LÓGICA MATEMÁTICA Prezado (a) Aluno (a),

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1 LÓGICA MATEMÁTICA Prezado (a) Aluno (a), Seja bem-vinda ao aprendizado da disciplina Lógica Matemática que, por sua vez, faz parte da grade curricular de várias ciências, como informática, Engenharia, Física etc. Sabe-se que quando há diálogo entre professor e aluno (viceversa), o ensino-aprendizado flui tranquilamente, em decorrência disso, sempre que precisar entre em contato com o seu professor. O conteúdo desse tópico da matemática objetiva auxiliar o alunado no desenvolvimento do raciocínio lógico, da compreensão de conceitos básicos e da verificação formal da linguagem matemática visando disciplinas futuras que utilizam algoritmo e programação.

2 Sistemas numéricos Definição: São sistemas de notação usados para representar quantidades abstratas denominadas números. Um sistema numérico é definido pela base que utiliza. A base é o número de símbolos diferentes, ou algarismos, necessários para representar um número qualquer, dos infinitos possíveis no sistema. Por exemplo, o sistema decimal, utilizado hoje de forma universal, utiliza dez símbolos diferentes ou dígitos para representar um número e é, portanto, um sistema numérico na base 10.

3 Valores posicionais Em um sistema de número posicional, um número é representado por uma seqüência de dígitos onde cada posição de dígito tem um peso associado. Tomando como exemplo o sistema decimal, ou base 10, que é sistema numérico que utilizamos diariamente (0, 1, 2,... 9), o valor D de um número decimal de 4 dígitos d 3 d 2 d 1 d 0 é D = d 3 * d 2 * d 1 * d 0 *10 0. Cada dígito d i tem um peso de 10 i. Por exemplo, o número (base 10) é a representação de 3* * * * * * *10 0.

4 Aritmética Binária Esta seção apresenta as quatro operações básicas no sistema binário: adição, subtração, divisão e multiplicação. Sistema Binário O sistema binário, ou base 2, apresenta unicamente dois dígitos: 0,1. Neste sistema a contagem é realizada como segue: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000,...

5 Conversão Binário para Decimal Sendo binário um sistema de número posicional, o valor B de um número binário de 7 dígitos b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 é B = b 6 *2 6 + b 5 *2 5 + b 4 *2 4 + b 3 *2 3 + b 2 *2 2 + b 1 *2 1 + b 0 *2 0. Cada dígito b i tem um peso de 2 i. Assim o valor binário b é calculado como segue b = 0*2 0 +1*2 1 +0*2 2 +1*2 3 +0*2 4 +1*2 5 +0*2 6 +1*2 7 = 170 d. Esta é a conversão de um número binário para decimal. Outro exemplo b = =153 d.

6 Conversão Decimal para Binário No sistema decimal, por exemplo, o número 654 corresponde a 4 unidades, 5 dezenas e 6 centenas. Para verificar isto, divide-se o número pela sua base (que é 10): 654/10 = 65 Resto 4 (*1) 65/10 = 6 Resto 5 (*10) 6/10 = 0 Resto 6 (*100) Para a conversão de decimal para binário utilizamos o mesmo processo. Por exemplo, para obtermos o correspondente binário do número 200 d, dividimos primeiramente este valor por 2 e anotamos o resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o dividendo da operação anterior por 2 e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é repetido até a última divisão, conforme abaixo:

7 200/2=100 Resto 0 100/2= 50 Resto 0 50/2 = 25 Resto 0 25/2 = 12 Resto 1 12/2 = 6 Resto 0 6/2 = 3 Resto 0 3/2 = 1 Resto 1 1/2 = 0 Resto 1 O correspondente binário de 200 d é obtido unindo-se os restos da divisão por 2 na ordem inversa, assim 200d= b. Ex: 1) Transformar: a) 190d em binário b) b em decimal c) 50d em binário d) b em decimal

8 Sistema Octal O sistema binário ou base 8 apresenta oito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Neste sistema, a contagem é realizada como segue: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20,... Conversão Octal para Decimal Sendo o sistema octal um sistema de número posicional, o valor O de um número octal de 4 dígitos o 3 o 2 o 1 o 0 é O = d 3 *8 3 + d 2 *8 2 + d 1 *8 1 + d 0 *8 0. Cada dígito o i tem um peso de 8 i. Assim o valor octal é calculado como segue = 5*8 0 +7*8 1 +1*8 2 = Esta é a conversão de um número octal para decimal.

9 Conversão Decimal para Octal Para a conversão de decimal para octal utilizamos o mesmo processo da conversão do sistema decimal para binário. Por exemplo, para obtermos o correspondente octal do número 200 d, dividimos primeiramente este valor por 8 e anotamos o resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o dividendo da operação anterior por 8 e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é repetido até a última divisão, conforme abaixo: 200/8= 25 Resto 0 25/8 = 3 Resto 1 3/8 = 0 Resto 3 O correspondente octal de 200 d é obtido unindo-se os restos da divisão por 8 na ordem inversa, assim 200 d =310 o.

10 Sistema Hexadecimal Na base hexadecimal tem-se 16 dígitos que vão de 0 à 9 e da letra A até F. Estas letras representam os números 10 d a 15 d. Assim nós contamos os dígitos hexadecimais da seguinte forma: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12,..., 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21,... Conversão Binário para Hexadecimal A conversão entre números binários e hexadecimais é simples. A primeira coisa a fazer é dividir o número binário em grupos de 4 bits, começando da direita para a esquerda, os lugares que faltam são complementados por zeros. Por exemplo, o número b ( = 43 d ), nós dividimos este em grupos de 4 bits e nós temos 10;1011. Nós completamos o último grupo com zeros: 0010;1011. Após nós tomamos cada grupo como um número independente e nós convertemos estes em dígitos decimais:

11 0010;1011=2;11. Mas desde que nós não podemos representar o número hexadecimal como 211 porque isto é um erro, nós temos que substituir todos os números decimais maiores que 9 pelas suas respectivas representações em hexadecimal, com o que nós obtemos: 2B h. A tabela abaixo pode auxiliar na conversão de números binário para hexadecimal

12 Afim de obter um número hexadecimal em binário é apenas necessário inverter os passos. Conversão Hexadecimal em Decimal Para converter um número hexadecimal em decimal, nós utilizamos a mesma fórmula utilizada na conversão binário para decimal, sendo que a base 2 é trocada por 16. Por exemplo, para converter B2A h em decimal: B -> 11*16 2 = 2816 d 2 -> 2*16 1 = 32 d A -> 10*16 0 = 10 d 2858 d

13 Conversão Decimal para Hexadecimal Para converter um número decimal em hexadecimal, nós utilizamos a mesma fórmula utilizada na conversão de um número decimal para binário, dividindo por 16 em vez de 2. Por exemplo, para converter 1069 d em hexadecimal: 1069/16= 66 Resto 13 d = D h 66/16 = 4 Resto 2 d = 2 h 4/16 = 0 Resto 4 d = 4 h R) 069 d = 42D h

14 EXERCÍCIOS 01) Represente os números na forma decimal: a) b) c) d) ) Converter número binário em número decimal: a) 110 b) c) d) ) Converter número decimal em número binário: a) 459 d b) d c) d d) 10 d 04) Converter número octal em número decimal: a) 32 o b) 137 o c) 2456 o d) o 05) Converter número decimal em número octal: a) 120 d b) 324 d c) 4576 d d) d 06) Converter número binário em número hexadecimal: a) 1001 b) c) d) ) Converter número hexadecimal em número decimal: a) 3AE h b) ADC2 h c) 5FE3 h d) 5A7D h 08) Converter número decimal hexadecimal em número hexadecimal: a) 135 d b) 1432 d c) 2567 d d) d

15 Aritmética Binária Adição Para somar dois números binários, fazem-se as contas coluna a coluna, da direita para a esquerda, como de costume, fazendo o transporte de um (<e vai um>) quando for o caso. Para isto, observe as seguintes operações básicas: = = = 0 (1 mais 1 é igual a 0 e vai 1) = 1(1 mais 1 mais 1 é igual a 1 e vai 1) Exemplos:

16 As operações com números decimais segue o mesmo princípio dos números inteiros, sendo necessário, agora, que alinhem-se as vírgulas antes de fazer a operação. *10, ,01 2 = X 2 10, , , Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) b) c) d) e) B5D16 + A2C16 f) C g) E5D F2A 16

17 Subtração Como o conjunto de símbolos contém apenas 2 dígitos, ao se efetuar a subtração parcial entre 2 dígitos, um do diminuendo e outro do diminuidor, se o segundo (diminuidor) exceder o primeiro (diminuendo), subtrai-se uma unidade ao dígito imediatamente à esquerda no diminuendo (se existir e o seu valor for 1), convertendo-o a 0. Em seguida, substituímos o diminuendo por 2, que corresponde à equivalência 1*2, da unidade extraída. Se o dígito imediatamente à esquerda for 0, procura-se nos dígitos consecutivos.

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19 A segunda forma de realizar a subtração, por exemplo de a-b, e realizar a soma de a por -b. Esta subtração é feita pelo chamado método do complemento de dois. O complemento de dois transforma um número positivo em negativo. Neste método, o diminuendo (a) é somado com o complemento de dois do diminuidor (- b). Note que o número de dígito dos operandos devem ser o mesmo: para isto complemente o operando com menor número de dígitos com zeros a esquerda (antes do complemento). Para realizar o complemento de dois, basta trocar os uns pelos zeros e vice-versa e adicionar um ao resultado. Por exemplo, a subtração de é feita da seguinte maneira: 1. Completa-se o número de dígitos do diminuidor: Realiza-se o complemento de dois do diminuidor: = Soma-se os dois operandos = Despreza-se o transporte final, pois, o resultado tem um bit a mais que os dois operandos: 1001

20 Uma subtração com números binários baseia-se em uma soma (!) onde o segundo termo é um número negativo. Antes disto, devemos entender o que é o Complemento de um Número e Complemento de 2 de um Número. Complemento (ou Complemento de 1) de um Número é a quantidade que falta para este número chegar ao maior valor da atual potência. Vamos tomar como exemplo o número decimal Na atual potência 10 3 o maior valor é Para que o número 4178 alcance o número 9999, faltam 5821 números, ou seja, 5821 é o complemento de Tratando-se de números binários, para encontrarmos o complemento de um número, basta invertermos todos os seus bits. Tomando o número como exemplo: Invertendo-se todos os seus bits descobrimos que o Complemento de é

21 Complemento de 2 de um Número nada mais é do que a quantidade que falta para este número chegar à próxima potência, ou seja, é o Complemento do número +1. Exemplo para o número novamente: O seu Complemento é e o Complemento de 2 é = Vale alertar também sobre sinais em números binários. O sinal é definido por um bit o primeiro que, quando ZERO quer dizer que o número é positivo, e, quando UM, que o número é negativo. Vejamos alguns exemplos: à = X 2 Primeiramente, os termos devem ter a mesma quantidade de bits e devemos achar o C 2 do 2º termo, ou seja, seu oposto = X 2 C2( ) = = Bit de Sinal

22 â Overflow Em algumas subtrações pode acontecer um Overflow, ou seja, ultrapassar o número de bits da subtração. O que devemos fazer é desconsiderar este bit. Resultado: = Um exemplo que dará resultado negativo: = = /2=13 resto=0 13/2=6 resto=1 6/2=3 resto=0 3/2=1 resto=1 ½=0 resto= = (1 significa negativo e 0 positivo)

23 Assim como na Soma, podemos fazer subtrações em binário com números não binários. Para isso, basta convertermos o número para a base binária antes de fazer a operação. 25, B,49 16 = X 2 25,46 8 à , B,49 16 à , à C2 = , , , , Ex.: Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) b) c) d) e) BB16 AA16 f) C g) h)

24 Multiplicação Deve-se realizar a operação semelhante à multiplicação decimal, exceto pelo fato da soma final dos produtos se fazer em binário. Para tal, as seguintes igualdades devem ser respeitadas: 0*0=0; 0*1=0; 1*0=0; 1*1=1 Exemplos: - Multiplicar os números 1011 e Converta para binário efetue as seguintes operações: Resolva: a) * 4210 b) 9610 * 8210 c) 638 * 348 d) 748 * 128

25 Divisão A operação de divisão de binário pode ser feita de maneira idêntica à divisão decimal, exceto pelo fato das multiplicações e subtrações internas ao processo serem feitas em binário. Exemplo: Dividir por 101. Converta para binário (quando necessário) e efetue as seguintes operações: a) / b) / 4 10 c) /

26 ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS. Existem duas constantes booleana: 0(zero) ou 1(um). Variável booleana é representada por letras que pode assumir valor 0 ou 1. Expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu resultado assume dois valores 0 ou 1. Exemplos: a) S = A.B B) S= A + B.C Existem propriedades da negação (complemento, inversor), multiplicação(porta AND = E) e soma (porta OR = OU) Demonstra-se cada uma através de tabelas-verdade, constatando a equivalência lógica.

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29 1ª) Absorção: Propriedades 1.1) A + (A.B) = A 1.2) A. ( A+ B) = A 2ª) Outras Identidades: 2.1) A + Ᾱ. B = A + B 2.2) (A + B). ( A + C) = A + BC 3ª) Regras de Morgan: 3.1) (A. B) = A + B 3.2) (A + B) = (A. B) 3.3) (A.B.C.....N) = A +B +C N 3.4) (A+B+C+... +N) = A.B +C..... N Eemplo: Utilizando transformações algébricas, mostre as identidades: a) A + A.B =A b) A. (A + B) = A c) (A+B). (A + C) = A + B.C d) A.B.C+.A.C +A.B = A

30 FORMAS NORMAIS (CANÔNICAS) - Toda expressão booleana pode ser escrita em forma padronizada denominada de Forma Normal ou Forma Canônica, que se apresentam de duas maneiras: - 1ª) Forma Normal Conjuntiva (FNC): Produto de Somas ou Produto de Maxtermos. - 2ª) Forma Normal Disjuntiva (FND): Soma de Produtos ou Produto de Mintermos. - Maxtermos: sua negação e variáveis de uma mesma linha são conevariável com valor 0 é deixada intacta; com valor 1 é alterada pela ctadas por adição (+). - Mintermos (ou minitermos): variável com valor 1 é deixada intacta; com valor 0 é alterada pela sua negação e variáveis de uma mesma linha são conectadas por multipicação (.).

31 A B C Maxtermo Mintermo A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C Obs.: FND só trabalha com saída 1 (soma dos produtos) e FNC só com saída 0 (produto das somas).

32 MAPAS DE VEITCH-KARNAUGH É outro método (grupos de mintermos) de simplificação das expressões booleanas. DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS: Ex.: 1) Simplifique usando Karnaugh. a) A B S b) A B S S = A + B S = A + B = (A. B)

33 a) A B S b) A B S S = A + B S = A + B = (A. B) A / B A / B S = A + B S = A + B

34 c) A B C S d) A B C S S = C +A.B S = A.C + A.B + A.C A/BC A/BC S = B. C + A.B + B.C S = A.C + A.B + B.C S = C + A.B

35 - PRICÍPIOS DA LÓGICA MATEMÁTICA A Lógica Matemática é constituída de três princípios, cujo objetivo é de compreender as relações que se estabelecem entre as proposições. Esses princípios são: 1 0 ) Principio da Identidade: se um enunciado é verdadeiro, então é verdadeiro. 2 0 ) Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 3 0 ) Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se um destes casos e nunca um terceiro. Para compreender melhor esses princípios da Lógica, devemos observar os seguintes conceitos.

36 - Proposição: é o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. 03- Valor Lógico de uma Proposição: é a verdade (V) se a proposição é verdadeira e a falsidade (F) se a proposição é falsa. Ex.: Determine o valor lógico de cada proposição: a) Belém é a capital do Estado do Pará. b) Sen 30 0 = ½ c) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 d) 9 é primo. e) < 3,34... f) (a b) 2 = a 2 b 2 g) Log 3 81 = 4 h) 52/52 = 0 As respostas a) V; b) V; c) V; d) F; e)v; f) F; g) V; h) F

37 - PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS - Proposição simples (ou Atômica): apresenta apenas uma proposição, sendo representada por letras minúsculas denominadas de letras proposicionais. Exemplo: p: 3 é um número primo. b) 2 é um número racional. - Proposição Composta (ou Molecular): é formada por mais de uma proposição, sendo representada por letras maiúsculas denominadas de letras proposicionais. Exemplo: João é rico e José é estudioso. Se Arero é Paysandu, então é feliz.

38 CONECTIVOS: são palavras, expressões ou símbolos usados para formar novas proposições a partir de outras. Abaixo temos os conectivos na linguagem corrente (usual) e na linguagem simbólica, respectivamente. não (~ ou ), e, mas (,, ), ou- inclusive ( ), ou... ou...- exclusive, mas não ambos ( ), se... então... ( ) e,... se e somente se,... ( ) a) Antonio não é gordo. b) Paulo é rico e João é vaidoso. c) Fátima é alegre e não é vaidosa. d) Adolfo é médico ou José é professor. - ou inclusive: pode acontecer ao mesmo tempo. e) Adolfo é paulista ou é mineiro. - ou exclusive: não pode acontecer ao mesmo tempo. f) Se Pedro é rico, então é feliz. g) Log 5 = 0,699, se e somente se, 5 é um número ímpar.

39 LÓGICA DOS PREDICADOS: 1) Qualquer que seja; Todo 2) Existe pelo menos um, alguns ᴲ 3) Existe um e um só ᴲΙ Ex.: 1) Qualquer que seja o número, sete é primo. 2) Existe pelo menos um número par entre 3 e 7. 3) Existe um e um só número ímpar pertencente ao conjunto A= {0,2,5,8}. TABELA-VERDADE É um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se um fórmula é válida. - Para construir uma tabela-verdade, utilizamos o seguinte procedimento: Número de linhas de uma tabela-verdade (L) é calculado pela fórmula L = 2 n, onde n é o número de proposições simples.

40 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES Negação (~): é uma proposição p representada por não p cujo valor lógico é a verdade quando p é falsa e a falsidade quando p é verdadeira. Nota: A negação deve aparecer na frente do verbo. p ~p palavra não (~) uso para proposição simples (frente o verbo) V F palavras Não é verdade que /É falso que simples ou composta. F V (na frente da proposição) ~V = F e ~F = V V(~p) = ~V(p) Exemplos: a) p: a derivada primeira da função do espaço representa a função velocidade (V). ~p: a derivada primeira da função espaço não representa a função velocidade (F). V(~p) = ~V(p) = ~V = F b) p: Log 1000 = 10 (F) e ~p: Log (V) V(~p) = ~V(p) = ~F = V

41 Exemplo: a) p: Maria é feliz ~p: Maria não feliz o ou Não é verdade que maria é feliz. b) p: Lobo é feroz e Carneiro é dócil. ~p: Não é verdade (ou É falso que) que o Lobo é feroz e o Carneiro é dócil. c) p: Maria é bonita ~p: Maria é feia. Conjunção ( ): conjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por p e q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. Coloca-se as palavras e ou a palavra mas entre as proposições p q p ^ q p: Lobo é feroz e Carneiro é dócil V V V q: Paula é bonita, mas é gorda V F F F V F F V F V V = V, V F = F, F V = F e F F = F

42 Disjunção ( ): disjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por p ou q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições é verdadeiras e a falsidade (F) quando ambas são falsas. p q p q V V V p: Saulo é rico ou é feliz V F V F V V F F F V V = V, V F = V, F V = V e F F = F Disjunção Exclusiva ( ): disjunção exclusiva de duas proposições p e q é a proposição representada simbolicamente por p q, que se lê: ou p ou q, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.

43 p q p v q V V F p: ou Igor é paraense ou paulista V F V F V V F F F V V = F, V F = V, F V = V e F F = F Condicional ( ): é a proposição representada por se p então q, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade nos demais caos. p q p q V V V p: Se Igor é paraense, então é feliz; V F F p (antecedente) e q (conseqüente) F V V F F V

44 Bicondicional ( ): é a proposição representada por p se e somente se q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ambas são verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade nos demais caso. p q p q V V V V V = V, V F = F, F V = F e F F = V V F F p é condição necessária e suficiente para q F V F q é condição necessária e suficiente para q F F V Exercícios: 01- Sejam as proposições p: Diogo é estudioso e q: Igor é trabalhador. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: ~p q b) p q c) ~q p d) p q 02- Sejam as proposições p: Laura é forte e q: Laura é bonita. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: Laura é forte e bonita Não é verdade que Laura é forte ou bonita Laura é forte ou é fraca e bonita.

45 Utiliza-se os conectivos numa ordem que vai do mais fraco ao mais forte da seguinte maneira: ~, v, e. O conectivo v deve acompanhar parêntesis para identificar como sendo forte ou fraca. Uso do Parêntesis. Observe a expressão p q ~p. Ao acrescentar parêntesis, podemos transformar numa conjunção ou numa condicional, da seguinte maneira: p (q ~p) conjunção b) (p q) ~p condicional Modificando as proposições através do uso do parêntesis; p q r s A proposição predominante é a última a ser resolvida. a) ((p q) r) s Bicondicional b) p ((q r) s) Condicional c) (p (q r)) s Bicondicional d) p (q (r s)) Condicional e) (p q) (r s) Conjunção Obs.:Podemos também suprimir parêntesis de uma proposição, para simplificar

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47 Valor lógico de uma proposição composta. - É sempre possível conhecer o valor lógico de uma proposição composta P(p, q, r,...), quando é conhecido o valor de cada proposição simples p, q, r,... Observe os exemplos: 1) Sendo verdade o valor lógico de p e a falsidade o valor lógico de q, determine o valor lógico de P(p,q) = (p ~q) (~p q). Solução: P(p,q)=(p ~q) (~p q)=(v ~F) (~V F)=(V V) (F F)=V F = F 2) Dadas as proposições simples p: -2+6=4 e q: Log 2 64 = 5. Encontre o valor lógico da proposição composta P(p,q) = ~(p q) (p ~q). Solução: P(p,q) = ~(p q) (p ~q) = ~(V F) (V ~F) = ~F (V V) = V V = V

48 Exercícios: 1- Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: a) (p q) ~p b) (~p q) q c) p ~q p q d) (~p q) q q e) (p q) q r f) ((p q) r) ((p q) ~r) g) ~(p v ~q) h) ~(p ~q) i) p ^ q p v q j) ~p (q p) k) (p q) p ^ q l) ~p ^ r q v ~r m) p r q v ~r n) p (p ~r) q v r 0) (p ^ q r) v (~p q v ~r) 2) Dada a proposição P(p,q) = (p ~q) ((~p q) q), determine: a) P(VV) b) P(VF) c) P(FV) d) P(FF) 3) Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos: a) P(p, q) = ~(~q p) b) P(p, q) = ~p v ~q p c) P(p, q)=(p v q) ~(p q) d) P(p, q) = (p v ~q) v (~p v q) e) P(p, q) = ~((p v q) (p v ~q) 4) Determine P(VFV) em cada caso: a) P(p,q,r) = (p q) (r ~p) b) P(p, q, r) = ~p v (q ~v r) r) c) P(p, q, r) = (p v q) (p v r) d) P(p, q, r) = (p v ~r) (q (r ~p) 5) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p, q e r são respectivamente V, V e F, determine o valor lógico da proposição composta P(p,q,r) = ((p q) r) (p ~r).

49 6) Sabendo que a proposição P(p,q) = ~p q ~q r ~r é uma bicondicional. Converta-a, usando parênteses, em: 6.1) Condicional. 6.2) Disjunção. 6.3) Conjunção. 7) Transformar a proposição P(p,q)=(((~p) q) (~q)) numa proposição mais simples (subtrair parêntesis). 8) Dadas as proposições: p: 2.(5 4) = 2, q: = 6 e r: = 2. Construa a tabela verdade da das proposições compostas abaixo: a) A(p,q): (~p q) (~q p) b) B(p,r): ((~p r) ~r) (p ~r) c) C(p,q,r): ((p q) (~q r)) ~r d) D(p,q,r):((~p q) r) (p ~r)

50 CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES C0MPOSTAS Tautologia: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico verdade. Contradição ou Contraválida: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico falsidade. Contingência ou Indeterminada: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade os valore lógicos verdade e falsidade. Exemplos: - Classifique as proposições em tautológica, contradição (ou contraválida) e contingência (ou indeterminada): 1) P(p,q) = ~p (p ~q) 2) P(p,q) = (p q) (p ~q) 3) P(p,q) = ~p (p ~q) 4) P(p, q): ~p v (~q v p)

51 - IMPLICAÇÃO LÓGICA ( ) Definição: a proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P Q for uma tautologia. Simbolicamente representamos a implicação lógica por P Q. Ex.:1) Verifique se existe equivalência lógica entre as proposições compostas: a) P: p; Q: q p b) P: q; Q: p ^ q p c) (p q) (~p ~q) 2) Propriedades da Implicação Lógica. i) Reflexiva: P Q ii) Transitiva: P Q e Q R; P R Exemplos: 1) Dadas as proposições P(p,q): p q, Q(p,q): p q e R(p,q): q v p, verifique se: a) P Q b) P R c) Q R 2) Verifique se P = (p q) ~p implica Q = q ~p.

52 EQUIVALÊNCIA LÓGICA ( ) Definição: Uma proposição composta P é equivalente a uma proposição composta Q, se as tabelas-verdade de ambas as proposições são idênticas, ou se a bicondicional P Q é tautológica. P(p,q,...) Q(p, q,...) Exemplos: 1) Verifique se as proposições P(p,q): p (p q) e Q(p,q): p q são equivalentes. 2) A condicional P: p q é equivalente a conjunção Q: ~p q? Nota: os símbolos,, e são distintos, onde os dois primeiros fazem parte de operação lógica, enquanto os dois últimos de relação. Propriedades da Equivalência Lógica: Seja P, Q e R proposições compostas: 1 a ) Reflexiva: P Q 2 a ) Simétrica : Se P Q, então Q P 3 a ) Transitiva : Se P Q e Q R, então P R

53 Proposições Associadas a uma Condicional. - Denominam-se proposições associadas a condicional p q as três seguintes proposições condicionais que contêm p e q: 1- Proposição recíproca de p q: q p. 2- Proposição contrária de p q: ~p ~q. 3- Proposição contrapositiva de p q: ~q ~p. Exemplo: 1- Construindo a tebela-verdade das proposições P: p q, Q:q p, R: ~p ~q e S: ~q ~p, verifique se existe equivalência. 2- Encontre a contrária e a contrapositiva da condicional P: Se Paulo é Paysandu, então é feliz. R) A contrária da condicional p q é ~p ~q: Se Paulo não é Paysandu, então é infeliz. A contrapositiva da condicional p q é ~q ~p: Se Paulo é infeliz, então não é Paysandu,

54 Negação Conjunta de duas Proposições - Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição não p e não q, representada simbolicamente por ~p ~q ou p q. Logo: Negação Disjunta de duas Proposições - Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição não p ou não q, representada simbolicamente por ~p ~q ou p q. Exercícios: 1- Verifique as equivalências abaixo utilizando tabela-verdade: 1.1- ~p p p 1.2- p q (p q) (p q) 2- Se o valor lógico da proposição p é a falsidade e os valores lógicos das proposições q e r são verdades, encontre o valor lógico das seguintes proposições: 2.1- (p ~q) (q ~r) 2.2- (~p ~q) ((q p) (r p)) 3- Verifique se a proposição (p (q ~p)) (~q p) é tautológica.

55 - Álgebra das Proposições 1.1- Propriedades da Conjunção 1 a ) Idempotente: p p p (p uma proposição simples) Exemplo: a = 7 a = 7 a = 7 Idempotência: é a propriedade que algumas operações têm de poderem ser aplicadas várias vezes sem que o valor do resultado se altere após a aplicação inicial. 2 a ) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples) Exemplo: x = x < 7 x < 7 x = a ) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples) Exemplo: (x = 3 x > 1) x < 5 x = 3 (x > 1 x < 5) 4 a ) Identidade: (p a) p e (p b) b (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade). Exemplo: x 2 /x/ 0 x 2 x 2 /x/ < 0 /x/ < 0

56 1.2- Propriedades da Disjunção 1 a ) Idempotente: p p p (p uma proposição simples) Ex: 0 < x < 2 0 < x < 2 0 < x < 2 2 a ) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples) Exemplo: a = 4-5 a < 2-3 a < 2-3 a = a ) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples) Exemplo: (x 3 x > 4) x < 6 x 3 (x > 4 x < 6) 4 a ) Identidade: (p a) a e (p b) p (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade). Exemplo: x 2 /x/ 0 /x/ 0 x 2 /x/ < 0 x PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO 1 a ) Distributiva: Dadas as equivalências lógicas abaixo, onde p, q e r são proposições simples. p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

57 Exemplo: 1- A proposição João pratica esporte e Carlos estuda ou passeia é equivalente a proposição João pratica esporte e Carlos estuda ou João pratica esporte e Carlos passeia. 2- chove ou faz vento e frio é equivalente a chove ou faz vento e chove ou faz frio 02) Absorção: 2.1- p (p q) p 2.2- p (p q) p Regras de Morgan: 1ª) A negação de uma conjunção entre duas proposições simples é equivalente a disjunção das negações das proposições. ~(p q) ~p ~q é inteligente e estuda é equivalente a não é inteligente ou não estuda 2ª) A negação de uma disjunção entre duas proposições simples é equivalente a conjunção das negações das proposições. ~(p q) ~p ~q é médico ou professor é equivalente a não é médico e não é professor

58 03- Negação da Condicional Já vimos que a condicional p q é equivalente a (~p q), logo, negando a condicional temos: p q ~p q ~( p q) ~(~p q) ~~p ~q p ~q, logo: ~( p q) p ~q 04- Negação da Bicondicional Vimos anteriormente que p q (p q) (q p), logo: p q (p q) (q p) p q (~p q) (~q p) Negando, temos: ~(p q) ~( (~p q) (~q p)) ~(~p q) ~(~q p) (p ~q) (~p q) Logo: ~(p q) (p ~q) (~p q) Ex- Verificar através de tabela-verdade se existe as equivalências: a) p q (p ~q) b) ~(p q r) ~p ~q ~r (Regra de Morgan)

59 FEITOSA, Hércules de Araújo. PAULOVICH, Leonardo. Um Prelúdio à Lógica. São Paulo: Editora UNESP, ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. Ed. LTC, ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico. Rio de Jameiro: Editora Campus, CASTRUCCI, Benedito, Introdução à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel,