Apostila de Sistemas Digitais e Computadores MÓDULOS I & II: REVISÃO ÁLGEBRA DE BOOLE.

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1 INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO METROPOLITANO DE ANGOLA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS E ENGENHARIAS Apostila de Sistemas Digitais e Computadores MÓDULOS I & II: REVISÃO ÁLGEBRA DE BOOLE. SDC LCC1N Docente: Eng.º Damião Sembe Mestrando em Gestão: Empreendedorismo e Inovação

2 Sistema de numeração 2 Revisão de Operações Aritméticas no Sistema Binário: soma.

3 3 Definição da Álgebra de Boole: A álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados e teoremas. A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um dentre dois valores, zero (0) ou um (1). A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma.

4 4 Definição da Álgebra de Boole: Variáveis só podem assumir 1 entre 2 valores Uso de tabelas (tabela verdade) para listar combinações de valores de entrada e os correspondentes valores de saída. Proposição todo enunciado que pode se afirmar ser verdadeiro ou falso. Exemplo Amanhã vai chover não constitui uma proposição, pois existe mais de duas respostas possíveis: Sim, Talvez e Não Lisboa é a capital de Portugal é uma proposição.

5 5 Princípios da Álgebra Booleana: Não contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Terceiro excluído: uma proposição só pode tomar um dos dois valores possíveis, ou é verdadeira ou falsa, não sendo possível terceira hipótese. Exemplo Amanhã vai é uma proposição.

6 6 Funções Lógicas: Uma função lógica é uma regra que determina o valor de uma variável lógica dependente, a partir de uma ou mais variáveis lógicas independentes.. Definem-se como funções lógicas básicas: Função AND ou E: conjunção ou produto lógico Função OR ou OU: disjunção ou soma lógica Função NOT ou NÃO: negação. Uma variável lógica tem a capacidade de assumir um dentre dois possíveis valores..

7 7 Portas Lógicas: Portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos que operam um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma e somente uma saída, a qual é dependente da função implementada no circuito. Um computador é constituído por uma infinidade de circuitos lógicos, que executam as seguintes funções básicas: realizam operações matemáticas controlam o fluxo dos sinais armazenam dados. Naturalmente, a cada operação lógica estudada na Álgebra de Boole está associada a respectiva porta lógica.

8 8 Funções Lógicas: E (ou AND) - uma sentença é verdadeira SE - e somente se - todos os termos forem verdadeiros. OU (ou OR) - uma sentença resulta verdadeira se QUALQUER UM dos termos for verdadeiro. NÃO (ou NOT) - este operador INVERTE um termo.

9 9 Tabela verdade: São tabelas que representam todas as possíveis combinações das variáveis de entrada de uma função, e os seus respectivos valores de saída.

10 10 Operadores da Álgebra Booleana As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(a,b,c,d,...).

11 11 Função AND (interseção): Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. Símbolo Lógico Tabela Verdade

12 12 Analogia da porta lógica AND com um circuito eléctrico: Quando as duas entradas (A e B) são zero (interruptores desligados) a saída (S) também é zero (lâmpada apagada). Quando uma só das entradas é 1 (um só interruptor ligado) a saída (S) é zero (lâmpada apagada). Quando as duas entradas (A e B) são 1 (os dois interruptores ligados) a saída (S) também é 1 (lâmpada acesa), CONCLUSÃO: Só temos o nível lógico 1 na saída quando todas as entradas forem 1 (neste caso, A e B). + A B S _

13 13 Função OR (união) Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1. Símbolo Lógico Tabela Verdade

14 14 Analogia da porta lógica OR com um circuito eléctrico: + A B S _ Quando as duas entradas (A e B) são zero (interruptores desligados) a saída (S) também é zero (lâmpada apagada). Quando uma só das entradas é 1 (um só interruptor ligado) a saída (S) é um (lâmpada acesa). Quando as duas entradas (A e B) são 1 (os dois interruptores ligados) a saída (S) também é 1 (lâmpada acesa), CONCLUSÃO: Só temos o nível lógico 0 na saída quando todas as entradas forem 0.

15 15 Função NOT (inversor) Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável. Símbolo Lógico Tabela Verdade

16 16 Função NAND A porta lógica NAND é uma porta lógica AND com a saída negada. Pode observar-se que os níveis lógicos da saída (S) da tabela de verdade NAND é a negação dos níveis lógicos da saída (S) da tabela de verdade AND. Símbolo Lógico Tabela Verdade

17 17 Função EXOR (OU exclusivo) Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes). Símbolo Lógico Tabela Verdade

18 18 Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo) Definição: A operação lógica EXNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico. Símbolo Lógico Tabela Verdade

19 19 Porta lógica EXclusive OR (ou exclusivo) Símbolo novo Símbolo antigo Expressão da função Tabela de verdade A B S = 1 A B S S = A B A saída é 1 se uma entrada é 1 ou a outra entrada é 1, mas não ambas. De outro modo: o valor da saída (S) é 1 se as entradas (A ou B) são diferentes e 0 se são iguais.

20 20 Porta lógica EXclusive NOR (não ou exclusivo) Símbolo novo Símbolo antigo Expressão da função Tabela de verdade = 1 A B S Negação S = A B A B S A porta lógica abreviadamente designada por EX-NOR é uma porta lógica EX-OR com a saída negada. Pode observar-se que os níveis lógicos da saída (S) da tabela de verdade EX- NOR é a negação dos níveis lógicos da saída (S) da tabela de verdade EX- OR.

21 Questões para resolver 21 Dissertativas 1. O que você entende por porta lógica 3. Descreva como funciona uma porta lógica and 4. Descreva como funciona uma porta lógica or Múltipla escolha 1. Entende-se por máquina digital binária a) Uma máquina capaz de receber informações de qualquer natureza, interpretá-las, realizar operações e gerar resultados b) Uma máquina projetada para armazenar e manipular informações representadas apenas por algarismos ou dígitos e que só podem assumir dois valores distintos 0 e 1 c) Uma máquina que possui circuitos integrados que recebem somente sinais do tipo analógico d) Uma máquina desenvolvida para guardar informações digitais de imagens e movimentos

22 Questões para resolver Qual da afirmação abaixo está correta a) Um projeto de construção de um circuito utiliza álgebra booleana que utiliza os números 0 e 1 b) Um circuito eletrônico recebe um estímulo eletrônico de somente 2 volts, este por sua vez interpreta o estímulo gerando os diversos códigos necessários para executar a operação c) Existem diversos modelos de circuitos eletrônicos disponíveis no mercado e cada um deles possui um projeto de construção que depende do fabricante e portanto não existe uma padronização d) Num circuito digital é permitido os números de 0 a 9 e cada um deles representa uma tensão distinta entre 0 e 9 volts de tensão respectivamente 3. Qual da alternativa abaixo possui portas lógicas válidas a) and, or, of, dor b) xor, nor, nan, lam c) and, xor, nor, or d) andn, orx, xox, or 4. Em relação a uma porta porta lógica de 2 entradas podemos afirmar a) O tipo XOR, precisa de dois 1 ou dois 0 para ter uma saída verdadeira b) O tipo OR gera uma saída verdadeira se as duas entradas forem verdadeiras c) O tipo AND gera uma saída verdadeira se as duas entradas forem verdadeiras d) O tipo OR gera uma saída falsa se ao menos uma das entradas forem verdadeiras

23 Questões para resolver Podemos afirmar que a) Uma porta NAND é uma negativa da porta OR b) Uma porta XOR é uma positiva da porta AND c) Uma porta NAND é uma negativa da porta AND d) Uma porta NAND é uma positiva da porta AND 6. Sobre Tabela de verdade podemos afirmar a) Demonstra somente as saídas dadas como verdadeiras b) São as diversas combinações possíveis resultantes de uma determinada operação, tendo tantas linhas quantas forem as possíveis combinações, c) É uma tabela que é gerada internamente no circuito digital e é utilizada pelo dispositivo para poder seguir com a operação d) Que a tabela de verdade pode não gerar 100% das combinações e portanto é necessário levar em consideração o modelo de porta lógica para poder gerar o resultado esperado na operação

24 24 Simplificação de Expressões Booleanas: Usada para economizar componentes, tornar o circuito mais rápido, mais simples de fabricar e de manutenção, além de diminuir seu tamanho. Tipos: Postulados da Álgebra Booleana Mapas de Karnaugh

25 25 Álgebra de Boole Postulados da Álgebra Booleana: A. A soma de uma variavel com um 1 constante equivale ao valor da constante; B. A soam de uma variável com 0 constante equivale ao valor da variável; C. O produto de uma variavel com 1 constante equivale ao valor da variáveis; D. O produto de uma variável 0 constante equivale ao valor da constante; E. A soma de duas variáveis iguais equivale ao valor dessa variável.

26 26 Álgebra de Boole Postulados da Álgebra Booleana: F. A soma de duas variáveis iguais equivale ao valor dessa variável. G. A soma de duas variáveis com a mesma variável, mas negada, equivale ao valor da constante 1. A+A=1 H. O produto de uma vari[avel com a mesma variável, mas negada, equivale ao valor da constante 0. A.A= 0 I. Se uma variável é negada duas vezes, o seu valor é o mesmo que cseria se não tivesse sido negada. Para qualquer número par de inversões, o seu valor é o mesmo. A= A J. Se se inverterem os dois membros de uma igualidade, não há alteração do resultado final. S= A+B; S= A+B S= A.B; S= A.B

27 27 Postulados da Álgebra Booleana: Identidades Booleanas A + 0 = A 1 A. 0 = 0 5 A = A 9 A + 1 = 1 2 A. 1 = A 6 A + A = 1 3 A. A = 0 7 A + A = A 4 A. A = A 8 Propriedade Comutativa A + B = B + A 10 A. B = B. A 11

28 28 Postulados da Álgebra Booleana: Propriedade Associativa (A + B) + C = A + (B + C) 12 (A. B). C = (B. C). A 13 Propriedade Distributiva A. (B + C) = A. B + A. C 14 Consenso A. B + A. C + B. C = A. B + A. C 15 (A+B). (A +C). (B+C) = (A+B). (A +C) 16 Teorema de De Morgan A. B... = A + B +... A + B +... = A. B... 17

29 29 Propriedades: Comutativa Associativa Distributiva Comutativa: Adição A + B = B + A Multiplicação A. B = B. A Associativa: Adição A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C Multiplicação A. (B. C) = (A. B). C = A. B. C Distributiva A. (B. C) = (A. B). C = A. B. C

30 30 Álgebra de Boole Expressões Auxiliares 18 A + ( A. B ) = A 19 A + ( A. B ) = A + B 20 ( A + B ). B = A. B 21 ( A. B ) + ( A. B ) = A 22 ( A + B ). ( A + B ) = A

31 31 Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana F ABC ABC ABC ABC Pela prop. (14), A (B C) A B A C F AB(C C) ABC ABC Pela prop. (4), C C = 1 F A B 1 AB C AB C F AB ABC ABC Pela prop. (6), A B 1= A B Soma de Produtos simplificada

32 32 Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana O termo AB C poderia ter sido simplificado com o termo ABC F ABC ABC ABC ABC Utilizando a propriedade (3), que permite a seguinte manipulação: ABC ABC ABC

33 33 Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana F ABC ABC ABC ABC ABC Pela prop. (3), ABC ABC ABC Pela prop. (14) F AB(C C) ABC (A A)BC Pela prop. (4) F A B 1 AB C 1 BC F AB ABC BC Pela prop. (6) Soma de Produtos simplificada (mínima, no caso)

34 34 Circuito Lógico F ABC ABC ABC ABC 1o nível 2o nível A B C F Complexidade: 4x3 + 1x4 = 16 Soma de mintermos Circuito com (lógica de ) 2 níveis

35 35 Circuito Lógico Expressão Simplificada F AB ABC BC 1o nível 2o nível A B F C Complexidade: 2x2 + 2X3 = 10 Soma de produtos (simplificada) Circuito com (lógica de ) 2 níveis

36 36 Simplificação por Mapa de Karnaugh Cada célula corresponde a um mintermo Representa a função como soma de produtos Para 2 variáveis Exemplo: F = m(1,2,3) = XY + XY + XY X Y XY Y m0 XY m2 XY m1 XY m3 Y X

37 37 Álgebra de Boole Simplificação por Mapa de Karnaugh Simplificação algébrica é de difícil automatização Simplificação por mapa fornece uma maneira visual para a simplificação Baseia-se na identificação de produtos vizinhos O Mapa de Karnaugh é uma ferramenta de auxílio à minimização de funções booleanas. O próprio nome mapa vem do fato dele ser um mapeamento biunívoco a partir de uma tabelaverdade.

38 38 Álgebra de Boole Simplificação por Mapa de Karnaugh Y X m0 m1 m2 m3 1 região onde X = 1 região onde Y = 1 Junta-se 2 n posições 2 0 = = = = 4

39 39 Mapa com 3 variáveis YZ X m0 m1 m3 m4 m5 m7 m2 m6 Concatenar bit da linha com bits da coluna para identificar mintermo Mintermos não seguem a ordem crescente => útil para simplificação 2 células vizinhas (adjacentes): mintermos diferem por uma variável m5 e m7 XYZ XYZ única diferença é Y

40 40 Álgebra de Boole Simplificação por Mapa de Karnaugh Atenção para a vizinhança entre bordas X YZ m0 m1 m3 m4 m5 m7 m2 m6 m0 m4 m2 m6 Região com 2 células adjacentes termo com 2 literais...

41 41 Álgebra de Boole Simplificação por Mapa de Karnaugh Veja para função de duas varáveis (por exemplo, a função AND)

42 42 Álgebra de Boole Simplificação por Mapa de Karnaugh A B A B 0 1 A B A=0, B=0 A=1, B=0 1 A=0, B=1 A=1, B=1 0 A B AB 1 A B AB A B A B 0 1 A B 0 1 A B m 0 m m 1 m

43 43 Álgebra de Boole Simplificação por Mapa de Karnaugh