Funções de Duas variáveis & Geometria Analítica

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1 Funções de Duas variáveis & Geometria nalítica ula de hoje : Sistemas de coordenadas & Cálculos de Triangulação 1 Sistema Cartesiano! Chama-se Sistema de Coordenadas Cartesianas ou espaço cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com n dimensões! Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana. 2

2 Sistema Cartesiano! P(x,y)! x- eixo das abscissas! y- eixo das ordenadas! Coordenadas retangulares! Coordenadas cartesianas 3 Distancia entre dois pontos! considerando dois pontos no plano cartesiano, é recorrente a necessidade de se aferir a distancia entre tais pontos.! Usando-se coordenadas cartesianas e o teorema de pitágoras podemos dizer a a distancia d entre os dois pontos é dada pela formula P2(x2,y2) 0 D P1(x1,y1) d = P1P2 = (x2! x1) 2 + (y2! y1) 2 4

3 Coordenadas polares! Outra forma de se criar referencias a pontos é um sistema de coordenadas circulares no qual se usa os conceitos de raio e de ângulos.! s coordenadas polares de um ponto M sobre o plano euclidiano cuja origem é denotada por O são:! distância r de M até a origem O,! O ângulo! formado entre OM e O, onde é um ponto fixo arbitrário diferente de O que serve como referência. 5 Coordenadas polares! É comun, querer expressar um ponto que está num sistema de coordenadas polares em coordenadas cartesianas.! Para tanto deve-se tomar a origem do primeiro sistema coincidindo com a do segundo.! Depois basta usar as relações trigonométricas já conhecidas: x = r.cos! y = r.sen! r = x 2 + y 2 "! = arctg y % # $ x & ' 6

4 Exemplo! Encontre as representações retangular (cartesiana) do ponto P=(6,7"/4) e polar do ponto Q=(-#3,-1). 7 Exemplo Para o ponto P=(6, 7"/4) x = r.cos! x = 6.cos 7" 4 = 3 2 = 4,24 y = r.sen! y = 6.sen 7" 4 = #3 2 = #4,24 0 P(4.24,-4.24) 8

5 Para o ponto Q=(-#3, -1) Exemplo r = (! 3) 2 + (!1) 2 = 2 # " = arctg y & #!1 & $ % x ' ( = arctg $ %! 3 ' ( = arctg # 1 & $ % 3 ' ( = 0,5236rad " = 0,5236rad ou "=30º para converter de radiano para graus usamos a regra de 3 simples 2! rad º 0,5246 rads x x= 360º.0,5246 = 180º.0,5246 = 30º 2) ) gora basta ajustar o ponto... sabemos que pelo ponto em coordenadas cartesianas Q(- 3,!1) esse ponto só pode estar no III Quadrante, logo para ajusta-lo precisamos somar 30º com 180º o angulo real de "=210º Q(2,0.5236) Q(2, rad) ø=210º 0 r=2 9 Topografia! Em topografia, as representações de delineamento de um terreno são feitas, utilizando uma poligonal(alinhamento) cujos pontos são dados em coordenadas polares.! s distâncias e os ângulos são medidos no campo! Os ângulos são medidos com o teodolito e definidos da seguinte forma... 10

6 zimute! zimute é o angulo que tem o semi-eixo polar fixado na direção norte ou o semi-eixo positivo y, e é tomado no sentido horário! medida do azimute varia de 0º a 360º conforme o gráfico P Z 0 11 zimute! Considerando OP, isto é,partindo do ponto O para o ponto P, denota-se o azimute do ponto O na direção de P por Z PO 0 ZPO ZPO' P! Ilustrada no gráfico ao lado, a representação cartesiana de x e y, considerando o ângulo Zpo, para isso temos que:! x=r senzpo P'! y=r coszpo 12

7 Exemplo! Considerando um caminho de até, conforme o gráfico abaixo, represente em coordenadas retangulares Yb Zab Ya Xa Xb 13 Exemplo! Tomando-se o ponto de origem temos:! Xb= sen Zab! Yb= cos Zab Yb Zab! Onde é a distancia dos pontos para, muitas vezes expressa como r. Ya! como tomamos o O como origem as equações ficam: Xa Xb! Xb=Xa + sen Zab! Yb=Xb + cos Zab 14

8 Exemplo 2! Encontre as coordenadas do ponto C a partir de, do exemplo anterior, considere que o valor do segmento C é conhecido e considere o ponto como origem Yb Zbc Yc Zab C Ya Xa Xb Xc 15 Exercício! Solução: Yb Zbc! Xc=Xb +C sen Zbc Yc Zab C! Yc = Yb -C coszbc Ya! Substituindo a equação passada em Xb e Yb Xa Xb Xc! Xc= sen Zab +C sen Zbc! Yc=cos Zab -C cos Zbc! Isso faz sentido pois Yc < Yb Seno Cosseno C 16

9 Exemplo! O levantamento por interseção direta consiste na determinação de um ponto pela interseção das visadas feitas das extremidades de um alinhamento, denominado base para esse ponto. M! Encontre as coordenadas retangulares do ponto M do Triângulo, conhecendo as coordenadas de e e os azimutes Zam, Zab, Zba e Zbm, conforme o gráfico a seguir Zam Za =ase Zm Zba 17 Solução! Para encontrar as coordenadas de M é necessario conhecer o comprimento de M ou de M.! Considerando $=Zab - Zam! Considerando ß=Zbm - Zba! Temos também que %+$+ß =180º... %=180º -($+ß) Zam M " ß Zba! Za Zm 18

10 Solução! Pela lei dos senos: M M = senß sen! e M= sen" sen! Zam " ß Zba! Za Zm Lei dos senos 19 Solução! Conhecida as coordenadas (Xa,Ya) e ( Xb,Yb) teríamos finalmente: Xm = Xa + MsenZam Ym = Ya + M cos Zam M Zam Zm Zba Za 20

11 Desafio! Com base no exemplo anterior resolva o seguinte:! Calcule as coordenadas do ponto M, levando por interseção direta a partir da base, definida por: Zam=42º 418,5 metros M Zm=310º! Zab=108º (500,700) Za=108º! =418,5m e (500,700)! Tendo medidos! Zam = 42º e Zbm=310º 21