Circuitos Sequenciais: Circuitos Combinacionais: SISTEMAS DIGITAIS. Módulo 2 Prof. Celso

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1 1 Circuitos Combinacionais: São circuitos cuja saída depende apenas dos valores das entradas. Circuitos Sequenciais: São circuitos cuja saída depende tanto do valor atual das entradas quanto do valor anterior da saída. POSTULADOS DA ÁLGEBRA DE BOOLE Leis Básicas: Comutativa A + B + C = B + A + C A. B. C = A. C. B Associativa A + (B + C) = (A + B) + C A. (B. C) = (A. B). C Distributiva A. (B + C) = A. B + A. C A + (B. C) = (A + B).(A + C) Absorção A + A. B = A A. (A + B) = A A + A. B = A + B

2 2 Exemplos: 1) Simplificar utilizando a álgebra de Boole S = A. C + B. D + A. C + A. B. C utilizando a prop.distributiva: S = C. (A + A + A. B) + B. D como A + A = 1 S = C. (1 + A. B) + B. D como 1 + A. B = 1 S = C + B. D 2) Dada a tabela-verdade abaixo, forneça a equação lógica e simplifique-a através da álgebra de Boole A B C S S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C S = A.B(C + C) + B.C(A + A) + A.B (C + C) S = A.B + B.C + A.B S = B.C + B.(A + A) = B.C + B aplicando a distributiva S = (B + B).(B + C) S = A.B.C + A. B. C S = B + C S = S = A. B. C + A. B. C aplicando os teorema de Morgan S = A. B. C + A. B. C = (A. B. C). (A. B. C) S = (A + B + C). (A + B + C) = (A + B + C).(A + B + C) S = A.A + A.B + A.C + A.B + B.B + B.C + A.C + B.C + C.C S = B.(A + A) + B + C.(A + A) + B.C + C S = B + B + C + B.C + C S = B + C + B.C S = B. (1 + C) + C S = B + C

3 TEOREMA DA DUALIDADE 3 Este teorema é aplicado às relações booleanas. 1 Trocar cada operação OR por uma operação AND 2 Trocar cada operação AND por uma operação OR 3 Complementar qualquer 0 ou 1 que aparecer na expressão Exemplos: A + 0 = A! A. 1 = A A. (B + C) = A. B + A. C! A + (B. C) = (A + B).(A + C) A + B = A. B! A. B = A + B EXERCÍCIOS 1) Implementar um circuito lógico para S = A. B + A. B Simplifique essa equação booleana e de o circuito lógico equivalente 2 ) Idem para a equação lógica: S = (A + B). (A + B)

4 3) Simplificar as equações: S = A. B + B. A. C 4 S = A. (A + B) 4) A tripulação de um avião consiste de 2 pilotos e um engenheiro. Projete um circuito com chaves que são acionadas quando um membro da tripulação deixa sua poltrona, e que gera um sinal de alarme sempre que o engenheiro deixa seu posto ou sempre que os dois pilotos deixam seus postos simultaneamente. (Resposta: S = A. B + C)

5 5 5) Simplifique as equações abaixo: i) (A + B). (A + C) + B. C ii) B. C. D + C. B + A. D iii) A. D + A. B. C + A. D + A. B. C iv) A. B + A. B. C v) A. B + A. B. C. D + A. B. C. D vi) A. B. C + A. ( A. C + B. C) vii) D. (B + C. D) + B. D viii) A. B. C. D + A. B. C. D Respostas: i) A + B. C ii) C. (D + B) iii) D + B. C iv) B. ( A + C) v) A. B vi) B. (A. C + A. C) vii) D viii) B. C. D 6) Um técnico em um laboratório químico possui quatro produtos químicos A, B, C e D que devem ser guardados em um ou outro depósito. Por conveniência, é necessário mover um ou mais produtos de um depósito para outro de tempos em tempos. A natureza dos produtos é tal que é perigoso guardar B e C juntos, a não ser que A esteja no mesmo depósito. Também é perigoso guardar C e D juntos se A não estiver no depósito. Projete - um circuito lógico para acionar uma sirene sempre que existir uma combinação perigosa no depósito. (Resposta: S = A. B. C + A. C. D)

6 MAIS PORTAS LÓGICAS 6 Circuito Anti-Coincidência (OR-EXCLUSIVE, OU-EXCLUSIVO, XOR) A B S S = A. B + A. B = A + B Símbolo: Circuito Coincidência (NOR-EXCLUSIVE, NÃO OU-EXCLUSIVO, XNOR) A B S S = A. B + A. B = A B = A + B Símbolo: Para saber as saídas desses circuitos para 3 entradas (A, B, e C), devemos analisar as entradas duas a duas: Circuito XOR Circuito XNOR A B C S A B C S Observação: relação entre circuitos XOR e XNOR Para número par de entrada: Para número impar de entrada: A + B = A B A + B + C = A B C

7 7 MÉTODO DA SOMA DE PRODUTOS 1) Localizar cada saída 1 na tabela-verdade e escrever o produto fundamental 2) Fazer a soma (operação OR) dos produtos fundamentais. Exemplo: A B C S " A. B. C " A. B. C " A. B. C " A. B. C S = A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B. C Mintermos A função também pode ser especificada em termos de Mintermos. Neste caso, na função f(a,b,c) cada variável possui um peso começando pelo valor 1 para a variável à direita e dobrando esse valor para as outras variáveis. No exemplo acima temos 3 variáveis (A, B e C). S = f (A, B, C) = A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B. C Neste caso a variável C = 1, a variável B = 2 e a variável A = 4. Agora vamos somar os pesos onde a variável não estiver complementada: f (A, B, C) = A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B. C podemos especificar em termos de mintermos: f(a, B, C) = m3 + m5 + m6 + m7 f(a, B, C) =!m (3, 5, 6, 7) f(a, B, C) =!(3, 5, 6, 7) ou ou simplificando Note que na função as seqüências das variáveis devem ser mantidas. Tendo a função em termos de mintermos, a função lógica (soma de produtos) pode ser obtida fazendo o caminho inverso.

8 8 MÉTODO DO PRODUTO DE SOMAS 3) Localizar cada saída 0 na tabela-verdade e escrever a soma fundamental 4) Fazer o produto (operação AND) das somas fundamentais. Exemplo: A B C S " A + B + C " A + B + C " A + B + C Notar que neste método as variáveis são invertidas S = (A + B + C). (A + B + C). (A + B + C) Maxtermos A função também pode ser especificada em termos de Maxtermos. Neste caso, na função f(a,b,c) cada variável, também, possui um peso começando pelo valor 1 para a variável à direita e dobrando esse valor para as outras variáveis. No exemplo acima temos 3 variáveis (A, B e C). S = f(a, B, C) = (A + B + C). (A + B + C). (A + B + C) Neste caso a variável C = 1, a variável B = 2 e a variável A = 4. Agora vamos somar os pesos onde a variável estiver complementada: f(a, B, C) = (A + B + C). (A + B + C). (A + B + C) podemos especificar em termos de maxtermos: f(a, B, C) = M0. M3. M6 f(a, B, C) = " M (0, 3, 6) f(a, B, C) = " (0, 3, 6) ou ou simplificando Note que na função as seqüências das variáveis devem ser mantidas. Tendo a função em termos de maxtermos, a função lógica (produto de somas) pode ser obtida fazendo o caminho inverso.

9 9 Exemplo: 1) Escrever na forma da soma de produtos e especifique em mintermos: f(a, B, C) = A + B + C 2) Escrever na forma de produto de somas e especifique em termos de Maxtermos A B C S

10 10 CONDIÇÕES IRRELEVANTES (DON T CARE) Nos sistemas reais existem condições que nunca ocorrem. A estas condições damos o nome de condições irrelevantes. Por exemplo, considere uma caixa d água monitorada por 2 sensores (A e B). Quando tiver água em um sensor, o mesmo acusa o nível lógico 1, se não tiver água teremos o nível lógico 0. Você tem que construir um sistema para ligar uma bomba d água para encher a caixa sempre que ela estiver vazia e desligar quando ela estiver cheia. Pelo desenho nota-se que é impossível haver água no sensor A e não haver água no sensor B, como esta condição nunca ocorre dizemos que é uma condição irrelevante. Na tabela verdade indicamos a condição irrelevante atribuindo um X na saída. Para minimizar o circuito este X pode assumir o valor 0 ou 1. A B Saída para encher a caixa Saída para esperar o nível de água descer "???? 1 0 X X " condição Irrelevante MAPAS DE KARNAUGH Utilizado para simplificar uma equação booleana. É um método gráfico alternativo à álgebra de Boole. PARA 2 VARIÁVEIS (A e B) Considere a seguinte tabela verdade: A B S Por Álgebra de Boole: S = A. B + A. B S = A (B + B) S = A

11 11 Preenchendo o Mapa MAPA DE KARNAUGH Pela tabela verdade, quando A=0 e B=0 a saída será 0. Então no mapa procuramos a intersecção da coluna A=0 com a linha B=0 e preenchemos este espaço com a saída correspondente (0). Do mesmo modo são preenchidos os outros espaços do mapa de Karnaugh. Desta forma, o mapa fica preenchido da seguinte forma: A 0 1 B Com o mapa de Karnaugh preenchido, devemos circundar as vizinhanças adjacentes que possuem os valores "1s". Feito isso, eliminamos a variável que muda de estado para obtermos a resposta: PARA TRÊS VARIÁVEIS: a minimização através do mapa de Karnaugh é idêntica. Colocamos, agora, de um lado do mapa as variáveis A e B e do outro a variável C. A figura abaixo mostra um exemplo completo, passando da tabela-verdade para o mapa e deste para a resposta:

12 12 PARA 4 VARIÁVEIS: teremos as variáveis A e B de um lado e as variáveis C e D de outro. Exemplo:.

13 13 Podemos juntar as vizinhanças em potência de 2, ou seja: 2, 4, 8, 16. Minimizar a equação booleana: Podemos preencher diretamente o mapa de Karnaugh. Para o primeiro termo onde A=1, B=1 e D=1, independente de C, a saída será 1. Para o segundo termo a saída será 1 quando B=C=1, independente de A e D. Fazendo isso para os quatro termos teremos: No exemplo anterior vimos um caso de sobreposição no mapa, pois a saída alta para as entradas A=B=C=D=1 pertence tanto ao octeto (em marron) quanto à dupla (em azul). Esta sobreposição deve sempre ser feita para obtermos uma equação mais simplificada. Também podemos enrolar o mapa, imaginando que o lado direito é vizinho ao lado esquerdo e que a parte superior do mapa é vizinha da parte inferior. Veja o exemplo abaixo:

14 Método de Karnaugh: Inserir os "1s" no mapa de Karnaugh para cada produto fundamental que produz uma saída 1 na tabela verdade. 2 - Circundar octetos, quadras e pares. Enrolar e sobrepor para obter os maiores grupos possíveis. 3 - Circundar os "1s" isolados. 4 - Eliminar grupos redundantes. 5 - Escrever a equação. Grupos redundantes São grupos nos quais todos os seus elementos fazem parte de outros agrupamentos. Exemplo: Condições que não importam (don't care) Como já definido anteriormente são condições de entrada que nunca ocorrem, portanto a saída nunca aparece. Esta condição é indicada com um X na tabela-verdade e no mapa de Karnaugh. Como essas entradas não ocorrem podemos considerar a saída tanto como nível "0" quanto nível "1", fazendo com que haja o maior agrupamento possível no mapa:

15 15 Mapa de Karnaugh para 5 e 6 variáveis O mesmo processo é utilizado para a construção do mapa de Karnaugh para cinco ou seis variáveis. Agora, porém, vamos considerar uma linha central vertical para o mapa de cinco variáveis. Para o mapa de seis variáveis, além da linha central vertical teremos uma linha central horizontal. Isto porque os quadrículos situados simetricamente em relação a estas linhas centrais serão adjacentes e portanto podem ser usados para marcar as vizinhanças. Veja os exemplos abaixo:. Note no desenho acima que não circundamos os quatro 1s que aparecem na última linha, isso porque eles precisariam ser simétricos em relação à linha central vertical.. Bibliografia: IDOETA Capítulos 03, 04 e 05 MALVINO VOL.1 Capítulo 2

16 16 Exercícios: 1) Simplifique, através do mapa de Karnaugh, as seguintes equações: a) S = A + B. C + A. B. C + C b) S = A. B. C + A. C. D + A. C + A. B. C + A. B. C 2) Simplificar através do mapa de Karnaugh: a) f(a, B, C, D) = #(1, 3, 4, 5, 7, 8, 13) b) f(a, B, C) = "(0, 1, 2) c) f(a, B, C, D) = "(0, 1, 2, 3, 6, 9, 10, 14)

17 17 3) Simplificar os seguintes mapas de Karnaugh.. 4) Dada a tabela-verdade abaixo, escreva a equação booleana correspondente: A B C D S

18 18 5) A tabela abaixo mostro um código especial conhecido como códido GRAY. Para cada entrada binária A, B, C e D há uma correspondente saída no código GRAY. Qual a equação simplificada para as saídas Y0, Y1, Y2, Y3. A B C D Y3 Y2 Y1 Y Respostas: 1) a) S = 1 b) S = A. B + A. C. D + A. C 2) a) S = A. D + C. D + A. B. C b) S = B. C + B. D + A. C. D + A. C. D c) S = A + B. C 3) a) S = A. B + B. C. D + A. C b) S = B. D + C. D + B. D c) S = B. C. D. E + A. C. D. E + A. B. C. E + B. C. D. E + A. C. D. E 4) S = A. B. D + A. C. D + A. B. C + A. C. D + B. C. D 5) Y3 = A Y2 = A.B + A.B Y1 = B.C + B.C Y0 = C.D + C.D