Teoremas de De Morgan

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Leila Beretta Caetano
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1 Teoremas de De Morgan Augustus De Morgan - Matemático e lógico britânico. Concebeu as Leis de De Morgan e foi o primeiro a introduzir o termo e tornar rigorosa a idéia de indução matemática. Fonte: ki/augustus_de_morgan

2 Teoremas de DeMorgan Teorema 1: O complemento de um produto de variáveis é igual a soma dos complementos das variáveis Para duas variáveis

3 Teorema 1 (cont)

4 Teoremas de DeMorgan Teorema 2: O complemento da soma de variáveis é igual ao produto dos complementos das variáveis Para duas variáveis

5 Teorema 2 (cont)

6 Exemplos 1

7 Exemplo 2

8 Exemplo 3

9 Exemplo 3 (cont) Aplicando De Morgan

10 Exemplo 4 Seja:, e Aplicando De Morgan:

11 Exemplo 5 Seja:, e Aplicando De Morgan:

12 Exemplo 6 Seja:, e Aplicando De Morgan para cada termo:

13 Exemplo 7 A expressão para um exclusive-or é: Usando o Teorema de De Morgan, ou qualquer outra propriedade dá Álgebra Booleana, desenvolva uma expressão para o exclusive-nor De Morgan Propriedade Distributiva

14 Expressão Algébrica para um Circuito Lógico combinações

15 Avaliando a Expressão = 1 se se somente se e ou se e se e e Independente dos valores de C e D

16 e e e Independente dos valores de C e D

17 Simplificação usando Álgebra Booleana

18 Propriedade distributiva

20 Soma de Produtos e Produto de Soma

21 Domínio de uma Expressão Booleana Conjunto de variáveis contidas na expressão, quer de forma complementada ou nãocomplementada. Domínio: A, B, C Domínio: A, B, C, D

22 Soma de Produtos (SOP) Toda expressão booleana pode ser representada como uma soma de produtos Soma de Produtos (SOP) Pode aparecer termo isolado

23 Exemplo 1 : Representação em Formas: Soma de Produtos

24 Representação em Formas: Soma de Produtos Exemplo 2 :

25 Escrita de uma expressão como Soma de Produtos (SOP) Se somente variáveis individuais aparecem complementadas, como no exemplo 1, necessitamos apenas usar a Lei Distributiva - Se um sinal de complemento aparecer sobre uma combinação de variáveis, como no exemplo 2, usarmos De Morgan quantas vezes necessárias até que o sinal de complemento apareça apenas sobre variáveis individuais

26 Conversão para SOP

27 Representação em Formas Padrão de Soma de Produtos Forma não padrão de soma de produtos Uma expressão padrão SOP é aquela na qual TODAS as variáveis aparecem em cada produto da expressão. Cada termo em uma SOP é denominado Mintermo

28 Convertendo termos produtos em SOP Passo 1: Multiplique cada termo produto que não seja padrão por um termo constituído pela soma de uma variável que falta e seu complemento. Isto resulta em dois termos produtos (pode-se multiplicar qualquer termo por um sem alterar o valor original) Passo 2: Repita o passo 1 até que todos os termos resultantes contenham todas as variáveis do domínio, quer de forma complementada ou não

29 Exemplo de conversão 1

30 Exemplo de conversão 2

31 Produto de Somas (POS) Pode aparecer termo isolado

32 Produto de Somas Numa expressão POS,uma barra não pode se estender por mais de uma variável, mas pode ter mais de uma barra em variáveis de um termo SIM NÃO USAR DE MORGAN

34 Produto de Somas Acima foi usada a propriedade distributiva A + (B + C) = (A + B) (A + C)

35 Produto de Somas: Exemplo 2

36 Forma padrão do Produto de Somas O conjunto completo do domínio das variáveis não está representado no primeiro termo O conjunto completo do domínio das variáveis está representado em todos os termos Cada termo em uma POS é denominado Maxtermo

37 Convertendo um termo soma em POS padrão Passo 1: Para cada produto não-padrão adicione um termo composto pelo produto da variável que falta pelo seu complemento. Passo 2: Aplique a regra: Repita o passo 1 até todos os termos resultantes de soma conterem todas as variáveis do domínio, quer de forma complementada, ou não

38 Exemplo

39 Expressões Booleanas e Tabela Verdade

40 Especificação de Funções em termos de Mintermos f(a,b,c) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC f(a,b,c) = m 3 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 f(a,b,c) = m (3, 4, 5, 6, 7) f(a,b,c) = (3, 4, 5, 6, 7)

41 Especificação de Funções em termos de Maxtermos f(a,b,c) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) f(a,b,c) = M 0. M 1. M 2. M 3. M 6 f (A,B,C) = ΠM (0, 1, 2, 3, 6) f (A,B,C) = Π(0, 1, 2, 3, 6)

42 Convertendo SOP em Tabela Verdade

43 Convertendo POS em Tabela Verdade

44 Relação entre Mintermos, Maxtermos e Tabela Verdade

45 Mapas de Karnaugh

46 Mapas de Karnaugh

47 Mapas de Karnaugh e Tabela Verdade

48 Mapa de Karnaugh para 3 variáveis

49 Mapa de Karnaugh para 4 variáveis

50 Adjacência de células

51 Mapeando uma expressão SOP Padrão

52 Ex: Mapear a expressão abaixo em um mapa de Karnaugh

53 Ex2: Mapear a expressão abaixo

54 Mapeando expressões não padrões SOP

55 Simplificação usando MK: observações importantes A combinação de células que for selecionada deve incluir deve incluir todos as células pelo menos uma vez (uma célula pode aparecer em mais de uma combinação) As combinações devem ser selecionadas com a finalidade de incluir o maior número possível de células, de tal modo que todas as células sejam incluídas pelo menor número de combinações O número de células que deve ser considerado como grupo deve ser uma potência de 2.

56 Simplificação de expressões SOP usando MK

57 Simplificação de expressões SOP usando MK

58 Simplificação de expressões SOP usando MK

59 Simplificação de expressões SOP usando MK

60 Implicantes Primos Denominação das combinações (produtos). Pode acontecer que não seja necessário usar todos os primos implicantes p 1 = m 2 + m 3 p 2 = m 8 + m 12 p 3 = m 2 + m 10 p 4 = m 8 + m 10 f = p 1 + p 2 + p 3 ou f = p 1 + p 2 + p 4 OBS: Uso de p 1 é obrigatório, caso contrário m 3 não seria incluído

61 Determinando a expressão SOP mínima do MK Agrupe as células que contenham 1s. Cada grupo de células contendo 1 s cria um termo produto composto de todas as variáveis que ocorram somente em uma forma (complementada ou não). Determine o termo produto mínimo para cada grupo

62 Algorítmo que leva à expressão mínima para uma função lógica

63 Passo 1 Assinalar e considerar como implicante primo essencial qualquer célula que não possa ser combinada com nenhuma outra

64 Passo 1

65 Passo 2 Identificar as células que podem ser combinadas com uma única outra célula somente de uma maneira. Assinalar estas combinações. Células que podem ser combinadas em grupos de dois, de mais de uma maneira, são deixados temporariamente de lado

66 Passo 2

67 Passo 3 Identificar células que podem ser combinadas com três outras células somente de uma maneira. Se as quatro células de tais combinações ainda não estiverem incluídas em grupos de dois, assinalar a combinação de quatro. Novamente, uma célula que pode ser combinada em um grupo de quatro de mais de uma maneira deve ser deixada temporariamente de lado.

68 Passo 3

69 Passo 4 Repetir o processo para grupos de oito, etc.

70 Passo 5 Se, encerrado o processo, ainda restarem algumas células não inclusas em grupamentos, elas podem ser combinadas umas com as outras ou com células já incluídas em outras grupamentos, lembrando que a intenção é de obter o menor número de grupamentos possível.

71 Determinando a expressão SOP mínima do MK Cada grupo de células contendo 1 s cria um termo produto composto de todas as variáveis que ocorram somente em uma forma (complementada ou não).

72 Passo 5

73 Para um mapa com 3 variáveis: a) um grupo com 1 célula produz um termo produto com 3 variáveis b) um grupo com 2 células produz um termo produto com 2 variáveis c)um grupo com 4 células produz um termo com 1 variável d) um grupo de 8 células produz um valor de 1para a expressão

74 Para um mapa com 4 variáveis: a) um grupo com 1 célula produz um termo produto com 4 variáveis b) um grupo com 2 células produz um termo produto com 2 variáveis c) um grupo com 4 células produz um termo com 1 variável d) um grupo de 8 células produz um termo com uma variável e) um grupo de 16 células produz um valor de 1 para a expressão

75 Ex. Determine os termos produtos para o MK abaixo

76 Ex. Determine os termos produtos para o MK abaixo

77 Ex. Determine os termos produtos para o MK abaixo

78 Ex. Determine os termos produtos para o MK abaixo

79 Ex. Determine os termos produtos para o MK abaixo

80 Use um MK para minimizar a SOP padrão abaixo:

81 Use um MK para minimizar a SOP abaixo

82 Mapeando direto de uma tabela verdade

83 Condições Don t care

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