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Luzia Santiago Azenha
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1 Organização de computadores Aula 6 - Álgebra de Boole Professora Marcela Santos marcela@edu.estacio.br

2 Tópicos Portas lógicas e álgebra de boole Álgebra de boole regras e propriedades Provas de algumas regras Teoremas de De Morgan Universalidade das portasa Nand e Nor Professora Marcela Santos marcela@edu.estacio.br

3 Portas lógicas e Álgebra de Boole B A S = S B A FUNÇÃO AND (E) FUNÇÃO AND (E) B A S + = S B A FUNÇÃO OR (OU) FUNÇÃO OR (OU)

4 Portas lógicas e Álgebra de Boole FUNÇÃO NOT (INVERTER OU NÃO) S = A A S

5 Portas lógicas e Álgebra de Boole FUNÇÃO NAND (NÃO E) FUNÇÃO NOR (NÃO OU) A S = A B B S S = A + B A B S

6 XOR - a saída será verdade se exclusivamente uma ou outra entrada exclusivamente uma ou outra entrada for verdade. (XNOR - inverso da XOR). Isto só se aplica se houver apenas 2 entradas. Portas lógicas e Álgebra de Boole FUNÇÃO XOR (OU EXCLUSIVO) S = A B A B S FUNÇÃO XNOR (OU COINCIDÊNCIA) S = A B A B S

7 Regras e propriedades Álgebra de Boole

8 Teoremas Booleanos Teoremas com variável lógica

9 Teoremas Booleanos Teoremas com variável lógica Ressalta-se que a variável x em que se aplica os teoremas de () a (8) pode ser uma expressão que contenha mais de uma variável. Por exemplo, se tivéssemos a expressão AB x = AB e aplicar o teorema (4): AB, poderíamos considerar Teorema (4): x x = Assim: AB AB = A mesma idéia pode ser aplicada no uso de qualquer um desses teoremas!

10 Portas lógicas e Álgebra de Boole As portas universais PORTA NAND A B PORTA NOR A + B

11 Portas NOR e Portas NAND Na realidade elas combinam as operações básicas AND, OR e NOT, de modo que é relativamente simples escrever suas expressões Booleanas. PORTA NOR ( NÃO-OU ) FIGURA 3-9 (a) Símbolo de porta NOR; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela-verdade.

12 Portas NOR e Portas NAND PORTA NAND ( NÃO-E )

13 Portas NOR e Portas NAND Determine a expressão Booleana para uma porta NOR de três entradas seguidas de um inversor. Sempre que duas barras estiverem sobre a mesma variável ou expressão, uma cancela a outra, como mostrado acima. Entretanto, em casos como: A + as barras de inversão não se cancelam. Assim: B A + B A + B A B A B

14 Teoremas de DeMorgan Embora os teoremas tenham sido apresentados em termos das variáveis x e y, eles são igualmente válidos para situações em que x e/ou y são expressões com mais variáveis. Exemplo: ( AB + C ) = ( AB) C

15 Teoremas de DeMorgan EXEMPLO: Simplifique a expressão apenas variáveis simples invertidas. ( A + C ) ( B D) z = + para que ela tenha Solução Usando o teorema (7), temos: ( A + C ) ( B + D) = ( A + C ) + ( B D) z = + = A C + B D = A C + B D Os teoremas de DeMorgan podem ser estendidos para mais de duas variáveis?

16 Teoremas de DeMorgan Considere o complemento da soma lógica para três variáveis lógicas: x + y + z = ( x + y) z = x y z Expressão semelhante ao teorema para 2 variáveis!! Raciocínio semelhante pode ser aplicado para o complemento da soma lógica de N variáveis. De forma semelhante, temos que: x y z = x + y + z O teorema de DeMorgan para o complemento do produto lógico também pode ser estendido para N variáveis.

17 Teoremas de DeMorgan Analisando os teoremas de DeMorgan do ponto de vista das portas lógicas FIGURA 3-26 (a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (6); (b) símbol alternativo para a função NOR. FIGURA 3-27 (a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (7); (b) símbolo alternativo para a função NAND.

18 Universalidade das Portas NAND e NOR Todas as expressões Booleanas consistem em combinações das operações básicas OR, AND e INVERSOR. Entretanto, é possível implementar qualquer expressão usando apenas portas NAND, e nenhum outro tipo de porta lógica. INVERSOR FIGURA 3-29 As portas NAND podem ser usadas para implementar qualquer função booleana.

19 Universalidade das Portas NAND e NOR De modo similar, notamos que as portas NOR podem ser associadas para implementar qualquer operação Booleana, tornando possível a implementação de qualquer expressão usando apenas portas NOR, e nenhum outro tipo de porta lógica. INVERSOR FIGURA 3-3 As portas NOR podem ser usadas para implementar qualquer operação booleana. Como essas equivalências podem ser utilizadas na prática?

20 Universalidade das Portas NAND e NOR EXEMPLO: Em um determinado processo de fabricação, uma esteira de transporte deve ser desligada sempre que determinadas condições ocorrem. Essas condições são monitoradas e têm seus estados sinalizados por quatro sinais lógicos, que são: A será ALTO sempre que a velocidade da esteira for muito alta. B será ALTO sempre que o recipiente no final da esteira estiver cheio. C será ALTO quando a tensão da esteira for muito alta. D será ALTO quando o comando manual estiver desabilitado. Um circuito lógico é necessário para gerar um sinal x que será ALTO sempre que as condições A e B existirem simultaneamente, ou sempre que as condições C e D existirem simultaneamente. Solução x = AB + CD Como implementar o circuito com o mínimo de CIs?

21 Universalidade das Portas NAND e NOR Solução (continuação) Considere que os CIs TTL abaixo estão disponíveis para a implementação: Uma forma simples de implementar o circuito lógico usando os CIs dados é: Porém, uma alternativa é:

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