Lógica Digital e Álgebra Booleana

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Flávio Cortês Godoi
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Roteiro Lógica Digital e Álgebra ooleana Sistemas Lógicos 27/ Leandro Galvão D/UFM www.dcc.ufam.edu.

br Portas LógicasL hips Digitais ásicos Álgebra ooleana Operação lógica l ND Portas LógicasL onceito

1 Roteiro Lógica Digital e Álgebra ooleana Sistemas Lógicos 27/ Leandro Galvão D/UFM galvao@dcc.ufam.edu.br Portas LógicasL hips Digitais ásicos Álgebra ooleana Operação lógica l ND Portas LógicasL onceito Produz um resultado verdade Se e somente Se todas a entradas forem verdade. Exemplos Se e então:. Se e então:. 3 Operação lógica l OR onceito Produz um resultado verdade se pelo menos umas das entradas for verdade. Exemplos Se e então:. Se e então:. Operação lógica l NOT onceito É a inversão (ou complemento do sinal de entrada. presenta apenas um sinal de entrada. Exemplos Se então: NOT. Se então: NOT.

Operação lógica l XOR Operação lógica l XNOR onceito Produz um resultado verdade se somente uma de

XOR EXLUSIVE OR. Exemplos Se e então:. Se e então:. X onceito Inverso da operação XOR.

Se e então:. X Operação lógica l NND Operação lógica l NOR onceito É o complemento da operação ND.

Exemplos Se e então: NND Se e então: NND onceito É o complemento da operação OR.

2 Operação lógica l XOR Operação lógica l XNOR onceito Produz um resultado verdade se somente uma de duas entradas for verdade. saída será verdade se os valores das entradas forem diferentes. XOR EXLUSIVE OR. Exemplos Se e então:. Se e então:. X onceito Inverso da operação XOR. saída será verdade se os valores das entradas forem iguais. XNOR NOT EXLUSIVE OR. Exemplos Se e então:. Se e então:. X Operação lógica l NND Operação lógica l NOR onceito É o complemento da operação ND. saída será falsa somente se todas as entradas forem verdadeiras. Exemplos Se e então: NND Se e então: NND onceito É o complemento da operação OR. saída será verdade somente se todas as entradas forem falsas. Exemplos Se e então: NOR. Se e então: NOR. Portas NND e NOR Equivalência de circuitos com portas NND Qualquer função lógica l pode ser construída usando uma combinação de portas ND portas OR e inversão. Portas NOR e NND são chamadas universais pois qualquer função lógica l pode ser construída por meio de um desses tipos de porta. 2

Equivalência de circuitos com portas NOR hips Digitais ásicos 4 hips Digitais ásicos hips Digitais ásicos :: Esquema lógico l de um chip digital Dispositivos digitais eletrônicos geralmente estão

3 Equivalência de circuitos com portas NOR hips Digitais ásicos 4 hips Digitais ásicos hips Digitais ásicos :: Esquema lógico l de um chip digital Dispositivos digitais eletrônicos geralmente estão disponí em chips ou circuitos integrados. Os modelos dos chips são identificados com por padrões de numeração ão.. Exemplos: hips lógicos l básicos b geralmente têm 4 pinos. Dois são usados para alimentação (5 volts. Pino 4 Pino 8 Pino Pino7 hips Digitais ásicos :: Exemplo hips Digitais ásicos 7 D

hips Digitais :: Mais exemplos hips Digitais :: Mais exemplos Escalas de integração Mais chips Small-scale integration (SSI omplexidade de circuitos até 2 portas

omplexidade de circuitos entre e 9.999 portas Very Large-scale integration (VLSI omplexidade de circuitos entre. e 99.

4 hips Digitais :: Mais exemplos hips Digitais :: Mais exemplos Escalas de integração Mais chips Small-scale integration (SSI omplexidade de circuitos até 2 portas lógicasl Medium-scale integration (MSI omplexidade de circuitos entre 2 e 99 portas lógicasl Implementa funções lógicas l completas Large-scale integration (LSI omplexidade de circuitos entre e portas Very Large-scale integration (VLSI omplexidade de circuitos entre. e portas lógicasl Álgebra ooleana Lei de De Morgan Mapa de Karnaugh O que é uma Álgebra? Uma álgebra consiste de: um conjunto de valores Ex: números n inteiros um conjunto de funções multiplicação adição 23 4

O que é uma Álgebra? Álgebra ooleana Muhammad ibn l-khwarizmi (~78-85 85 Escreveu o livro al-kitab al- Mukhtasar fi hisab al-jabr wa muqabala.

axiomas (estrutura algébrica que capturam as propriedades essenciais de operações lógicas e de conjuntos.

Operadores ND OR NOT X Regras omutativa ssociativa Distributiva bsorção Expressões lógicasl Expressões lógicasl :: Prioridades São expressões algébrica formadas por: lógicas

5 O que é uma Álgebra? Álgebra ooleana Muhammad ibn l-khwarizmi (~ Escreveu o livro al-kitab al- Mukhtasar fi hisab al-jabr wa muqabala. Significados de al-jabr jabr: Redução (Dicionario Houaiss Restauração (Scientific merican ompletamento (Wikipedia George oole ( Definiu um conjunto de operações e axiomas (estrutura algébrica que capturam as propriedades essenciais de operações lógicas e de conjuntos. Álgebra ooleana Álgebra ooleana laude Shanon (96-2 plicou pela primeira vez a álgebra booleana em circuitos eletrônicos. É considerado o fundador da Teoria da Informação. Operadores ND OR NOT X Regras omutativa ssociativa Distributiva bsorção Expressões lógicasl Expressões lógicasl :: Prioridades São expressões algébrica formadas por: lógicas (binárias; símbolos representativos de operações lógicas; l parênteses; ; e sinal de igualdade. Pode ser representada por uma fórmula f interligando os símbolos correspondentes às s operações. Prioridades: ND tem prioridade sobre OR. NOT tem prioridade sobre ND. F X Y Z 5

6 Expressões lógicasl :: Diagrama lógicol O diagrama lógico l representa o circuito digital correspondente à expressão booleana: F X Y Z Expressões lógicasl :: Tabela verdade tabela verdade é uma lista de todas as possí combinações dos bits de entrada e os respectivos valores de saída para cada combinação. X Y Z F saída F X Y Z entradas Expressões lógicasl :: Tabela verdade :: Exemplo Expressões lógicasl :: Tabela verdade :: Exemplo Determinar a tabela verdade da seguinte expressão lógica l booleana: D D Z Z D Saída Entradas Regras ooleanas: ND Regras ooleanas: OR. 6

Involução omutação e ssociação Propriedade comutativa: Propriedade associativa: ( ( ( ( Distributividade bsorção ( ( ( ( ( ( ( Teoremas de De Morgan Teoremas de De Morgan De Morgan (85-864 864

7 Involução omutação e ssociação Propriedade comutativa: Propriedade associativa: ( ( ( ( Distributividade bsorção ( ( ( ( ( ( ( Teoremas de De Morgan Teoremas de De Morgan De Morgan ( Importante pesquisador na área da lógica. l riador das Leis de De Morgan. Fornecem expressões alternativas que relacionam as operações NOR e NND. Operação NND é equivalente à operação OR dos complementos das : : Operação NOR é equivalente à operação ND dos complementos das : : 7

Teoremas de De Morgan :: Diagramas lógicosl Teoremas de De Morgan :: Diagramas lógicosl Formas anônicas Para comparar expressões booleanas é útil representá-las em um formato padrão.

8 Teoremas de De Morgan :: Diagramas lógicosl Teoremas de De Morgan :: Diagramas lógicosl Formas anônicas Para comparar expressões booleanas é útil representá-las em um formato padrão. Esse padrão é conhecido como forma canônica e é único para cada expressão booleana. Existem duas formas alternativas: Soma de produtos Produto de somas Formas anônicas :: Soma de produtos Também m conhecida como forma normal disjuntiva ou expansão de mimtermos. Dada uma tabela verdade cada linha onde a função de saída possui valor igual a contribui com um termo. Tal termo é formado por operações ND entre as de entrada cujo valor é e os complementos das de entrada cujo valor é. Os termos são concatenados por operações OR a fim de compor a expressão canônica. Formas anônicas :: Soma de produtos Formas anônicas :: Soma de produtos Forma canônica: f ( Note que podemos interpretar as como uma palavra de três bits onde: é o bit mais significativo. é o bit menos significativo. 8

9 Formas anônicas :: Soma de produtos Essa observação permite reescrever a expressão anterior em de uma forma mais compacta: f ( F ( m ( F ( m ( Formas anônicas :: Produto de somas Também m conhecida como forma normal conjuntiva ou expansão de maxtermos. Em uma tabela verdade cada linha onde a função de saída possui valor igual a zero contribui com um termo. Tal termo é formado por operações OR entre as de entrada cujo valor é e os complementos das de entrada cujo valor é. Os termos são concatenados por operações ND a fim de compor a expressão canônica. Formas anônicas :: Produto de somas Formas anônicas :: Produto de somas Essa observação permite reescrever a expressão anterior em de uma forma mais compacta: f ( ( ( ( F ( M ( F ( M ( 2 4 Otimização de Fórmulas F ooleanas Dada uma tabela verdade existe uma maneira de gerar a função booleana mais simples para ela? Por que obter uma função ser mais simples? Fórmulas mais simples podem ser implementadas em circuitos mais simples e baratos. Métodos disponí: Simplificação algébrica Mapas de Karnough Mapas de Karnaugh Funções booleanas podem ser expressas em uma tabela quadriculada. Os eixos dessa tabela contêm os bits de entrada (input. ada célulac da tabela é preenchida pelos bits de saída correspondentes à combinação de inputs. Entrada Saída Saída Entrada Saída Saída 9

10 Mapas de Karnaugh para duas Mapas de Karnaugh para duas f Entradas f Entrada Entrada f Mapas de Karnaugh para duas Mapas de Karnaugh para duas Entradas Saída f Entrada Entrada f Mapas de Karnaugh para duas Mapas de Karnaugh para duas f f

11 Mapas de Karnaugh para duas Mapas de Karnaugh para duas f.... f O mapa de Karnaugh mostra graficamente os termos mínimos que cada combinação de entradas pode gerar. Os valores de saída ou determinam se o termo mínimo m correspondente está presente ou não na expressão lógica. l f Mapas de Karnaugh para duas Mapas de Karnaugh para duas f f Mapas de Karnaugh ada eixo da tabela é rotulado com s e s correspondentes às entradas da tabela verdade. Só um bit pode variar entre células c vizinhas s regiões horizontais e verticais contendo valores de saída iguais a são marcadas por curvas. Maiores regiões contendo s fórmulas mais simples. ada região gera um produto booleano: Faz-se um ND das ou de suas negações ões. onstrói-se se uma soma booleana dos produtos: Faz-se um OR dos produtos. f

12 f f f f f f 2

13 f f f f ( Mapas de Karnaugh para quatro Mapas de Karnaugh para quatro D f D D f 3

14 Mapas de Karnaugh para quatro D f D Mapas de Karnaugh para quatro D f D Mapas de Karnaugh para quatro Mapas de Karnaugh para quatro D f D D f D D Mapas de Karnaugh :: Outras possibilidades Mapas de Karnaugh :: Outras possibilidades DD D D DD D D 4

Mapas de Karnaugh :: Outras possibilidades Mapas de Karnaugh :: Outras possibilidades D D DD D Situações de don t care Ocasionalmente temos situações em

Tal ocorrência é conhecida como don t care. O símbolo s X é associado a uma saída don t care. O X pode ser tratado como ou como ( coringa.

15 Mapas de Karnaugh :: Outras possibilidades Mapas de Karnaugh :: Outras possibilidades D D DD D Situações de don t care Ocasionalmente temos situações em que a saída produzida por um conjunto particular de entradas pode ser especificada tanto por um como por um sem afetar a aplicação da função. Tal ocorrência é conhecida como don t care. O símbolo s X é associado a uma saída don t care. O X pode ser tratado como ou como ( coringa. escolha depende de qual valor produz maior simplificação ão. Situações de don t care :: Forma anônica Soma de produtos: f d(l Produto de somas: f D(L Situações de don t care 5

16 ERROR: undefined OFFENDING OMMND: f ~ STK:

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Utiliza variáveis binárias, i.e., que só podem assumir um de dois valores: {0,1}; {Low,High}; {True,False}; etc. Álgebra de oole binária através do recurso à utiliação de funções booleanas (ou funções lógicas) é a principal teoria de suporte às metodologias de síntese e análise de circuitos digitais. Utilia variáveis