Álgebra de Boole. George Simon Boole ( ) O criador da álgebra dos circuitos digitais. Profª Jocelma Rios. Out/2012

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1 Out/2012 Álgebra de Boole George Simon Boole ( ) O criador da álgebra dos circuitos digitais Profª Jocelma Rios

2 O que pretendemos: Contar um pouco sobre a história da Álgebra, especialmente a Álgebra de Boole Mostrar a relação entre a Álgebra de Boole e a Computação Digital Apresentar as possíveis variáveis da Álgebra Booleana, seus operadores fundamentais e os secundários Apresentar os postulados e alguns teoremas da Álgebra Booleana Refletir sobre a relação entre a Lógica Formal, a Álgebra Booleana e a lógica de Programação

3 Um pouco de história A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo da filosofia. Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles ( AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De Interpretatione".

4 Um pouco de história Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho Uma Análise Matemática da Lógica Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de Mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".

5 Definição A Álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados e teoremas. - Usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um dentre dois valores, zero (0) ou um (1). - Trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, às operações de interseção e união da teoria dos conjuntos.

6 Operadores As variáveis booleanas são representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(a,b,c,d,...)

7 Operadores Booleanos Fundamentais Operador AND (interseção) q Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:

8 Operadores Booleanos Fundamentais Operador OR (união) Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:

9 Operadores Booleanos Fundamentais Operador NOT (inversor) Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:

10 Operadores Booleanos secundários Operador NAND Definição: A operação lógica NAND entre duas ou mais Símbolo Lógico: Tabela Verdade:

11 Operadores Booleanos secundários Operador NOR Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:

12 Operadores Booleanos secundários Operador XOR (OU exclusivo) Definição: A operação lógica XOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes). Símbolo Lógico: Tabela Verdade:

13 Operadores Booleanos secundários Operador XNOR (negativo de OU exclusivo) Definição: A operação lógica XNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:

14 Postulados da Álgebra de Boole Postulados da Álgebra de Boole O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a associação com a teoria dos conjuntos

15 Postulados da Álgebra de Boole O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos associação com a Teoria dos Conjuntos

16 Teoremas da Álgebra de Boole

17 Teoremas da Álgebra de Boole

18 Funções booleanas vs. circuitos lógicos

19 Funções booleanas vs. circuitos lógicos S = A.B.C + B.C + A.C

20 Funções booleanas vs. circuitos lógicos F = (((A+B).D)+(A.D))+ (D.(B.C))

21 Simplificação de funções S = A.B.C + A.C + A.B S = A(B.C + C + B) Distributiva S = A(B.C + C.B) De Morgan S = A.1 Complementar S = A

22 Simplificação de funções F = A.B + A.B + A.B F = A.B + A.B + A.B Comutativa F = B(A + A) + A.B Distributiva F = B.1 + A.B Complementar F = (B + A).(B + B) Distributiva F = (B + A).1 Complementar F = (B.A) De Morgan

23 Para refletir... Como é possível utilizar a Álbebra de Boole para executar funções tão complexas como as que são executadas por um sistema operacional no gerenciamento de processos?

24 Referências BASTOS, S. Sistemas Digitais I. Disponível em: < BOOLE-E-PORTAS-LOGICAS>. Acesso em: 02 out BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, FEDELI, R.; POLLONI, E.; PERES, F. Introdução à Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2003.

25 Vídeos sugeridos Funções booleanas e portas lógicas Parte I Funções booleanas e portas lógicas Parte II Matemática discreta circuitos lógicos Álgebra Booleana - USP - Introdução e Motivação

26 Vídeos sugeridos Eletônica Digital - Aula 22 (Introd. às Portas Lógicas - Porta NOT) Eletrônica Digital - Aula 23 - (Porta Lógica NOT - Continuação) Eletrônica Digital - Aula 24 - (Porta NOT - circuitos com várias portas lógicas) Eletrônica Digital - Aula 25 - (Correção exercicios - Porta NOT)

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