F.1 - FORMAS STANDARD PARA FUNÇÕES LÓGICAS

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1 FUNÇÕES LÓGIAS F. - FORMAS STANDARD PARA FUNÇÕES LÓGIAS Para a simplificação eficaz de expressões booleanas definem-se 2 formas standard nas quais as expressões podem ser escritas.

2 F.. - Soma de produtos Uma das formas standard de escrita de expressões booleanas é a soma de produtos. Define-se a função booleana de 4 variáveis. f(a,b,,d)=(a + B.)(B +.D) Usando a propriedade distributiva do produto lógico em relação à soma lógica, obtemos uma soma de produtos. f(a,b,,d)=a.(b +.D) + B..(B +.D) =A.B + A..D + B..B + B...D =A.B + A..D + B. 2

3 No exemplo seguinte aplica-se a lei de De Morgan e a propriedade distributiva. g(a,b,,d,e)=(a + B. )( D + B.E) =(A + B + )[D(B.E)] =(A + B + )[D(B + E)] =(A + B + )(B.D + D.E) = ABD + ADE + BD + BDE + BD + DE Desta forma é sempre possível transformar uma expressão booleana numa soma de produtos. Nos exemplos anteriores, os termos individuais não envolvem o mesmo número de variáveis. 3

4 Pode então chegar-se a uma forma padrão de soma de produtos em que todos os termos têm o mesmo número de variáveis. onsidere-se a função de 3 variáveis. h(a,b,)= A + B. Pode reescrever-se esta função de forma que todos os termos tenham as 3 variáveis. h(a,b,)=a(b + B)( + ) + (A + A)B 4

5 Aplicando a propriedade distributiva e simplificando h(a,b,)=ab + AB + AB + AB + AB Esta função está na forma standard de soma de produtos, o que significa que cada variável aparece em todos os termos do produto, complementada ou não. 5

6 F..2 - Produto de somas Pelo princípio da dualidade, existe também uma forma standard de produto de somas. A função booleana f(a,b,,d)=(a + B.)(B +.D) pode agora ser escrita como um produto de somas. Usa-se agora a propriedade distributiva da soma lógica em relação ao produto lógico. f(a,b,,d)=(a + B)(A + )(B + )(B + D) 6

7 Para a função g(a,b,,d,e)=(a + B)(D + BE) =(A + B + )[D(BE)] =(A + B + )[D(B + E)] =(A + B + )(BD + DE) =(A + B + )(BD + D)(BD + E) =(A + B + )(B + D)(D + D)(B + E)(D + E) aplicou-se primeiro a lei de De Morgan, para isolar cada variável, e depois a propriedade distributiva. 7

8 Novamente define-se uma forma standard de produto de somas onde em cada soma aparecem todas as variáveis, complementadas ou não. A função seguinte é já um produto de somas. i(a,b,)=a(b + ) Pode reescrever-se esta função de forma que todos os termos tenham as 3 variáveis. i(a,b,)=(a + BB + )(AA + B + ) =(A + BB + )(A + BB + )(A + B + ) (A + B + ) =(A + B + )(A + B + )(A + B + ) (A + B + )(A + B + ) 8

9 F.2 - NUMERAÇÃO DE TERMOS MÍNIMOS E TERMOS MÁXIMOS A partir da soma de produtos completos é possível definir um método que atribui um número a cada termo (mínimo). Para um produto de somas completas define-se também um método de numeração dos termos (máximos). F.2. - Termos mínimos onsiderando uma função booleana de 3 variáveis A, B e, qualquer termos mínimo inclui cada uma dessas variáveis, complementada ou não, apenas uma vez. Atribui-se o número binário a cada variável complementada e o número binário a cada variável não complementada. 9

10 Para o termo mínimo A.B. os números atribuídos são, e, respectivamente. A partir destes números compõe-se o número do termo mínimo, que neste caso é = 6, e representa-se por m 6. Se se escolhesse a ordem inversa para as variáveis, B e A, o número do termo mínimo A.B. seria 3 (), ou seja m 3. Note-se que a ordem pela qual as variáveis aparece deixa de ser arbitrária.

11 F Termos máximos Quando se trata de termos máximos, a regra para atribuir ou é invertida: a uma variável complementada atribui-se o dígito e a uma variável não complementada atribui-se. Ao termo máximo A+B+ corresponde =4 e é representado por M 4.

12 F.3 - ESPEIFIAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS Uma função booleana pode ser especificada usando apenas termos mínimos ou máximos. Ordenando os termos da função h, tem-se h(a,b,)=ab + AB + AB + AB + AB ou ainda ou h(a,b,)= m(3,4,5,6,7) h(a,b,)= (3,4,5,6,7) 2

13 onsiderando a função i i(a,b,)= (A + B + )(A + B + )(A + B + )(A + B + )(A + B + ) de forma que ou ainda ou i(a,b,)= M. M. M 2. M 3. M 6 i(a,b,)= M(,,2,3,6) i(a,b,)= (,,2,3,6) 3

14 F.4 - RELAÇÃO ENTRE TERMOS MÍNIMOS, MÁXIMOS E TABELA DE VERDADE Uma função booleana pode ser expressa como uma soma de termos mínimos, um produto de termos máximos ou como uma tabela de verdade. À função j corresponde a tabela de verdade abaixo indicada j = AB + AB + AB + AB + AB = (,2,3,6,7) = (A + B + )(A + B + )(A + B + ) = (,4,5) 4

15 Linha nº A B j(a,b,) A ª linha da tabela especifica que j = quando A=B==. Esta condição é garantida pela inclusão do termo mínimo AB. A 3ª linha da tabela especifica que j = quando A== e B=. Esta condição é garantida pela inclusão do termo mínimo AB. 5

16 Generalizando, uma função expressa sob a forma de termos mínimos, deve incluir precisamente os termos que correspondem às linhas da tabela de verdade onde j =. onsiderando agora a 2ª linha da tabela que especifica que j = quando A=B= e =, verificase que esta condição é garantida pela inclusão do termo máximo (A+B+). Pode então estabelecer-se que quando uma função é escrita na forma de produto de termos máximos, estes devem ser incluídos quando correspondem às linhas da tabela em que j =. Note-se que cada linha da tabela gera um termo mínimo ou um termo máximo. 6

17 Assim uma função expressa na forma de soma de termos mínimos pode ser facilmente expressa na forma de produto de termos máximos. A função de 3 variáveis k= (,2,3,7) pode ser escrita como (,4,5,6). Da mesma forma, l= (,2,6) pode ser escrita na forma l= (,3,4,5,7). Do mesmo modo que complementamos uma função, negando a sua tabela de verdade, podemos obter a expressão da negação de uma função trocando cada termo mínimo pelo termo máximo de mesmo número, e vice-versa. 7

18 F.4 - ESTRUTURA DE PORTAS A 2 NÍVEIS Uma função booleana expressa na forma de soma de produtos pode ser fisicamente implementada com portas lógicas. Neste caso a estrutura resultante é uma estrutura de portas a 2 níveis. ada produto é realizado por uma porta AND e as saídas das portas AND são somadas por uma porta OR. 8

19 Para a função m(a,b,)=ab + A + AB tem-se a estrutura Fig 46 9

20 Da mesma forma, uma função expressa como produto de somas é implementada como um arranjo de portas OR seguidas de uma única porta AND. Para a função n(a,b,)=(a+b+)(a+b)(b+) tem-se a estrutura Fig 47 2

21 F.5 - ESTRUTURAS UTILIZANDO PORTAS TIPO Por vezes é conveniente expressar uma função booleana por meio apenas de um tipo de porta lógica. Normalmente utilizam-se só portas NAND ou NOR. Se se considerar a soma de produtos anterior, negada duas vezes, tem-se m(a,b,) = AB + A+AB = (A B)(A )(AB) 2

22 O que dá origem à estrutura de 2 níveis apenas com portas NAND Fig 48 que é equivalente àquela realizada com portas AND e OR onde se substituiram todas as portas por portas NAND. 22

23 Para o caso do produto de somas, negado 2 vezes, tem-se n(a,b,) = (A+B+)(A+B)(B+) = ( A+B+)(A B)(B+) O que dá origem à estrutura de 2 níveis apenas com portas NOR 23

24 Fig 49 que é equivalente àquela realizada com portas OR e AND onde se substituiram todas as portas por portas NOR. 24

25 F.6 - MAPAS DE KARNAUGH A utilização de mapas de Karnaugh é extremamente útil na minimização e simplificação de expressões booleanas. Num mapa de Karnaugh cada quadrícula corresponde a uma linha de uma tabela de verdade. Logo cada quadrícula de um mapa de Karnaugh está também relacionada com um termo mínimo ou um termo máximo. 25

26 O mapa de Karnaugh para uma variável tem 2 quadrículas, tal como a tabela de verdade para uma variável tem apenas 2 linhas. A A Fig 5 orrespondência entre uma tabela de verdade e um mapa de Karnaugh para variável Linha nº A f(a) A x x y y 26

27 Um mapa de Karnaugh para 2 variáveis pode ter as 3 formas alternativas 2 A A B 3 B Fig 5 orrespondência entre uma tabela de verdade e um mapa de Karnaugh para 2 variáveis Linha nº A B f(a,b) x B\A y x z 2 z y w 3 w 27

28 Exemplo de uma função booleana de 2 variáveis dada por uma tabela de verdade e um mapa de Karnaugh Linha nº A B f(a,b) B\A 2 3 A mesma função pode ainda ser descrita, indicando apenas os casos em que toma valor ou aqueles em que toma valor. B\A B\A 28

29 Verifica-se facilmente que a função descrita tem a seguinte expressão booleana. f(a,b) = AB + AB = m + m 3 = (A + B)(A + B) = M.M 2 onfirma-se deste modo que uma função expressa pela soma dos termos mínimos m e m 3 é representada por s nas quadrículas e 3. Da mesma forma, uma função expressa pelo produto dos termos máximos M e M 2 é representada por s nas quadrículas e 2. 29

30 Um mapa de Karnaugh alternativo para 2 variáveis é o seguinte. Notar que a ordenação das quadrículas corresponde à de um código binário reflectido. A A B 3 2 B Fig 52 3

31 De seguida apresenta-se um mapa de Karnaugh para 3 variáveis. A A B B Fig 53 3

32 Mapa de Karnaugh para 4 variáveis A D B Fig 54 32

33 É possível desenhar mapas de Karnaugh para mais do que 4 variáveis. Para 5 variáveis o mapa tem 2 5 =32 quadrículas, enquanto que para 6 variáveis tem 2 6 =64 quadrículas. A ordem pela qual aparecem as variáveis deve ser observada sempre que se relaciona o mapa de Karnaugh com uma tabela de verdade, soma de termos mínimos ou produto de termos máximos. Se se altera a ordem das variáveis, os valores mudam também. 33

34 F.7 - SIMPLIFIAÇÃO GRÁFIA DE FUNÇÕES LÓGIAS A numeração de mapas de Karnaugh utilizando um código reflectido, confere-lhes a característica de que quadrículas adjacentes - na horizontal e vertical - correspondem a termos mínimos e termos máximos que diferem apenas numa variável. Essa variável aparece complementada num termo e não complementada no outro. onsidere-se os termos mínimos m 8 e m 2 adjacentes no mapa de Karnaugh m 8 (8=)=ABD m 2 (2=)=ABD 34

35 A D B Fig 55 35

36 Estes termos diferem apenas na variável B que aparece complementada num deles e não complementada no outro. Logo estes termos mínimos podem ser combinados obtendo-se ABD + ABD = AD(B + B) = AD No mapa de Karnaugh, qualquer par de termos mínimos adjacentes pode ser substituído por um único termo que inclui variável a menos que os termos iniciais. Note-se que para ambos os termos mínimos as variáveis A, e D estão associadas aos mesmos dígitos - A está associada com, e e D com. Por outro lado a variável B é no termo m 2 e para m 8, sendo por isso eliminada. Observe-se agora a representação alternativa 36

37 A D B Fig 56 37

38 Verifica-se que m 8 se encontra na coluna abrangida por A, consequentemente a variável A aparece não complementada. Verifica-se ainda que m 8 está fora das colunas abrangidas por B, logo a variável B aparece complementada. Analogamente m 8 aparece fora das colunas abrangidas por e D, aparecendo estas variáveis complementadas. O par m 8 e m 2 está contido na coluna A, logo A aparece não complementada. Não está contido nas colunas e D, pelo que estas variáveis aparecem complementadas. Um dos termos aparece na coluna B, enquanto que o outro não, eliminando-se desta forma a variável B. 38

39 F.8 - ADJAÊNIAS LÓGIAS ADIIONAIS Os códigos binários reflectidos são cíclicos pelo que a adjacência entre quadrículas estende-se às quadrículas situadas nas colunas extremas da esquerda e direita ou dos topos. Assim m é adjacente de m 8, m de m 9, etc. Do mesmo modo m é adjacente de m 2, m 4 de m 6, etc. onsidere-se o mapa de Karnaugh: 39

40 A D B Fig 57 Podem agrupar-se as quadrículas geometricamente adjacentes, obtendo-se m 8 + m 2 = AD m 2 + m 3 = AB 4

41 O termo m pode combinar-se com m 8 ou m 2. Para o primeiro caso obtém-se m 2 + m = BD que dá origem à função booleana f(a,b,,d) = m(2,3,8,,2) = AD + AB + BD No caso de se combinar m com m 8, fica m 8 + m = ABD que dá origem à função booleana f(a,b,,d) = m(2,3,8,,2) = AD + AB + ABD 4

42 Esta função pode ser implementada pela estrutura a 2 níveis Fig 58 42

43 F.9 - AGRUPAMENTOS SUPERIORES A 2 QUADRÍULAS Quando se combinam 2 quadrículas adjacentes num mapa de Karnaugh, elimina-se uma variável. Da mesma forma, quando se combinam 2 n quadrículas adjacentes, eliminam-se n variáveis. Exemplos de agrupamentos de 4 quadrículas: 43

44 D A B D A B D A B D A B Fig 59 44

45 Para o º caso temos logo m + m 5 = AD m 3 + m 7 = AD (m + m 5 ) + (m 3 + m 7 ) = AD + AD = AD(+) = AD Este resultado pode ser obtido directamente se se observar que o agrupamento está numa coluna em que A=, aparecendo esta variável complementada; e D=, aparecendo esta variável não complementada. As variáveis B e não permanecem constantes, logo são eliminadas. 45

46 Para o 2º caso tem-se f(a,b,,d) = m(,2,8,) = BD Para o 3º caso tem-se f(a,b,,d) = m(,5,9,3) = D Para o 4º caso tem-se f(a,b,,d) = m(4,6,2,4) = BD 46

47 Exemplos de agrupamentos de 8 quadrículas A A D D B Fig 6 Para o º caso tem-se g(a,b,,d)=a pois o agrupamento de s está fora da coluna abrangida por A. Para o 2º caso tem-se g(a,b,,d)=d pois o agrupamento de s está fora da coluna abrangida por D. B 47

48 Exemplos de agrupamentos de s A A D D B Fig 6 Para a obtenção de termos máximos usa-se a mesma regra que para a obtenção de termos mínimos. A variável eliminada é a mesma que para os agrupamentos de s. B 48

49 No entanto, o resultado é uma soma em vez de um produto. Além disso, as variáveis são invertidas. Para o agrupamento de 2 zeros tem-se M.M 5 = A + + D Para o agrupamento de 4 zeros tem-se M.M.M 4.M 5 = A + Para o agrupamento de 8 zeros tem-se M.M.M 2.M 3.M 8.M 9.M.M = B 49

50 F. - MAPAS DE KARNAUGH PARA 5 E 6 VARIÁVEIS Num mapa de Karnaugh para 5 variáveis, mantém-se as características dos mapas para 4 variáveis. Para além disso, quadrículas simétricas em relação à linha central são também adjacentes. 5

51 Fig 62 Assim m 7 é adjacente de m 23, m 3 é adjacente de m 29, etc. Mantêm-se as adjacências do mapa de 4 variáveis, ou seja m é adjacente de m 9, assim com m 2 de m. 5

52 A visualização pode ser mais fácil se se usar outro tipo de representação - 2 mapas de 6 quadrículas lado a lado. Para além das adjacências do mapa de 4 variáveis, são ainda adjacentes as quadrículas que nos 2 mapas têm a mesma posição. Assim são adjacentes m 5 e m 2, m e m

53 A= A= B D E Fig 63 53

54 A B B E D D Fig 64 54

55 Seguindo as mesmas considerações, pode construirse o mapa de Karnaugh para 6 variáveis. As adjacências usuais continuam a existir em cada uma das 4 partes do mapa. Adicionalmente existem termos adjacentes horizontal e verticalmente entre as diversas partes do mapa. Assim m 5 é adjacente de m 2, m 63 é adjacente de m 3. 55

56 D E F B= B= D E F A= A= E F E F A D B D Fig 65 56

57 Quando o número de variáveis cresce para 7 ou mais, o método de simplificação do mapa de Karnaugh torna-se pouco prático. Nesses casos utilizam-se métodos tabulares como o de Quine - Mcluskey. 57

58 F. - UTILIZAÇÃO DE MAPAS DE KARNAUGH A utilização de mapas de Karnaugh para a simplificação de funções booleanas observa os seguintes princípios: A combinação de quadrículas seleccionada deve incluir todas as quadrículas pelo menos uma vez. As combinações devem incluir o maior número de quadrículas possível, de forma a que todas as quadrículas sejam incluídas com o menor número possível de combinações. As combinações denominam-se produtos ou implicantes primos. 58

59 No exemplo da página 4 os implicantes primos eram p =m 2 +m 3, p 2 =m 8 +m 2, p 3 =m 2 +m e p 4 =m 8 +m. omo foi visto, a função podia ser expressa por f=p +p 2 +p 3 ou f=p +p 2 +p 4. Neste caso, p é um implicante primo essencial pois apenas p inclui o termo m 3. Também p 2 é essencial pois apenas ele inclui o termo m 2. Por outro lado nem p 3 nem p 4 são implicantes primos essenciais, pois não necessitam necessáriamente de ser seleccionados. 59

60 Uma função escrita como uma soma de implicantes primos, necessita de uma porta AND para cada implicante. Além disso o número de entradas de cada porta diminui quando aumenta o número de quadrículas incluídas no implicante primo. O circuito mais económico é aquele que incluir menos portas. Entre 2 circuitos com o mesmo número de portas, é mais económico aquele que tiver menor número total de entradas. 6

61 F.. - Algoritmo de minimização Se se tentar incluir o maior número possível de quadrículas num implicante, podemos não atingir a expressão final mais simples. D A B A B D Fig 66 6

62 No º caso, se se tentar agrupar m 5 +m 7 +m 3 +m 5, torna-se necessário adicionar mais 4 implicantes primos para incluir as 4 quadrículas restantes. Ao incluir estes 4 implicantes primos nota-se que a combinação original (com 4 quadrículas) se torna supérflua. Para o 2º caso, se se agrupar m +m +m 2 +m 3 põe-se o mesmo problema. 62

63 Para evitar estas situações define-se o seguinte algoritmo de minimização: Assinalar como implicante primo essencial todas as quadrículas que não possam ser combinadas com outras. Assinalar as combinações de 2 quadrículas que apenas possam ser combinadas de uma única forma. Assinalar as combinações de 4 quadrículas que apenas possam ser combinadas de uma única forma, e que não estejam incluídas em grupos de 2. Repetir para grupos de 8 quadrículas, etc. Se sobrarem quadrículas, elas podem ser combinadas entre si ou com quadrículas já incluidas noutras combinações. A intenção é obter o menor número de agrupamentos possível. 63

64 F..2 - Exemplos Sendo f(a,b,,d)= m(,,3,5,6,9,,2,3,5) tentar minimizar a função usando um mapa de Karnaugh. 64

65 D A B D A B D A B D A B Fig 67 65

66 A quadrícula m 6 não pode ser combinada com nenhuma outra, pelo que deve ser assinalada no mapa de Karnaugh. As quadrículas m e m 2 só podem ser combinadas em grupos de 2 de uma única forma, pelo que devem ser assinaladas. As quadrículas m 3, m 5 e m 5 podem ser incluídas em grupos de 4 somente de uma maneira. Deste mapa obtém-se: f(a,b,,d)=abd+ab+ab+d+bd+ad 66

67 Minimizar g(a,b,,d)= m(,2,3,4,5,7,8,9,3,5) usando um mapa de Karnaugh D A B D A B D A B Fig 68 67

68 Aplicando os passos e 2 do algoritmo de minimização, não se selecciona nenhum implicante primo. O passo 3 dá origem a um implicante que inclui as quadrículas m 5, m 7, m 3 e m 5. As quadrículas que sobram podem ser agrupadas arbitrariamente - passo 5 -, mas a solução correcta é aquela que conduz a um número total mínimo de implicantes primos. A solução obtida é g(a,b,,d)=ad+ab+ab+bd. 68

69 Utilizar um mapa de Karnaugh para minimizar a função h(a,b,,d)= M(,3,4,5,6,7,,3,4,5). Implementar a função usando uma estrutura a 2 níveis. A D B Fig 69 69

70 Do mapa obtém-se: h(a,b,,d)=(a++d)(+d)(b+d)(b+) ircuito correspondente Fig 7 7

71 Interpretar o seguinte mapa representativo de uma função de 5 variáveis. A B B D E Fig 7 7

72 Seguindo o algoritmo de minimização, obtêm-se as combinações da figura abaixo, que gera a função i(a,b,,d,e)=abde+abd+abd+bde+e BDE B A B ABD D E ABDE E ABD Fig 72 72

73 onsiderar agora o mapa da função complemento da função i. Determinar a expressão correspondente sob a forma de produto de somas. A B B D E Fig 73 73

74 Os agrupamentos são os mesmos, mas uma quadrícula no intervalo correspondente a A é associada com A, etc. Do mapa obtém-se: j(a,b,,d,e)=(a+b++d+e)(a+b++d)(a+b+d) (B+D+E)(+E) A mesma expressão pode ser obtida negando a expressão que representa a função i. i(a,b,,d,e)=a.b..d.e+ A.B..D+ A.B.D B.D.E.E =( A.B..D.E).(A.B..D).(A.B.D).(B.D.E).(.E) = ( A+B++D+E)(A+B++D)(A+B+D) (B+D+E)(+E) 74

75 Interpretar o mapa abaixo B E F E F A D D Fig 74 75

76 As combinações seguintes levam à expressão k(a,b,,d,e,f)=abdef+def+ade+be. DEF B ABDEF E F BE E F A D ADE D Fig 75 76

77 F.2 - UTILIZAÇÃO DE MAPAS DE KARNAUGH QUANDO A FUNÇÃO NÃO ESTÁ EXPRESSA EM TERMOS MÍNIMOS Uma função não necessita estar escrita como uma soma de termos mínimos para poder ser expressa por um mapa de Karnaugh. onsidere-se a função f(a,b,,d)=abd+bd+a+a na qual apenas o primeiro termo é um termo mínimo. Este termo é colocado directamente no mapa. 77

78 O 2º termo BD corresponde às quadrículas que estão no intervalo de B e D e fora do intervalo de, independentemente de estarem ou não no intervalo de A. Do mesmo modo, A é representado fora do intervalo de A e de. O termo A é representado nas colunas correspondentes a A. 78

79 A A D B ABD B BD Fig 76 79

80 A A D B A B A Fig 77 O resultado é apresentado no mapa abaixo e permite obter a expressão simplificada f=a+. 8

81 A D B f=a+ Fig 78 8

82 F.2 - FUNÇÕES INOMPLETAMENTE ESPEIFIADAS Uma função incompletamente especificada é aquela cujos valores são definidos apenas para algumas combinações das variáveis. Para as outras combinações, o valor da função é irrelevante. Neste caso é possível definir um certo número de funções completamente especificadas que obedeçam às especificações da função inicial. Entre essas funções possíveis deve escolher-se a função mais simples, como sendo representativa da função inicial. 82

83 Funções incompletamente especificadas: certas combinações das variáveis não são importantes para o problema em causa; certas combinações das variáveis nunca aparecem. onsidere-se a função g(a,b,,d)= m(,2,5,6,9)+d(,,2,3,4,5) O d representa condições não essenciais (don't care). A função toma o valor g= para os termos m, m 2, etc., e não está especificada para os termos m, m, etc. 83

84 D A B 4 2 X X X X X X Se se ignorarem todas as cruzes, obtém-se: f=ad+bd+ad Fig 79 A função pode ser simplificada se algumas cruzes forem interpretadas como s: f=d+d 84