dois pontos planimétricos em vez de as coordenadas de um ponto e um azimute, este deve ser determinado a partir das coordenadas topográficas conhecidas. 80

5 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos 3- ZMUTES PRTR DS COORDENDS TOPOGRÁFCS Figura 5.3 mostra pontos de coordenadas conhecidas, e K, e um sistema de coordenadas paralelo ao sistema topográfico, passando por. O ponto K, ponto para o qual se quer calcular o azimute, está representado em todos os quadrantes definidos por esse sistema. Se o ponto K estiver no primeiro quadrante em relação ao ponto de partida, as diferenças de coordenadas, ou componentes vetoriais, definidas como: X = X X e (5.1) K K Y = Y Y, (5.) X são positivas e o arctg( ) Y está no primeiro quadrante, é maior que zero e igual ao azimute de para K, ou seja, se o ponto K Z XK X = arctg( ). (5.3) Y Y K Y N N 1 o Quadrante K arctg( X Y ) < 0 X = XK X ; > 0; +. K > 0; + Y < 0; X Y = YK Y ; > 0 ; +. O 4 o Quadrante o Quadrante L K > 0; + X < 0; Y < 0; X X arctg( Y 3 o Quadrante ) > 0 arctg( S X Y ) < 0 K < 0; Y O Figura 5.3 zimutes a partir de coordenadas topográficas X 81

6 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos Se o ponto K estiver no segundo quadrante, X > 0 e Y < 0, verifica-se na Figura 5.3 que: XK X o Z = arctg( ) (5.4) Y Y K X uma vez que arctg( ) < 0. Y Caso e Y sejam menores que zero, o ponto K estará no terceiro quadrante, o X X arctg( Y ) será positivo e o azimute de para K será dado também pela equação 5.4. á se o ponto X K estiver no quarto quadrante, X < 0 e Y > 0, o arctg( ) Y será negativo e igual a: XK X o Z = arctg( ) (5.5) Y Y K X ou o calcular azimutes a partir de coordenadas é necessário se atentar para os casos em que Y é igual a zero. Figura 5.4 mostra esses casos. Nela, X = X 0 e K = Y = Y = 0, não havendo para esse último caso, como calcular X arctg( Y ). Y K X Figura 5.4 Casos especiais no cálculo de azimutes Como, de acordo com a equação (5.1), X > 0, o azimute de para é 90º e como X < 0, o azimute de para é 70º. Da mesma forma, como, de acordo com a equação (5.), Y < 0, o azimute de para K é 180º e como Y K > 0 o azimute de K para é zero. 8

7 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos EXERCÍCOS: i) Conhecendo as posições dos pontos (1319,378 m; 157,66 m) e K(1635,557 m; 177,340 m), calcular Z K. ii) dmitindo que tais coordenadas são variáveis aleatórias, não correlacionadas, com variâncias iguais a 1mm ; calcular a variância da variável aleatória Z K. iii) Elaborar um algoritmo para calcular azimutes a partir das coordenadas topográficas. 4- METODOS PR LEVNTMENTO DE PONTOS TEMÁTCOS: Realizado um sistema topográfico e instalado um teodolito ou estação total em um ponto de coordenadas conhecidas ponto de apoio - pode-se, empregando métodos adequados, medir ângulos e/ou distâncias relativas aos pontos temáticos, ou de interesse, próimos ao instrumento, e então transformar as coordenadas polares em cartesianas relacionadas ao sistema de coordenadas do ponto de apoio. seguir serão estudados os diferentes métodos de posicionamento de pontos temáticos. 4.1 Método do alinhamento O método do alinhamento pode ser empregado quando se conhecem as coordenadas de dois pontos e o ponto a ser determinado encontra-se na direção definida por eles, como mostra a Figura 5.5. Nesse caso, a única observação ou medida necessária é a distância, ao longo do alinhamento, de um ponto conhecido ao ponto desconhecido. Portanto o problema, de acordo com a Figura 5.5, se resume em: Dadas as coordenadas de dois pontos: X, Y, X e Y ; observada a distância horizontal ao longo do alinhamento, DH ; determinar as coordenadas do ponto ; X, Y ; e suas covariâncias. Da Figura 5.5 observa-se que: e Mas X = X + DH sen θ, (5.6) Y = Y + DH cos θ. (5.7) e sendo X X sen θ =, (5.8) Y Y cos θ =, (5.9) ( X X ) + (Y Y =. (5.10) ) 83

8 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos y θ DH cos DH θ Y sen DH θ X Figura 5.5 Método do alinhamento Portanto, e X Y = X X X + DH (5.11) = Y Y Y + DH. (5.1) não havendo necessidade de determinar o ângulo θ. dmitindo fias e sem covariâncias as coordenadas dos pontos e e aplicando a lei de propagação das variâncias às equações (5.11) e (5.1), tem-se: X X σ X = σdh (5.13) E Y Y σ Y = σdh (5.14) X X Y Y σ = σ (5.15) XY DH EXERCÍCOS: 84

9 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos i) Considerando que as coordenadas dos pontos e também são variáveis aleatórias, correlacionadas e com covariâncias iguais a: σ X, σ, σ, σ, σ, σ, σ, σ, σ e σ Y X Y determinar as covariâncias das coordenadas X e Y. ii) Dadas, de acordo com a Figura 5.6, as coordenadas: X = 5,15 m,y = 653,78 m, X = 536,38 m, Y = 154,5 m. Observação: a distância horizontal com o seu desvio padrão: DH = 13,30 m ± 0,01 m Determinar: as coordenadas do ponto j e seus desvios padrão. iii) Elaborar um algoritmo para determinar coordenadas topográficas pelo método do alinhamento. X Y X X X Y X Y X Y Y Y ; X = 5,15 m Y = 653,78 m DH = 13,30 ± 0.01 m X = 536,38 m Y = 154,5 m Figura 5.6: Levantamento pelo método do alinhamento. 4. Método das ordenadas: O método das ordenadas pode ser empregado quando se conhecem as coordenadas de dois pontos e é possível medir a distância, ao longo do alinhamento, de um ponto conhecido à interseção da perpendicular ao alinhamento que passa pelo ponto de interesse, e a distância, ao longo dessa perpendicular, do alinhamento entre os pontos conhecidos ao ponto desconhecido, como mostra a Figura 5.7. Portanto esta técnica, de acordo com a Figura 5.7, consiste em: Dadas: as coordenadas de dois pontos: X, Y, X e Y Observações: a distância horizontal ao longo do alinhamento, DH, e a distância horizontal perpendicular ao alinhamento, DH. ncógnitas: as coordenadas do ponto : X, Y e suas covariâncias. 85

10 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos Da Figura 5.7 observa-se que, para as mesmas observações DH e DH há duas posições possíveis para o ponto : uma à esquerda e outra à direita do sentido. Se o ponto está à esquerda, como na Figura 5.7, e X = X DH cos θ (5.16) Y = Y + DH sen θ (5.17) y DH θ cos θ DH senθ θ DH DH. Y X Figura 5.7 Método das ordenadas Por outro lado, se o ponto está à direita do sentido, e X = X + DH cos θ (5.18) Y = Y DH sen θ (5.19) Como senθ e cosθ são dados pelas equações (5.8) e (5.9) e as coordenadas do ponto pelas equações (5.11) e (5.1), tem-se que: e X X Y Y X = X + DH m DH. (5.0) Y Y X X Y = Y + DH ± DH. (5.1) Empregando o sinal - para determinar X, eq. (5.0) e + para determinar Y, eq. (5.1), se o ponto está à esquerda do sentido. 86

11 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos Considerando fias as coordenadas dos pontos e e aplicando a lei de propagação das variâncias ás coordenadas resultantes, tem-se: X X Y Y σ = σ + σ (5.) X DH DH Y Y X X σ = σ + σ (5.3) Y DH DH X X Y Y Y Y X X σ = σ σ, (5.4) XY DH DH admitindo que as distâncias DH e DH sejam não correlacionadas, ou seja, σ DH = o. DH EXERCÍCOS: i) Dadas, de acordo com a Figura 5.8, as coordenadas: X = 5,15 m,y = 653,78 m, X = 536,38 m, Y = 154,5 m Observações: s distâncias horizontais com seus desvios padrão: DH = 13,30 m ± 0,01 m e DH = 9,3 ± 0,01 m Determinar: as coordenadas do ponto e sua covariâncias. ii) Elaborar um algoritmo para determinar coordenadas topográficas pelo método das ordenadas. X = 5,15 m Y = 653,78 m DH = 13,30 m ± 0.01 m DH = 9,3 m ± 0.01 m. X = 536,38 m Y = 154,5 m Figura 5.8: Levantamento pelo método das ordenadas. 87

12 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos 4.3 nterseção Linear: Este método deve ser empregado quando se conhecem as coordenadas de dois pontos e são medidas somente as distâncias horizontais dos pontos conhecidos ao ponto temático, como mostra a Figura 5.9. ssim, o problema da interseção linear, de acordo com a Figura 5.9, se resume em: Dadas: as coordenadas de dois pontos - X, Y, X e Y Observações: as distâncias horizontais dos pontos conhecidos aos pontos de interesse: DH e DH. ncógnitas: as coordenadas do ponto desconhecido; X, Y e suas covariâncias. y DH DH Y X Figura 5.9 nterseção linear: método de posicionamento de pontos temáticos Por ora, sugere-se ao estudante que pense e busque a solução desse problema. solução dele, bem como a propagação das covariâncias, será tratada em teto específico, relativo a posicionamentos precisos. 4.4 nterseção ngular: Este método deve ser empregado quando se conhecem as coordenadas de dois pontos e são medidos somente os ângulos horizontais entre os alinhamentos formados pelos pontos conhecidos e o temático, como mostra a Figura Portanto, esta técnica, de acordo com a Figura 5.10, consiste em: Dadas: as coordenadas de dois pontos - X, Y, X e Y Observações: os ângulos horizontais horários α e α. ncógnitas: as coordenadas dos pontos de interesse, X, Y, e suas covariâncias. 88

13 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos Esta técnica, aplicando também a propagação de covariâncias, será estudada em teto específico sobre posicionamentos de alta precisão. Porém, o estudante ganhará em raciocínio e em conhecimento ao tentar desde já, a sua solução. Fica, por ora, como eercício. y α Y α X Figura 5.10 nterseção angular: método de posicionamento de pontos temáticos 4.5 rradiação: Emprega-se o posicionamento por irradiação quando são conhecidas as coordenadas de duas estações ou, no mínimo, as coordenadas de uma estação e um azimute de referência, e é possível medir distâncias e ângulos horizontais da estação ao ponto desconhecido. Na irradiação as coordenadas dos pontos temáticos são determinadas em função das distâncias horizontais e dos azimutes. Na Figura 5.11 verifica-se que as coordenadas relativas, ou componentes vetoriais, do ponto 1, podem ser determinadas por: e X = DH sen Z (5.5) Y = DH cos Z (5.6) á as componentes vetoriais do ponto, X e Y estão em função de θ e não do azimute; mas = 180, portanto, θ Z sen = sen Z X = DH sen Z e Y = DH cos Z. θ e cos θ = cos Z ; conseqüentemente, Pode se verificar então, que para um ponto em qualquer quadrante, e X = DH sen Z (5.7) 89

14 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos Y = DH cos Z (5.8) Logicamente, as coordenadas de, no sistema de referência de, são obtidas adicionando as componentes vetoriais às coordenadas de, ou seja, Y N N 4 DH 4 X 1 = DH 1 sen Z 1 > 0, + 1 Z 1 DH 1 Y 1 1 = DH1 cos Z ; > 0 ; + Z 4 Y DH 3 3 Z 3 θ Z DH Y = DH1 cos θ; < 0 ;. = DH sen θ > 0, X + O X X Figuras 5.11 Coordenadas em função das distâncias e dos azimutes. e X = X + DH sen Z (5.9) Y = Y + DH cos Z (5.30) plicando a lei de propagação das variâncias às coordenadas resultantes, tem-se: σ σ (5.31) X = σ X + sen Z σdh + (DH cos Z ) Z σ σ (5.3) Y = σ Y + cos Z σdh + ( DH senz ) Z σ σ (5.33) X = σ + senz cos Z Y X Y σ DH (DH cos Z ) (DH senz ) Z Uma vez que não há correlação entre azimutes e distâncias, ou seja, σ 0. DH Z = 90

15 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos s distâncias horizontais da estação para todo e qualquer ponto temático podem ser medidas com trena ou empregando algum método indireto. Os azimutes poderiam ser medidos diretamente a partir do norte materializado por uma agulha imantada. Porém recuperar posteriormente a direção materializada por agulha imantada, na locação de um projeto, por eemplo, pode ser difícil devido à instabilidade do campo magnético terrestre. Por isso, recomenda-se medir o azimute de uma direção devidamente materializada, atribuir esse azimute à direção, medir os ângulos horizontais horários ou anti-horários a partir dela e transformar os ângulos medidos em azimutes. Portanto, conhecendo um azimute e medindo devidamente ângulos horizontais, transformam-se os ângulos medidos em azimutes e só então, calculam-se as coordenadas de interesse. seguir serão estudadas as diferentes formas de se obter o azimute inicial ou azimute de referência - e de transformar os ângulos horizontais medidos em azimutes. 5- ZMUTES PRTR DE ÂNGULOS HORZONTS Conhecidas as coordenadas de dois pontos, o azimute do alinhamento pode ser determinado a partir da função arctg equação (5.3). No entanto, agora não se conhece as coordenadas dos pontos envolvidos e o problema é: dado o azimute de um alinhamento de referência e um ângulo horizontal entre este alinhamento e outra direção qualquer, determinar o azimute da direção. 5.1 Conhecendo-se um azimute de referência Na Figura 5.1, REF é um alvo de referência, uma linha vertical ou um ponto bem definido, estável e fio. Pode ser, por eemplo, a ponta de um pára-raios. Este alvo, juntamente com o ponto conhecido devidamente materializado no campo, ponto, realiza a direção de referência, a partir da qual são medidos os ângulos horizontais. s coordenadas da estação, bem como o azimute de referência, podem ser arbitrados. y REF Z REF α DH Y Y β X X Figura 5.1 zimute empregando um alvo de referência 91

16 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos ssim, dado um azimute de referência, Z REF, e medido um ângulo horizontal horário, α, ou anti-horário, β, entre a direção de referência e outro alinhamento qualquer; determinar o azimute desse alinhamento, Z da Figura 5.1. Na Figura 5.1 verifica-se que o azimute de para todo e qualquer ponto pode ser determinado a partir do ângulo horário medido, REF Â = α, da seguinte forma: Z = Z + α. (5.34) REF Caso o valor encontrado ultrapasse 360º, subtrai-se 360º. Vale lembrar que no cálculo de funções trigonométricas, somar ou subtrair 360º, ou seus múltiplos, é irrelevante. Observe que se fosse medido o ângulo anti-horário REF Â = β, ter-se-ia: Z = Z β (5.35) REF e, como no caso da Figura 5.1, o valor encontrado é menor que zero, soma-se 360º. plicando lei de propagação das variâncias ao azimute determinado a partir do ângulo observado, admitindo que o azimute de referência foi arbitrado, tendo portanto variância nula, tem-se: Z α σ = σ. (5.36) 5. Conhecendo-se as coordenadas de dois pontos Se se conhecem as coordenadas de dois pontos, devidamente materializados em campo, o azimute do alinhamento de referência é determinado em função delas. Dessa forma, o problema é: dadas as coordenadas de dois pontos, X, Y, X e Y, e observados o ângulo horário α, determinar Z. Neste caso há duas possibilidades: Ângulo medido e azimute determinado com vértices na mesma estação Este caso, mostrado na Figura 5.13, é idêntico ao do item 5.1, eceto pelo fato de o azimute de referência ser determinado a partir das coordenadas conhecidas, como mostrado no item 3 deste capítulo Ângulo medido e azimute determinado com vértices em estações diferentes 9

17 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos Na Figura 5.14 verifica-se que o azimute de, ou de, para pode ser determinado a partir do ângulo horário da seguinte forma: o ZREF + α 180 Z = +, (5.37) y y α Z REF Z REF DH α DH Y Y X a Figura 5.13 zimute determinado e ângulo medido, em uma mesma estação. X b y Z REF y α α Z REF β DH DH Y β Y X X a b Figura 5.14 zimute determinado e ângulo medido, em estações diferentes. caso o valor encontrado ultrapasse 360º, subtrai-se 360º, ou, Z o ZREF + α 180 =, (5.38) 93

18 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos sendo que neste caso há que se fazer duas verificações: Se o valor encontrado for maior que 360º, subtrai-se 360º; Se menor que zero, soma-se 360º. No entanto, vale lembrar mais uma vez que, no cálculo de funções trigonométricas, somar ou subtrair 360º, ou seus múltiplos, é irrelevante. ˆ Pode-se verificar que, caso ângulo medido seja o anti-horário, = β, na Figura 5.14-b, o azimute de, ou de, para é dado por: Â = β i, na Figura 5.14-a ou ou o Z REF β 180 Z = + (5.39) Z o Z REF β 180 = (5.40) havendo a necessidade de verificar se o valor encontrado é maior que 360º ou menor que 0 o. Outra forma utilizada em algumas bibliografias para determinar azimutes a partir de ângulos horizontais horários medidos em estações diferentes de onde se conhece o azimute é: Z = Z + α (5.41) REF havendo aqui a necessidade, antes mesmo de empregar Z em cálculos de funções trigonométricas, de se fazer as seguintes verificações: Se o valor encontrado for menor que 180º, soma-se 180º; Se maior que 180º e menor que 540º, subtrai-se 180º; Se maior que 540º, subtrai-se 540º. pós encontrar o azimute da estação ao ponto visado; as coordenadas do ponto, bem como suas covariâncias, podem ser determinadas empregando as equações (5.9) a (5.33). EXERCÍCOS: i) Determinar os azimutes de 1 para, de para 3 e de 3 para 4, mostrados na Figura 5.15, em função do azimute de referência e dos ângulos observados. ii) Realizar o eercício anterior admitindo que agora são medidos os ângulos anti-horários: 01ˆ = β1, 1ˆ3 = β, 3ˆ4 = β3, L iii) Determinar, ainda relativo ao eercício i, as variâncias dos azimutes de 1 para e de 3 para 4, sabendo que os ângulos são medidos sem correlação e com uma precisão de 7. 94

19 Topografia: planimetria para engenheiros grimensores e Cartógrafos iv) Foi realizado um levantamento por irradiação da área mostrada no croqui abaio - Figura , com um instrumento que, de acordo com seu certificado de calibração, permite medir ângulos com um desvio padrão de 5 e distâncias taqueométricas um erro médio de 1/500. Tabela 5.1 apresenta os dados e as informações levantadas. Pede-se: determinar as coordenadas dos pontos temáticos e seus desvios padrão. v) Elaborar um algoritmo para determinar coordenadas topográficas e suas covariâncias pelo método das irradiações. y 0 α Z REF α 1 4 α 3 Y X 1 Figura 5.15 zimutes a partir de ângulos horizontais horários. NM REF Z REF Ângulo horário RÔ1 1 Distância horizontal O1 5 O Ângulo horário RÔ 3 Distância horizontal O 4 Figura 5.16 Levantamento planimétrico por irradiação 95

20 Rodrigues, D. D Levantamento planimétrico de pontos temáticos ESTÇÃO: O Tabela 5.1: arquivo de informações topográficas levantadas no campo por irradiação zimute de referência: Z O-REF = 0º 30 ; σ Z = 0 Data: 01/04/007 Pto Visa do Descrição temática Ângulo horário observado Leituras estadimétricas FS FM F (m) (m) (m) Ẑ o DH (m) zimute calculado 1 Limite lote 13º 8 1,85 1,778 1, Limite lote 103º 10 1,503 1,358 1, árvore 183º 0 0,77 0,638 0, Limite lote 10º 19,053 1,580 1, Limite lote 3º 45 3,41 3,103, Largura da rua = 4,80 m té há pouco tempo o que limitava a etensão de uma área a ser levantada a partir de uma única estação era, principalmente, a imprecisão dos instrumentos para grandes distâncias. Não se devem medir distâncias acima de cem metros por taqueometria, por eemplo. Hoje, com o advento das estações totais é possível medir distâncias de até 3000 metros, o que possibilita o levantamento de grandes áreas de um único ponto de apoio. Obviamente que, do ponto de apoio, é necessário visualizar todos os pontos de interesse. s precisões dos pontos levantados podem ser avaliadas a partir dos desvios padrão das direções e das distâncias do instrumento devidamente calibrado. precisão da planta ou do arquivo de coordenadas pode ser avaliada a partir das covariâncias dos pontos. No entanto, se a visibilidade é limitada e a área é ainda maior, é necessário estabelecer outros pontos de apoio, todos relacionados a um mesmo sistema de referência. 96